2018届上海市高考压轴卷理科数学试题及答案精品推荐

【名师推荐】2018年上海市高考数学试卷

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，﹣b n=﹣＞0，可得b n+1则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，+1b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。

(完整word版)2018年高考理科数学试题及答案-全国卷3,推荐文档

2018 年普通高等学校招生全国统一试( 全国卷3）理科数学2018 年普通高等学校招生全国统一试( 全国卷3）理科数学一、选题本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A x | x 1≥0 ，B 0，1，2 ，则 A BA．0 B． 1 C．1，2 D．0，1，22． 1 i 2 iA． 3 i B． 3 i C． 3 i D． 3 i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的可以是4．若sin 13，则cos 2A．89B．79C．79D．895． 2 2xx 5的展开式中4x 的系数为A．10 B．20 C．40 D．802 26．直x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交A，B两点，点P 在圆x y 上，则△ABP 面积的取2 2是A．2，6 B．4，8 C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 27．函数 4 2 2y x x 的图像大为18．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4 ，P X 4 P X 6 ，则pA．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．△ABC 的内角A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2 2 2a b c4，则CA．π2B．π3C．π4D．π610．设A，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 311．设F1 ，F2 是双曲线2 2x yC： 2 2 1（a 0，b 0 ）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F2 作C 的一条渐近线的a b垂线，垂足为P．若PF1 6 OP ，则C 的离心率为A． 5 B．2 C． 3 D．2 12．设a log 0.2 0.3 ，b log2 0.3，则A．a b ab 0 B．ab a b 0C．a b 0 ab D．ab 0 a b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。

高考-2018年上海市高考数学试卷

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，﹣b n=﹣＞0，可得b n+1则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，+1b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。

(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。

若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A）（B）（C）（D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2018年数学真题及解析_2018年上海市高考数学试卷

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4.00分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4.00分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5.00分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，a n+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q （q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5.00分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5.00分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18.00分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。

【高三数学试题精选】【真题】2018年上海市高考数学试题(附答案和解释)

【真题】2018年上海市高考数学试题（附答案和解释）
c bc交叉相乘再相减。

【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题】5×7=14。

【分析】等差数列的通项式，等差数列前n项和式Sn= ，求出a1，d。

【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题】2时， =x-2为偶函数，错误
a=-1时， =x-1为奇函数，在上递减，正确
a=- 时， = 非奇非偶函数，错误
a= 时， = 非奇非偶函数，错误
a=1时， =x在上递增，错误
a=2时， =x2在上递增，错误
a=3时， =x3在上递增，错误
【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限 a 0时，，a 0时，，若a 0为偶数，则为偶，若a为奇数，为奇。

【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题】3
【解析】【解答】设E(0，1)，F(0，2)，又A（-1，0），B（2，0），所以 =(1，1)， =(-2，2)。

2018年高考试题——数学(上海卷)(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷时间120分钟，满分150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214xy的渐近线方程为_________.3.在7(1)x 的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示）4.设常数aR ，函数2()log ()f x x a 。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a _________.5.已知复数z 满足(1)17i z i （i 是虚数单位），则z _________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a ，6714a a ，则7S _________.7.已知12,1,,1,2,32。

若幂函数()f x x 为奇函数，且在(0,)上递减，则_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF ，则AE BF 的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n na q（*nN ），前n 项和为n S 。

若11lim2n nnS a ，则q_________.11.已知常数0a ，函数2()2xxf x ax的图像经过点6,5P p 、1,5Q q 。

若236p qpq ，则a _________. 12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111xy ，22221x y ，121212x x y y ，则11221122x y x y 的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153xy上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A ）22（B ）23（C ）25（D ）4214.已知aR ，则“1a”是“11a”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2018年上海市普通高等学校招生统一考试数学真题试题及参考答案(上海卷)

【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
15.（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得答案为D。

