均值方差模型下aR与CVaR限制比较

均值方差模型下aR与CVaR限制比较

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均值-方差模型下VaR和CVaR限制作用的投资组合选择的对比研究

Gordon J.Alexander Alexandre M.Baptista

1引言 随着VaR成为最流行的风险度量工具，近些年风险控制吸引了很多金融从业者和管理者的注意力。举例来说，Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander和Baptista,Hull,Chance指出VaR已经被公司财团，交易人，基金经理，金融机构和管理广泛应用。与之相反，很多研究者言辞激烈的批评了作为风险控制工具的VaR。举例来说，Artzner et al指出因为不满足次可加性，VaR不是一个连续的风险度量。即，两个债券的组合的VaR可能会大于各个债券VaR的和。Basak 和Shapiro指出，如果在一个连续时间序列的开始部分选择使用VaR, 与不使用VaR相比较，这个机构将会承担更大的风险。因为上述的原因，这些研究者提出使用CVaR而不是VaR。

这篇文章中我们主要讨论的问题有以下几个：1、使用VaR作为风险控制工具将会有什么样的结果？2、这些结果与使用CVaR有什么不同？3、作为风险控制工具，有哪些情况下CVaR可以支配VaR？

为了找寻这些答案，我们查看一个周期的均值-方差模型。在一些特定的情况下，相比较不使用VaR，VaR的使用会使slightly risk-averse 选择带有更小标准差的投资组合。可是，也存在一些情形，VaR会使得highly risk-averse 选择有较大标准差的投资组合。因为当CVaR的边界和VaR边界重叠时，CVaR限制比VaR限制要严格这些组合选择结果是真实的。因此，控制slightly risk-averse agent, CVaR限制比VaR更加有效，但是却对highly risk-averse有着更加perverse的作用。可是当组合中存在无风险债券或者CVaR的边界大于VaR边界的时候，这些perverse结果会被削弱甚至消除。moreover,在后一种情形下，如果CVaR边界被设定在一定水平下使得CVaR限制对highly risk-averse有同VaR 限制一样的perverse 作用，那么相比较与VaR，CVaR限制会导致slightly risk-averse选择带有更小标准差的组合。如果CVaR边界被设定在一个更高的水平使得CVaR限制像VaR限制一样降低了slightly risk-averse的最优投资组合选择，那么相比较与VaR，CVaR限制将会允许highly risk-averse选择带有更小标准差的投资组合。因此，当CVaR标准被设定在这两个水平之间时，CVaR限制dominates VaR限制作为风险控制的工具。

这篇文章是如下组织的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR边界和有效前沿的特征。第三部分是使用VaR限制和CVaR限制下的投资组合选择。第四部分是分析性的展现了两种限制下的投资组合选择标准差的差异和不同。第五部分考虑了存在无风险债券的情况。第六

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部分是结论。所有的证明在附录中给出了。 2模型

假设不存在无风险债券，有2n的债券。R是期望收益率的向量，是回报率的矩阵的协方差矩阵。1X{xR:1}nniiix为已经定义明确的投资组合。xR最为x的任意回报率。[]xER，[]xR分别为期望回报率和期望方差 。xF•为xR的累积分布函数 假设一个投资期限和置信水平(1/2,1)，那么100%概率下VaR为 1[,](1)xVRF

同理，那么100%概率下CVaR为 [,]{|[,]}xxxxLRERRVR 假设投资组合中的债券回报率满足独立的正态分布。()•为标准累积正态分布函数。()•标准正态密度函数。

假设1(1)z，有()1zxdx 从而[,][][]xxxVRzRER

同理[,][][]xxxLRkRER，其中()1zxxdxk，kz 2.1均值-VaR 均值-CVaR边界 当VaR，CVaR和方差作为风险度量标准时，风险-回报边界如下定义： 对于任意的---E,XE{xX:[]=E} xRER 定义1：当且仅当对于某些_ER，_x满足_()min[,]RxxXEVR，在100%置信水平下，投资组合_xX属于均值-VaR边界 定义2：当且仅当对于某些_ER，_x满足_()min[,]RxxXELR，在100%置信水平下，投资组合_xX属于均值-CVaR边界

