专练-14最值问题
第7章立体几何专练14—小题综合练习(二)-2021届高三数学一轮复习
小题综合练习（二）一、单选题1．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( ) A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确； 对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误； 对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误； 对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误． 故选：A ．2．鳖臑bi ē n ào 是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，，，则三棱锥的外接球的体积是 A ．B ．C ．D ．解：如图，由，，且，可得平面，则，又，且，，)A BCD -AB BC ⊥AB BD ⊥BC CD ⊥6AB =3BC =2DC =A BCD -()493π3432π49π3436πAB BC ⊥AB BD ⊥BCBD B =AB ⊥BCD AB CD ⊥BC CD ⊥AB BC B =CD AC ∴⊥则为三棱锥的外接球的直径．，，，，故三棱锥的外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的体积是．故选：．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为A ．17斛B ．25斛C ．41斛D ．58斛解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，则，，米堆的体积为（尺， 米堆的斛数为（斛． 故选：．4．已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到AD A BCD -6AB =3BC =2DC =7AD ∴=A BCD -72A BCD -347343()326V ππ==D ()r 12104r π⨯=20r π=∴2211120()666.674312V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯≈3)∴66.67411.62≈)C S ABCD -ABCD //AD BC 120BAD ∠=︒SAD ∆SA AB ==P S ABCD -P平面的距离为，若平面平面，则的最大值为ABCD解：依题意，，取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，是的外心， 作平面，平面，则是人锥的外接球的球心，且，， 设四棱锥的外接球半径为， 则， 则，当四棱锥的体积最大时，．故选：．5．已知正四面体的棱长为，，分别是，上的点，过作平面，使得，均与平行，且，到的距离分别为2，4，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为A ．B ．C ．D ．ABCD d SAD ⊥ABCD d ()12123MBC π∠=BC E E ABCD F SAD ∆OE ⊥ABCD OF ⊥SAB O S ABCD -3OF DE ==2AF =S ABCD -R 22213R SF OF =+=1OE DF ==∴S ABCD -1max d R OE =+=A A BCD -M N AC AD MN αAB CD αAB CD αA BCD -α()11π18π26π27π解：将正四面体补形成棱长为6的正方体， 则的外接球球心即为正方体的中心， 故球的半径， 因为，均与平行， 故与面，平行，到面，的距离分别为2和4， 因为到面的距离为3， 故此时到的距离为1，故被球所截圆半径从而截面圆的面积为． 故选：．6．已知长方体，，，是的中点，点在长方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是A ．6B ．C ．D ．9解：如图所示，，，，，分别为，，，，的中点，则，，A BCD -APBQ ECFD -A BCD -O O R ==AB CD ααAPBQ ECFD αAPBQ ECFD O APBQ O ααO r 226r ππ=C 1111ABCD A B C D -2AB AD ==14AA =M 1BB P //MP 11AB D P ()E F G H N 11B C 11C D 1DD DA AB 11////EF B D NH 1////MN B A FG所以平面平面，所以动点的轨迹是六边形及其内部． 因为，，所以，，到， 所以．故选：．7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M，N 分别为棱AB ，11C D 的中点．平面α过1B ，M 两点，且//BN α．设平面α截正方体所得截面面积为S ，且将正方体分成两部分的体积比为12:V V ，有如下结论：①34S =，②98S =，③12:1:3V V =，④12:7:17V V =，则下列结论正确的是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：取AD 的中点H ，连结HM ，1HD ，11B D ， 由题意得//BD MH ，BD ⊂/平面11HMB D ，MH ⊂平面11HMB D ，//MEFGHN 11AB D P MEFGHN 2AB AD ==14AA =EF HN ==EM MN FG GH ===GM =E GM 229EFGH S S ===梯形D//BD ∴平面11HMB D ，∴平面α即平面11HMB D ，∴截面11HMB D 为等腰梯形，由已知可得11B D =2MH =，11MB HD ==其面积为19(2248S =⨯=．故选：D ．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，AP 2AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是( )A ．92π B ． C ．18π D ．40π解：设ABC ∆的外接圆半径为r ，外接圆心为1O ，过点1O 做底面ABC 的垂线，则球心在垂线上，设球心为O ，连接1OO ，1AO ，1CO ，得到Rt △1OO C ，如图所示：120BAC ∠=︒，2AB AC ==，∴由余弦定理，得222cos1202AB AC BC AB AC+-︒=，解得BC =，在ABC ∆中由正弦定理，得2sin120BCr =︒，2r ∴=，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则在Rt △1OO C ，中，OCR =，112OO PA ==12CO r ==， ∴222R r =+，∴292R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积是2944182R ππ=⨯=， 故选：C ．9．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和，且长为的棱异面，则的取值范围是A． B ． C ．D ．解：设四面体的底面是，，，顶点为， 在三角形中，因为两边之和大于第三边可得：（1） 取中点，是中点，直角三角形全等于直角，所以在三角形中，a a a ()BCD BC a =1BD CD ==A AD =BCD 02a <<BC E E ACE DCE AED AE ED =两边之和大于第三边得 （负值0值舍）（2）由（1）（2）得．另解；可设，，，可得、为等腰直角三角形，可得，即有， 故选：．10．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是A ．B ．平面C ．与平面所成的角等于与平面所成的角∴0a <0a <<AD a =1AB AC BD CD ====BC =ABC ∆BCD∆AE DE ==0a <<A S ABCD -SD ⊥ABCD ()AC SB ⊥//AB SCD SA SBD SC SBDD ．与所成的角等于与所成的角 解：底面，底面为正方形，连接，则，根据三垂线定理，可得，故正确；，平面，平面， 平面，故正确； 底面，是与平面所成的角，是与平面所成的，而，，即与平面所成的角等于与平面所成的角，故正确； ，与所成的角是，与所成的角是，而这两个角显然不相等，故不正确； 故选：． 二、多选题11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，下列结论中正确的是( )AB SC DC SA SD ⊥ABCD ABCD ∴BD BD AC ⊥AC SB ⊥A //AB CD AB ⊂/SCD CD ⊂SCD //AB ∴SCD B SD ⊥ABCD ASO ∠SA SBD CSO ∠SC SBD SAO CSO ∆≅∆ASO CSO ∴∠=∠SA SBD SC SBD C //AB CD AB ∴SC SCD ∠DC SA SAB ∠DDA ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与平面11BCC B 垂直C ．EF 与1CD 所成的角为45︒D ．//EF 平面ABCD解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2E ，1，1)，(1F ，2，1)，(2B ，2，0)，1(2B ，2，2)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(1EF =-，1，0)，1(0BB =，0，2)，∴10EF BB =，EF ∴与1BB 垂直，故A 正确；(1EF =-，1，0)，(0CB =，2，0)，2EF CB =，EF ∴与CB 不垂直，EF ∴与平面11BCC B 不垂直，故B 错误；(1EF =-，1，0)，1(0C D =，2-，2)-，1111cos 2||||2EF C D EF C D EF C D ∴<>===-，EF ∴与1C D 所成的角为60︒，故C 错误；(1EF =-，1，0)，平面ABCD 的法向量(0n =，0，1)，0EF n =，EF ⊂/平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，故D正确．故选：AD ．12．如图，四棱锥P ABCD∆是等边三角形，底面ABCD -中，平面PAD⊥底面ABCD，PAD是菱形，且60∠=︒，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有BAD()A．直线PB与平面AMC平行B．直线PB与直线AD垂直C．线段AM与线段CM长度相等D．PB与AM所成角的余弦值为4解：如图，连接MN，可知//PB面AMC，故A正确；MN PB，由线面平行的判定定理得//在菱形ABCD中，60∆为等边三角形．∠=︒，则BADBAD设AD的中点为O，连接OB，OP，则OP AD=，⊥，又OP OB O⊥，OB AD由线面垂直的判定定理得出AD⊥平面POB，PB⊂平面POB，AD PB∴⊥，故B正确；平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB ∆为直角三角形，设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=12MN PB =在MAN ∆中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=故异面直线PB 与AM ． 在MAN ∆中，222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确． 故选：ABD ．13．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，P 是平面11DCC D 内不同的两点，N ，Q 是平面ABCD 内不同的两点，且M ，P ，N ，Q CD ∉，E ，F 分别是线段MN ，PQ 的中点．则下列结论正确的是( )A ．若//MN PQ ，则//EF CDB ．若E ，F 重合，则//MP CDC ．若MN 与PQ 相交，且//MP CD ，则NQ 可以与CD 相交 D ．若MN 与PQ 是异面直线，则EF 不可能与CD 平行解：若//MN PQ ，则M 、N 、P 、Q 四点共面γ，当MN PQ <时，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ， 则三条交线交于一点O ，则CD 与平面γ交于点O ，则EF 与CD 不平行，故A 错误； 若E 、F 两点重合，则//MP NQ ，M 、N 、P 、Q 四点共面γ，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ， 由//MP NQ ，得////MP NQ CD ，故B 正确；若MN 与PQ 相交，确定平面γ，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线， 分别为MP 、NQ 、CD ，//MP CD ，////MP NQ CD ∴，则NQ 与CD 不可能相交，故C 错误；当MN 与PQ 异面时，如图，连接NP ，取NP 中点G ，连接EG ，FG ，则//EG MP ，MP ⊂平面11DCC D ，EG ⊂/平面11DCC D 、则//EG 平面11DCC D ，假设//EF CD ，CD ⊂平面11DCC D 、EF ⊂/平面11DCC D ，//EF ∴平面11DCC D ，又EFEG E =，∴平面//EFG 平面11DCC D ，同理可得，平面//EFG 平面ABCD ，则平面11//DCC D 平面ABCD ，与平面11//DCC D 平面ABCD CD =矛盾，则假设错误，EF 不可能与CD 平行，故D 正确．故选：BD ．14．已知空间中两条直线，所成的角为，为空间中给定的一个定点，直线过点a b 50︒P l P且与直线和直线所成的角都是，则下列选项正确的是 A ．当时，满足题意的直线不存在B ．当时，满足题意的直线有且仅有1条C ．当时，满足题意的直线有且仅有2条D ．当时，满足题意的直线有且仅有3条解：过点作，，则相交直线、确定一平面．