故答案为：D。

【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。

【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）。

2018年高考数学全国卷压轴题解析

2018年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第11题）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，=++++)50()3()2()1(f f f f （）A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】本题是高考中比较典型的题型，涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.注意到题设条件)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+可知，函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，从而)(x f 的周期为4.再利用周期性求解即可.【解析】解法1：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，故()()f x f x -=-且(0)0f =.又(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+.从而(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=.于是函数)(x f 的周期为4，且(4)(2)(0)0f f f =-==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．解法2：因为)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+，所以函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，且函数)(x f 的周期为4.不妨设()sin2f x A x π=，由(1)2f =得2A =，()2sin 2f x x π=.于是3(1)(2)(3)(4)2sin2sin 2sin 2sin 2022f f f f ππππ+++=+++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++.函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题，因此要熟悉函数图象的对称性的有关性质，详见本书第7章例2.例2（理科第12题）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点，A 是椭圆左顶点，点P 在过点A 且斜率为63的直线上，21F PF ∆为等腰三角形， 12021=∠P F F ，则C 的离心率为（）A ．32B ．21C ．31D ．41【分析】求椭圆C 的离心率的关键是建立,,a b c 间的等量关系，本题题设条件很多，路径宽广.【解析】因为21F PF ∆为等腰三角形，︒=∠12021P F F ，所以c F F PF 2212==.设(,)P x y ，则2cos602x c c c =+= ，2sin 60y c == ，所以(2)P c ，又(,0)A a -，6323=+=a c c k AP ，所以c a 4=，41=e ，故选D ．【评注】本题可推广到一般：已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为k 的直线上,12PF F ∆满足212PF F F =且12F F P α∠=,则C 的离心率2sin (2cos 1)k e k αα=+-.例3（文科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与底面所成的角为 30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，圆锥的高h 和底面半径r ，再代入圆锥的体积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h .因为母线SB SA ,互相垂直，所以SAB ∆的面积为：8212=l ，所以4=l .又因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以232==h r ，所以该圆锥的体积为2183V r h ππ==.【评注】求圆锥的体积即求圆锥的底面半径和高，要注意圆锥的轴截面中母线长，高和底面半径构成直角三角形.例4（理科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为87，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB ∆的面积为155，则该圆锥的侧面积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，再代入圆锥的侧面积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .因为母线SA ，SB 所成角的余弦值7cos 8ASB ∠=，所以sin 8ASB ∠=.因为SAB ∆的面积为21sin 2l ASB ∠=280l =.因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以22r l =.圆锥的侧面积为22S rl l π===.【评注】例3和例4为姊妹题，可推广到一般：已知圆锥顶点为P ，母线,PA PB 所成角的角为(0)θθπ<<，PA 与圆锥底面所成角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.若PAB ∆的面积为S ，则该圆锥的侧面积为2cos =sin S S πϕθ侧，体积为3V π=.例5（文科第21题）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f .（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：)(x f 只有一个零点.【分析】第（Ⅰ）问利用()f x '正负，写出)(x f 的单调区间.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理来判断.【解析】（Ⅰ）当3a =时，321()3(1)3f x x x x =-++，36)(2--='x x x f .令()0f x '=，解得3x =-或3x =+.当(,3(3)x ∈-∞-++∞ 时，()0f x '>；当(3x ∈-+时，()0f x '<.故()f x 单调递增区间为)323,(--∞，),323(+∞+；)(x f 的单调递减区间为)323,323(+-．（Ⅱ）证法1：由于210x x ++>，所以()0f x =等价于330x a -=++.设32()31x g x a x x =-++，则2222(23)()0x x x g x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点.又22111(31)626()0f a a a a -=-+-=---<,1(31)0f a +=>.故()f x 有一个零点.综上，()f x 只有一个零点.证法2：由于210x x ++>，所以()f x 只有一个零点等价于32()3(1)x g x a x x =-++只有一个零点.因为2222(23)()03(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点.又1(31)03g a a a --<---<，1(91)09g a a a +>+->.故()g x 只有一个零点.从而()f x 只有一个零点.【评注】解决函数零点个数问题一般要用函数零点存在定理，而应用函数零点存在定理的关键就是准确迅速找到函数零点所在的区间，这也是高考的重点和难点．观察函数)1(31)(23++-=x x a x x f 的结构特征，注意到321(1)(1)x x x x -=-++，可得2(1)(31)1()33x x x a f x ++--=+，1(31)03f a +=>.要使()0f x <，只需2(1)(31)1x x x a ++--<-，注意到221331(x x x ++=++≥，所以只需431x a --<-，即13x a <-，为了便于计算取31x a =-，得22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<，这就是第（Ⅱ）问证法1寻找函数零点所在的区间的思考过程.