【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第一章《正弦定理》练习题(含答案)
人教版高中数学必修5正弦定理及余弦定理测试题及答案
一、选择题1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设a＝2，b＝3，cos C＝－1，4那么c等于()(A)2(B)3(C)4(D)52．在△ABC中，假设BC＝2，AC＝2，B＝45°，那么角A等于()(A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°3．在△中，三个内角，，的对边分别是，，，＝30°，＝150，＝503ABC ABC abc B b那么这个三角形是()(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4．在△中，32A C2AB()ABCcosB,sinC，，那么边53＝等于()5(B)(C)2(D)12A4955．在△中，三个内角，，的对边分别是，，，如果∶∶＝1∶2∶3，那么ABCABab c A BCb∶c等于()(A)1∶2∶3(B)13(C)1∶4(D)2∶3∶∶2∶91∶二、填空题6．在△中，三个内角，，C的对边分别是a，，，假设a＝2，＝45°，＝75°，ABC AB b c B C那么b＝________.7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设a＝2，b＝2 3，c＝4，那么A ________.8．在△中，三个内角，，C 的对边分别是a，，，假设2cos cos＝1－cos，那么△ABC AB b c B C A ABC形状是________三角形.9．在△中，三个内角，，的对边分别是a ，，，假设＝3，＝4，＝60°，那么cABC AB C b c a b B________.10．在△ABC中，假设tanA＝2，B＝45°，BC＝5，那么AC＝________.三、解答题11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.12．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝13.求角B的大小；假设D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.(1)14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2 3x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.求角C的度数；求AB的长；求△ABC的面积.参考答案一、选择题1．C 2 ．B 3 ．D 4 ．B 5 ．B提示：4．由正弦定理，得sinC＝3，所以C＝60°或C＝120°，2当C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形；当C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形.5．因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理a b csinA ＝k，sinBsinC得a＝k·sin30°＝1k，b＝k·sin60°＝3k，c＝k·sin90°＝k，22所以a∶b∶c＝1∶3∶2.二、填空题6．267．30°8．等腰三角形9．33710．52324提示：8．∵A＋B＋C＝π，∴－cosA＝cos(B＋C).∴2cos BcosC＝1－cosA＝cos(B＋C)＋1，2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.9．利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB.10．由tan＝2，得sinA 2AC BCAC52.A，根据正弦定理，得，得5sinB sinA ＝4三、解答题11．c＝23，A＝30°，B＝90°.12．(1)60°；(2)AD＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA＝(50)2(20)229，同理得OB145,AB232.由余弦定理，得cosA＝OA2AB2OB22，2OAAB2A＝45°.14．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.(2)由题意，得a＋b＝23，ab＝2，22222又AB＝c＝a＋b－2abcosC＝(a＋b)－2ab－2abcosC＝12－4－4×(1)＝10.2所以AB＝10.(3)S△＝1absinC＝1·2·3＝3.ABC2222。
同步人教A版高中数学必修五练习：课时作业 1正弦定理
得sinB＝ ＝ ＝ ，因为b<c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
8．在△ABC中，若3b＝2 asinB，cosA＝cosC，则△ABC形状为________．
解析：由正弦定理知b＝2R·sinB，a＝2R·sinA，则3b＝2 a·sinB可化为：3sinB＝2 sinA·sinB．因为0°<B<180°，所以sinB≠0，所以sinA＝ ，所以A＝60°或120°，又cosA＝cosC，所以A＝C，所以A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
(2)由 ＋1＝ ，
得 ＝ ，
即 ＝ ，因为sin(A＋B)＝sinC≠0，sinB≠0，所以cosA＝ ，
所以sinA＝ ＝ ，
由正弦定理，得 ＝ ，
所以a＝ ＝ ＝ .
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答案：等边三角形
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在△ABC中，已知b＝asinC，c＝asinB，试判断△ABC的形状．
解析：解法一：由b＝asinC，c＝asinB，得 ＝ ，
由正弦定理，得 ＝ ，所以b2＝c2，
又b，c>0，所以b＝c，所以B＝C.
由b＝asinC，
得sinB＝sinAsinC＝sinAsinB，
所以sinA＝1，又0<A<π，所以A＝ ，
所以△ABC为等腰直角三角形．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝2 ，A＝30°，求ac的值．
解析：由正弦定理 ＝ 得sinB＝ .由条件b＝6，a＝2 ，知b>a，
所以B>A.所以B＝60°或120°.