与夹角为或，设直线与、均为角，作面于点，于点，于点，记，或，则有．因为，所以．当时，由，得；当时，由，得． 故当时，直线不存在； 当时，直线有且仅有1条； 当时，直线有且仅有2条； 当时，直线有且仅有3条； 当时，直线有且仅有4条； 当时，直线有且仅有1条．a b (090)θθ︒<︒()15θ=︒l 25θ=︒l 40θ=︒l 60θ=︒l O 1//a a 1//b b 1a 1b α1a 1b 50︒130︒OA 1a 1b θAB ⊥αB 1BC a ⊥C 1BD b ⊥D 1AOB θ∠=22(25BOC θθ∠==︒65)︒12cos cos cos θθθ=1090θ︒︒20cos cos θθ225θ=︒0cos cos25θ︒2590θ︒︒265θ=︒0cos cos65θ︒6590θ︒︒25θ<︒l 25θ=︒l 2565θ︒<<︒l 65θ=︒l 6590θ︒<<︒l 90θ=︒l故，，均正确，错误． 故选：．三、填空题15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB BC ==，11CC =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 ．解：连接1B C ，交1BC 于点O ，则点O 为1B C 的中点，取AC 的中点D ，连接BD 、OD ，1//OD AB ∴，BOD ∴∠即为异面直线1AB 与1BC 所成角．120ABC ∠=︒，2AB BC ==，11CC =，1BD ∴=，112OD AB ==112OB BC = 在BOD ∆中，由余弦定理知，2225513cos 25OB OD BD BOD OB OD +-+-∠===．故答案为：35．A B C D ABC16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ，1F 分别为11A B ，11A C 的中点，则下列说法正确的是 ．①1//BE 平面1AFC ②1//DF 平面1AE C ③1CE ⊥平面1?ABF ④1A C ⊥平面11AF D解：由正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ，1F 分别为11A B ，11A C 的中点，知：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，对于①，(2B ，2，0)，1(2E ，1，2)，(2A ，0，0)，1(1F ，1，2)，(0C ，2，0)，1(0BE =，1-，2)，1(1AF =-，1，2)，(2AC =-，2，0)，设平面1AFC 的法向量(n x =，y ，)z ， 则120220n AF x y z n AC x y ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，0)， 110BE n =-≠，1BE ∴与平面1AFC 不平行，故①错误； 对于②，(0D ，0，0)，1(1DF =，1，2)，1(0AE =，1，2)，(2AC =-，2，0)，设平面1AE C 的法向量(m a =，b ，)c ，则120220m AE b c m AC a b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1c =，得(2m =-，2-，1)，12DF m =-，1DF ∴与平面1AE C 不平行，故②错误；对于③，1(2CE =，1-，2)，(0AB =，2，0)，12CE AB =-，1CE ∴与平面1ABF 不垂直，故③错误；对于④，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2，2)-，1(1AF =-，1，2)，1(2AD =-，0，2)，112240A C AF =+-=，11440A C AD =-=，11AC AF ∴⊥，11AC AD ⊥， 又11AF AD A =，1A C ∴⊥平面11AF D ，故④正确．故答案为：④．17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ= ． 解：如图，设P ，Q 分别是棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即三棱柱11DFC D EC -的外接球，三棱柱11DFC D EC -是直三棱柱，∴其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线， 记直线OC 与MN 所成角为θ，则θ的最小值是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则2EQ =，1ED =△11EC D 为等腰三角形，∴△11EC D外接圆直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠， 则54GE =，53244GQ PH =-==， 如图，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，1(0D ，0，2)，(0C ，2，0)，(2F ，1，0)，(O 34，1，1)， 1(0DD =，0，2)，(2DF =，1，0)，3(4OC =-，1，1)-，设平面1DD EF 的法向量(n x =，y ，)z ，则12020n DD z n DF x y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，2-，0)，则||sin ||||5n OC n OC θ==tan 42θ=．∴当θ最小时，tan θ．．18．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为高为其内切球与面PAB 切于点M ，球面上与P 距离最近的点记为N ，若平面α过点M ，N 且与AB 平行，则平面α截该正四棱锥所得截面的面积为 ．解：取AB ，CD 中点Q ，R ，连结PQ ，PR ，QR ，取QR 中点S ，连结PS ， 则RQ AB ⊥，S 为正方形ABCD 的中心，四棱锥P ABCD -是正四棱锥，PS ∴⊥平面ABCD ，PS ∴=在Rt PSQ ∆中，PQ同理，PR =PQR ∴∆是正三角形，∴正四棱锥P ABCD -内切球的球心为正PQR ∆的内心O ，内切球的半径是正PQR ∆的内切圆半径为内切球与平面PAB 的切点M 为正PQR ∆内切圆与直线PQ 的切点，M ∴为PQ 中点，球面上与P 距离最近的点为连结OP 与球面的交点，即在OP 之间，且ON =N ∴为OP 中点，连结MN 并延长交PR 于I ，平面α过M ，N ，I 与直线AB 平行， 设平面α分别与平面PAB ，平面PCD 交于EF ，GH ，AB ⊂平面PAB ，//EF AB ∴，又//AB CD ，CD α∴⊂/，//CD α∴，同理可证//GH CD ，//EF GH ∴，连结GF ，HE ，则梯形EFGH 为所求的截面， RQ AB ⊥，PS AB ⊥，PSRQ S =，AB ∴⊥平面PQR ，IM ⊂平面PQR ，AB IM ∴⊥，//AB EF ，EF IM ∴⊥，连结OQ ，则OQ 为POS ∠的角平分线，30PQO ∴∠=︒，M ，N 是PQ ，PO 的中点，//MN OQ ∴，30PMI PQO ∴∠=∠=︒，而60MPI ∠=︒，90PIM ∴∠=︒，cos30MI PM ∴=︒=sin304PRPI PM =︒==，又//HG CD ，4CDHG ∴==，∴截面梯形EFGH 的面积为11()22S MI EF GH =+=⨯故答案为：。
专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列(通用版)
【经典剖析1】如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C e ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C e 上一个动点，则13PA PB +的最小值为在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。
接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！若，设由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得点P与点C、D重合时，符合条件；当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，.又，即，，即，当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相似模型）.如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题(学生版)
第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。
【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题(解析版)
【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题（解析版）一、知识点1、定理一：如果两个正整数的和一定，它们的差越小，乘积越大特别：当两个数相等时，他们的乘积最大口诀：“和同近积大”举例：6＝1＋5，1×5＝5：6＝2＋4，2×4＝8；6＝3＋3，3×3＝9（乘积最大）2、定理二：两个正整数的乘积一定，它们的差越小，和也越小特别：当两个数相等时，他们的和最小口诀：“积同近和小”举例：6＝1×6，1＋6＝7；6＝2×3，2＋3＝5（和最小）二、学习目标1.我能够理解定理一与定理二，熟记“和同近积大”与“积同近和小”的口诀。
2.我能够运用定理一与定理二解决简单的实际问题。
三、课前练习1.分别将8、10、15拆分成两个正整数的和，并求出每种拆分方法的乘积。
【解答】详解略，强调：8＝4＋4，4×4＝16最大；10＝5＋5，5×5＝25最大；15＝7＋8，7×8＝56最大。
总结规律：如果两个正整数的和一定，那么这两个数的差越，乘积越。
【解答】小，大或大，小2.分别将18、30、105拆分成两个正整数的乘积，并求出每种拆分方法的和。
【解答】详解略，强调：18＝3×6，3＋6＝9最小；30＝5×6，5＋6＝11最小；105＝7×15，7＋15＝22最小；总结规律：如果两个正整数的乘积一定，那么这两个数的差越，和越。
【解答】小，小或大，大四、典型例题思路点拨从小热身里面我们可以发现两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两个数乘积越大，简单记成“和同近积大”。
（1）如果两个正整数的和是17，那么这两个正整数的乘积的最大值是。
【解答】和同近积大17÷2＝8……1，17＝8＋9，8×9＝72最大，故最大值为72。
（2）用10米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若鸡舍借助一个墙角（两面墙的夹角为90度，如下图所示），则当长为米、宽为米时鸡舍的面积最大，最大面积是平方米。
2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：双参数最值问题与切线放缩
第30讲双参数最值问题知识与方法含参问题一直是高考中的重点与难点. 高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的双参数的范围或最值问题. 处理此类问题, 常用有以下方法:1消元法2零点比大小法零点比大小是指将函数y=ax+b 与函数y=f(x) 的零点比较大小, 进而解决问题. 图象上看, 是观察直线y=ax+b 与曲线y=f(x) 的横截距的大小关系. 此方法要求y=f(x) 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知ax+b⩾f(x) (或⩽f(x)) 恒成立, 求bk 的最值”的问题,一般有如下两种形式:(1) 若ax+b⩾f(x) 恒成立, f(x) 为上凸函数, 如下左图, 则x1⩽x2;(2) 若y=ax+b⩽f(x) 恒成立, f(x) 为下凸函数, 如下右图, 则x1⩾x2.由(1)或(2)得出x1,x2的大小,进而可以求得bk的最值.3. 赋值法对比不等式与目标式的结构, 发现当自变量取某个值时恰好构造出目标式.赋值法是零点比大小法方法的优化和改进,能快速解决线性表达式型、比值型的客观题. 点睛意领会“等比例赋值法”进行恰到好处的赋值.典型例题【例1】若(x2+x)ln 1x −ax⩽23x3+(1−a)x2−2ax+b 恒成立, 求b−2a 的最小值.【答案】−53【解析】解法1: 消元法设F(x)=23x3+(1−a)x2−2ax+b−(x2+x)ln 1x+ax ,则F′(x)=(2x+1)(ln x+x+令 ℎ(x)=ln x +x +1−a 得 ℎ(x) 单调递增, 故存在唯一 x 0 使得 ℎ(x 0)=0 , 即 a =x 0+ln x 0+1当 x ∈(0,x 0) 时, F(x) 单调递减当 x ∈(x 0,+∞) 时, F(x) 单调递增,故 F(x)min =F (x 0)=−13x 03−x 02−x 0+b.所以 F(x)min =F (x 0)⩾0, 即 b ⩾13x 03+x 02+x 0,b −2a ⩾13x 03+x 02−x 0−2ln x 0−2,t(x)=13x 3+x 2−x −2ln x −2,t ′(x)=(x−1)(x 2+3x+2)x,当 x ∈(0,1),t(x) 单调递减; 当 x ∈(1,+∞),t(x) 单调递增, 故 t(x)min =t(1)=−53. 所以 b −2a 的最小值为 −53.解法 2: :赋值法f(x)⩽g(x)⇔b −(x 2+x )a ⩾−(x 2+x )ln x −23x 3−x 2令 x 2+x =2 (等比例赋值法), 解得 x =1 (舍 x =−2 ), 则 b −2a ⩾−53.当 b −2a =−53 时, 由 f(x)−g(x)⩽0=f(1)−g(1) 知 x =1 是 f(x)−g(x) 的极值点,所以 f ′(1)−g ′(1)=0, 解得 a =2,b =73.