注意到当1x >时，22013x x x <++<，22113x x x >++，()9x g x a >-，要使()0g x >，只需9x a >，取91x a =+即可；当1x <-时，2201x x x <++<，2211x x x >++，()3x g x a <-，要使()0g x <，只需3x a <，取31x a =--即可，这就是第（Ⅱ）问证法2寻找函数零点所在的区间的思考过程.例6（理科第21题）已知函数2()x f x e ax =-.（Ⅰ）若1=a ，证明：当0≥x 时，1)(≥x f ；（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞只有一个零点，求a .【分析】第（Ⅰ）问适当变形构造函数，利用函数最值证明，或直接二次求导，利用函数最值证明.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，可利用函数的单调性和零点存在定理来判断进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(+1)10x x e --≤.设2()(+1)1x g x x e -=-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--.当1x ≠时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥.证法2：当1a =时，()1f x ≥等价于21+1xe x ≥.设2()+1xe g x x =，则222(1)()(1)x x e g x x -'=+.当1x ≠时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞单调递增.而(0)1g =，故当0x ≥时，()1g x ≥，即()1f x ≥.证法3：当1a =时，2()x f x e x =-，则()2x f x e x '=-，()2xf x e ''=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '在(0,ln 2)单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '在(ln 2,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，ln 2()(ln 2)2ln 222ln 20f x f e ''≥=-=->，()f x 在(0,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)1f x f ≥=.即当0≥x 时，1)(≥x f .（Ⅱ）解法1：设函数2()1x h x ax e -=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故24(2)1a h e =-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点.由（Ⅰ）知，当0x >时，2x e x >，所以33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->故()h x 在(2,4)a 有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法2：设函数2()xe h x a x =-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，3(2)()xx e h x x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)4e h a =-是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法3：（1）当0a ≤时，()0f x >，()f x 没有零点；（2）当0a >时，设函数()2ln ln h x x x a =--，则2()x h x -'=，且()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)ln 4e h a=是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即204e a <<，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.【评注】第（Ⅱ）问解法2中1()0h x >的计算过程是2(1)01h a a =-=->，2()0h x >的计算过程是2743322224422()()10()ae a a a e e e e a h ae a a a a ae a e e a a=->-=⋅->⋅-=；解法3中1()0h x >的计算过程是2ln ln 0h a ==，2()0h x >的计算过程是222()2ln ln 743ln 4(1)3(ln )0h ae ae ae a a a a a a =-->--=-+->.30分钟限时训练练习1已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1BCD ．2【解析】设两个圆的圆心分别为1O ，2O ，球心为O ，两圆的公共弦为AB ，其中点为E ，则四边形12O OO E 为矩形，于是对角线12O O OE =.而OE =，所以12O O =，故选C ．练习2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行．类似地，空间中一个四棱柱为平行六面体的一个充要条件是_________.【解析】两组相对侧面分别平行.（本题为开放题，答案不唯一）练习3设函数sin ()2cos x f x x=+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.当2222k x k ππππ-<<+（k ∈Z ）时，1cos x >-，即()0f x '>；当242233k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<.因此)(x f 在每一个区间222,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎝⎭（k ∈Z ）内是增函数，)(x f 在每一个区间242,2k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是减函数.（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x g x a a x x x +'=-=-++++.故当13a ≥时，()0g x '≥.又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即()f x ax ≤.当10a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-.故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当0[0,)x x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在0[0,)x 上单调递增.故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，于是当0(0,)x x ∈时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+.当0a ≤时，有10222f a ππ⎛⎫=>≥⋅ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（本章作者：张国治、聂文喜、杨续亮、侯有岐、汪仁林）2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）压轴题解析例1（文科第12题）设函数20,()1 0,x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【分析】本题考查分段函数及不等式的解法，既可以利用零点分段法进行分类讨论，也可以利用函数的图象采用数形结合加以解决，还可以利用函数单调性求解．【解析】因为当0x ≤时，()f x 单调递减且()1f x ≥；当0x >时，()1f x =，所以(1)(2)f x f x +<等价于210x x <+≤或201x x <<+，解得1x ≤-或10x -<<，所以0x <，故选D ．【评注】本题深刻考查函数单调性的概念，函数的单调性具有“双向性”：既能通过自变量的大小推出函数值的大小，也能通过函数值的大小推出自变量的大小.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”在复习备考过程中要注意深刻理解核心概念，准确把握概念的内涵和外延.另外，本题与2017年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）文科第16题理科第15题类似，详见本书第5章例3.例2（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．4B ．3C ．4D ．