广东省广州市培正中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理
广东省普宁市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
2015-2016学年度第一学期期中考试高二级数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B =．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122xx y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）． 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为 A. ()<e (0)a f a f B. ()>e (0)a f a f C. ()=e (0)a f a f D. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点， 且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()212A f +=．求sin B ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a{n a的通项公式，并用数学归纳法证明（2）猜想}17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为 矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e =A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBC FE图3班级：高二（ ）班 姓名： 座号： 试室号：_______ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 注意：用2B 铅笔填涂，填涂的正确方法是▇；信息点框内必须涂满涂黑，否则填涂无效；修改时用橡皮擦干净。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案
深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期中测试 高二数学 命题人：审题人：第Ⅰ卷（本卷共分）共小题每小题5分，共分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合(A∩B）的共有（）A.个B.4个C.7个D.8个．已知x＝ln π，y＝log52，，则( ) A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A. B. C．1 D．2 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( ) ．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为( ) A． B． C． D．设a＞0,b＞0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为（）A.8B.4C.1D.二．填空题：本大题共小题，每小题5分。
，则方向上的投影为_________. 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=. 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x. (1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合． 解：解：(1)因为f(x)＝sin2x－(1－cos2x) ＝2sin(2x＋)－1， 所以，当2x＋＝2kπ＋， 即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1. (2)解法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝， 所以2x＋＝2kπ＋，或2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ，或x＝kπ＋. 故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}． 解法二：由f(x)＝0得2sinxcosx＝2sin2x， 于是sinx＝0，或cosx＝sinx， 即sinx＝0或tanx＝. 由sinx＝0可知x＝kπ；由tanx＝可知x＝kπ＋. 故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋，k∈Z}．，且有唯一解，，。
2015年12月广东广州高二上学期会考数学试卷-学生用卷
2015年12月广东广州高二上学期会考数学试卷-学生用卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分 .1、【来源】 2016~2017学年北京丰台区北京市第十二中学高二下学期期末文科第1题5分2015年12月广东广州高二会考第1题5分已知集合M={−1,0,1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）．A. {1}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1}2、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第2题5分已知等比数列{a n}的公比为2，则a4a2的值为（）．A. 14B. 12C. 2D. 43、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第3题5分2016~2017学年广东广州越秀区广州市培正中学高二上学期开学考试第2题5分2017~2018学年广东东莞市高一上学期期末第5题5分直线l过点(1,−2)，且与直线2x+3y−1=0垂直，则l的方程是（）．A. 2x+3y+4=0B. 2x+3y−8=0C. 3x−2y−7=0D. 3x−2y−1=04、【来源】 2015~2016学年山东济南历城区济南外国语学校高一下学期开学考试第7题4分2015年12月广东广州高二会考第4题5分2016~2017学年广东广州越秀区广州市培正中学高二上学期开学考试第3题5分函数f(x)=(12)x−x+2的零点所在的一个区间是（）．A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)5、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第5题5分已知非零向量a →与b →的方向相同，下列等式成立的是（ ）．A. |a →+b →|=|a →|+|b →|B. |a →+b →|=|a →−b →|C. |a →|−|b →|=|a →−b →|D. |a →|+|b →|=|a →−b →|6、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第6题5分要完成下列两项调查：①某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；②从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（ ）．A. ①用系统抽样法，②用简单随机抽样法B. ①用分层抽样法，②用系统抽样法C. ①用分层抽样法，②用简单随机抽样法D. ①、②都用分层抽样法7、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第7题5分设x ，y 满足约束条件{x +1⩾0y −2x ⩾0x +y −3⩽0，则z =x −y 的最大值为（ ）．A. 3B. 1C. −1D. −58、【来源】 2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二上学期期中第3题3分 2015年12月广东广州高二会考第8题5分某几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的体积为（）．A. 6B. 9C. 12D. 189、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第9题5分函数f(x)=12−cos2(π4−x)的单调递增区间是（）．A. [2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈ZB. [2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈ZC. [kπ+π4,kπ+3π4]，k∈ZD. [kπ−π4,kπ+π4]，k∈Z10、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第10题5分2016~2017学年广东广州越秀区广州市培正中学高二上学期开学考试第11题5分设a>1，b>2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）．A. 2√2B. 2√2+1C. 2√2+2D. 2√2+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11、【来源】 2018~2019学年11月天津和平区天津市耀华嘉诚国际学校高二上学期月考理科第12题4分2015年12月广东广州高二会考第11题5分不等式x2−3x+2<0的解集是．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边为射线l:y=−√2x(x⩽0)，则cosθ的值是．13、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第13题5分执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出y的值是．14、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第14题5分2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高一上学期期中第11题5分若函数f(x)=log a(x+m)+1(a>0且a≠1)恒过定点(2,n)，则m+n的值为．15、【来源】 2015年12月广东广州会考第15题12分在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=10，b=8，A=60°．(1) 求sinB的值．(2) 求cosC的值．三、解答题 .甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．(1) 求甲组同学答对题目个数的平均数和方差．(2) 分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．17、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第17题14分2018~2019学年10月广东广州海珠区广州市第五中学高二上学期月考文科第19题12分设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=n2+n+1，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式．}的前n项和T n．