下面证明: 当 a =2,b =73时, f(x)⩽g(x).证明:令 ℎ(x)=g(x)−f(x)=23x 3−x 2−2x +73+(x 2+x )ln x. 则 ℎ′(x)=(2x +1)(x −1+ln x),当 x >1 时, ℎ′(x)>0,ℎ(x) 递增; 当 0<x <1 时, ℎ′(x)<0,ℎ(x) 递减. 所以 ℎ(x)⩾ℎ(1)=0, 即 f(x)⩽g(x) 恒成立. 综上可知, b −2a 的最小值为 −53.【点睛】求线性表达式型 ma +nb(m,n 为常数) 的最值时, 赋值的要点在于把原不等式变 成关于 a,b 的二元一次不等式, 然后根据 a,b 的系数比与 m:n 相等求出 x 0 (简称等比例赋值法 ).【例2】若函数 f(x)=aln x +12x 2+2bx 在区间 [1,3] 上单调递增, 则 a +4b 的最小值为 . 【答案】 −4【解析】 g(x)=f ′(x)=ax +x +2b ⩾0 对 x ∈[1,3] 恒成立, 即 ax +2b +x ⩾0 对 x ∈[1,3] 恒成立, 与目标式 a +4b 比较, 令 1x :2=1:4, 得 x =2,因此令 x =2 (等比例赋值则 g(2)=a2+2+2b ⩾0⇒a +4b ⩾−4. ( a =1,b =−54时等号成立)所以 a +4b 的最小值为 −4.【点睛】这里用了等比【例】赋值法, 要点睛意等号成立的条件. 由已知得 ax +2b +x ⩾0 对 x ∈ [1,3] 恒成立, 与目标式 a +4b 比较, 令 1x :2=1:4 , 得 x =2 , 因此令 x =2 . 当 a +4b = −4 时, 由 g(x)⩾0=g(2) 知 x =2 是 g(x) 的极值点, 所以 g ′(2)=0⇒a =4,b =−2.比值型【例3】已知函数 f(x)=ln x +(e −a)x −2b, 若不等式 f(x)⩽0 对 x ∈(0,+∞) 恒成立, 则 ba 的最小值为 . 【答案】-12e.【解析】解法 1 : 消元法显然 a >e,f ′(x)=1x +(e −a), 易知 x =1a−e为 f(x) 的极大值点,所以只需 f (1a−e)⩽0, 即 2b ⩾−ln (a −e)−1, 所以 2b a⩾−ln (a−e)−1a.今े ℎ(a)=−12⋅[ln (a−e)+1]a,则 ℎ′(a)=−12⋅ea−e−ln (a−e)a 2, 点睛意到 ℎ′(2e)=0,易知 a =2e 为 ℎ(a) 的极小值点, ℎ(2e)=−12e .所以 ba ⩾−12e , 故 ba 的最小值为 −12e . 解法 2:零点比大小f(x)⩽0⇔ln x +(e −a)x −2b ⩽0⇔ln x +ex ⩽ax +2b, 即 ln x +ex ⩽a (x +2b a)函数 y =ln x +ex 与 y =a (x +2ba) 的零点分别为 1e ,−2b a由图可知: −2b a⩾1e⇒b a⩽−12e, 故 ba的最小值为 −12e.解法 3 : 赋值法f(x)⩽0⇔ln x +ex ⩽ax +2b, 令 x =1e, 则 a ⋅1e+2b ⩾0⇒b a⩾−12e.故 b a的最小值为 −12e.【点睛 1】求比值型的最值时, 赋值的要点在于把原不等式改写成一边只含有目标式分子、 分母的线性结构, 再令另一边为 0 , 找到 x 0.【点睛 2】观察不等式 ln x +ex ⩽ax +2b 与目标式 ba 的结构, 进行恰到好处的赋值. 只需 让 ln x +ex =0 , 便得 a ⋅1e +2b ⩾0 , 进而可求得 b a 的最值. 解方程 ln x +ex =0 , 可得 x =1e , 从而有上面的解法.【点睛 3】本题我们用了消元法、零点比大小和赋值法, 显然赋值法最为简捷. 【例4】已知不等式 (e −a)e x +x +b +1⩽0 恒成立, 其中 e 为自然常数, 则 b+1a的最大值 为 . 【答案】 1e【解析】赋值法(e −a)e x +x +b +1⩽0⇔ae x −(b +1)⩾e x+1+x , 令 e x+1+x =0 , 得 x =−1 , 则 a ⋅1e−(b +1)⩾0⇒b+1a⩽1e, 故 b+1a的最大值为 1e.乘积型【例5】 若 e x −x +12x 2⩾12x 2+ax +b 恒成立, 求 (a +1)b 的最大值. 【答案】 e2【解析】解法 1 : 消元法e x −x +12x 2⩾12x 2+ax +b ⇔e x −(a +1)x −b ⩾0,令 g(x)=e x −(a +1)x −b, 则 g ′(x)=e x −(a +1),(1)若 a +1<0, 则 g ′(x)>0, 则 g(x)=e x −(a +1)x −b 在 R 上单增, 当 x →−∞ 时, f(x)→−∞,与 g(x)⩾0 矛盾, 舍去. (2)若 a +1>0, 由 g ′(x)=0 得 x =ln (a +1),所以 g(x) 在 (−∞,ln (a +1)) 单减, 在 (ln (a +1),+∞) 单增, 则 g(x)min =g(ln (a +1))=(a +1)−(a +1)ln (a +1)−b ⩾0,即 b ⩽(a +1)−(a +1)ln (a +1) ， 则 b(a +1)⩽(a +1)2−(a +1)2ln (a +1)令 ℎ(t)=t 2−t 2ln t,t >0, 则 ℎ′(t)=t −2tln t =t(1−2ln t)所以ℎ(t) 在(0,√e) 单增, (√e,+∞) 单减, 所以ℎ(t)max=ℎ(√e)=e2, (3) 当a+1=0 时, (a+1)b=0,综上: (a+1)b 最大值为e2.解法2: 消元法e x−x+12x2⩾12x2+ax+b⇔e x−(a+1)x−b⩾0,即b⩽e x−(a+1)x(1)若a+1<0, 则(a+1)b⩾(a+1)e x−(a+1)2x,令ℎ(x)=(a+1)e x−(a+1)2x,ℎ′(x)=(a+1)e x−(a+1)2=(a+1)[e x−(a+1)]<0所以当x→−∞ 时, f(x)→+∞, 则(a+1)b⩾(a+1)e x−(a+1)2x 不成立(2) 若a+1>0, 则(a+1)b⩽(a+1)e x−(a+1)2x；令ℎ(x)=(a+1)e x−(a+1)2x,由ℎ′(x)=0 得x=ln (a+1), 则ℎ(x) 在(0,ln (a+1)) 单减, (ln (a+1),+∞) 单增,所以ℎ(x)=(a+1)2−(a+1)2ln (a+1),令g(t)=t2−t2ln t,t>0, 则g′(t)=t−2tln t=t(1−2ln t),所以g(t) 在(0,√e) 单增, (√e,+∞) 单减, 所以g(t)max=g(√e)=e2(3) 当a+1=0 时, (a+1)b=0,综上: (a+1)b 最大值为e2.【点睛】根据所求目标, 在a,b 都在变的情况下, 求(a+1)b 的最大值, 把b 移到一边, 同乘以(a+1), 构造出(a+1)b, 在等式的右边成功地消灭了变量b.【例6】已知函数f(x)=e x−xa −b ,当实数a>0 时, 对于x∈R 都有f(x)⩾0 恒成立, 则a2b 的最大值为（）A. −1e2B. 1e2C. −2e2D. 2e2【答案】A【解析】f′(x)=e x−1a , 易知x=ln 1a为极小值点, 则f(x)min=f(1a)=1a+ln aa−b⩾ 0 ,所以1a +ln aa⩾b ,则a2b⩽a+aln a ,令g(a)=a+aln a ,易得g(a)min=g(1e2)= −1e2.故a2b 的最大值为−1e2.强化训练1.已知不等式ln (x+1)−1⩽a(x+ba ) 对一切正数x 恒成立, 则ba的最小值为.【答案】1-e【解析】解法 1: 零点比大小ln (x +1)−1⩽a (x +ba) 恒成立,直线 y =a (x +ba ) 在函数 y =ln (x +1)−1 图象的上方, 直线 y =a (x +ba ) 在 x 轴上的截距为 −ba ,函数 y =ln (x +1)−1 在 (e −1,0) 处的切线为 y =1e [x −(e −1)],则 −b a ⩽e −1⇒b a ⩾1−e, 故 (ba )min=1−e解法 2 : 赋值法取 x =e −1,便有 ba ⩾1−e2.已知函数 f(x)=2ax 2+bx −3a +1,x ∈[−4,4] , 若 f(x)⩾0 恒成立, 则 5a +b 的取值 范围是当 5a +b 取得最小值时, a = . 【答案】 a =121【解析】赋值法2ax 2+bx −3a +1⩾0,x ∈[−4,4], 即 (2x 2−3)a +xb +1⩾0,x ∈[−4,4]. 令，解得或则由 f(3)⩾0, 得 5a +b ⩾−13; 由 f (−12)⩾0, 得 5a +b ⩽2.所以 5a +b 的取值范围是 [−13,2].当 5a +b =−13 时, f(x)⩾0=f(3), 可知 x =3 是函数 f(x) 的极值点 (或对称轴), 所以 −b4a =3, 易得 a =121. 3.已知不等式 x −3ln x +1⩾mln x +n(m ≠−3) 对 x >0 恒成立, 则 n−3m+3 的最大值为 .【答案】 −ln 2 【解析】赋值法，令，可得4.若对于任意正实数x, 都有ln x−aex−b+1⩽0 (e 为自然对数的底数) 成立, 则a+b 的最小值是.【答案】0【解析】令x=1e, 代入得: a+b⩾0,以下说明a+b=0 时满足条件,当a=1,b=−1 时, 令f(x)=ln x−ex+1+1=ln x−ex+2,则f′(x)=1x −e=1−exx, 令f′(x)=0, 解得: x=1e,可知当x∈(0,1e ) 时, f′(x)>0, 当x∈(1e,+∞) 时, f′(x)<0,故对任意正实数x, 都有f(x)⩽f(1e)=0,故a=1,b=−1 时, a+b=0, 满足题意, 故a+b 的最小值是0 ,故答案为: 0 .5.已知不等式e x⩾ax+b(a,b∈R, 且a≠0) 对任意实数x 恒成立, 则b−2a 的最大值为A. 2−ln 2B. 1−ln 2C. −2ln 2D. −ln 2【答案】D【解析】解法1:零点比大小由e x⩾ax+b 得e x−2⩾ax+(b−2)=a(x+b−2a),考虑y=e x−2 与y=a(x+b−2a) 在x 轴上的截距,只需−b−2a ⩾ln 2⇒b−2a⩽−ln 2.解法2 : 赋值法令e x−2=0 即x=ln 2, 结合a>0, 立得b−2a⩽−ln 2.6.已知函数f(x)=e x−12x2+x3, 若x∈R 时, 恒有f′(x)⩾3x2+ax+b, 则ab+b的最大值为（） A. √e B.√e 2C. e2D. e【答案】C【解析】因为函数 f(x)=e x −12x 2+x 3 , 则 f ′(x)=e x −x +3x 2 , 由题可知, 对 x ∈R ,恒 有 e x −x +3x 2⩾3x 2+ax +b ⇒e x −x −ax −b ⩾0 成立, 令 g(x)=e x −x −ax , 则 g ′(x)=e x −1−a 当 a <−1 时, 函数 g(x) 在 R 上单调递增, 且 x →−∞ 时, g(x)→−∞, 不符合题意;当 a =−1 时, ab +b =0, 当 a >−1 时, 令 g ′(x)=e x −1−a >0⇒x >ln (1+a), 所以函数 g(x) 在 (ln (1+a),+∞) 上单调递增, 且在 (−∞,ln (1+a)) 上单调递减; 所以 g(x)min =g[ln (1+a)]=e ln (1+a)−ln (1+a)−aln (1+a)=(1+a)− (1+a)ln (1+a),故 (1+a)−(1+a)ln (1+a)−b ⩾0⇒b(1+a)⩽(1+a)2−(1+a)2ln (1+a), 令 t =1+a >0, 则 ℎ(t)=t 2−t 2ln t, 且 ℎ′(t)=2t −(2tln t +t)=t(1−2ln t), 当 t ∈(0,√e) 时, ℎ′(t)>0, 函数 ℎ(t) 单调递增; 当 t ∈(√e,+∞) 时, ℎ′(t)<0, 函数 ℎ(t) 单调递减,所以 ℎ(t)max =ℎ(√e)=(√e)2−(√e)2ln √e =e2, 故 b(1+a)⩽e2, 综上所述, ab +b 的最大值为 e2.7.设函数 f(x)=ln (ax +b)−x(a,b ∈R), 若 f(x)⩽0 恒成立, 则 ab 的最大值为 .【答案】 e2【解析】 ln (ax +b)⩽x 恒成立, 即 e x ⩾ax +b >0 恒成立, a,x,b >0 e x ⩾ax +b ⩾2√ax ⋅b, 所以 ab ⩽e 2x 4x(x >0), 于是 ab ⩽(e 2x4x)min=e2.8.已知 a ≠0, 函数 y =f(x)=ae x ,y =g(x)=ealn x +b ( e 为自然对数的底数), 若存在一 条直线与曲线 y =f(x) 和 y =g(x) 均相切, 则 ba 最大值是 【答案】e【解析】 f ′(x)=ae x ,g ′(x)=ae x, 设切点分别为 (t,ae t ),(m,aelnm +b) , 则切线方程分别为 y −ae t =ae t (x −t);y −aelnm −b =ae m(x −m),由题意存在一条直线与曲线 y =f(x) 和 y =g(x) 均相切, 所以可得 ae m=ae t ,且 b =ae t (1−t)+ae −aelnm; 因为ae m=ae t , 且 a ≠0,=(1−t)e t+e−elnm=(1−t)e t−e(1−t)+e=e t+et−te t;所以ba令ℎ(t)=e t+et−te t, 则ℎ′(t)=−te t+e.当t=1 时, ℎ′(1)=0 ;当t<1 时, ℎ′(t)>0,ℎ(t) 单调递增; 当t>1 时, ℎ′(t)< 0,ℎ(t)单调递减;故当t=1 时取得最大值ℎ(1)=e.故答案为: e.切线放缩知识与方法1. 切线放缩对于含有指数、对数或三角函数等超越式的函数或不等式问题, 有时我们可以利用导数的几何意义进行以直代曲, 即考虑函数f(x) 图象上某点x=x0处的切线y=kx+b, 结合函数的凹凸性进行切线放缩, 使问题便于解决.特别地, 当f(x)⩾kx+b 为下凸函数时, 则f(x)⩾kx+b ;当f(x) 为上凸函数时, 则f(x)⩽kx+b. 两个不等式中等号成立的条件刚好是x=x0.将f(x) 放大或缩小为kx+b , 得到f(x)⩾kx+b 或f(x)⩽kx+b , (其中k= f′(x0),y =kx+b 为f(x) 在x=x0处的切线y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)) 叫做切线放缩.