数学分析大二第一学期考题

《数学分析》（III ）期末试题

一、选择题(每小题3分，共18分)

1、极限∫+→++a a a a x dx

12201lim 的值是（ ）

(A)0， (B) 1， (C) 4π

， (D) 2π

.

2、已知π=Γ)21(，则)25

(Γ的值是 ( )

（A ）π5， （B ）π25

， （C ）52π

， （D ）π43

.

3、下列各式中，改变积分dy y x f dx x

∫∫−1010),(的顺序正确的是( )

(A) dx y x f dy y ∫∫−1010),(， (B) dx y x f dy y ∫∫−1

110),( ，

(C) dx y x f dy x ∫∫−1010),(， (D) dx y x f dy y ∫∫−1

011),(.

4、由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( ) (A) ∫∫++S zdzdx ydydz xdxdy ， (B) ∫∫++S

zdzdx ydydz xdxdy 31

， (C) ∫∫−+S zdxdy ydzdx xdydz ， (D) ∫∫−+S

zdxdy ydzdx xdydz 31

. 5、若L 是右半圆周0,222≥=+x R y x ，则积分∫+L ds y x 22

=( )

(A)R ， (B)R π2， (C)R π， (D) 2R π.

6、已知无界区域上的二重积分∫∫≥++12222)

(y x m y x dxdy

收敛，则m 的取值范围为( )

(A) 1>m ， (B)1≤m ， (C)2>m ， (D) 2≤m .

二、填空题(每小题3分，共18分)

1、设a b p >>,0，则积分∫+∞−−0sin sin dx x ax

bx e px =__________.

2、Beta 函数的值21

,21(B =________.

3、设L 为抛物线22x y =从(0,0)到(1,2)的一段，积分ydx xdy L −∫=______.

4、设}|),{(22x y x y x D ≤+=，则∫∫=D

dxdy x _____________.

5、设]1,0[]1,0[]1,0[××=V ，则∫∫∫++V

dxdydz z y x )(=__________.

6、设S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分，则

∫∫=S

zdS _____________.

三、解答下列各题(每小题5分，共30分) 1、证明含参量积分dx y x x y ∫∞

+∞−+−2222

2)(在),(+∞−∞上一致收敛. 2、计算积分∫∞

+−−>>−0)0(a b dx x

e e bx ax . 3、计算

∫L ds y ||，其中L 为单位圆周122=+y x . 4、计算∫−+−++L

dz x z dy z y dx y x )()()(，其中L 为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段. 5、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截部分的曲面面积.

6、求全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(222+++++的原函数.

四、(8分) 证明：若),(y x f 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则

0),(>∫∫D

d y x f σ.

五、(8分) 设球体x z y x 2222≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求该球体

的质量.

六、(8分) 求密度为ρ的均匀球面)0(2

222≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量.

七、(10分) 计算积分∫∫++=S dxdy zx dzdx yz dydz xy I 222，其中S 是椭球面122

2222=++c

z b y a x 的外侧.