数学分析大二第一学期考题
《数学分析》（III）期末试题
一、选择题(每小题3分，共18分)
1、极限∫+→++aaaaxdx12201lim的值是（ ）
(A)0， (B)
1
， (C) 4π， (D) 2π.
2、已知
π
=Γ)21(，则)25(Γ
的值是 ( )
（A）
π
5
， （B）π25， （C）52π， （D）π43.
3、下列各式中，改变积分
dyyxfdxx∫∫−1010),(
的顺序正确的是( )
(A) dxyxfdyy∫∫−1010),(， (B) dxyxfdyy∫∫−1110),( ，
(C)
dxyxfdyx∫∫−1010),(
， (D) dxyxfdyy∫∫−1011),(.
4、由光滑闭曲面S围成的空间区域的体积是 ( )
(A)
∫∫
++Szdzdxydydzxdxdy
， (B) ∫∫++Szdzdxydydzxdxdy31，
(C)
∫∫
−+Szdxdyydzdxxdydz
， (D) ∫∫−+Szdxdyydzdxxdydz31.
5、若L是右半圆周0,222≥=+xRyx，则积分∫+Ldsyx22=( )
(A)R， (B)Rπ2， (C)Rπ， (D) 2Rπ.
6、已知无界区域上的二重积分
∫∫
≥++12222)(yx
m
yx
dxdy
收敛，则m的取值范围为( )
(A) 1>m， (B)1≤m， (C)2>m， (D) 2≤m.
二、填空题(每小题3分，共18分)
1、设abp>>,0，则积分∫+∞−−0sinsindxxaxbxepx=__________.
2、Beta函数的值
)
2
1
,
2
1
(B
=________.
3、设L为抛物线22xy=从(0,0)到(1,2)的一段，积分ydxxdyL−∫=______.
4、设}|),{(22xyxyxD≤+=，则∫∫=Ddxdyx_____________.
5、设]1,0[]1,0[]1,0[××=V，则∫∫∫++Vdxdydzzyx)(=__________.
6、设S为平面
1=++zyx在第一卦限中的部分，则∫∫=SzdS
_____________.
三、解答下列各题(每小题5分，共30分)
1、证明含参量积分dxyxxy∫∞+∞−+−22222)(在),(+∞−∞上一致收敛.
2、计算积分∫∞+−−>>−0)0(abdxxeebxax.
3、计算∫Ldsy||，其中L为单位圆周122=+yx.
4、计算∫−+−++Ldzxzdyzydxyx)()()(，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
5、求锥面22yxz+=被柱面xz22=所截部分的曲面面积.
6、求全微分dzyzxdyxyzdxzxy)2()2()2(222+++++的原函数.
四、(8分) 证明：若),(yxf为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则
0),(>∫∫Ddyxf
σ
.
五、(8分) 设球体xzyx2222≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求该球体
的质量.
六、(8分) 求密度为
ρ
的均匀球面)0(2222≥=++zazyx对于z轴的转动惯量.
七、(10分) 计算积分
∫∫
++=SdxdyzxdzdxyzdydzxyI
222
，其中S是椭球面
1
22222
2
=++
czbya
x
的外侧.