2【分析】本题关键是构造出合理的图形，认清截面图形的特点．对于截面面积最值的处理，既可以建立严格的函数关系，从函数的最值角度入手定量分析解决，也可以从最值取得的条件（即特殊位置）入手定性分析解决．【解析】解法1：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图，易知平面'ACD 满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ ．设EF GH IJ x ===，根据对称性与相似可得，FG HI JE x ===-，故六边形EFGHIJ 的周长为定值．所以当x x =-，即2x =时，截面EFGHIJ 是正六边形，2max 6424S ⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．解法2：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．因为正方体的12条棱可以分为三组，分别与单位向量(1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c 互相平行．设截面EFGHIJ 的法向量为(,,)x y z =n ，当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时，满足⋅⋅⋅==a n b n c n |a ||n ||b ||n ||c ||n |，222222222x y z x y z x y z ==++++++令1x y ==，则截面EFGHIJ 的法向量(1,1,1)=n ．设截面EFGHIJ 与三个坐标轴的交点分别为,,R S T ，令DR DS DT t ===，易知RS ST TR ==，即RST ∆是等边三角形，同时REJ ∆也是等边三角形．于是2()2(1)RJ DR DA t =-=-，23(1)2REJ S t ∆=-．同理23(1)2SFG S t ∆=-，23(1)2THI S t ∆=-，又232RST S ∆=，所以截面EFGHIJ 面积22233333(1)(263)222RST REJ S S S t t t t ∆∆=-=--=-+-．于是当32t =时，max 324S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【评注】解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，其实人教A 版必修2课本多次出现这个几何模型，如第57页例2的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第11题理科第11题也是源于此图；再如第79页第2题的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第18题也是源于此图.所以，在复习备考过程中，要注意回归课本.解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案．例3（文科第16题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为__．【分析】注意到题设条件2228b c a +-=符合余弦定理中222cos 2b c a A bc +-=的结构特征，从而容易想到求ABC △的面积应选择公式1sin 2ABC S bc A =△，进而想到要利用正弦定理将题设条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=化边为角.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin A =.因为2228b c a +-=，由余弦定理得2224cos 02b c a A bc bc +-==>，所以cos2A =，bc =11123sin 2223ABC S bc A ==⨯=△．【评注】在解三角形有关问题时，如果涉及到边角关系，那么可以利用正弦定理或余弦定理进行边角互化．到底是化边为角还是化角为边，要根据题设具体问题具体分析.例4（理科第16题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．【分析】对于函数最值问题的处理，我们通常优先考虑利用导数或均值不等式．【解析】解法1：()2cos 2cos 2f x x x'=+22cos 2(2cos 1)x x =+-2(cos 1)(2cos 1)x x =+-.令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在2,2k k ππ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在52,233k k ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递减.则min ()232f x f k ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．解法2：因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+，所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++44(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )34x x x x -++++++⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等于号．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是(),22f x ⎡∈-⎢⎣⎦，min ()f x =，此时sin x =，1cos x =．解法3：()2sin 2sin cos f x x x x=+222sin 2sin cos cos 1)x x x x x =+++-2223233332sin cos sin 2sin x x x x x x =+++++-22sin ))3322x x x =+++-2≥-当且仅当sin 0,3sin 0,2x x x +=⎨+=⎪⎩即23x k ππ=-，k ∈Z 时，()f x 取得最小值33-.【评注】若注意到()f x 是周期函数，周期为2π，且()f x 是奇函数，当[0,]x π∈时，()0f x ≥，则只需要求函数()f x 在区间[,0]π-上的最小值，容易利用导数求得min ()f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．本题与2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题类似，都是利用导数或均值不等式求函数最值问题，详见本书第4章例4.解法3利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析式子的结构，堪称妙法.类似的题目可参考本书主编发表在《中学数学》（高中版）2015年第7期上的文章《巧用配方法妙解调考题》.例5（文科第21题）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（Ⅰ）设2x =是)(x f 的极值点，求a ，并讨论)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【分析】（Ⅰ）先求出()f x '，由(2)0f '=求a ，再由()f x '的正负，写出)(x f 的单调区间.（Ⅱ）常规思路是转化为证明()f x 的最小值min ()0f x ≥．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x f x ae x'=-.由题设知，(2)0f '=，所以212a e =.从而21()ln 12x f x e x -=--，211()2x f x e x -'=-.当02x <<时，0)(<'x f ；当2x >时，0)(>'x f .所以)(x f 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（Ⅱ）证法1：当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--.设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()(1)0g x g ≥=.故()(1)0f x f ≥=.因此，当1a e ≥时，()0f x ≥.证法2：当1a e ≥时，1()ln 1x f x e x -≥--，故只需证明当1a e =时，()0f x ≥，即要证1ln 1x e x -≥+.设1()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-.当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．因为(1)0g =，所以1x e x -≥，当且仅当1x =时取等号．