作业————振动作业及答案

第五章作业

5-1 写出本章你认为重要的知识点。

5-2质量为

kg 10103

-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)

SI ()3

28cos(1.0π

π+

=x 的规律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等

(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：

3/2,s 4

1

2,8,m 1.00πφωπ

πω===

∴==T A 又 πω8.0==A v m 1

s m -⋅ 51.2=1

s m -⋅

2.632==A a m ω2s m -⋅

(2) N 63.0==m m a F

J 1016.32

122

-⨯==

m mv E J 1058.121

2-⨯===E E E k p

当p k E E =时，有p E E 2=， 即

)2

1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20

2

22±=±

=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t

5-3一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程

用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：

(1)A x -=0；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2

A

x =

处向负向运动； (4)过2

A x -

=处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ⎩⎨

⎧-==00

0sin cos φωφA v A x

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故

有

)2cos(1ππ

π

φ+==t T A x

)23

2cos(2

32πππφ+==t T A x

)3

2cos(3

3π

ππ

φ+==

t T A x

)4

5

2cos(4

54πππφ+==

t T A x

5-4一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=m

)65

2cos(3.0m )62cos(4.021

ππt x t x 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方

程。

解：∵ πππ

φ=--=

∆)6

5

(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合

336

5cos

3.06cos

4.065sin

3.06sin

4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=

++=πππ

π

φφφφφA A A A

∴ 6

π

φ=

其振动方程为

m )6

2cos(1.0π

+=t x

5-5 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．

题图

解：由题图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,2

3

,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即

1s rad 2-⋅==

ππωT

故 m )2

3

cos(1.0ππ+=t x a 由题图(b)∵0=t 时，3

5,0,2000π

φ=

∴>=

v A x 01=t 时，2

2,0,0111π

πφ+

=∴<=v x

又 ππωφ2

53511=+⨯= ∴

πω6

5

=

故 m t x b )3

565cos(

1.0ππ+= 5-6一轻弹簧的倔强系数为k ，其下端悬有一质量为M 的盘子．现有一质量为m 的物体从离盘底h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子

开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同 (2)此时的振动振幅多大 (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解：(1)空盘的振动周期为k

M

π2，落下重物后振动周期为k m M +π2，

即增大．

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0=t 时，则k

mg

x -=0．碰撞时，以M m ,为一系统动量守恒，即

0)(2v M m gh m +=

则有 M

m gh

m v +=20

于是

g

M m kh

k mg M m gh m k mg v x A )(21)

)

(2()()(2

222

2

++=

++=+=ω

（3）g

m M kh

x v )(2tan 000+=

-

=ωφ (第三象限)，所以振动方程为 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++++=

g m M kh t M

m k g

M m kh

k mg x )(2arctan cos )(21