【精品】第09章 习题解

第9章真空中的静电场9。

1两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a .在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。

求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动?分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论.解：()1222014qq F F a r πε'==+()1322022cos 2qq rF F arθπε'==+方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。

令0dFdr= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε⎡⎤+-'⎢⎥==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()2220a r -=2r a =±在q '为正电荷时,在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。

9。

2在正方形的顶点上各放一个点电荷q。

（1)证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零.(2）若在正方形中心放一个点电荷q，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求q'与q的关系。

解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：220011422qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0.⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：1214qqFaπε=22142qqFaπε=3220011244qq qqFaπεπε''==⎫⎪⎝⎭各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。

要使顶点上的点电荷所受合力为0，则3212cos45oF F F=+q将各量代入(1q q '=+即(1q q '=-+9.3卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到1510m -时，它们之间的排斥力仍然遵从库仑定律.金原子核中有79个质子，氦原子核（即α粒子）中有2个质子.已知质子带电量为191.6010C -⨯，α粒子质量为276.6810kg -⨯。

当α粒子与金原子核相距156.910m -⨯时（设这时它们仍然可以看成点电荷），求α粒子所受的力及其加速度的大小.解:金原子核带电量为：191779 1.6010 1.26410Q C --=⨯⨯=⨯,氦原子核带电量为:19192 1.6010 3.2010q C C --=⨯⨯=⨯ 氦原子核受的力和加速度分别为：()171922121501 1.26410 3.210764.344 3.148.8510 6.910Qq F N r πε----⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯29227764.3 1.1410/6.6810F a m s m -===⨯⨯ 9。

4有一个电偶矩为q =p l 的电偶极子，求在轴线延长线上任一点A 的电场强度。

已知A 点到电偶极子中心的距离为r ，并且rl .解：电矩为P ql =的电偶极子，由两个带等量异号的点电荷组成.A E E E +-=+q -q +x222200011114442222A q q q E l l l l r r r r πεπεπε⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由于r l >>，()22220032200111144221144A q q E r rl r rl l l r r ql ql r r r l πεπεπεπε⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=-≈- ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-≈--即3014A PE r πε≈- 9。

5一根不导电的细塑料棒弯成一个留有缝隙的圆，圆的半径为0.5m ,缝隙宽2.0cm ，塑料棒均匀带电93.1210C -+⨯。

求圆心处电场强度的大小和方向。

解：对于一无缝隙的均匀带电圆，由于带电体具有对称性，由场叠加原理可分析得圆心处的场强为0本题弯成圆有缝隙，缝隙之处可以视为同时带等量的正电荷和负电荷。

则可得圆心处的场强即为缝隙负电荷产生的场强。

993.1210110/2 3.140.50.022 3.140.50.02Q C m λ--⨯===⨯⨯⨯-⨯⨯-缝隙负电荷为110.02210q C λ-=-=-⨯圆心处的电场强度大小为：112121220121081044 3.148.85100.5q E N Cr πε----⨯===⨯⋅⨯⨯⨯⨯9。

6将电荷线密度为λ的无限长均匀带电线分别弯成图中（a ）（b ）两种形状，设圆弧半径为R ，求两图中O 点的电场强度。

解:由场的叠加原理，本题问题的求解，可将带电线分段求出各自在考察点处的场强，再叠加求得。

利用教材例9.3的结果,有：()0sin sin 4x E R λβαπε=-()0cos cos 4y E Rλαβπε=- 对于一半无限长的带电线，在其-端垂直距离R 处产生的电场强度为:(a)(b)E即,2παβπ==，则有()00sin sin 44x E R R λλβαπεπε=-=-()00cos cos 44y E R Rλλαβπεπε=-=可见，,x y E E 的大小相等，即E 的方向与y 轴成45o ，大小为：10E ==对于弧形带电线产生的场： 如图所示，取弧元，所带电量为：dq Rd λθ=，其在圆心处的场强为:200144dq dE d R R λθπεπε==200cos 4x E dE R πλθπε==⎰⎰2000sin sin 44y E dE d R Rπλλθθθπεπε===⎰⎰则有 204E Rπε==方向沿45o θ= （a)带电线可视为三段组成，O 点处的场为三部分在该处产生的场的叠加。

如图所示，则有：204O E E Rπε==方向沿45o θ=对称方向。

（b)带电线可视为四段组成，O 点处的场为四部分在该处产生的场的叠加。

如图所示：由于12E E =,四部分带电线产生的场有对称性，则有0O E =9。

7求半径为R 、带电量为Q 的均匀带电球体内外的场强分布。

解：带电体为均匀带电球内，其所激发的场具有球对称性。

利用高斯定理,取同心球面为高斯面当r R <时，即球内2330144433QE dS EdS E r r R ππεπ⋅===⎰⎰3014Qr E R πε= 当r R >时，即球外214E dS EdS E r Q πε⋅===⎰⎰2014Q E r πε=9。