不等式两边取对数的1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．从而ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号．所以1ln 1x e x -≥+．所以当1a e ≥时，()0f x ≥．证法3：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x ae x x x +³.设函数()x ae g x x =（1a ≥），则2(1)()xa x e g x x -'=.所以当(0,1)x Î时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为(1)1g ae =³.设函数ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x '=-.所以当(0,1)x Î时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为(1)1h =综上，当1a e ≥，0x >时，()()g x h x ³，即()0f x ≥．证法4：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x x a +³.设函数ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()x x x g x e --'=.设函数1()ln 1h x x x =--，则211()h x x x'=--.所以当(0,)x Î+¥时，()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.因为(1)0h =，所以当(0,1)x Î时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，从而()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减.从而()g x 在(0,)+∞的最大值为1(1)g e=.又因为1a e≥，所以()a g x ³，即()0f x ≥．【评注】本题与2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理科第21题如出一辙，第（Ⅰ）问解法和第（Ⅱ）问的证法1和证法2也与该题完全类似，详见本书第13章例6.第（Ⅱ）问的证法3与2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的证法1类似，详见本书第12章例6.第（Ⅱ）问的证法4与2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的解法2类似，详见本书第14章例6.例6（理科第21题）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】第（Ⅰ）问先求出导函数()f x '的零点，进而对参数a 进行分类讨论，得到()f x 的单调性；第（Ⅱ）问要注意()f x 有两个极值点1x ，2x 的隐含条件2a >且121x x =，将不等式1212()()2f x f x a x x -<--等价转化为当12x x <时，22212ln 0x x x -+<或11112ln 0x x x -+>，而这就是要研究函数1()2ln g x x x x=-+的单调性，此时利用第（Ⅰ）问的结果即可.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（1）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时，()0f x '=，所以)(x f 在(0,)+∞单调递减．（2）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =．当(0,)()22a a x +∈+∞ 时，0)(<'x f ；当()22a a x +∈时，0)(>'x f .所以)(x f分别在(0,)2a -，()2a ++∞单调递减，在44()22a a +单调递增．（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---2222ln 21x ax x -=-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x =-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．证法2：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则101x <<．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---1112ln 21x ax x =-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于11112ln 0x x x -+>.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(0,1)x ∈时，()0g x >．所以11112ln 0x x x -+>，即1212()()2f x f x a x x -<--．【评注】对于含有两个变量的不等式，一般转化为只含有一个变量的不等式，并构造函数结合单调性进行证明，本题与2011年高考数学湖南卷文科第22题如出一辙，通过分析和解析，我们容易发现，本题实际上就是要证明11ln (2x x x >-（01x <<）或11ln ()2x x x<-（1x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.30分钟限时训练练习1设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1.)x ∈+∞，则当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)284,28,563⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】由题设知[)883,,2,256,2,3.(1)x x x C x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪-⎩因为函数8x C 在区间3,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和[)2,3上分别单调递减，且38163C =，2828C =，所以当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选D ．练习2对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_________.【解析】当1i j m ≤<≤时，21ij m P C =，这样的ij P 共有2m C 个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为2211m m C C ⋅=；当1m i j n +≤<≤时，21ij n mP C -=，这样的ij P 共有2n m C -个，故所有ij P（1m i j n +≤<≤）的和为211n m n m C --⋅=；当1,1i m m j n ≤≤+≤≤时，4()ij P m n m =-，这样的ij P 共有()m n m -个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为4()4()m n m m n m ⋅-=-；综上所述，所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于6.练习3已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求α的最大值.【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++.设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x'=-=-++.当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0g x '<（0x ≠），函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是，当10x -<<时，()(0)0g x g >=；当0x >时，()(0)0g x g <=.所以，当10x -<<时，()0f x '>，)(x f 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0f x '<，)(x f 在(0,)+∞上为减函数.