对某些求函数的最小值或证明不等式的问题, 巧用切线放缩, 会有意想不到的效果.2. 常用的切线不等式(1) e x⩾x+1;(2)ln x⩽x−1;(3)e x⩾ex;(4)ln x⩽1x;(5)sin x⩽x(x⩾0).e【点睛】在 e x⩾x +1 中, 将 x 换成 ln x, 即得 x ⩾ln x +1⇒ln x ⩽x −1;在 e x ⩾x +1 中, 将 x 换成 x −1, 即得 e x−1⩾x ⇒e x ⩾ex; 在 e x ⩾ex 中, 将 x 换成 ln x, 即得 x ⩾elnx ⇔ln x ⩽1e x; 在 ln x ⩽x −1 中, 将 x 换成 x +1, 即得 ln (x +1)⩽x.典型例题逆用求导法则型【例1】若 x,y 是实数, e 是自然对数的底数, e x+y+2−3⩽ln (y −2x +1)+3x , 则2x +y = .【答案】- 83【解析】结合不等式 e x ⩾x +1 (当且仅当 x =0 时等号成立), 可得: e x+y+2⩾(x +y +2)+1=x +y +3 (1), 结合不等式 ln x ⩽x −1 (当且仅当 x =1 时等号成立),则 ln (y −2x +1)⩽(y −2x +1)−1, 所以 −ln (y −2x +1)⩾2x −y(1) (2) 两式相加, 即得: e x+y+2−ln (y −2x +1)⩾(x +y +3)+(2x −y)=3x +3 又已知 e x+y+2−3⩽ln (y −2x +1)+3x,所以 e x+y+2−3=ln (y −2x +1)+3x, 于是(1)与 (2) 中的等号同时成立, 所以 {x +y +2=0,y −2x +1=1, 解得 {x =−23,y =−43,所以 2x +y =−83. 故答案为: −83.【点睛】本题利用了夹逼法. 根据切线不等式 e x ⩾x +1 与 ln x ⩽x −1, 并结合已知条件,通过夹逼由不等式得到了方程, 最后点睛意到两个不等式中等号成立的条件, 解方程组即 可得到答案.【例2】已知函数 f(x)=ax +ln x +1, 若对任意的 x >0,f(x)⩽xe 2x 恒成立, 则求实数 a 的 取值范围是 . 【答案】 (−∞,2]【解析】解法 1: :切线放缩, 利用 e x ⩾x +1 对任意的 x >0,f(x)⩽xe 2x 恒成立, 等价于 a ⩽xe 2x −(ln x+1)x在 (0,+∞) 上恒成立.因为 xe 2x −(ln x +1)=e 2x+ln x −(ln x +1)⩾(2x +ln x +1)−(ln x +1)=2x, 所以 xe 2x −(ln x+1)x⩾2x x=2. 当且仅当 2x +ln x =0 时等号成立 (方程显然有解),即 (xe 2x −(ln x+1)x)min=2, 所以 a ⩽2.故答案为: (−∞,2]. 解法 2: 隐零点因为 f(x)=ax +ln x +1, 所以对任意的 x >0,f(x)⩽xe 2x 恒成立, 等价于 a ⩽e 2x −ln x+1x在 (0,+∞) 上恒成立.令 m(x)=e 2x −ln x+1x(x >0), 则只需 a ⩽m(x)min 即可, 则 m ′(x)=2x 2e 2x +ln xx 2,再令 g(x)=2x 2e 2x +ln x(x >0) , 则 g ′(x)=4(x 2+x )e 2x +1x>0 , 所以 g(x) 在(0,+∞)上单调递增, 因为 g (14)=√e 8−2ln 2<0,g(1)=2e 2>0,所以 g(x) 有唯一的零点 x 0, 且 14<x 0<1,所以当 0<x <x 0 时, m ′(x)<0, 当 x >x 0 时, m ′(x)>0, 所以 m(x) 在 (0,x 0) 上单调递减, 在 (x 0,+∞) 上单调递增,因为 2x 02e 2x 0+ln x 0=0, 所以 ln 2+2ln x 0+2x 0=ln(−ln x 0), 即 ln(2x 0)+2x 0=ln (−ln x 0)+(−ln x 0) ， 设 s(x)=ln x +x(x >0), 则 s ′(x)=1x +1>0, 所以函数 s(x) 在 (0,+∞) 上单调递 增,因为 s (2x 0)=s (−ln x 0), 所以 2x 0=−ln x 0, 即 e 2x 0=1x 0,2=−ln x 0x 0,所以 m(x)⩾m (x 0)=e 2x 0−ln x 0+1x 0=1x 0−ln x 0x 0−1x 0=2, 则有 a ⩽2,所以实数 a 的取值范围为 (−∞,2]. 故答案为: (−∞,2].【例3】已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列, 且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3), 若 a 1>1, 则（）A. a 1<a 3,a 2<a 4B. a 1>a 3,a 2<a 4C. a 1<a 3,a 2>a 4D. a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】 B【解析】(利用 ln x ⩽x −1) 由 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3), 可得 a 1+a 2+a 3+a 4= ln(a 1+a 2+a 3)⩽a 1+a 2+a 3−1 , 所以 a 4⩽−1 , 故公比 q <0 . 若 q ⩽−1 , 则 a 1+a 2+a 3 +a 4=a 1(1+q)(1+q 2)⩽0 , 而 a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)⩾a 1>1 ,即 ln(a 1+a 2+a 3)>0 , 矛盾; 所以 −1<q <0 , 所以 a 1−a 3=a 1(1−q 2)>0,a 2−a 4= a 1q (1−q 2)<0, 所以 a 1>a 3,a 2<a 4, 故选 B.多变量轮换式的切线放缩【例4】f(x)=3+x1+x 2,x ∈[0,3], 已知数列 {a n } 满足 0<a n ⩽3,n ∈N ∗, 且满足 a 1+a 2+⋯ +a 2010=670, 则 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 2010)= A. 有最大值 6030 B. 有最大值 6027 C. 有最小值 6027 D. 有最小值 6030 【答案】A【解析】由 f(x)=3+x1+x 2(0⩽x ⩽3) , 得 f ′(x)=−x 2−6x+1(1+x 2)2, 所以 f ′(13)=−910,f(x) 在x =13 处的切线方程为 y =−910x +3310 , 下证 f(x)=3+x 1+x 2⩽310(11−3x) . 而 f(x)=3+x 1+x 2⩽310(11−3x)⇔(x −3)(x −13)2⩽0.因为 x ∈[0,3], 所以 (x −3)(x −13)2⩽0 成立, 故 f(x)=3+x1+x 2⩽310(11−3x).所以当 0<a n ⩽3,n ∈N ∗ 时, 有 f (a n )⩽310(11−3a n ),f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 2010)⩽310[11×2010−3(a 1+a 2+⋯+a 2010)]=6030.故 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 2010) 最大值 6030 . 【点睛】本题利用函数 f(x)=3+x 1+x 2在 x =13处的切线进行放缩, 思路如下: 点睛意到a 1+ a 2+⋯+a 2010=670 , 当 a 1=a 2=⋯=a 2010 时, 有 a 1=a 2=⋯=a 2010=13 , 即 13是各元相 等时候的平衡点, 于是求出函数在平衡点的切线方程 y =−910x +3310, 可得 f(x)⩽310(11−3x).双参数最值的切线放缩【例5】已知不等式ln (x+1)−1⩽a(x+ba ) 对一切正数x 恒成立, 则ba的最小值为【解析】ln (x+1)−1⩽a(x+ba ) 恒成立,直线y=a(x+ba) 在函数y=ln (x+1)−1图象的上方,直线y=a(x+ba ) 在x 轴上的截距为−ba,函数y=ln (x+1)−1 在(e−1,0) 处的切线为y=1e[x−(e−1)],则−ba ⩽e−1⇒ba⩾1−e, 故(ba)min=1−e【点睛】本题利用两函数的零点比较大小, 其实就是切线放缩.强化训练1.已知函数f(x)=e x−1,g(x)=ln (x+1), 直线l 与y=f(x) 的图象相切, 与y= g(x) 的图象也相切, 则直线的l 方程是.【答案】y=x【解析】f(x)=e x−1 与g(x)=ln (x+1) 互为反函数, 其图象如图,其公共点为O(0,0),由f(x)=e x−1, 得f′(x)=e x, 所以f′(0)=1,曲线f(x)=e x−1 在O(0,0) 处的切线方程为y=x,由g(x)=ln (x+1), 得g′(x)=1x+1, 所以g′(0)=1,曲线g(x)=ln (x+1) 在O(0,0) 处的切线方程为y=x,所以曲线f(x)=e x−1 与曲线g(x)=ln (x+1) 的公切线为y=x.故答案为: y=x.2.已知实数a,b,c 满足e a+c+e2b−c−1⩽a+2b+1 (e 为自然对数的底数), 则a2+b2的最小值是.【答案】15【解析】设u(x)=e x−(x+1), 则u′(x)=e x−1, 可知u(x)⩾u(0)=0, 即e x⩾x+1;由不等式性质可知e a+c+e2b−c−1⩾a+c+1+2b−c=a+2b+1 ,当且仅当a+c= 2b−c−1=0 时取等号;又因为e a+c+e2b−c−1⩽a+2b+1,即有: e a+c+e2b−c−1=a+c+1,所以a+c=2b−c−1=0; 即a=−c,b=c+12;所以a2+b2=c2+(c+1)24=54c2+c2+14=54(c+15)2+15⩾15当且仅当c=−15时取等号, 故a2+b2的最小值是15, 答案为:15.3.函数f(x)=e x−a+x,g(x)=ln (x+2)−4e a−x, 若∃x0使得f(x0)−g(x0)=3, 则a= .【答案】-1- ln 2【解析】令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x,令y=x−ln (x+2),y′=1−1x+2=x+1x+2,故y=x−ln (x+2) 在(−2,−1) 上是减函数(−1,+∞) 上是增函数,故当x=−1 时, y 有最小值−1−0=−1,而e x−a+4e a−x⩾4. ( 当且仅当e x−a=4e a−x, 即x=ln 2+a 时, 等号成立);。
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题(瓜豆原理与隐形圆问题专题练习)(无答案)
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题（瓜豆原理与隐形圆问题专题练习）1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．3. 如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．4. △ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于O A B C DEF点O ，则线段AO 的最大值为_____________．5. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．6. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点BAB CDE OA在y 轴上运动时，求OP 的最小值．4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．9. 如图，在反比例函数2y x =-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为________．10. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．GA B CDE F11. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．12. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．13.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A CD PA BC P AB C E FP14. 已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．15. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．17. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，求Q 点轨迹.E FA B CD PPAB CF EDC B A18. 如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，求Q点轨迹.。
专题03 相似三角形中的最值问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练