(2) 求数列{1a n a n+118、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第18题14分如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=AC=2√3，∠ACB=30°．(1) 求证：AC⊥PB．(2) 求三棱锥P−ABC的体积．已知圆C的圆心为点C(0,3)，点R(√3,2)在圆C上，直线l过点A(−1,0)且与圆C相交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点．(1) 求圆C的方程．(2) 若AM→⋅AC→=9，求直线l的方程．20、【来源】 2015年12月广东广州高二会考第20题14分已知点A，B是函数y=2|x|(x∈[−1,1])图象上两个动点，AB//x轴，点B在y轴的右侧，点M(1,m)(m>2)是线段BC的中点．(1) 设点B的横坐标a，△ABC的面积为S，求S关于a的函数解析式S=f(a)．−2mk−1对所有a∈(0,1]，m∈(4,+∞)恒成立，求实数k (2) 若（1）中的f(a)满足f(a)⩽m26的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】(1,2);12 、【答案】−√3;313 、【答案】7;14 、【答案】0;15 、【答案】 (1) 2√35．;(2) 6−√1310．;16 、【答案】 (1) 10；52．;(2) 14．;17 、【答案】 (1) a n={3,(n=1)2n,(n⩾2)．;(2) 524−14(n+1)．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √1832．;19 、【答案】 (1) x2+(y−3)2=4．;(2) x=−1或4x−3y+4=0．;20 、【答案】 (1) 4a2+2ma．;(2) k⩽√22−1．;。
2015-2016年广东省佛山一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=03．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）A．B．125C．50πD．125π5．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π6．（5分）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°7．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a28．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等10．（5分）一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．211．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．14．（5分）已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B 两点，则弦长|AB|=．15．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．16．（5分）已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．18．（12分）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．21．（12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．22．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE ∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．2．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选：D．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）A．B．125C．50πD．125π【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴V=π×R3=．球故选：A．5．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选：C．6．（5分）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选：C．7．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．8．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D 1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选：C．9．（5分）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．故选：B．10．（5分）一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，∴BD⊥CE，故①正确；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，∵线段EF的长是定值，∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．故选：D．12．（5分）设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d==3，圆的半径r=，故|PQ|的最小值为d﹣r=2，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：14．（5分）已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=．故答案为：15．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．【解答】解：连接OD，CD∵DE是圆的切线，∴OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵AB=AC，∴BD=OD；又∵OD=OB，∴OB=OD=BD，∴△BDO是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE，在直角△ADC中，∠A=60°，∴AC=2AD，∴AC=4AE∴=故答案为：16．（5分）已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为5x+y﹣9=0．【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，∴反射光线的斜率为：k==﹣5，∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案为：5x+y﹣9=0．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．【解答】（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，∴∠PAC=∠ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵∠PAC=∠BCD∴∠ABC=∠BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴AB∥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC∴∠BAC=∠ACP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴△PAC∽△CBA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．【解答】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）圆C的半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由圆的性质可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC 1∥平面A1D1B．【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵DC1⊂面B1BCC1，∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：∵O是正方形ACC1A1对角线的交点∴O为A1C中点∵D是BC的中点∴OD∥A1B，且OD⊂平面ADC1，A1B⊊平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，∴四边形AA1D1D是平行四边形∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵A1D1⊄平面ADB1，AD⊂平面ADB1，∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵A1D1∩A1B=A1，∴平面ADC 1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊂侧面PAD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．∵BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．21．（12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD，=×2×2=2，∵S△ACD∴三棱锥B﹣ACD的体积为：=，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：；（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，∵AD=DC，E为AC中点，∴DE⊥AC，∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DE⊥平面ACB，∴DE⊥AB，又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，∴AB⊥平面DHE，∴DH⊥AB，∴∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角．∵DE=，HE=1，∴tan∠DHE=；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，∵DE⊥平面ACB，DE=OE=，∴DE⊥OE，DO=2．又∵AO=BO=CO=2，∴D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，∴D﹣ABC的外接球的表面积为16π．22．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于点E；∴四边形ABCE是边长为2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC⊂平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC⊂平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；设是面BCD的法向量；则令y=1，得；设BG与面BCD所成角为θ；则=；∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．。