故函数)(x f 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭等价于不等式1()ln 11n n α⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.由111+>知，11ln 1n n α≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则2211(1)ln (1)()x x x G x ++-'=-+=++++.由（Ⅰ）知，22ln (1)01x x x+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤.所以()0G x '<，(0,1]x ∈.于是()G x 在(0,1]上为减函数.故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-.综上所述，α的最大值为11ln 2-.（本章作者：杨瑞强）2018年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第10题）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，求三棱锥D ABC -体积的最大值，底面积已知，关键是求三棱锥D ABC -的高的最大值.【解析】如图，设球心为O ，ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，则当球心O 在线段1DO 上时，三棱锥ABC D -的体积最大．因为ABC ∆的面积3960sin 212=⋅⋅=∆ AB S ABC ，所以6=AB .所以ABC ∆的外接圆的半径为1232sin 60AB O A == ．所以球心O 到平面ABC 的距离2222114(23)2OO OA O A =-=-=．所以三棱锥D ABC -的高的最大值11426DO DO OO =+=+=．所以三棱锥D ABC -体积的最大值16333D ABC V -=⨯⨯=.故选B ．【评注】三棱锥的外接球问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第16题，详见本书第4章例3，三棱锥的体积最值问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题，详见本书第4章例4，本题可以看成是由以上两题改编而成.例2（理科第12题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【分析】比较大小的常用方法是作差法和作商法，注意到a ，b 是两个底数不同，真数相同的对数，可考虑利用对数函数的单调性和对数换底公式.【解析】解法1：因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，22log 0.3log 0.5<，所以01a <<，1b <-，从而0a b +<，0ab <.又因为0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b ab a b +=+=+=，0.30.30.3log 1log 0.4log 0.3<<，所以01a b ab+<<，从而0ab a b <+<，故选B ．解法2：因为0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.4log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ⋅+=+=+=<⋅，0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.3log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ab ⋅=⋅=⋅=<⋅，ln 0.3ln 0.4ln 0.3ln 0.3ln 0.3(ln 0.4ln 0.3)0ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ab ⋅⋅-+-=-=>⋅⋅⋅，所以0ab a b <+<，故选B ．【评注】虽然是选择题压轴题，但考查却都是通性通法，导向鲜明.例3（文科第16题）已知())1f x x =+，4)(=a f ，则=-)(a f _____．【分析】已知()f a 求()f a -，容易想到利用函数的奇偶性或直接利用函数的解析式.【解析】解法1：因为())1f a a =+，())1f a a -=+，所以()())1ln()12f a f a a a +-=+++=，因为4)(=a f ，所以()2f a -=-．解法2：设())g x x =，则1)()(+=x g x f .因为()()))0g x g x x x +-=+=，所以21)(1)()()(=+-++=-+a g a g a f a f ，又因为4)(=a f ，所以2)(-=-a f ．【评注】一个奇函数与一个常数的和在高考数学全国卷中曾多次考查，例如2012年高考数学全国卷文科第16题，详见本书第15章例3.例4（理科第16题）已知点)1,1(-M 和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，=k _____．【分析】解答本题的关键是将条件90=∠AMB 合理转化，转化的途径很多，如0=⋅，1MA MB k k ⋅=-，222MA MB AB +=，点M 在以线段AB 为直径的圆上等.【解析】解法1：设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2222=++-k x k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则222142k k x x +=+，121=x x .因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA )1)(1()1)(1(2121----+++=k kx k kx x x 2221212(1)(1)()22k x x k k x x k k =+-+-++++0=.将222142kk x x +=+，121=x x 代入上式整理得，0442=+-k k ，所以2=k ．解法2：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+，124y y =-.因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA 1212(2)(2)(1)(1)ty ty y y =+++--21212(1)+(21)()50t y y t y y =+-++=．将t y y 421=+，124y y =-，代入上式整理得，01442=+-t t ，所以21=t ,2=k ．解法3：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+.设线段AB 的中点为N ，则12(,2)2x x N t +,因为以线段AB 为直径的圆与准线l 相切， 90=∠AMB ，所以M 为切点，所以21t =,21=t ,2=k ．【评注】比较解法1和解法2，对于抛物线2:2C y px =而言，一般设直线方程为x ty a =+，计算量要小一点.抛物线的焦点弦有很多常用性质，如能灵活运用，可以有效减少计算量.本题与2013年高考数学大纲全国卷理科第11题如出一辙，试题如下：已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A．1D．2将这两道题推广到一般，即可得到抛物线焦点弦的一个性质：已知点0(,)2p M y -和抛物线22(0)C y px p =>：，过C 的焦点作斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，0p k y =．例5（文科第21题）已知函数x ex ax x f 1)(2-+=.（Ⅰ）求)(x f y =在(0,1)-处的切线方程；（Ⅱ）证明：当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【分析】第（Ⅰ）问由导数的几何意义，容易求出.第（Ⅱ）问注意到当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥.【解析】（Ⅰ）2(21)2()ex ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（Ⅱ）证法1：当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．证法2：当1a ≥时，≥+e x f )(e ex x x +-+12．令,1)(2e e x x x g x +-+=则x ex x x g )2)(1()(-+-='．当1x <-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当21<<-x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当2>x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减.