矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)
拉姆达矩阵的初等变换
拉姆达矩阵的初等变换拉姆达矩阵的初等变换1. 引言在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
而在矩阵的运算中，初等变换是一种基础而实用的方法。
本文将探讨拉姆达矩阵的初等变换，讨论其定义、性质以及在线性代数中的应用。
2. 拉姆达矩阵的定义拉姆达矩阵，即对角矩阵，是一个具有特殊结构的矩阵。
定义一个n阶的拉姆达矩阵D，其中对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，其它位置上的元素均为0。
可以表示为：D =[[d1, 0, 0, ..., 0],[0, d2, 0, ..., 0],[0, 0, d3, ..., 0],...,[0, 0, 0, ..., dn]]3. 拉姆达矩阵的性质拉姆达矩阵具有以下性质：3.1 对角线上的元素是矩阵的特征值。
由拉姆达矩阵的定义可知，拉姆达矩阵的对角线上的元素即为矩阵的特征值。
这是由于矩阵的特征值定义为满足方程Ax=λx的数λ，其中A是系数矩阵，x为非零向量。
对拉姆达矩阵而言，特征向量x即为对应的单位向量，特征值即为对角线上的元素。
3.2 初等变换不改变拉姆达矩阵的对角线元素。
初等变换是一种矩阵的基本操作，包括行交换、行伸缩和行组合三种变换。
对于拉姆达矩阵，这些变换不会改变对角线上的元素，因为行交换只改变行的顺序，行伸缩只改变行的比例关系，行组合只改变行之间的线性组合关系，不会改变对角线上的元素。
4. 拉姆达矩阵初等变换的应用4.1 解线性方程组拉姆达矩阵的初等变换在解线性方程组中具有重要的应用。
通过初等变换，可以将线性方程组化为简化形式，从而更容易求解。
可以通过行交换将方程组的主元位置移至对角线上，通过行伸缩将对角线上的元素变为1，从而简化计算过程。
4.2 矩阵的相似性变换拉姆达矩阵的初等变换还可用于矩阵的相似性变换。
矩阵相似性变换是线性代数中的一个重要概念，可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
通过初等变换，可以将矩阵化为对角矩阵的形式，从而更容易求解特征值和特征向量。
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
矩阵初等行变换应用
因为对下列等式( D1,D2 , ,Dn ) P1P2 Pn E ， (O1D1, O2D2 , , OnDn )
P1P2 Pn A ，其中（ Pi , i 1, 2,...n 是一系列初等矩阵）两边分别取
转置后可得： PnT " P2T P1T (D1 ,D 2 ,",D n )T E ,
PnT " P2T P1T (O1D1 , O2D 2 ,", OnD n )T AT 所以我们可得到下面推论：
推论1[3]:设n阶方阵A对应的特征值为 O1, O2 ,", On ，对应的特征向
量依次为 D1,D2 , ,Dn 设B=( D1,D2 , ,Dn )， C (O1D1, O2D2 , , OnDn ) ,将
于这些错误，我们对矩阵的初等行变换进行了改进，得出了一种新方 法——主元素法。
若要把矩阵中某元素所在行的其余元素全化为零，变换后的矩阵 里可直接把该元素所在的行的其余元素位置填上零。而对该元素所在 列和所在行以外的数采用矩形对角线计算法进行运算，该元素叫做主 元素，一般用[ ]把它括起来。
矩阵的广义初等变换及应用
设 A, B, C , D ∈ M n ( F ) ,证明
A B C D B A D C C D A B D C B A
M =
=
1 8 2 0 −2 14 2 − 2 11 = 1 ⋅ 14 − 20 11 8 − ⋅ [0 − 20 2 2] −2 = 14 −5 = 118 − 24
−
1 B, 2
A 0
0 A B → B 0 B
→
A 0
A + B B
万方数据
芜湖职业技术学院学报 2005 年第 7 卷第 2 期
57
A 0 A A + B ∴ r ≥ r(A+B) 0 B =r 0 B
对此分块矩阵
则
A B C D
实施一次广义初等变换后得到的矩阵称为广义初等 矩阵 广义初等矩阵有下面三种形式 1
0 E n Em 0
B A 广义初等变换 → −1 0 D − CA B
由行列式的性质知在此变换过程中矩阵 M 作成的行 列式的值不变,即
→
−E E
− ( A − B) ( A − B) 1 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] [( A + B ) −1 + ( A − B ) −1 ] 2 2
−1 −1
r(A)+r(B) ≤ n 证明 构造分块矩阵
E B E 0 E → → → B E A − AB 0 0 0 0 0
B −1 = 1 B B = 1 A − B −1 4 B − B 4
初等行变换的几何意义
初等行变换的几何意义初等行变换是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
初等行变换包括三种操作：交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的行向量，从而改变矩阵的性质和解的形式。
初等行变换的几何意义是什么呢？首先，我们来看交换两行的操作。
交换两行可以改变矩阵的行向量的顺序，从而改变矩阵的排列方式。
在几何上，交换两行相当于改变了矩阵的行向量的顺序，即改变了矩阵的行的排列顺序。
这样做可以使得矩阵的行向量更加有序，更加符合我们的需求。
例如，在求解线性方程组时，我们可以通过交换方程的顺序，将方程组变为更加简洁的形式，从而更容易求解。
其次，我们来看某一行乘以一个非零常数的操作。
这个操作可以改变矩阵的行向量的长度和方向。
在几何上，某一行乘以一个非零常数相当于将矩阵的行向量进行了伸缩变换。