高中数学人教A版必修5练习第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 课下检测 Word版含解析
一、选择题．在△中，已知＝，＝，＝°，则边的值是( )．．．．解析：根据余弦定理，＝＋－＝＋－×× °＝，＝.答案：．在△中，＝＋＋，则角等于( )．°．°．°．°解析：由题意知＋－＝－，则＝＝＝－.∵°<<°，∴＝°.答案：．在△中，，，为角、、的对边，且＝，则的取值范围是( )．(，] ．[，π)．(，] ．[，π)解析：＝＝＝＋≥，∵<<π，∴∈.答案：．已知△的三边满足(＋＋)·(＋－)＝，则等于( )．°．°．°．°解析：由条件将＋看作一个整体，利用平方差公式得(＋)－＝，化简整理得＋－＝，由＝＝＝.且°<<°，得＝°.答案：二、填空题．在△中，＝°，＝，则△的形状为．解析：由余弦定理得，＝＋－＝＋－又∵＝，∴＝＋－.即(－)＝.∴＝.又∵＝°，∴△为等边三角形．答案：等边三角形．(·龙山高二检测)在△中，＝，＝，＝，则·＝.解析：在△中，由余弦定理得＝＋－·，即＝＋－×.∴－－＝.∴＝.∴·＝(°－)＝－＝－××＝－.答案：－三、解答题．(·山东高考)在△中，＝，＝，试判断△的形状．解：由余弦定理知＝，代入＝得＝·，∴＋＝.∴△是以为直角的直角三角形．又∵＝，∴＝·.∴＝.∴△也是等腰三角形．综上所述，△是等腰直角三角形．．(·辽宁高考)△的三个内角，，所对的边分别为，，，＋＝.()求；()若＝＋，求.解：()由正弦定理得，＋＝，即(＋)＝.故＝，所以＝.()由余弦定理和＝＋，得＝.由()知＝，故＝(＋).可得＝，又>，故＝.所以＝°.。
人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理作业.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.1.1正弦定理作业1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. 30B. 60C. 30或 150D. 60或 1202、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A. 226-B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. 30,14,7===A b a ，有两解B. 150,25,30===A b a ,有一解C. 45,9,6===A b a ，有两解D. 60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中， 60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （ ） A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知 30=A , 45=C 20=a ，解此三角形。
7、在ABC ∆中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。
参考答案：1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B 60或 120。
2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以 30=C ， 105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即 60=A 或 120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。
2021年高中数学 1.1.1 正弦定理(1)同步练习 理(普通班)新人教A版必修5
2021年高中数学 1.1.1 正弦定理（1）同步练习理（普通班）新人教A
版必修5
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（）．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．在△ABC中，，则△ABC一定是（）
Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. ，有两解
B. ,有一解
C. ，有两解
D. ，无解
6．中，的对边分别为若且，则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
二、填空题
7．在△ABC中，若,求= ．
8．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．10．在△ABC中，求证：
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
二、填空题
7．8. 1
三、解答题
9.解∵Ｂ＝Ａ＋∴
又∴
∴
∴又∵∴
10. 解：.
I33569 8321 茡25979 657B 敻E 38927 980F 頏37950 943E 鐾27850 6CCA 泊27403 6B0B 欋Q%25532 63BC 掼31699 7BD3 篓28743 7047 灇^。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修51.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A. 答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4. 所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：40 3 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数． 解：因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， 所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。
2019-2020学年人教A版高中数学必修五习题：第一章1.1第1课时正弦定理 Word版含答案
第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由2B ＝A ＋C ⇒3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°.答案：C2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A， 所以AC ＝BC·sin B sin A ＝32×2232＝23.答案：B3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sinB ，1532＝10sin B，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin2 B ＝63. 答案：D4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2BC.a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ， 由a ＝b sin A 得：2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2. 答案：B二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________． 解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ， 即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4. 答案：π47．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin B sin C ＝________． 解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)， 由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k－3k 5k＝1. 答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________． 解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ， 所以sin C ＝AB·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32，所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B .因为2A 、2B ∈(0，2π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，所以cos A cos B ＝sin B sin A .则sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.B 级 能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin2B －sin2A sin2A 的值为() A.19 B.13 C ．1 D.72解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a .因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以sin B sin A ＝32， 所以2sin2B －sin2A sin2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72. 答案：D2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________． 解析：因为 sin B ＝12，所以B ＝π6或B ＝5π6. 当 B ＝π6时，a ＝3， C ＝π6，所以 A ＝2π3， 由正弦定理得， 3sin 2π3＝b 12，则b ＝1. 当B ＝5π6时，C ＝π6，与三角形的内角和为π矛盾． 答案：13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又因为sin A ＝cos C ，所以sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin (C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°，所以C ＝15°.。
2019秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5
第1课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为( ) A ．6B ．2 3C ．3 D. 3答案：D2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝3，A ＝60°，那么角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 解析：因为a ＝3，b ＝3，A ＝60°，所以sin B ＝b sin A a ＝12.因为a >b ，所以A >B ，所以B ＝30°.答案：A3．在△ABC 中，b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a 的值为( ) A ．10 2 B ．210 C.10 D. 2 解析：因为在△ABC 中，b ＝5，B ＝π4， tan A ＝sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以sin A ＝255. 由正弦定理可得a 255＝5sin π4， 解得a ＝210.答案：B4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2BC.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B＝2R ， 由a ＝b sin A 得：2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2. 答案：B二、填空题6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．解析：因为cos A ＝63，所以sin A ＝33， 因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223， 又b sin B ＝asin A ，所以b ＝2 6. 答案：2 67．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin B sin C＝________． 解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k －3k 5k＝1. 答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________． 