所以当2x <时，()(1)0g x g ≥-=，又当2x ≥时，0)(>x g ，所以()0g x ≥，即当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【评注】比较第（Ⅱ）问两种证法，都注意到了当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥，证法1还注意到了0x e >，进一步转化证明211e 0x x x ++-+≥，更胜一筹.例6（理科第21题）已知函数x x ax x x f 2)1ln()2()(2-+++=．（Ⅰ）若0=a ，证明：当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f ；（Ⅱ）若0=x 是()f x 的极大值，求a .【分析】第（Ⅰ）问注意到(0)0f =．利用导数研究函数()f x 的单调性即可证明．第（Ⅱ）问要充分利用(0)0f =和0=x 是()f x 的极大值这两个条件，注意到()f x 解析式的结构特征，可考虑构造函数22()ln(1)2x h x x x ax =+-++，也可考虑多次求导，使得求导后的有关函数解析式中不再出现ln(1)x +，从而便于求出极值，进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当0=a 时，x x x x f 2)1ln()2()(-++=，()ln(1)1x f x x x'=+-+.设()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2)1()(x x x g +='.当01<<-x 时，0)(<'x g ，当0>x 时，0)(>'x g .故当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，当且仅当0=x 时，0)(=x g ，从而0)(≥'x f ，当且仅当0=x 时，0)(='x f .所以)(x f 在),1(+∞-上单调递增.又0)0(=f ，故当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .证法2：当0=a 时，2()(2)ln(1)2(2)ln(1)2x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦.设2()ln(1)2x g x x x=+-+，则222()0(1)(2)x g x x x '=≥++，仅当0x =时等号成立.所以()g x 在),1(+∞-上单调递增.又(0)0g =，故当01<<-x 时，()0g x <；当0>x 时，()0g x >.因为20x +>，所以当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .（Ⅱ）解法1：（1）若0≥a ，由（Ⅰ）知，当0>x 时，)0(02)1ln()2()(f x x x x f =>-++≥，这与0=x 是()x f 的极大值点矛盾.（2）若0<a ，设函数2222)1ln(2)()(ax x x x ax x x f x h ++-+=++=.由于当min{x <时，022>++ax x ，故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x x ax ++-++++'=-=++++++.如果016>+a ，则当a x 160+-<<，且min{x <时，0)(>'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016<+a ，则016422=+++a ax x a 存在根01<x ，故当)0,(1x x ∈，且min{x <时，0)(<'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016=+a ，则223)126)(1()24()(--+-='x x x x x x h .则当01<<-x 时，0)(>'x h ，当10<<x 时，0)(<'x h ，所以0=x 是)(x h 的极大值点，从而0=x 是)(x f 的极大值点.综上，61-=a .解法2：因为2'()(21)ln(1)1ax x f x ax x x -=++++，且'(0)0f =.令2()(21)ln(1)1ax x g x ax x x -=++++，则2(341)'()2ln(1)(1)ax a x g x a x x ++=+++，且'(0)0g =.令2(341)()2ln(1)(1)ax a x h x a x x ++=+++，则232661'()(1)ax ax x a h x x +-++=+.令'(0)0h =，则16a =-.下面证明，当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点.当16a =-时，31(6)3'()(1)x x h x x -+=+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减.所以当(1,)x ∈-+∞时，'()()(0)0g x h x h =≤=，()g x 在(1,)-+∞上单调递减.所以当(1,0)x ∈-时，'()g()g(0)0f x x =>=，()f x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()g()g(0)0f x x =<=，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以0x =是()f x 的极大值点.综上，16a =-.【评注】本题第（Ⅰ）问实际上就是要证明2ln(1)2x x x +<+（10x -<<）或2ln(1)x x +>+（0x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.第（Ⅱ）问解法1的关键一步是通过构造函数)(x h ，将函数)(x f 的极大值点转化为)(x h 的极大值点，由于函数()f x 的定义域为()1,-+∞，当0a <时，适当放缩获得0的一个邻域.因为222+1+x ax ax +>，故可以令21+0ax >可得x <，所以当min{x <时，22+0x ax +>，使得故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.解法2的关键一步是通过多次求导，先利用必要条件求出参数a 的值，再证明所求a 的值满足充分性.构造函数和多次求导是破解高考导数压轴题的有效策略，详见本书第2章例7和例10.30分钟限时训练练习1如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A ．96B ．84C ．60D ．48【解析】按所种花的品种分类：种4种花有4424A =种种法，种3种花有34248A =种种法，种2种花有2412A =种种法，所以，故选不同的种法总数为84，故选B ．练习2设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为_________.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则414610S a d =+≥，5151015S a d =+≤，4145133425a a d S S =+=-+≤.练习3已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()2101a f x x x '=+-+，所以(3)61004a f '=+-=，16a =，所以2()16ln(1)10f x x x x =++-，2(1)(3)()1x x f x x --'=+.当11x -<<时，()0f x '>；当13x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>.所以)(x f 的单调递增区间为(1,1)-，(3,)+∞；)(x f 的单调递减区间为(1,3).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)(x f 在(1,1)-内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,)+∞内单调递增，且当1x =或3x =时，()0f x '=.所以)(x f 的极大值为(1)16ln 29f =-，极小值为(3)32ln 221f =-.因为3(1)(3)1216ln 216(ln 2)04f f -=-=->，2(16)16101616ln 29(1)f f >-⨯>-=，2(1)321121(3)f e f --<-+=-<，所以在)(x f 的三个单调区间(1,1)-，(1,3)，(3,)+∞，直线y b =与函数()y f x =的图象各有1个交点，当且仅当(3)(1)f b f <<.因此，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--.（本章作者：陈清华、聂文喜）。