广东省佛山市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题
C 1D 1 B 1 A 1 N M DCB A 佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学试题命题人：熊艳桃 审题人：张燕文参考公式：24r S π=球表面积，rl S π=圆锥侧，334r V π=球，h r V 231π=圆锥 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。
每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、直线3310x y ++=的倾斜角是（ ）A 、56πB 、3πC 、23π D 、6π 2、已知A （2，4）与B （3，3）关于直线m 对称，则直线m 的方程为（ ）A 、x+y=0B 、x-y=0C 、x+y-6=0D 、x-y+1=03、如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A 、BD ∥平面CB 1D 1 B 、AC 1⊥BDC 、AC 1⊥平面CB 1D 1 D 、异面直线AD 与CB 1所成的角为60°4、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（ ）A 、π350 B 、π50 C 、π32125 D 、π321000 5、如图是某实心几何体的三视图，其中主视图和侧视图是半径为1的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）A 、πB 、π2C 、π3D 、π46、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A 、 45B 、 60C 、 75D 、307、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A 、242a B 、2a C 、222a D 、22a8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A 、 30B 、 60C 、 90D 、 1209、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A 、γα⊥，且γβ⊥B 、n m ,是两条异面直线，且ββ//,//n m ，αα//,//n mC 、n m ,是α内的两条直线，且ββ//,//n mD 、α内存在不共线的三点到β的距离相等10、一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ）A 、1B 2C 、2D 、211、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且3给出下列四个结论: ①CE ⊥BD ；②三棱锥E —BCF 的体积为定值；③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线.其中，正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、412、设Q P ,分别为直线0=-y x 和圆()2622=-+y x 上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A 、22B 、32C 、42D 、4二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在矩形ABCD 中,3,AB =3BC =,BE AC ⊥, 垂足为E ,则ED =_______.14、已知直线m:02=-+y x 与圆C:1)2()1(22=-+-y x 相交于B A ,两点，则弦长=AB ________________.15、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AE CE=_______________．16、已知光线经过点A （-1，2），由镜面所在直线y=x 反射后经过点B （1，4），则反射光线所在直线方程为_______________________ .三．解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆相切于点A ，过P 作直线与圆交于C 、D 两点，点B 在圆上，且C CD ∠PA =∠B ．（1）证明：//CD AB ；（2）若AC PC 2=，求CAP B ．18、（本小题满分12分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点.（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求该切线的方程及切线的长.19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D 分别是11,C B BC 的中点.（1）求证：;1D C AD ⊥（2）求证：.//111B D A ADC 平面平面20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为直角梯形，且//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D ．若121====AD BC AB PA ． （1）求证：C D ⊥平面PAC ；（2）侧棱P A 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由.21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ACD ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图所示（2）.（1）求几何体D ABC -的体积；（2）求二面角C AB D --的正切值;（3）求几何体D ABC -的外接球的表面积.22、（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE ．将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE ．DAC平面DEB；（1）求证：平面⊥B-的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．（2）当三棱锥GHE2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答卷 座位号： 一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）请把答案涂在答题卡 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13、 ；14、 ； 15、 ；16、 ； 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）18、（本小题满分12分）装订线考号：班级：姓名：试室号：19、(本小题满分12分)20、(本小题满分12分)21、(本小题满分12分)22、(本小题满分12分)佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答案一、选择题ADDC CACB DBBA二、填空题 13、22114、2 15、31 16、 y=-5x+9三、解答题17、(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，直线PA 与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且．（1）证明：；（2）若AC PC 2=，求．（1）证明： 直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点∴ABC PAC ∠=∠ ------------------------------------2分∴ABC BCD ∠=∠ -----------------------------------------3分∴ -------------------------------------5分 （2）解：由（1）得，ABC PAC ∠=∠∴ACP BAC ∠=∠ ---------------------------------------------------------7分 ∴CBA PAC ∆∆~ --------------------------------------------------------9分 ∴2==CAPCBC AP ------------------------------------------------------10分 18、（本题满分12分）已知圆心（1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()1,2-P 作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.解：（1） 圆C 的半径------------------------------------2分所以圆C 的标准方程： ------------------------------4分AP C D B C CD∠PA =∠B //CD AB CAPB PAAP C D C CD ∠PA=∠B //CD AB //CD AB ()(1,2)0,1C ，且经过点()()2210212r =-+-=()()22122x y -+-=（2）由题意知切线斜率存在,故设过点的切线方程为-----------------6分即，有：，，解得，------------------------------------------8分所求切线的方程为-----------------------------------10分由圆的性质可知：-----------12分19、（本题12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，1,D D 分别是11,C B BC 的中点，（1）求证：D C AD 1⊥； （2）求证： .//111B D A ADC 平面平面 （1）证明：底面边长均为2，D 是BC 中点∴BC AD⊥ ----------------------------1分三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，ABC 面⊂AD∴1BB ⊥AD -----------------------------------------2分11BCC B 面⊂BC，111BCC B 面⊂BB ，B BB BC =⋂1 ∴11面BCC B AD⊥ -----------------------------------------------------3分111BCC B 面⊂DC∴1DC⊥AD----------------------------------4分（2）证明：连结C A 1交1C A 于O ，连结DOO 是正方形11A ACC 对角线的交点∴O 为C A 1中点715010x y x y --=+-=或(2,1)P -1(2)y k x +=-210kx y k ---=2321k k--=+2670k k ∴--=71k k ==-或∴()()2222==2112222PA PB PC AC -=-+---=D 是BC 的中点∴OD//B A 1，且111ADC 面B A ，面⊄⊂ADC OD --------------6分∴11面//ADC BA ---------------------------7分1,D D 分别是11,C B BC 的中点，∴1111,//DD AADD AA =∴四边形D D AA 11是平行四边形∴11//D A AD -----------------------------------------------------------9分1111ADB AD 面，面⊂⊄ADB D A∴111ADB //D A 面 -------------------------------------------------10分1111A B A D A =⋂∴.