专题03 相似三角形中的最值问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为()A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm【答案】C【分析】根据相似四边形的性质列式计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边比的比相等是解题的关键．【解答】解：设它的最大边长为xcm，∵两个四边形相似，∴15=4x，解得，x=20，2.在如图所示的5×5方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在如图所示的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形的最小面积和最大面积分别为()A. 0.5，2.5B. 0.5，5C. 1，2.5D. 1，5【答案】B【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，勾股定理的有关知识，作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可．根据格点三角形边长的求解方法，易得AB，DE与GH的长．即可得出问题的解．【解答】解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF ，△GHI 和△ABC 都相似，AB =√2，DE =1，GH =√10，所以它们的相似比为DE ：AB =1：√2，GH ：AB =√10：√2，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC 的面积为12×2×1=1， ∴△DEF 的面积为12×1=0.5，△GHI 的面积为(√10√2)2×1=5，3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】 设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，MN 最小值为OP −OF =53，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 最大值=103+1=133，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【解答】解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP −OF ，∵AC =4，BC =3，∴AB =5∵∠OPB =90°，∴OP//AC∵点O 是AB 的三等分点，∴OB=23×5=103，OPAC=OBAB=23，∴OP=83，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD//BC，∴ODBC =OQAB=13，∴OD=1，∴MN最小值为OP−OF=83−1=53，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值=103+1=133，∴MN长的最大值与最小值的和是6．4.如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为(13,1)，(3,1)，(3,0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为(0,b)，则b的取值范围是()A. −14≤b≤1 B. −54≤b≤1 C. −94≤b≤12D. −214≤b≤1【答案】B本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN.证明△PAB∽△NCA ，得出PB NA =PA NC ，设PA =x ，则NA =PN −PA =3−x ，设PB =y ，代入整理得到y =3x −x 2=−(x −32)2+94，根据二次函数的性质以及12≤x ≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．【解答】解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，{∠APB =∠CNA =90∘∠PAB =∠NCA =90∘−∠CAN， ∴△PAB∽△NCA ，∴PB NA =PA NC ，设PA =x ，则NA =PN −PA =3−x ，设PB =y ，∴y 3−x =x 1，∴y =3x −x 2=−(x −32)2+94， ∵−1<0，12≤x ≤3，∴x =32时，y 有最大值94，此时b =1−94=−54， x =3时，y 有最小值0，此时b =1，∴b 的取值范围是−54≤b ≤1．5. 如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF =2，BF =1，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( ) A. 10B. 8C. 252D. 12【答案】D本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数解题．延长NP 交EF 于G 点，设PG =x ，则PN =4−x ，利用平行线构造相似三角形，得出线段的比相等，从而表示矩形PNDM 的长、宽，再表示矩形的面积，利用配方法求函数的对称轴，根据x 的取值范围求最大值．【解答】解：延长NP 交EF 于G 点，设PG =x ，则PN =4−x ，∵PG//BF ，∴△APG∽△ABF ， ∴AG AF =PG FB ，即AG 2=x 1，解得AG =2x ，∴MP =EG =EA +AG =2+2x ，∴S 矩形PNDM =PM ⋅PN =(2+2x)(4−x)=−2x 2+6x +8=−2(x −32)2+252(0≤x ≤1)，∵−2<0，对称轴为x =32∴抛物线开口向下，且当x <32时，S 随x 的增大而增大，又PG =x ≤BF =1，∴当x =1时，函数有最大值为12，即当PG =1时，矩形PNDM 的面积最大，最大值为12．6. 如图，定点C 、动点D 在⊙O 上，并且位于直径AB 的两侧，AB =5，AC =3，过点C 在作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，则线段CE 长度的最大值为( )A. 5B. 8C. 325D. 203【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，确定CE什么时候取最大值是解题的关键．当CD是直径时，CE最长，由AB是直径，得到∠ACB=90°，利用勾股定理得出BC的长度，又因为∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，推出△ABC∽△DCE，根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：当CD是直径时，CE最长，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC=√ AB2−AC2=√ 52−32=4，∵∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，∴△ABC∽△DCE，∴ AC CD =BC CE，即 3 5=4CE，∴CE=203，二、填空题7.若△ABC的三条边长的比为3:5:6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么△A′B′C′的最大边长是__________．【答案】24cm【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形的对应边成比例．根据相似三角形的性质，依题意设△A′B′C′三边为3x，5x，6x，其中最小边是12cm，求出x，可求得最长边．【解答】解：三角形三边之比等于与他相似的三角形的三边之比，即3：5：6，与△ABC相似的△A′B′C′最小边为12cm，设△A′B′C′三边为3x，5x，6x，则3x=12cm时，解得x=4，则最长边为4×6=24cm.8.如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形DEFG，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为．【答案】12√1313【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=(4−x)，由PQ=x，则AP=4−x，证△ADG∽△ABC得比例式，据此知EF=DG=32勾股定理求得EG，进一步可求得答案．【解答】解：如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF=PQ，设GF=PQ=x，则AP=4−x，由DG//BC知△ADG∽△ABC，∴APAQ =DGBC，即4−x4=DG6，则EF=DG=32(4−x)，∴EG=√EF2+GF2=√94(4−x)2+x2=√134x2−18x+36=√134(x−3613)2+14413，∴当x=3613时，EG取得最小值，最小值为12√1313．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=6√2，D、E分别是边BC、AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【答案】163【分析】本题考查轴对称−最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，如图，作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长；Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6√2，∴BC=√32+(6√2)2=9，S△ABC=12AB·AC=12BC·AF=3×6√2=9AF，∴AF=2√2，∴AA′=2AF=4√2，∵∠A′FD=∠DEC=90°，∠A′DF=∠CDE，∴∠A′=∠C，∵∠AEA′=∠BAC=90°，∴△AEA′∽△BAC，∴AA′A′E =BCAC，∴4√2A′E =96√2，∴A′E=163，10.如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，有三个正方形内接于△ABC，最大正方形的边长BD=16，另一个正方形的边长DE=12，则最小正方形的边长GF=．【答案】9【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，根据正方形的性质和∠B=90∘，得到HG//FJ//DK//AB，然后利用平行线分线段成比例进行求解即可．【解答】解：如图∵Rt△ABC中，∠B=90∘，四边形BDMK，四边形DFEJ，四边形FGHI均为正方形，最大正方形的边长BD=16，另一个正方形的边长DE=12，∴HG//FJ//DK//AB，∴CDBC =DKAB，FJAB=CFBC，∴CDDK =FCJF=BCAB，∴12+CF16=CF12，解得：CF=36，∴CD=12+36=48，∴BCAB =CDDK=4816=3，∵HG//AB，∴HGAB =CGBC，∴CGHG =BCAB=3，∴CF−FGHG=3，∴36−FGFG=3，解得：GF=9．11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为______，线段DH长度的最小值为______．【答案】3√2；√13−√2【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD 于N.首先利用相似三角形的性质证明EM=2FN，推出EM=2，FN=1，当点P与A 重合时，PQ的值最大，由勾股定理和直角三角形的性质求出OD，OH即可解决问题．本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF=AD=3，∵FQ//PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE=2FQ，∴EM=2MF，∴EM=2，FM=1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ=3√2，∵MF//ON//BC，MO=OB，∴FN=CN=1，DN=DF+FN=3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM=90°，∵OM=OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD−OH，∴DH≥√13−√2，∴DH的最小值为√13−√2，故答案为3√2，√13−√2．三、解答题12.折纸的思考．[操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图 ①)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图 ②).第二步，如图 ③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．(1)说明△PBC是等边三角形．[数学思考](2)如图 ④，小明画出了图 ③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图 ⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程．(3)已知矩形一边长为3cm，其邻边长为acm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．[问题解决](4)用一张正方形铁片剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【答案】(1)证明：由折叠的性质得直线EF是线段BC的垂直平分线，直线BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．(2)解：本题答案不唯一．例如.以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC绕点B逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1，再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2．(3)解：当等边三角形的边长为3cm，高为acm时，则a=3√3，2当等边三角形的边长为acm，高为3cm时，则a=2√3． ①当0<a≤3√3时，如图．2 ②当3√2<a<2√3时，如图．2 ③当a≥2√3时，如图．(4)解：165．