2018年高考数学上海卷-答案

上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．解：行列式4145211825=⨯⨯=-．故答案为：18．【考点】二阶行列式的定义．2．【答案】12x ± 【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的2a =，1b =，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =± 故答案为：12x ± 【考点】双曲线的性质3．【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数．解：二项式71x +（）展开式的通项公式为 17•r r r T C x +=，令2r =，得展开式中2x 的系数为27C 21=．故答案为：21．【考点】二项式定理4．【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a ．解：∵常数a R ∈，函数21f x og x a=+（）（）． f x （）的反函数的图象经过点（3,1），∴函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3）， ∴213log a+=（），解得7a =．故答案为：7．【考点】反函数5．【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由(1)17i z i +=-，得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．【考点】复数的模6．【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，由此能求出7S ．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，367014a a a =+=,∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， ∴717672842142S a d ⨯=+=-+=．故答案为：14．【考点】等差数列的前n 项和7．【答案】1-【解析】由幂函数f x x α=（）为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a ＜，由此能求出a 的值．【解答】解：∵112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，幂函数()f x x α=为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且0a ＜，∴1a =-．故答案为：1-．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域8．【答案】3-【解析】据题意可设0,E a （），0,F b （），从而得出2a b -=，即2a b =+，或2b a =+，并可求得2AE BF ab ⋅=-+uuu r uuu r ，将2a b =+带入上式即可求出AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值，同理将2b a =+带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设0,0,E a F b (),()；|EF||a b |2∴=-=u u r∴2a b =+或a 2b =+且(1,)AE a =u u u r ，(2,)BF b =-u u u r∴2AE BF ab ⋅=-+uu u r uu u r当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-．故答案为：3-．【考点】平面向量数量积的性质及其运算9．【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：3510C =，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21=105，故答案为：15．【考点】古典概型及其概率计算公式10．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．解：等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n ma q n N -=∈，可得1a 1=，因为11lim 2n n n S a →∞+=，所以数列的公比不是1，，1n n a q +=．可得，11111111lim lim lim (1)12n n nn n n n n q q q q q q q q q -→∞→∞→∞----====-- 可得3q =．故答案为：3．【考点】数列的极限11．【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【解答】解：函数2()2x x f x ax =+的图象经过点61,,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则： p q P q 226112ap 2aq 55+==++，整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++，解得：，22p q a pq += 由于：236p q pq +=，所以：236a =，由于0a ＞，故：6a =．故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换12．【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=uu r uu u r ，即有60AOB ∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设AB ：0x y t ++=，（0t ＞），由圆心O 到直线AB的距离d =可得1=，解得t =1+=【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式二、选择题13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【考点】椭圆的性质．14．【答案】A【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【解析】“1a ＞”⇒“11a <”，“11a<”⇒“1a ＞或0a ＜”，由此能求出结果．【考点】充分条件，必要条件，充要条件15．【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【考点】排列、组合的实际应用16．【答案】B【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当(1)f =，3，0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当2x =，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．故选：B ．【考点】函数的图象与图象的变换三、解答题17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积22112333V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=．（2）∵4PO=，OA，OB是底面半径，且90AOB∠=︒，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(004)P，，，200A(，，)，(0,2,0)B，(1,1,0)M，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PM OB=-=u u u r u u u r设异面直线PM与OB所成的角为θ，则||cos||||PM OBPM OBθ⋅===⋅uuu r uu u ruuu r uu u r∴arccos6θ=∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos6．【解析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积18．【答案】（1）2()sin 22cos f x a x x =+Q ，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，f x Q （）为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin 20a x ∴=，0a ∴=（2）|14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，2asin 2cos 1124a ππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，a ∴=2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，()1f x =Q2sin 2116x π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2264x k πππ∴+=-+或522,64x k k Z πππ+=+∈5x k 24πππ∴=-+或 13x k ,k Z 24ππ=+∈ [,]x ππ∈-Q13x 24π∴=或19x 24π=或5x 24π=-或11x 24π=- 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数19．【答案】（1）由题意知，当30100x ＜＜时，1800()29040f x x x =+->，即2659000x x -+＞，解得20x ＜或45x ＞，∴45100x ∈（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x ＜≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x ＜＜时， 218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴24010()13585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，当032.5x ＜＜时，g x （）单调递减；当32.5100x ＜＜时，gx （）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】（1）由题意知求出()40f x >时x 的取值范围即可；（2）分段求出g x （）的解析式，判断g x （）的单调性，再说明其实际意义．【考点】分段函数的应用20．【答案】（1）由题意可知：设(,)B t ，则2BF t ==+， ∴2BF t =+；（2）(2,0)F ，2FQ =，3t =，则1FA =，AQ ∴=Q ∴，设OQ 的中点D ，3D ,22⎛ ⎝⎭，2K a 322-⋅==-PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=，解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP △的面积1723S == （3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=，直线QF 方程为216(2)8y y x y-=-， ∴2216483(82)84Q y y y y y --=-=，24838,4y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，且2lP 5⎛ ⎝⎭．【解析】（1）设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得AQP △的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线1PF FQk k ⋅=﹣，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系21．【答案】（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -…，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+剟，11111n n n a b a +++-+剟，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+剟，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a +-≤≤，求得i b ，1,2,3,4i =的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d ＞，0d =，20d -＜＜，2d ≤-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【考点】等差数列与等比数列的综合。