//111B D A ADC平面平面 ----------------------------------------12分20、（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（1）证明：因为，所以．又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面． -----------------------------------------------2分 而底面，所以． -----------------------------------------------3分P ABCD -ABCD //AD BC 90ABC PAD ∠=∠=︒PAD ⊥ABCD 12PA AB BC AD ===CD ⊥PAC PA E//BE PCD E 90PAD ∠=︒PA AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CDEFABPCD在底面中，因为，，所以 ， 所以． -------------------------------------5分 又因为， 所以平面． ------------------------------------6分 （2）在上存在中点，使得平面， ----------------------------------7分证明如下：设的中点是，连结，，，则，且．------------------------8分 由已知，所以． --------------------------------9分 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．--------11分因为平面，平面，所以平面． -------------------12分21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ACD ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图所示（2）.（4）求几何体D ABC -的体积； （5）求二面角C AB D --的正切值;ABCD 90ABC BAD ∠=∠=︒12AB BC AD ==2ACCD AD ==AC ⊥CD PA AC A=CD ⊥PAC PA E//BE PCD PD F BE EF FC //EFAD 12EF AD =90ABC BAD ∠=∠=︒//BC AD 12BC AD =//BC EF BC EF =BEFC //BE CF BE ⊄PCD CF ⊂PCD //BE PCDAC BC ==ABCD1122 2.22ADC S AD CD ∆=⋅=⨯⨯=（6）求几何体D ABC -外接球的表面积.（1）解： 在直角梯形中，∴, ∴即∵平面底面，且交线为，平面∴平面分在中， ∴∴几何体的体积为 ———---------------------------4分 （2）解：记AC 中点为E ，过E 作AB EH ⊥，连结DE ，DH AD=DC,E 为AC 中点 ∴AC DE ⊥平面ACD ⊥平面ABC ，AC ACB ACD =⋂面面ACB DE 面⊥∴ -------------------------------------------------5分AB DE ⊥∴又 AB EH ⊥，且E H E DE =⋂，DHE HE DHE,面面⊂⊂DEDHE AB 面⊥∴-----------------------------------------------6分AB DH ⊥∴DHE ∠∴是二面角C AB D --的平面角-------------------------7分DE=2，HE=1 -----------------------------------------8分2tan =∠∴DHE ----------------------------------------------------9分（3）解：O 为AB 中点，E 为AC 中点，连结DE ，EO ，DOACB DE 面⊥ ，DE=OE=2AC90ADC ∠=︒//CD AB4,2AB AD CD ===BC =3222AC BC AB +=90ACB ∠=︒.BC AC ⊥ACD ⊥ABC ACBC ⊂ACD BC ⊥ACD Rt ADC∆OE DE ⊥∴,2=∴DO --------------------------10分又2===CO BO AO∴D ABC -的外接球的球心为O ，半径为2----------------------------------11分 ∴D ABC -的外接球的表面积为π16---------------------------------------12分 22、（本题12分）如图1，直角梯形中，,，2=BC ．交于点，点,分别在线段,上，且．将图1中的沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面（如图2所示），连结、，、．（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：∵，，42==AB CD又BC AE //交CD 于点E ．∴四边形ABCE 是边长为的正方形 ----------------------------------1分∴BE AC ⊥，AE DE ⊥． 又∵平面平面 ∴------- -------------------3分 ∵，∴DE AC ⊥ ------------------------ --4分又E BE DE = ∴ -------------------------5分⊥ABCD ABC -D ABC -D ABC -⊥ABC⊥ABC ABCD E H //GH AE AED ∆ABCEBDCDACBE⊥DAC DEB GHE B -BG BCDCD AB //︒=∠90ABC 2ADE ABCE ⊥平面AC ABCE ⊂平面AC DBE ⊥平面∵∴平面 --------------------------- 6分（2）解：由（Ⅰ）知，，设，则（） 由，得到 ，从而 ， ---------------------------------------7分 根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点．------------------------8分设直线与平面所成的角为,θ,////,//BC GH BC AE AE GH ∴ ⊂BC 平面BCD , ⊄GH 平面BCD∴//GH 平面BCD∴G 到平面BCD 的距离d 就是到平面BCD 的距离， ---------------------9分 BC S d S V V DCH BCD DCH B BCD H ⋅=⋅∴=∆∆--3131,1212121,222222121=⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅=∆∆CE DH S CD BC S DCH BCD.22=⋅=∴∆∆BCD DCH S BC S d -----------------------------------11分又.63622sin ,6==∴=θBG ---------------------------------12分D ABC -D ABC -H ED BG BCD AC DAC ⊂平面DAC DEB ⊥平面EC AE ⊥xEH =20<<x CEAB //DAE AB面⊥2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHEGHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x 1=x GHE B -。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答卷时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：温从赐 审核人：鲁兴冠参考公式：棱柱的体积公式： V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式：13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式：24S R π=； 球的体积公式： 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）1.10y -+=的倾斜角为（ ）A.30B.150C.60D.120 2.直线()1:110l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.12B.32C.14D.34 3.用斜二测法画水平放置的边长为1的正方形所得的直观图面积是（ ）D. 4.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交 5.已知实数,x y 满足22230x x y -+-=，则x y -的最大值是（ ）A.1B.1-C.1-D.6.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B. C .6 D.7.已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C. D.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.设四边形EFGH 的四条边长为,,,a b c d ，其四个顶点分别在单位正方形ABCD 的四条边上，则222222a b c d +++的最小值为（ ）A.3B.6C. D.83二、填空题（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.）9.已知直线1:10l x y --=和2:2240l x y -+=，则1l 在y 轴上的截距是 ，直线1l 与2l 间的距离是 .10.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11A D 与棱1BB 所成的夹角是 ，异面直线1AD 与BD 所成的角是 .11.设三棱锥ABC S -的三个侧面两两垂直，且a SC SB SA ===，则其外接球的表面积为 ，体积为 .12.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域面积是__________，22x y u xy+=的取值范围为__________．13.在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_____ __.14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB ∆面积的最大值是 .15.在平面直角坐标系xOy 中，设()1,1,,A B C -是函数()10y x x=>图象上的两点，且ABC ∆为正三角形，则ABC ∆的高为 .三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示，墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图乙、图丙分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）画出该安全标识墩的侧视图，并标出相应的刻度； （2）求该安全标识墩的体积.17.