【分析】本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，相等垂直平分线的性质，旋转的性质，位似变换的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；(4)证明△AEF∽△DCE，得出AEDC =EFCE=14，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD−AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：(2)如图，△CEF是直角三角形，∠CEF=90∘，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90∘，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90∘，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴AEDC =EFCE=14.设AE=x，则AD=CD=4x，∴DE=AD−AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得(3x)2+(4x)2=42，解得x=45，∴AD=4×45=165．故答案为165．13.如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm，D、E、F分别是边AB、BC、CA(含端点)上的点，设BD=CE=AF=x(cm)，ΔDEF的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；(2)求ΔDEF的面积y的最大值和最小值．【分析】(1)根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE= x，AG=2−x；可得△AEG的面积y与x的关系；(2)利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状．【解答】解：(1)∵AF=BD=CE=x，且等边△ABC的边长为2，∴BE=CF=AD=2−x，∵∠A=∠B=∠C，∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)．在△ADF中，AF=x，AD=2−x，∵S△ADF=12AD×AF×sinA=√34x(2−x)；∴y=S△ABC−3S△ADF=√3−3×√34x(2−x)=3√34x2−3√32x+√3(0≤x≤2)．(2)∵y=3√34x2−3√32x+√3∴其图象为二次函数，且开口向上，∵0≤x≤2，∴√3≤y≤√3，4∴△DEF的面积的最大值为√3，最小值为√3．414.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC=______cm，BC=______cm；(2)当t=5(s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；(3)设点P的运动时间为t(s)，△PBQ的面积为y(cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．【答案】(1)8；6；(2)如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，∴当t=5时，AP=5，∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，∴CQ=4，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ垂直平分AC，∴CM=AM，CP=AP，∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；(3)如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，∵AP=t，BQ=2t，∴PB=10−t，∵△BQH∽△BAC，∴2t10=QH8，∴QH=85t，∴y=12⋅(10−t)⋅85t=45t2+8t(0<t≤3)；如图3：当Q在CA上运动时，过Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=t，BQ=2t，∴PB=10−t，AQ=14−2t，∵△AQH′∽△ABC，∴14−2t10=QH′6，∴QH′=35(14−2t)，∴y=12⋅(10−t)⋅35(14−2t)=35t2−515t+42(3<t<7)，(4)当0<t≤3时，y=−45t2+8t=−45t2+8t，则当t=3时，y max=845，当3<t<7时，y=35t2−515t+42=35(t−172)2−2720无最大值，则当t=3时，y max=845．【分析】(1)由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；(2)根据所给的条件求出AP和CQ的长，得出PQ垂直平分AC，再根据三角形的面积公式求出当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，从而得出△BCM周长的最小值；(3)分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；(4)分两种情况讨论，当0<t≤3时和3<t<7时，根据(3)求出的y与t的函数关系式，分别进行整理，即可得出答案．此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．解：(1)设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2，则AC=8cm，BC=6cm；故答案为：8，6；(2)如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，∴当t=5时，AP=5，∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，∴CQ=4，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ垂直平分AC，∴CM=AM，CP=AP，∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；(3)如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，∵AP=t，BQ=2t，∴PB =10−t ，∵△BQH∽△BAC ， ∴2t 10=QH 8， ∴QH =85t ， ∴y =12⋅(10−t)⋅85t =45t 2+8t(0<t ≤3)； 如图3：当Q 在CA 上运动时，过Q 作QH′⊥AB 于H′，∵AP =t ，BQ =2t ，∴PB =10−t ，AQ =14−2t ，∵△AQH′∽△ABC ，∴14−2t10=QH′6， ∴QH′=35(14−2t)，∴y =12⋅(10−t)⋅35(14−2t)=35t 2−515t +42(3<t <7)，(4)当0<t ≤3时，y =−45t 2+8t =−45t 2+8t ，则当t =3时，y max =845， 当3<t <7时，y =35t 2−515t +42=35(t −172)2−2720无最大值， 则当t =3时，y max =845．15. 【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．(1)求4x 2+16x +19的最小值．解：4x 2+16x +19=4x 2+16x +16+3=4(x +2)2+3因(x +2)2大于等于0，所以4x 2+16x +19大于等于3，即4x 2+16x +19的最小值是3.此时，x =−2(2)求−m 2−m +2的最大值解：−m 2−m +2=−(m 2+m)+2=−(m 2+m +14−14)+2=−(m +12)2+94 因(m +12)2大于等于0，所以−(m +12)2小于等于0，所以−(m +12)2+94小于等于94，即−m 2−m +2的最大值是94，此时，m =−12．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，AB=8，BC=6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF.设EF=x易证△AEF∽△ACB，则AFAB =AEAC=EFBC，AF8=AE10=x6，AF=43x,AE=53x，S矩形BDEF=EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ℎ，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为______.(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，该矩形的面积为______.(直接写出答案)【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=70cm，BC=108cm，CD=76cm，且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为______.(直接写出答案)【答案】aℎ4720 1458√3cm2【分析】【探索发现】利用配方法解决问题即可．【拓展应用】利用相似三角形构建二次三项式，再利用配方法解决问题即可．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD 交于点H，取BF中点I，FG的中点K，转化为图②中模型解决问题即可．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，转化为图②中模型解决问题即可．本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．【解答】解：【探索发现】S矩形BDEF =EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2=−43(x−3)2+12，∵−43(x−3)2≤0，∴S矩形BDEF =EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2=−43(x−3)2+12=−43(x−3)2+12≤12，∴矩形BDEF的面积的最大值为12．【拓展应用】设PN=b，∵PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴AEAD =PNBC，∵BC=a，BC边上的高AD=ℎ，∴ℎ−PQℎ=ba，PQ=aℎ−bℎa，∴S=b⋅PQ=abℎ−ℎb2a =−ℎab2+bℎ=−ℎa(x−a2)2+aℎ4≥aℎ4∴S的最大值为：aℎ4；则矩形PQMN面积的最大值为aℎ4；故答案为：aℎ4．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD 交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵{∠FAE=∠DHE AE=AH∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=AB+AF2=24，∵BI=24<32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为12×BG⋅12BF=12×(40+20)×12(32+16)=720，故答案为720．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵∠B=∠C=60°，∴EB=EC，∵EH⊥BC，∴BH=HC，∵EHHC=tan60°=√3设CH=BH=x，Z则EH=√3x，∵BC=BH+CH=108=2x，x=54，∴BH=CH=54，EH=54√3，∴EBEC=2BH=108，∵AB=70，∴AE=38，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=76，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为14BC⋅EH=14×108×54√3=1458√3cm2，故答案为1458√3cm2．。
专题32二项式定理：系数最值问题小题专练B卷-高三数学二轮专题复习