这样做可以改变矩阵的行向量的长度和方向，从而改变矩阵的形状和性质。
例如，在求解线性方程组时，我们可以通过将方程的系数进行伸缩变换，使得方程组的形式更加简洁，从而更容易求解。
最后，我们来看某一行乘以一个非零常数加到另一行上的操作。
这个操作可以改变矩阵的行向量的位置和方向。
在几何上，某一行乘以一个非零常数加到另一行上相当于将矩阵的行向量进行了平移变换。
这样做可以改变矩阵的行向量的位置和方向，从而改变矩阵的形状和性质。
例如，在求解线性方程组时，我们可以通过将方程的倍数加到另一方程上，从而改变方程组的形式，使得方程组更容易求解。
综上所述，初等行变换的几何意义是通过改变矩阵的行向量的顺序、长度、位置和方向，从而改变矩阵的形状和性质。
初等行变换在线性代数中起着至关重要的作用，它可以简化矩阵的形式，使得矩阵更容易求解。
初等行变换的几何意义帮助我们理解矩阵运算的本质，从而更好地应用线性代数知识解决实际问题。
大学线性代数课件第四章第四节矩阵的秩
答案2
3
添加标题
答案3
4
添加标题
矩阵$A$的秩为3。
5
添加标题
矩阵$B$的秩为3。
6
添加标题
矩阵$C$的秩为3。
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第矩 阵 秩
三的 应 用
章
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组无解；如 果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多 解。
VS
向量空间的维数
矩阵的秩还可以用来确定向量空间的维 数。一个向量空间的维数等于该空间的 一组基所含向量的个数，而这个个数与 构成这组基的矩阵的秩相等。
在矩阵分解中的应用
矩阵的LU分解
矩阵的秩可以用于LU分解中。如果一个矩阵可以进行LU分解，那么这个矩阵一定是一个 满秩矩阵，即其秩等于其阶数。
矩阵的QR分解
第 量 点
言击
大
四 简 此
意处
学
节 赅 添
的加
线
矩 阐 正
述文
性
观， 点文 。字
件
的 提
第
炼 ，
四
请 尽
章
壹
目
貳
录
目录
叁
引 言
肆
矩 阵 秩 的 计 算 方 法
伍
矩 阵 秩 的 应 用
陆
矩 阵 秩 的 定 理 和 推 论
第引 言
一 章
矩阵秩的定 义
矩阵的秩也可以通过行或列的初等变换得到，即通过行或 列的线性组合来消除其他行或列中的元素，得到的行或列 中非零元素的个数即为矩阵的秩。
【线性代数】 矩阵的初等变换
a1n xn b1 a2 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 例习 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上 禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下 禾一秉几何？ 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上 而下，从右到左)： 上禾秉数 试列出此问题的方程 中禾秉数 组，并用高斯消元法求出 下禾秉数 斗数 其解。
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线 性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？ 那和什么有关呢？ 没有 和未知量的系数以及右端的常数项有关！ 问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么 在运算？什么在变化？ 未知量的系数以及右端的常数项！ 基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了 由未知量系数以及右端常数项组成的数表：
式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以
例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得
由以上3例思考 不一定！ 1. 线性方程组都有解吗？若有解，解一定唯一吗 ？ 2. 如何判断解的各种情况？
唯 一 解
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课
二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质 设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41
A*
A12
A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42
A43 A44
R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0
0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且
矩阵的初等变换线性代数
2
r1 r3 3r1 r4
10
6
1
0
0
0
1 3 4 2
2 3 3 1
1 3 2 4
4
6
6
6
返回
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
3x2 3x3 3x4 6 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
1(2)
3
0 0
0 0
1 0
0 1
4 3
21
0 0
0 0
1 0 4 2 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 x2 7x5
x3
2
4x5
， x2, x5任意（自由未知量）
x4
1
3x5
为方程组的全部解.