解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ， 所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， 所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝45°，b ＝45，sin B ＝255. (1)求c 的值；(2)求sin A 的值．解：(1)因为C ＝45°，b ＝45，sin B ＝255， 所以由正弦定理可得c ＝b sin C sin B ＝45×22255＝5 2.(2)因为sin B ＝255，B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝55， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝255×22＋55×22＝31010. 10．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解：由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A， 由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin A cos A. 因为sin A ，sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＋2B ＝π或2A ＝2B .所以A ＋B ＝π2或A ＝B . 所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形．B 级 能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a. 因为3a ＝2b ，所以b a ＝32， 所以sin B sin A ＝32， 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72. 答案：D2．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两个解，则x 的取值范围是________．解析：要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1.由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝24x ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >2，24x <1，所以2<x <2 2. 答案：2<x <2 23．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．解：因为2cos 2B －8cos B ＋5＝0，所以2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.所以4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3. 因为a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. 所以sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3， 所以sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. 因为0＜A ＜2π3， 所以π6＜A ＋π6＜5π6， 所以A ＋π6＝π2. 所以A ＝π3，C ＝π3. 所以△ABC 是等边三角形．。
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理习题(1)
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆A B C 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c.A B323π1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B-=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C++=o 得60B =o ，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=o，所以30A =o ，180C A B =--o90=o ，所以sin sin 90 1.C ==o4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
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第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43 B．23 C.3 D.32
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－223 B.223 C．－63 D.63
4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正
弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B
C.asin A＝b＋csin B＋sin C
D．正弦值较大的角所对的边也较大
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、填空题
6．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π3，则∠B＝________．
7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sin A－sin Bsin C＝________．
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．
三、解答题
9．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
2
10．在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半
径．
B级 能力提升
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则
2sin2B－sin2A
sin2A
的值为( )
A.19 B.13 C．1 D.72
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，
C＝π6，则b＝________．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c
＝2b，求C.
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第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理（参考答案）
一、选择题
1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°.
答案：C
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43 B．23 C.3 D.32
解析：利用正弦定理解三角形．
在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，
所以AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝23.
答案：B
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－223 B.223 C．－63 D.63
解析：利用正弦定理：
asin A＝bsin B，1532＝10sin B，所以sin B＝3
3
，因为大
边对大角(三角形中)，所以B为锐角，所以cos B＝1－sin
2
B＝63.
答案：D
4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正
弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B
4
C.asin A＝b＋csin B＋sin C
D．正弦值较大的角所对的边也较大
解析：在△ABC中，由正弦定理得
asin A＝bsin B＝c
sin C
＝k(k>0)，则a＝ksin
A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误．
根据比例式的性质易得C正确．
大边对大角，故D正确．
答案：B
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由正弦定理得：
asin A＝b
sin B
＝2R，
由a＝bsin A得：
2Rsin A＝2Rsin B·sin A，
所以sin B＝1，所以B＝
π
2
.
答案：B
二、填空题
6．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π3，则∠B＝________．
解析：由正弦定理，得
asin A＝b
sin B
，
即332＝6sin B，所以sin B＝22，所以∠B＝
π
4
.
答案：π4
5
7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sin A－sin Bsin C＝________．
解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，
由正弦定理，
得2sin A－sin Bsin C＝2a－bc＝2×4k－3k5k＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．
解析：由正弦定理，
ACsin B＝AB
sin C
，
所以sin C＝AB·sin 30°AC＝23·sin 30°2＝32，
所以C＝60°或120°，
(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；
(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1.
答案：1或2
三、解答题
9．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bcos B得，sin Acos
A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
因为2A、2B∈(0，2π)，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π.
即A＝B或A＋B＝π2，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
6
10．在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半
径．
解：由正弦定理知
sin Bsin A＝b
a
，
所以cos Acos B＝
sin B
sin A
.
则sin A cos A＝sin B cos B，
所以sin 2A＝sin 2B.
又因为a≠b，所以2A＝π－2B，
即A＋B＝
π
2
.
所以△ABC是直角三角形，且C＝90°，
由a2＋b2＝102，ba＝43，得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝a＋b－c2＝6＋8－102＝2.
B级 能力提升
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则
2sin2B－sin2A
sin2A
的值为( )
A.19 B.13 C．1 D.72
解析：因为asin A＝bsin B，所以sin Bsin A＝ba.
因为3a＝2b，所以ba＝32，
所以sin Bsin A＝32，
所以2sin2B－sin2Asin2A＝2sin Bsin A2－1＝2×322－1＝92－1＝
7
2
.
7
答案：D
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，
C＝π6，则b＝________．
解析：因为 sin B＝
1
2
，
所以B＝π6或B＝
5π
6
.
当 B＝π6时，a＝3，
C＝
π6，所以 A＝2π
3
，
由正弦定理得， 3sin 2π3＝b12，则b＝1.
当B＝5π6时，C＝π6，与三角形的内角和为π矛盾．
答案：1
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c
＝2b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理a＋c＝2b
可变形为sin A＋sin C＝2sin B，
又因为sin A＝cos C，所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝2sin (C＋45°)＝2
sin B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，
所以C＝15°.