专专32专专专专专专专专专专专专专专专专B专一、单选题1. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中常数项为( )A. B. C. D.2. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为( )A. B. C. D.3. 若展开式中的系数为，展开式中二项式系数的最大值为( )A. B. C. D.4. 在的二项展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则( )A. B. C. D.5. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，那么的指数是整数的项共有( )A. 项B. 项C. 项D. 项6. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. B. C. D.7. 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是( )A. B. C. D.8. 若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则的展开式中系数最大的项为( )A. B. C. D. 或9. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )A. B. C. D.10. 设若，则展开式中二项式系数最大的项是( )A. B. C. D.二、填空题11. 若的二项展开式中二项式系数最大项为，则．12. 在的二项展开式中，若只有的系数最大，则．13. 已知的展开式中各项系数和为，则展开式中系数最大的项为．14. 的展开式中二项式系数最大的项为．15. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则16. 已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．17. 若展开式中前三项的系数和为，则展开式中系数最大的项为．18. 在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是请用数字作答19. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为若，则．20. 在的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则展开式中常数项是答案和解析1.【答案】解：由题意可知，二项式的展开式中一共有项，所以，设展开式第项为常数项，则，，，该二项式的展开式中常数项为，故选C．2.【答案】解：令，则，则，对于二项式，展开式共项，其中展开式中二项式系数最大的项为第四项，即．故选A．3.【答案】解：因为展开式的通项，令，得，可知二项式系数的最大值为．故选C．4.【答案】解：在的二项展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则，故选：．5.【答案】解：二项展开式中中间项的二项式系数最大，其展开式的通项为，要使的指数是整数，需是的倍数，，，，，的指数是整数的项共有项，故选C．6.【答案】解：若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，故，则展开式的通项为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故选：．7.【答案】解：令，则，解得，则，故，，，展开式中项的系数的最大值是．故选：．8.【答案】解：设的展开式的通项为，则，令，得，又，当时，最小，即，设的展开式中第项的系数最大，第项的系数为，当时，，解得，，，的展开式中系数最大的项为第二项，即，故选：．9.【答案】解：展开式中只有第五项的二项式系数最大，展开式中共有项，因此，展开式的通项为，令得，展开式中的系数是．故选：．10.【答案】解：由题可知，，当时，，的展开式中，通项为：，则常数项对应的系数为：，即，得，所以，解得：，则展开式中二项式系数最大为：，则二项式系数最大的项为：．故选A．11.【答案】解：若的二项展开式中，二项式系数最大项为，则，，故答案为：．12.【答案】解：的展开式通项为当时，值最大，所以是展开式中最大的二项式系数，所以，故答案为．13.【答案】或解：由的展开式中各项系数和为，令，则，所以，解得，或当时，其展开式中系数最大的项为．当时，其展开式中系数最大的项为故答案为或．14.【答案】解：在的展开式中，通项公式为，故第项的系数为，故当时，二项式系数最大，故当时，展开式中二项式系数最大的项为，故答案为：．15.【答案】解：由展开式中二项式系数的最大项为第四项，则二项式系数的最大值为，则，又展开式中的系数为：，则．所以．故答案为：．16.【答案】解：关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，即最大，解得，再根据，可得，令可得展开式的系数之和为．故答案为．17.【答案】解：展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又，，故展开式中系数最大的项为．故答案为：．18.【答案】解：在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，，则展开式的通项公式为，令，则，展开式中含项的系数是．故答案为．19.【答案】解：展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因为，所以，即，解得．故答案为：．20.【答案】解：如果是奇数，则中间两项的二次项系数最大，如果是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大，展开式中只有第六项的二项式系数最大，，展开式的通项为，令，可得，展开式中的常数项等于，故答案为：．。
最短路径问题专项练习题
最短路径问题专项练习题最短路径问题专项练，包括蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题以及线段最短问题。
原理是两点之间，线段最短；垂线段最短，可以通过构建“对称模型”实现转化。
最短路径问题指的是在给定的图中，找到从一个起点到达一个终点的最短路径。
其中，线段最短问题可以分为同侧和异侧两种情况。
对于异侧的情况，只需要连接这两点，与直线的交点即为所求；对于同侧的情况，需要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求。
证明时可以利用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。
解决最值问题时，利用轴对称的性质和三角形的三边关系是常用的方法。
但在应用中，要注意审题，不要只关注图形，而忽略题意要求，以免答非所问。
选址问题的关键是将各条线段转化为一条线段。
根据三角形的三边关系，如果两点在一条直线的同侧，则过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一条直线的异侧，则过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小。
根据最大值或最小值的情况，可以选择其中一个点的对称点来解决问题。
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。
因此，在解决最短路径问题时，可以利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化为一条直线上，从而解决问题。
例2中，要使厂部到A、B两点距离相等，可以作AB的垂直平分线与EF的交点。
要使厂部到A、B两村的水管最短，可以作A（或B）点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求。
例3中，要使从A到B的路程最短，只要AM＋BN最短。
因此，可以将MN平移至AC，使两线段在同一平行方向上，连接BC的线段即为最短的，此时点N即为建桥位置，XXX即为所建的桥。
精品资料整理范文范例研究参考1.桥的建造如图2所示，建造一座桥，过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河宽。
2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且0，则ω的最小值为()A.2B.4C.6D.82.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为()A.π12 B.π6C.π3 D.5π63.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cosA ，则角A 的最大值为()A.π6 B.π4C.π3 D.2π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b＝cos Ccos B ，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.35.若函数f (x )＝cos 2x ＋x (0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为() A.5π6，，4π3 C.5π3，，8π36.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π67.已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.8.已知函数f(x)＝cosωx＋ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围.12.已知向量a b＝(－sin x，3sin x)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1，a＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.二、创新拓展练13.设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A.(2，3)B.(1，3)C.(2，2)D.(0，2)14.(多选)设函数f(x)＝ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则()A.f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f(x)D.ω的取值范围是7 3，15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝6，记S为△ABC的面积，则下列说法正确的是()A.若C＝π3，则S有最大值93B.若A＝π6，a＝23，则S有最小值33C.若a＝2b，则cos C有最小值0D.若a＋b＝10，则sin C有最大值242516.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c＝a(b2＋c2－a2).(1)若A＝π3，求B的大小；(2)若a≠c，求c－3ba的最小值.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析函数f (x )的周期T ≤π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.答案B解析将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos 2φ＝x －2π3＋，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.答案A解析因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ，由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，①由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.答案A解析∵在△ABC 中，2a －c b＝cos Ccos B ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0.∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤43.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.答案B解析由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋x ＝3sin x 因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3，又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3，所以α，4π3.故选B.6.答案B解析因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，又对x ∈R ，都有f (x )≥所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝x令2kπ≤2x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，则函数y＝f(x)在0，π3上单调递减，故a的最大值是π，故选B.7.答案32，＋∞解析x∈－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥3 2，故ω取值范围是3 2，＋8.答案5 3，解析函数f(x)＝cosωx＋3sinω>0)，由x∈[0，π]，得ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3.又f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则2π≤ωπ＋π3<52π，解得53≤ω<136.9.答案9解析因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin120°＝12a×1·sin60°＋12c·1·sin60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以1a＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c 5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.10.答案22，π4解析由c ＋b cos A －a cos B ＝2a cos A 结合正弦定理得sin C ＋sin B cos A －sinA cosB ＝2sin A cos A ，即sin(A ＋B )＋sin B cos A －sin A cos B ＝2sin A cos A ，化简得2sin B cos A ＝2sin A cos A .因为A ≠π2cos A ≠0，则2sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝22，则由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2b 2＋c 2－b 222bc ＝b 2＋c 222bc ≥2bc 22bc ＝22，当且仅当b ＝c 时等号成立，解得0＜B ≤π411.(1)证明由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝又B 为钝角，因此π2＋A 故B ＝π2A ，即B －A ＝π2.