（本题满分15分）过点()2,1P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.18.（本题满分15分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .19.（本题满分15分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点.（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.x龙湾中学2015学年第一学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）二、填空题（本题共小题，前题每空分，后题每空分，共分.）9. 1- 10. 2π；3π11. 3223,3a a ππ12.85102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. ()2,4 14. 52 15. 2 三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分） 解析：（1）侧视图如下图所示2010201020cm40cm（2）364000cm . 17.（本题满分15分）解析：（1）30x y +-=或460x y +-=；（2）min 4S =，此时l 的方程为240x y +-=. 18.（本题满分15分）19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2M -，因此8MN =.所以以MN 为直径圆的面积是16π.（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02.所以以MN 为直径的圆的方程为：222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D .所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.。
广东省广州市培正中学高二数学上学期期末试卷 文(含解
2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共14题，每题5分，共70分．每道题只有一个选项．）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0） C．[1，3） D．（0，1）2．已知f（x）=log3x，则f（）=（）A． B． C．3 D．3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x25．设a∈R，则“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．4π B．5π C．12π D．15π7．某校高二年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则这100名学生数学成绩在[70，100]分数段内的人数为（）A．45 B．50 C．55 D．608．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β10．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A． B． C． D．11．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤1005 B．i＞1005 C．i≤1006 D．i＞100612．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C． D．113．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．814．若函数f（x）的零点与g（x）=e x+4x﹣3的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=|2x﹣1| C．f（x）=2x﹣1 D．f（x）=lg（2﹣x）二、填空题（共6题，每题5分，共30分）15．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：．16．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．17．以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为．18．直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b= ．19．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．20．若过点（2，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+7x﹣4都相切，则a= ．三、解答题（共4题，共50分）21．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc（1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．22．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有6S n=1﹣2a n，记b n=log a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．23．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．24．函数f（x）=x2+ax﹣alnx．（1）a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）a＞1时，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共14题，每题5分，共70分．每道题只有一个选项．）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0） C．[1，3） D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M，N，然后直接利用补集和交集的运算求解．【解答】解：由M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，又N={x|2x＜2}={x|x＜1}，全集U=R，所以∁R N={x|x≥1}．所以M∩（∁R N）={x|﹣1＜x＜3}∩{x|x≥1}=[1，3）．故选C．2．已知f（x）=log3x，则f（）=（）A． B． C．3 D．【考点】函数的值．【分析】代入表达式利用对数的运算性质可求．【解答】解：f（）==，故选A．3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．【解答】解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C5．设a∈R，则“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合直线平行的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行，则a2=1，解得a=1或a=﹣1．所以“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件．故选A．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．4π B．5π C．12π D．15π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体为圆锥，再求出圆锥的底面圆的半径，代入公式求解即可．【解答】解：由三视图知几何体为圆锥，其底面半径r=3，母线l=5，∴S侧=πrl=15π．故选D．7．某校高二年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），则这100名学生数学成绩在[70，100]分数段内的人数为（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】先计算出a的数值，分别计算出数学成绩在[70，100]对应矩形的面积，然后求出人数即可．【解答】解：根据频率分布直方图的面积为1得（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005．成绩在[70，100]对应矩形的面积为（0.005+0.02+0.03）×10=0.55．所以这100名学生数学成绩在[70，100]分数段内的人数为0.55×100=55．故选C．8．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【考点】平面与平面平行的判定．【分析】通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B 错误．C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．故选D．10．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故选B．11．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤1005 B．i＞1005 C．i≤1006 D．i＞1006【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=，i=1+1=2，第二次循环：S=+，i=2+1=3，第三次循环：S=+，i=3+1=4，…依此类推，第1006次循环：S=，n=1006+1=1007，退出循环．其中判断框内应填入的条件是：i≤1006，故选C．12．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C． D．1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y ﹣5=0的距离【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B13．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．故选：A．14．若函数f（x）的零点与g（x）=e x+4x﹣3的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=|2x﹣1| C．f（x）=2x﹣1 D．f（x）=lg（2﹣x）【考点】函数的零点．【分析】先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25．【解答】解：∵g（x）=e x+4x﹣3在R上连续，且g（）=，g （）=．设g（x）=e x+4x﹣3的零点为x0，则又f（x）=2x+1零点为x=﹣；f（x）=|2x﹣1|的零点为x=；f（x）=2x﹣1零点为x=0；f（x）=ln（2﹣x）零点为x=1，∴，即B中的函数符合题意故选B．二、填空题（共6题，每题5分，共30分）15．