8求半径为R 、面电荷密度为σ的无限长均匀带电圆柱面内外的场强分布. 解：无限长均匀带电圆柱面产生的场具有柱面对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为r ，高度为l ∆ 当r R <时,带电圆柱面内20E dS EdS E r l π⋅==∆=⎰⎰0E =当r R >时,带电圆柱面外122E dS EdS E r l R l πσπε⋅==∆=∆⎰⎰0RE rσε=9。

9半径分别为1R 和2R （21R R >）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电,沿轴线单位长度的电荷分别为12λλ、。

（1）求空间各区域的场强分布。

（2)若12λλ=-,情况如何？解:⑴两个无限长共轴圆柱面带电体所激发的场具有柱对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面,所取高斯圆柱面的半径为r ，高度为l ∆ 当1r R <时：20E dS EdS E r l π⋅==∆=⎰⎰10E=当12R r R <<时：1012E dS EdS E r l lπλε⋅==∆=∆⎰⎰12012E rλπε=当2r R >时：12012()E dS EdS E r l l πλλε⋅==∆=+∆⎰⎰123012E rλλπε+=⑵若12λλ=-，则有10E =12012E rλπε=30E =9.101903年，英国物理学家汤姆孙根据实验，提出了汤姆孙原子模型：原子的正电荷均匀分布在半径约为101.010m -⨯的球体内，电子则在正电荷球内运动。

1911年,汤姆孙的学生卢瑟福根据α粒子散射实验的结果，提出了原子的核式结构模型：原子的正电荷集中在很小（约1510－m ）的范围内，电子则在核外运动。

在原子范围内，这两种原子模型产生的电场强度是不同的。

以金原子为例，它的正电荷量为191779161012610C Ze ..--=⨯⨯=⨯，它的原子核半径为156910.⨯－m 。

（1)按照卢瑟福的原子模型，求金原子核在核的表面上产生的电场强度的大小。

（2）按照汤姆孙的原子模型,金原子的正电荷所能产生的电场强度的值最大为多少?(3）根据上面的计算，在α粒子散射实验中,当α粒子（带电量为2e ＋）射向原子时，它所受的最大静电力各为多少?解：⑴由高斯定理，取球面高斯面，球面半径略大于核半径，则有214inE dS EdS E r Q πε⋅===⎰⎰金原子核表面上场强大小为：()17211221215011.26102.3810443.148.8510 6.910Q E N C r πε----⨯===⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⑵由习题9.7的结果()()3021414Qrr R R E Q r R r πεπε⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩可见,r R =时，场强最大,即()17131221210011.2610 1.131044 3.148.8510 1.010Q E N C R πε----⨯===⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⑶卢瑟福原子模型下，α粒子所受最大静电力为：19211.610 2.3810380F qE N -==⨯⨯⨯=汤姆孙原子模型下，α粒子所受最大静电力为: 191361.610 1.1310 1.8010F qE N --==⨯⨯⨯=⨯9。

11半径分别为1R 和2R （21R R >）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为λλ+、-。

分别把电势参考点选在无限远处和轴线上,求：(1）离轴线为r 处的电势。

（2）两筒间的电势差。

解：⑴根据9。

9题的结果,有()()()112020,120r R E R r R r r R λπε⎧<⎪⎪=<<⎨⎪⎪>⎩2r R >时,0U =12R r R <<时，222001ln 22R R rrrR U E dl Edr dr r r λλπεπε∞=⋅===⎰⎰⎰1r R <时,221120011ln 22R R rR R R U E dl Edr dr r R λλπεπε∞=⋅===⎰⎰⎰即()()()210121202ln 2ln 20R r R R R U R r R r r R λπελπε⎧<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪>⎪⎩电势参考点选在轴线处时:1r R <时，00rr U E dl Edr =⋅==⎰⎰12R r R <<时,110011ln22R R rrrrU E dl Edr dr r R λλπεπε=⋅===-⎰⎰⎰2r R >时, 112220011ln 22R R rR R R U E dl Edr dr r R λλπεπε=⋅===-⎰⎰⎰即()()()1120122010ln2ln 2r R r U R r R R RR r R λπελπε⎧⎪<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-<⎪⎪⎩ ⑵电势参考点选在无限远处时，内外圆柱面之间的电势差为:201ln 2R U R λπε∆=电势参考点选在轴线处时,内外圆柱面之间的电势差为：201ln 2R U R λπε∆=9。