2019-2020第一学期数学分析期末考试试题
2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。
广州大学数学分析第一学期试卷A
广州大学2005-2006 学年第一学期试卷课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）数信学院数学系 04级 ①②③④⑤⑥班 学号 姓名一、填 空 题 10分 （2分 / 题）1.将函数展开为麦克劳林级数=-241x______________________ 。
2.将 f ( x ) = [ x ] 在( - π,π )上展开的傅里叶级数在0点处收敛于_______________ 。
3.方程 sin ( 22y x ) + xy e + arctany = 1 在( 0 , 0 )点附近可以确定的隐函数关系为 __________________________。
4. F( x ) = dy e yxyx ⎰11 , 则 )(x F ' =___________________ 。
( x > 0 ) 5、ds y x L)(+⎰= _________________ 。
(其中L ：1=+y x )二、单项选择题 （2分/题 ，共10分）1、幂级数∑∞=022n n nx 的收敛半径与收敛域为___________ 。
A 、 2 ，[ - 2 , 2 ] ；B 、 2 ，( - 2 , 2 ) ；C 、2 , ( - 2 , 2 ) ；D 、2， [ -2 , 2 ] ；2、f ( x ) = 2222y x y x +-在( 0 , 0 )点先x 后y 与先y 后x 累次极限及重极限分别为________ 。
A 、1 , 1 , 1；B 、1 , 1 , 0；C 、- 1 , 1 , 0；D 、- 1 , 1 , 不存在。
3.f 为连续函数,交换积分次序:=⎰⎰11),(y dx y x f dy ________。
A 、⎰⎰1010),(dy y x f dx ； B 、⎰⎰100),(xdy y x f dx ；C 、⎰⎰101),(xdy y x f dx ； D 、⎰⎰11),(xdy y x f dx 。
(三十四)数学分析试题(二年级第一学期)
（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述第二类曲线积分的定义。
2 叙述Parseval 等式的内容。
3 叙述以π2为周期且在],[ππ-上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。
二 计算题（每小题10分，共50分）1．求⎰+=lds y x I )( ，此处l 为联结三点 )1,1( ),0,1( ),0,0(B A O 的直线段。
2．计算二重积分⎰⎰Ω+=dxdy y x I )(22。
其中 Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形。
3．一页长方形白纸，要求印刷面积占2 cm A ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为cm h ，左部与右部之和为cm r ，试确定该页纸的长)(y 和宽)(x ，使得它的总面积为最小。
4．计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydz cz b y a x I )(222222。
其中V 是椭球体1222222≤++cz b y a x 。
5．计算含参变量积分)0( 0>>-⎰∞+--a b dx xe e bxax 的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1 已 知yxu arccos =，试确定二阶偏导数y x u ∂∂∂2与x y u ∂∂∂2的关系。
2 讨论积分dx x x xx qp ⎰∞++πcos 的敛散性。
数学分析试题（二年级第一学期）答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1 设L 为定向的可求长连续曲线，起点为A ，终点为B 。
在曲线上每一点取单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=，使它与L 的定向相一致。
设),,(z y x f =P ),,(z y x i +Q ),,(z y x j +R ),,(z y x k是定义在L 上的向量值函数，则称⎰=⋅Lds f τ⎰++Lds z y x R z y x Q z y x P γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(为f 定义在L 上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。
数学分析试题二年级第一学期1
数学分析试题（二年级第一学期）1一 叙述题（每小题10分，共30分） 1． 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。
2． 叙述Green 公式的内容及意义。
3． 叙述n 重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分） 1．计算积分⎰+-=C yx ydxxdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。
2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。
3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。
4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。
5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1． 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。
试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。
2． 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。
数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分） 1. 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。
2. Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(， 其中D ∂取正向，即诱导正向。
数学分析试题
测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+L 收敛. 四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221limnn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列 证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x L 之和是a ，求函数u =.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22C xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部. 数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f xy z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
大二数学真题试卷人教版
大二数学真题试卷人教版一、选择题（本题共10分，每小题1分）1. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1。
若存在x₀∈[0,1]，使得f(x₀)=x₀，则称x₀为函数f(x)的不动点。
根据不动点定理，不动点x₀存在性的条件是（）。
A. f(x)在[0,1]上单调递增B. f(x)在[0,1]上单调递减C. f(x)在[0,1]上连续D. 以上条件均不正确2. 以下哪个选项不是线性代数中的矩阵运算（）。
A. 矩阵加法B. 矩阵乘法C. 矩阵的行列式D. 矩阵的微分3. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，则其概率密度函数的图像是（）。