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：∃x∈R，x2+x+1＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】命题“：∀x∈R，x2+x+1≥0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“：∀x∈R，x2+x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号≥变为＜即可．故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜016．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．17．以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点（2，2），解方程即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：由一条渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点（2，2），可得λ=4﹣×4=3，即有双曲线的方程为y2﹣x2=3，即为﹣=1．故答案为：﹣=1．18．直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b= 1或﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．【解答】解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣119．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由4，m，9构成一个等比数列，得到m=±6．当m=6时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣6时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．【解答】解：∵4，m，9构成一个等比数列，∴m=±6．当m=6时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣6时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：20．若过点（2，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+7x﹣4都相切，则a= 2或．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设过曲线y=x3上的点P（t，t3）的切线过点（2，0），对函数y=x3求导，求得切线的斜率和切线的方程，将（2，0）代入方程，解得t=0和3，分别讨论t，求出y=ax2+7x﹣4的导数，可得切线的斜率，求得切点的坐标，代入切线的方程，可得a的值．【解答】解：设过曲线y=x3上的点P（t，t3）的切线过点（2，0），对函数y=x3求导得y'=3x2，故曲线y=x3上的点P（t，t3）的切线方程为y﹣t3=3t2（x﹣t），即y=3t2x﹣2t3，将点（2，0）的坐标代入此切线方程得0=3t2×2﹣2t3，即2t2（3﹣t）=0，解得t=0或t=3，（1）当t=0时，则切线方程为y=0，即切线为x轴，此时曲线y=ax2+7x﹣4与x轴相切，则；（2）当t=3时，切线的方程为y=27x﹣54，对函数y=ax2+7x﹣4求导得y'=2ax+7，令y'=27，则有2ax+7=27，解得，将代入y=ax2+7x﹣4得，即切点坐标为代入切线方程得，化简得，解得a=2，综上所述a=2或．故答案为：a=2或．三、解答题（共4题，共50分）21．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc（1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）利用余弦定理求出A的余弦函数值，然后求sinA的值；（2）利用正弦定理表示b+c，利用两角和的正弦函数化简，通过B的范围求解三角函数的最大值．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，结合余弦定理知，∴，∴．…（2）由a=2，结合正弦定理，得…=…=…=，…而，所以，所以当，即时，b+c的最大值为4．…22．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有6S n=1﹣2a n，记b n=log a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1），6S n﹣1=1﹣2a n﹣1（n＞1）①6S n=1﹣2a n②②﹣①得，所以{a n}是等比数列，，b n=2n+1．（2）设的前P项和为T n，由（1），则，故，两式相减得，所以．23．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）先利用F2是抛物线C2：y2=4x的焦点求出F2的坐标，再利用|MF2|=以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程；（Ⅱ）先利用，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由C2：y2=4x知F2（1，0）．设M（x1，y1），M在C2上，因为，所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，于是消去b2并整理得9a4﹣37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．故椭圆C1的方程为．（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率．设l的方程为．由消去y并化简得9x2﹣16mx+8m2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．因为，所以x1x2+y1y2=0．x1x2+y1y2=x1x2+6（x1﹣m）（x2﹣m）=7x1x2﹣6m（x1+x2）+6m2==．所以．此时△=（16m）2﹣4×9（8m2﹣4）＞0，故所求直线l的方程为，或．24．函数f（x）=x2+ax﹣alnx．（1）a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）a＞1时，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）a=1带入函数解析式，求f′（x），根据f′（x）的符号即可求出f（x）的单调区间；（2）求f′（x），判断f（x）取极值的情况，判断出函数f（x）有极小值．所以对于f（x）在[1，a]上的最大值情况，只要比较端点处的值即可．令g（a）=f（a）﹣f（1），通过求g′（a），判断出g（a）＞0，或＜0即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx=2x+1﹣=，解：（1）a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（2）a＞1时，f（x）=x2+ax﹣alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=，设g（x）=2x2+ax﹣a，则f′（x）=，设方程g（x）令2x2+ax﹣a=0，∵a＞1，∴方程的根为：x1=＜0（舍去），x2=；∵x1•x2=﹣＜0，∴x2＞0；∴x∈（0，x2）时，f′（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0；∴x2是f（x）的极小值点；∴f（x）在[1，a]上的最大值是f（1），f（a）中较大者；设g（a）=f（a）﹣f（1）=2a2﹣a﹣alna﹣1；g′（a）=4a﹣lna﹣3；设h（a）=g′（a），则：h′（a）=4﹣＞0；∴h（a）在（1，+∞）上为增函数；∴h（a）＞h（1）=4﹣3＞0，即g′（a）＞0；∴g（a）在（1，+∞）上为增函数；∴g（a）＞g（1）=0；∴f（a）＞f（1）；∴函数f（x）在[1，a]上的最大值为f（a）=2a2﹣alna．。
2015-2016年广东省深圳中学高二上学期期中数学试卷及解析
2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．12．（4分）下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b3．（4分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（4分）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A．B．C．D．6．（4分）已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列7．（4分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数。
2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高二上学期数学期中试卷带解析(理科)
2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．￢p：∀x∈R，sinx≥1 B．￢p：∀x∈R，sinx＞1C．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1 D．￢p：∃x0∈R，sinx0＞13．（5分）已知x可以在区间[﹣t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[﹣t，t]的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣47．（5分）P是以F1、F2为焦点的双曲线=1上一点，|PF1|=6，则|PF2|等于（）A．14 B．2 C．2或14 D．48．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生9．（5分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）如图是根据变量x，y的观测数据（x i，y i）（i=1，2，…10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题13．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．14．（5分）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品．15．（5分）假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号，，，．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．16．（5分）椭圆C1方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1，C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为．三．解答题17．（12分）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；（1）“a=0”是P的什么条件？（2）如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（10分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：（单位：万元）（1）请画出上表数据的散点图；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该社区一户收入为15万元家庭年支出为多少？