(2)解由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝πA ＝π2－2A >0，所以A于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋2sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－A ＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－A ＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C ，98.12.解(1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )，又b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x＝x ＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32.(2)在锐角△ABC 中，因为＋12＝1，所以＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋c 2－bc ，所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤33.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3.二、创新拓展练13.答案A解析∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A .∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，A <π2，A <π2，－3A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32，即2<2cos A <3，故选A.14.答案CD解析因为x ∈[0，2π]，所以ωx ＋π3∈π3，2πω＋π3.设t ＝ωx ＋π3∈π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则5π≤2πω＋π3<7π，解得73≤ω<103，故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误；当x ωx ＋π3，π6ω因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )C 正确.15.答案ABD解析对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确；对于选项B ，对角A 用余弦定理得12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ，解得b ＝23或b ＝43，因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确.对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.解(1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12a ＝b ，所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B 2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ，所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去，所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A ＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A＝4cos 2A －6cos A －1＝A －134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0，即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九13-15班数学中考专题练习—14最值问题
最值问题是初中数学中综合性较强的问题，是中考的热点问题， “最值”问题大都归于两类： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数增减性、二次函数的对称性及增减性或一元二次方程根的判别式，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用此模型。 （2）归于“△三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用此模型。 平面几何中的最大值或最小值问题有时还要用到“连结直线外一点和直线上各点的线段中，垂线段最短” “ 定圆中所有弦中直径最长”等定理。 一、归于“两点之间的连线中，线段最短”
例1、 模型：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使：
⑴PAPB的值最小；⑵PBPA的值最小； ⑶PBPA的值最大。 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小。 应用：（1）如图正方形ABCD边长=2，E为AB中点，P是AC上一动点．则PBPE的最小值=_____； （2）如图点ABC、、在半径=2的O⊙上，OAOB，60AOC°，P在是OB上，则PAPC最小值= ；
（3）如图45AOB°，P在AOB内，10PO，QR、分别在OAOB、上，则PQR△周长的最小值= ． 延伸：如上图，A、B是直线l异侧的两个定点．在直线l上确定一点P，使：
⑴PAPB的值最小；⑵PBPA的值最小； ⑶PBPA的值最大。
例2：说明代数式 22x1(x3)4＋的几何意义，并求它的最小值． 解： 222222x1(x3)4 (x0)1(x3)2，22(x0)1表示点P（x，0）到点A（0，1）的距离，22(x3)2表示点P与点B（3，2）的距离，故原式表示线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，
CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32。 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）22(x1)1(x2)9可以看成点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和． （2） 22x49x12x37的最小值= ． 归纳：凡是求线段之和最短问题，都是化归到“两点之间线段最短”，转化方法大都是借助于“轴对称点” 练习1、如右图所示，在笔直公路MN的同一旁有两个新开发区BA,，AB10千米，直线AB与公路MN的
夹角,30AON新开发区B到公路MN的距离3BC千米。 （1）求新开发区A到公路MN的距离； （2）现从MN上某点P处向新开发区BA,修两条公路PBPA,，使点P到新开发区BA,的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点P（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PBPA的值。 2、如右图在ABC中，90,2ACBBCAC，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB
边上一动点，设BP的长为)20(aa，求PQCQ最小值。
3、 如图抛物线3518532xxy和y轴交于点为MA,为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。
4、如图∠MON=90°矩形ABCD中AB=2，BC=1，矩形形状不变，顶点A、B分别在OM，ON上运动，则DO最大值= ；
5、锐角△ABC中BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别在BD、BC上运动，则CM+MN的最小值= ； 6、如图圆柱底面半径=2cm，高=9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短= cm。 7、如图圆柱形玻璃杯高=12cm、底面周长=18cm，杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离= cm．
A C B P
Q x
y
OA F
E M
A
B C N O
M 二、归于“三角形两边之差小于第三边” 1、抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点,C对称轴为)3,0(),0,3(,1CBx。 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
三、归于“垂线段最短”
1、如图菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别在线段BC，CD，BD上，则PK+QK的最小值= ； 2、如图正方形ABCD边长=4，∠DAC平分线交DC于点E，点P、Q分别在AD和AE上，DQ+PQ的最小值= 3、如图△ABC中∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，则线段EF的最小值=
4、知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3， 问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，对角线PQ，DC能否相等，为什么？ 问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． OAB
5、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点． （1）求证：△MDC是等边三角形； （2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值． 6、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？
四、利用函数模型求最值 1、等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD
和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设BP=x。 ①若，BM=38，求x的值； ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值； ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
解决最值问题的常用方法 一、配方法：将已知代数式配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质解决。 例1设x、y为实数，代数式5x2+4y2－8xy+2x+4的最小值为_______。 二、分类讨论法：当存在不确定因素时先按一定的标准分为若干类、后逐类求解，再综合得到解决。 例2 已知0≤a≤4，那么23aa的最大值= 三、数形结合法：有些代数问题中有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数问题转化为几何关系来求解。
例3 使224(8)16xx取最小值的实数x的值为_________。 四、不等式法：一些求最大利润，最优方案问题可据题意转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，A
B
再结合函数性质求解。 例6：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需13
天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需12天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。 （1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y 与x的函数关系式。 （2）如果必须在20天内完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、判别式法：求某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再变形转化为某个字母的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式去求出新字母（原代数式）的取值范围，从而得解。
例8：设a，b为实数，那么代数式222aabbab的最小值是多少？ 六、换元法：对于形如yaxbcxd的函数，可考虑用换元法将其转化为二次函数，通过求二次函数的最值来达到目的。 例10 求函数y=x－12x的最值。 七、消元法：对于有条件等式的多元问题，常通过消元法把多个元素转化为以某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，再求解。 例11 a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5 , 2a+b－3c=1 , 设m=3a+b－7c，记x为m的最小值，y为m的最大值，则xy=_________。 八、枚举法：有些求最值问题可根据已知条件列举所有可能情形，再通过计算比较求出。 例12：若a、b、c、d是四个不相等的自然数，且abcd=2583，求S=a+b+c+d的最值。 九、估算法：对所要考察的代数式的取值情况，进行恰当的估算，确定其范围，可促使问题获解。 例13：五个互不相等自然的平均数是15，中位数是18，这五个数中最大数的最大值= 。 总之，初中数学最值问题具有较大的灵活性，关键要用数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易，由复杂转化为简单，使问题得到解决。
2、A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？