A. 正弦曲线B. 余弦曲线C. 钟形曲线D. 指数曲线4. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x/y的一个解（）。
A. y = x²B. y = x³C. y = x + 1D. y = 1/x5. 对于函数f(x)=x³-3x²+2x-1，其在x=1处的导数是（）。
A. 0B. -1C. 2D. -2二、填空题（本题共10分，每小题2分）6. 若函数f(x)=2x³-x²+5x-3，则f'(2)的值为________。
7. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求矩阵A的伴随矩阵A*，则A*=________。
8. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.3，则P(X=3)=________。
9. 曲线y=x²在点(1,1)处的切线方程为________。
10. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内是________。
三、解答题（本题共30分，每小题6分）11. 证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f'(x)≥0，则f(x)在[a,b]上单调递增。
湖北师范大学大二理学专业数学分析试卷及答案
湖北师范大学2021 ---2021学年度第二学期?数学分析2?A 试卷学院 班级 学号〔后两位〕 姓名一. 判断题〔每题3分，共21分〕(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) ()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()Cdt t f xa +⎰〔 〕.()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f 〔 〕.3. 假设()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛〔 〕. 4. 假设()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛〔 〕5. 假设{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛〔 〕.6. 假设数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大〔 〕.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同〔 〕. 二. 单项选择题〔每题3分，共15分〕()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰axdx x f 在[]b a ,上〔 〕B.2. 假设()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则〔 〕A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定∑n u 为任一项级数，则以下说法正确的选项是〔 〕A.假设0lim =∞→n n u ，则级数∑n u一定收敛；B. 假设1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 假设1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 假设1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的选项是〔 〕 A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；〔每题5分，共10分〕1. ()()()nn n n n n n+++∞→ 211lim2. ()⎰dx xx 2cos sin ln四. 判断敛散性〔每题5分，共15分〕1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n n n n 3. ()nnn nn 21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性〔每题5分，共10分〕 1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnx x f n2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n30角向六．一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面0斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
大二数学题
大二数学题一、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，则根据罗尔定理，下列哪个结论是正确的？A. f'(x)在(a,b)内至少有一个零点B. f(x)在(a,b)内至少有一个极值点C. f(x)在(a,b)内是单调函数D. f'(x)在(a,b)内可能无零点（答案：A）二、对于数列{an}，若存在正整数m，使得对于任意n>m，都有an+1/an<1，则称数列{an}为“T数列”。
下列数列中为“T数列”的是？A. an=n2B. an=1/nC. an=(-1)nD. an=n+1/n（答案：B）三、设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且df(x0,y0)=2dx+3dy，则f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数为？A. 2B. 3C. -2D. 无法确定（答案：A）四、设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，若P(X<μ-2σ)=0.023，则P(μ-2σ<X<μ+2σ)等于？A. 0.954B. 0.477C. 0.977D. 0.901（答案：A）五、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于？A. 4B. 8C. 16D. 32（答案：B）六、设向量a,b,c不共面，且满足a×b=c，b×c=a，则c×a等于？A. bB. -bC. 2bD. -2b（答案：B）七、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是？A. f(x)在[a,b]上单调递减B. f(x)在[a,b]上单调递增C. f(x)在[a,b]上不是单调函数D. 无法确定f(x)的单调性（答案：B）八、设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，则P(X+Y<1)等于？A. 0.25B. 0.5C. 0.625D. 0.75（答案：B）九、设向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=|b|=|c|=1，则a·b+b·c+c·a等于？A. -3/2B. -1C. 0D. 1（答案：A）十、设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)，若f(0)≠0，则f(x)的值为？A. 恒为0B. 恒为1C. 恒为-1或恒为1D. 与x有关，无法确定（答案：B，若进一步考虑f(0)的具体值，通常默认f(0)=1，则结论为恒为1，但根据题目信息，只能确定f(x)在f(0)不为0时为常数1，若f(0)=-1，则f(x)恒为-1或1，但通常默认f(0)=1）。
数学分析考试题
数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。
7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。
8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。
9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。
10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。
三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。