19．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（，0），实轴长为2，经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．（1）求双曲线C的方程；（2）求直线l的方程．21．（12分）已知动点P到定点的距离与点P到定直线l：的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若，求|MN|的最小值．22．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM 与直线BN的交点在直线x=4上．2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．￢p：∀x∈R，sinx≥1 B．￢p：∀x∈R，sinx＞1C．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1 D．￢p：∃x0∈R，sinx0＞1【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1，∴￢p：∃x0∈R，sinx0＞1．故选：D．3．（5分）已知x可以在区间[﹣t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[﹣t，t]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为x∈[﹣t，t]，得到区间的长度为t﹣（﹣t）=，而[﹣t，4t]（t＞0）的区间总长度为4t﹣（﹣t）=5t．所以x∈[﹣t，t]的概率是P==．故选：B．4．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．5．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故选：B．6．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A．4 B．C．D．﹣4【解答】解：∵双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，虚轴长是实轴长的两倍，∴2=2×2，解得m=﹣．故选：B．7．（5分）P是以F1、F2为焦点的双曲线=1上一点，|PF1|=6，则|PF2|等于（）A．14 B．2 C．2或14 D．4【解答】解：由双曲线=1得a=4，b=3，c=5，∵|PF1|=6＜a+c=9，∴点P在双曲线的左支，则由双曲线的定义得|PF2|﹣|PF1|=2a，即|PF2|=|PF1|+2a=6+8=14，故选：A．8．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选：A．9．（5分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次执行循环体时，输出A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出A=3，S=3，满足继续循环的条件，则A=5，第三次执行循环体时，输出A=5，故选：C．10．（5分）如图是根据变量x，y的观测数据（x i，y i）（i=1，2，…10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：由题图③可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y 负相关，由题图④可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：D．11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F 2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．12．（5分）直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知：，解得：或，设A（4，0），B（0，3），由条件可知：若点P到直线AB的距离为d，那么△PAB面积S=•丨AB丨•d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，∴，整理得：18x2+6mx+m2﹣16×9=0，由△=0，即36m2﹣4×18（m2﹣16×9）=0，整理得：m2=288，解得：m=±12，∴切线方程l 1：3x+4y+12=0，切线方程l2：3x+4y﹣12=0，由直线l1与直线=1的距离d1==（+1）＞，同理直线l2与直线=1的距离d2==（﹣1）＞，∴这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个，故选：D．二．填空题13．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．14．（5分）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了5600件产品．【解答】解：由分层抽样知，样本的结构和总体的结构相同；因甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则甲、乙、丙三条生产线生产的产品组成一个等差数列，设乙生产线生产了x件产品，则甲、乙生产线共生产了2x件产品；即2x+x=16800，解得x=5600；故答案为：5600．15．（5分）假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号785，567，199，810．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【解答】解：第8行第7列的数7开始向右读，第一符合条件的是785，916要舍去，955，要舍去，第二个符合条件是567，第三个符合条件是199，第四个符合的是810故最先检测的4颗种子的编号785，567，199，810．故答案为：785，567，199，810．16．（5分）椭圆C1方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1，C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为y=．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，故答案为：y=三．解答题17．（12分）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；（1）“a=0”是P的什么条件？（2）如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，ax2+ax+1＞0等价为1＞0恒成立，若a≠0，则ax2+ax+1＞0恒成立等价为判别式△=a2﹣4a＜0，且a＞0，则0＜a＜4，综上，P：0≤a＜4，即“a=0”是P的充分不必要条件；（答充分条件也对）…（2分）（2）对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；…（5分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；…（7分）如果P正确，且Q不正确，有；…（9分）如果Q正确，且P不正确，有．…（11分）所以实数a的取值范围为．…（12分）18．（10分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：（单位：万元）（1）请画出上表数据的散点图；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该社区一户收入为15万元家庭年支出为多少？【解答】解：（1）作出散点图如图所示：（2），=8．∴=8﹣0.76×10=0.4．所以回归直线方程为=0.76x+0.4．（3）当x=15时，=0.76×15+0.4=11.8万元．答：可预测该社区一户年收入为15万元家庭年支出为11.8万元．19．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人；（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．所以所求概率为P（M）=．20．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（，0），实轴长为2，经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．（1）求双曲线C的方程；（2）求直线l的方程．【解答】解：（1）由已知：2a=2，c=．∴a=1，b2=c2﹣a2=2…（2分）所以双曲线C的方程为x2﹣=1…（4分）（2）设点A（x 1，y1），B（x2，y2），并设经过点M的直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx+1﹣2k…（5分）把y=kx+1﹣2k代入双曲线C的方程x2﹣=1，得（2﹣k2）x2﹣2k（1﹣2k）x﹣（1﹣2k）2﹣2=0，（2﹣k2≠0）①…（6分）所以x M==…（7分）解得k=4．…（8分）当k=4时，方程①成为14x2﹣56x+51=0根的判别式△=562﹣56×51=280＞0，方程①有实数解．…（10分）所以，直线l的方程为y=4x﹣7…（12分）21．（12分）已知动点P到定点的距离与点P到定直线l：的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若，求|MN|的最小值．【解答】解：（1）设点P（x，y），依题意，有．整理，得．所以动点P的轨迹C的方程为．（2）∵点E与点F关于原点O对称，∴点E的坐标为．∵M、N是直线l上的两个点，∴可设，（不妨设y 1＞y2）．∵，∴．即6+y1y2=0．即．由于y1＞y2，则y1＞0，y2＜0．∴．当且仅当，时，等号成立．故|MN|的最小值为．22．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM 与直线BN的交点在直线x=4上．【解答】解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（a＞b＞0），则a=2，又点在椭圆E上，得．解得b2=3．∴椭圆E的方程为．当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（a＞b＞0），则b=2，又点在椭圆E上，得．解得a2=3，这与a＞b矛盾．综上可知，椭圆E的方程为．…（4分）解法二：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），将A（﹣2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得，．∴椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x﹣1）代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，…（6分）设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系，得，．…（8分）直线AM的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为．…（10分）下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴=．因此结论成立．综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．…（14分）证法二：将直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，…（6分）设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系，得，．…（8分）直线AM的方程为：，即．直线BN的方程为：，即．…（10分）由直线AM与直线BN的方程消去y，得=．∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．…（14分）证法三：将直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0，…（6分）设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系，得，．…（8分）消去k2得，2x 1x2=5（x1+x2）﹣8．…（10分）直线AM的方程为：，即．直线BN的方程为：，即．…（12分）由直线AM与直线BN的方程消去y得，．∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．…（14分）。