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定义3：当且仅当对于某些_ER，_x满足_()min[,]RxxXER，在100%置信水平下，投资组合_xX属于均值-方差边界 在方差-VaR边界的投资组合并不依赖，因此我们可以得出以下结论： 因为0z，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-VaR边界。 因为0k，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-CVaR边界。

又Merton在1972年证明当且仅当x满足22[]([]/)11//xxRERACCDC，投资组合x属于均值-方差模型边界。

其中1TAI，1TB，1TCII，2DBCA，nIR为n维单位向量。

那么满足22[]([]/)11//xxRERACCDC的投资组合同时属于均值-VaR边界和均值-CVaR边界。

2,.2均值-VaR，均值-CVaR的有效前沿 定义4： 当且仅当没有xX使得[][]xxERER [,][,]xxVRVR（至少其中一个不等式是严格的），在100%的置信水平下，投资组合xX属于均值-VaR有效前沿。

定义5： 当且仅当没有xX使得[][]xxERER [,][,]xxLRLR（至少其中一个不等式是严格的），在100%的置信水平下，投资组合xX属于均值-CVaR有效前沿。

定义6： 当且仅当没有xX使得[][]xxERER [][]xxRR（至少其中一个不等式是严格的），在100%的置信水平下，投资组合xX属于均值-方差有效前沿。

2.2.1最小VaR 投资组合和最小CVaR组合 如果在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿

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（证明：假设x。是最小VaR的投资组合点，但是不在均值-方差有效前沿。由定义6，存在投资组合点y。，使得y[][]xERER。。 y[][]xRR。。，其中至少一个不等式是严格的。从而有y[,][,]xVRVR。。，与假设矛盾。如果在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿。）

同理，如果在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿。

min()XVx： 在100%置信水平下最小VaR的投资组合

minXx ：在100%置信水平下方差最小的投资组合

g,h是n维向量 11(1/)[()()]gDBIA



11(1/)[()(I)]hDCA



命题1

当且仅当z/DC，在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在。 如果z/DC，那么 22min()minmin/([][])/VxxDC

xghERRzDC



min()minmin2[,](/)[]-[]VxxxVRzDCRER

在选择置信水平时要慎重，因为这关系到全局最小VaR是否有解。如果z/DC，那么最小VaR不存在。

min()Lx表示100%置信水平下最小CVaR的投资组合。

当且仅当/kDC，在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在。 如果/kDC，那么 22min()minmin/([][])/LxxDC

xghERRkDC



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min()minmin2[,](/)[]-[]LxxxLRkDCRER 因为zk，所以，当最小VaR投资组合点存在时，最小CVaR投资组合点也存在。但是也有可能只有最小CVaR投资组合点存在。

corollary1 在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在时，min()min()[][]VLxxERER。

在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在时，min()min[][]LxxERER。 2.2.2 均值-VaR 均值-CVaR的特点 命题2 （1）

如果z/DC，那么在100%置信水平下不存在均值-VaR有效的投资组合； 如果z/DC，当且仅当投资组合x•属于均值-VaR边界并且min()x[R][R]vxEE•

时，投资组合x•在100%置信水平下是均值-VaR有效的 （2）

如果k/DC，那么在100%置信水平下不存在均值-CVaR有效的投资组合； 如果k/DC，当且仅当投资组合x•属于均值-CVaR边界并且min()x[R][R]LxEE•

时，投资组合x•在100%置信水平下是均值-CVaR有效的 corollary2 最小方差的投资组合在任何置信水平下都不是均值-VaR有效和均值-CVaR有效 corollary3

如果最小VaR的投资组合在100%置信水平下存在，那么它在100%置信水平下也是均值-CVaR有效的 corollary4

如果k/DC，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集； 如果z/kDC，那么均值-VaR有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿是均值-方差有效前沿的一个非空真子集；