返回
增广矩阵均可经 行 初等变换化为行（简化）阶梯形。
3. 该阶梯形与方程组解的关系：
x2 x3 x4 2 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
2x2 x3 4x4 6 (4)
2x2 x3 4x4 6 (4)
1 1 2 1
0
3
3
3
0 4 3 2
0
2
1
4
4
6
6
6
13r2
1
0
0
1 1 4
2 1 3
1 1 2
0 2 1 4
4
2
6
6
1 1 2 0
0
1
1
0
0 0 1 0
0
0
0
1
3
1 1 0 0
1
r3 r2 2r3 r1
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矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）
李志慧
（陕西师范大学数学与信息科学学院 副教授 博士 西安 710062）
5、求标准正交基
通常的Schmidt方法，使我们可以从欧氏空间nR的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交
基．下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间nR的任意一个基求标准正交基的方法[3]．
设),,,(21niiiiaaaa是nR的任意一个基，ni,,2,1．以'ia为列向量构成矩阵)(jiaA，则AA'是一个n阶正定
矩阵，必与单位矩阵E合同，即存在n阶可逆矩阵Q，使得
EQAAQ)'('
〈5〉
即
EAQAQ))(''(
〈6〉
〈5〉式说明，对矩阵AA'施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积Q）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘
积为'Q）可变成单位矩阵．〈6〉式表明，AQ的列向量组是nR的一个标准正交基．AQ可以通过对矩阵A施行与对矩阵
AA'
所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求Q再与A相乘得到．
于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法：
][']'[AQEAAAAAA
施行列初等变换对
初等变换列行施行对
AQ
的列向量组即为所求．
例7 把)0,0,1,1(1a，)0,1,0,1(2a，)1,0,0,1(3a，)1,1,1,1(4a变成单位正交的向量组．
解：令1100101010011111A，则
1111
1001
0101
0011
'A
，
40000211
0121
0112
'AA
，
110010101212121121212140000232100212300001121211001010100111114000021101210112)'(
行除第
列除第
A
AA
11001010
0100
2
1
111
2
1
4000
021
2
1
012
2
1
021211
)21(132112)21(132112行第行第
列第行第
列第列第
列第列第
1100131620
1
3
16121
1
3
16121
4000
03400
0010
0001
1123001121620
1
121612
1
1
121612
1
4000
0100
0010
0001
211230021121620
2
11216121
2
11216121
1000
0100
0010
0001
所以所求单位正交的向量组为
)0,0,21,21(1
，
)0,62,61,61(2
，
)123,121,121,121(3
，
)21,21,21,21(4
，
需指出的是，)'(''AQAQ的行向量组，正是AQ的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式
)''('')''(AQEAAAAAA
施行行初等变换对
初等变换列行施行对
''AQ
的行向量即为所求．
如果需要求出Q，则由EQQ可知，对单位短阵E施行同样的列初等变换得到Q，即
][']'[QEEAAEAA
施行列初等变换对
初等变换列行施行对
由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间nR的一组标准正交基，比较简单而且操作方便．
四、小结
本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用．特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵
的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子．可以看出，利用矩阵
初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点．值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不
同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样．如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而
求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用．实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到
解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法．当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等
变换来解决有关问题的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题．
参考文献
1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月．
2．张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，1992．
3．Werner Greub， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.