广东省广州市实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试卷
广东实验中学2015—2016学年(上)高一级模块考试 数学 本试卷共4页．满分为150分考试用时120分钟．．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分 (共100分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ．设，则等于（）A． B． C． D． 2．三个数之间的大小关系是（） A．. B． C．D． 3．设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（）A．B． C．D． 4．已知函数为奇函数，且当时，，则等于（）A．B．0 C．1 D．2 ．函数的零点所在的区间可能是（）A．B．C．D． ．若全集，则集合的真子集共有（）个A．8个B．7个C．4个D．3个 ．函数的图象的大致形状是（） 8．下列函数中既是偶函数又是（）A．B．C．D． ．是定义在上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．若是R上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，－2），则当不等式的解集为（－1，2）时，的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．2二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共分． 11．已知，则= ． 12．函数（其中）的图象一定过定点P，则P点的坐标是． 1．若函数的定义域为（1，2]，则函数的定义域为． 1．函数＝的值域为 ．三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） 化简或求值：（1）（2）16．（本题满分10分）已知，，若，求的取值范围． 17．（本小题满分12分） （1）判断函数在上的单调性并证明你的结论； （2）猜想函数在定义域内的单调性（只需写出结论，不用证明）； （3）若不等式在上恒成立，利用题（2）的结论，求实数m的取值范围． 第部分 (共50分) 四、题：本大题共2小题，每小题分，共1分． 18．函数的值域为_________． 19．设偶函数在(0，＋∞)上单调递增，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为____________.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分13分） 已知函数对任意实数x、y都有=·，且，，当时，0≤＜1． （1）判断的奇偶性； （2）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明； （3）若且≤，求的取值范围． 21．（本小题满分13分） 已知二次函数 （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．，称为区间长度） 22．（本小题满分14分） 已知函数，当时，恒有. （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． D． －1 1 O y x C． －1 1 O y x A． －1 1 O y x B． －1 1 O y x。
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培正中学2015学年上学期高二理科数学期中考试
（满分150分）考试时间:2015年11月2日
姓名_________学号_________班级________成绩__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1、已知集合{}
230x x x M =->，{}1,2,3,4,5N =，则M N = （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}3,4,5 C ．{}1,2 D ．{}4,5
2、已知向量()2,1a =- ，(),3b λ=- ，若//a b ，则实数λ的值为（ ）
A ．32-
B ．32
C ．6
D ．6-
4、已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若12a =-，612S =，则6a 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
5、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n 人进行调查，得到如
右图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，
则n 的值为（ ）
A ．180
B ．450
C ．360
D ．270 第5题图
6、设a ∈R ，则“32a =-
”是“直线260ax y ++=与直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7、圆C :224850x y x y +-+-=被抛物线24y x =的
准线截得的弦长为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
8、执行下面的程序框图，则输出的m 的值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．7
D ．11 第8题图
④若函数22(45)4(1)3y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是
[1,19)．
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．③④ 10、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，
则该几何体的体积不可能是（ ）
A ．1
B ．6
π C ．23 D ．13 第10题图
11、已知双曲线C :22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 是双曲线右支上一点，且12F F M ⊥M ，延长2F M 交双曲线C 于点P ，若12F F M
=P ，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A
．2 C
D 12、已知函数()y f x =是R 上的减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)A 对称．设动点(,)M x y ，若实数,x y 满足不等式22(824)(6)0f x y f y x -++-≥ 恒成立，则OA OM ⋅ 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ． [1,1]- C ．[2,4] D ．[3,5]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知奇函数()f x 满足0x >时，()cos2f x x =，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
． 14、若实数x ，y 满足约束条件22220y x x y x y ≤-⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为 ．
15、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4
的概率是 ． 16、已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PA 与底面垂直，且PA=AB ，若该四棱锥，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（满分1
0分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知
223cos 3cos cosC 3sin sin C sin A +B =B -A
．
()1求A ； ()2若5b =
，C S ∆AB =a 和sin B 的值．
18、（满分12分）某驾校为了保证学员科目二考试的通过率，要求学员在参加正式考试（下面简称正考）之前必须参加预备考试（下面简称预考），且在预考过程中评分标准得以细化，预考成绩合格者才能参加正考．现将10名学员的预考成绩绘制成茎叶图如下图所示：
规定预考成绩85分以上为合格，不低于90分为优秀．若上述数据的中位数为85.5，平均数为83． ()1求m ，n 的值，指出该组数据的众数，并根据平均数以及参加正考的成绩标准对该驾校学员的学习情况作简单评价；
()2若在上述可以参加正考的学员中随机抽取2人，求其中恰有1人成绩优秀的概率．
19、（满分12分）正三角形ABC 的边长为6，CD 是AB 边上的高，
E 、
F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））．现将△ABC 沿CD 翻折，使得面ADC ⊥面BDC （如图（2））．在图形（2）中： （1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
（2）若线段BC 上一点P 满足BC=3BP ，证明：AP ⊥DE ．
20、（满分12分）设各项均为正数的等比数
列{}n a 中，
133510,40a a a a +=+=,2log n n b a =
（1）求数列{}n b 的通项公式；
21、（满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭． ()1求椭圆C 的方程；
()2已知直线1l 过椭圆C 的右焦点2F 交C 于M ，N 两点，点Q 为直线2:l 2x =上的点，且21F Q l ⊥，记直线MN 与直线Q O （O 为原点）的交点为K ，证明：MK =NK ．
22.（满分12分）已知函数2()2||f x x x a =--.
（1，求函数()y f x =的单调递增区间； （2）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式)(2)1(x f x f ≤-成立，求实数a 的取值范围.。