(通用版)2020高考数学一轮复习2.6二次函数检测文
高考数学一轮复习效果监测 幂函数与二次函数.pdf
幂函数与二次函数 【选题明细表】 知识点、方法题号二次函数的解析式7、12二次函数的图象与性质2、3、4、6、8、10幂函数的图象与性质1、5、9综合问题11、12一、选择题 1.(2012山东烟台模拟)幂函数y=f(x)的图象经过点,则f的值为( B ) (A)1(B)2(C)3(D)4 解析:设f(x)=xα,则4α=,α=-,即f(x)=,于是f==2.故选B. 2.设abc<0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象不可能是( D ) 解析:由abc0时,ab0,图象可能为选项B. ②当c0, 对称轴x=-<0,图象可能为选项A、C, 图象不可能为选项D. 故选D. 3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A ) (A)f(2)<f(1)<f(4)(B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1)(D)f(4)<f(2)<f(1) 解析:∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)关于x=2对称,又开口向上. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3). ∴f(2)<f(3)<f(4), 即f(2)<f(1)<f(4),故选A. 4.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( D ) (A)[-3,0)(B)(-∞,-3] (C)[-2,0](D)[-3,0] 解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减, 故a=0时满足题意. 当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数, 则有 解得-3≤a1;②若0<x1x2-x1;③若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2);④若0<x1<x2,则1时,f(x)>1,①正确; 对于②,>1,可举例(1,1),(4,2),故②错误; 对于③,<,说明图象上两点x1,x2到原点连线的斜率越来越大,由图象可知,③错误; 对于④,2,即a<-2时, 函数在区间[1,2]上为减函数, 故此时最小值为f(2)=4a+7; 当1≤-a≤2, 即-2≤a≤-1时, 函数的最小值为f(-a)=-a2+3; 当-a-1时, 函数在区间[1,2]上为增函数, 故此时最小值为f(1)=2a+4. 综上可知,当a-1时,最小值为2a+4. 11.(2012开封模拟)已知函数f(x)=xm-且f(4)=. (1)求m的值; (2)判定f(x)的奇偶性; (3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=, ∴4m-=, ∴m=1. (2)由(1)知f(x)=x-, ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又f(-x)=-x+=-=-f(x). 所以函数f(x)是奇函数. (3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设x1>x2>0, 则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2), 因为x1>x2>0, 所以x1-x2>0,1+>0. 所以f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 12.(2012湖南十二校一联)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0). (1)证明:当a0对于一切x>0恒成立, 从而必有2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立. 又a0对于一切x>0恒成立是不可能的. 因此当a0), 不妨设x2>x1>0, 则k===2ax0+b+. 又g'(x0)=2ax0+b+, 若g(x)为“K函数”,则必满足k=g'(x0), 即有2ax0+b+=2ax0+b+, 也即=(c≠0), 所以=. 设t=,则0<t0, 所以s(t)在t∈(0,1)上为增函数,s(t)<s(1)=0, 故ln t≠.② ①与②矛盾,因此,函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.。
新高考数学一轮二轮复习专题-专题二 二次函数、方程与不等式(原卷版)-4月5月真题汇编
专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析
2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。
高考数学一轮复习二次函数与一元二次方程、不等式
则 a＝－12，b＝－2.所以 a＋b＝－14.
答案：－14
4．(人教A版必修①P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立， 则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有 4a2－4×18< 0，可得－3 2< a< 3 2.
答案：(－3 2，3 2)
二、易错易混小题的矫正纠偏
(2) 转 化 为 函 数 值 域 问 题 ， 即 ： 已 知 函 数 f(x) 的 值 域 为 [m ， n] ， 则 f(x)≥a 恒 成 立 ⇒ f(x)min≥a ， 即 m≥a ； f(x)≤a 恒 成 立 ⇒ f(x)max≤a ， 即 n≤a.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
[例3] (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒
意x都成立，则实数m的取值范围是
()
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当 m＝2 时，不
等 式 为 4 ＞ 0 ， 该 不 等 式 恒 成 立 ； 当 m≠2 时 ， 必 须 满 足
2－m＞0， 4－2m2－4×42－m＜0，
[答案] (1)B (2)(－2,3]
[方法技巧] 解一元二次不等式的4个步骤
角度2 解含参一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0. [解] ∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0， 令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]， 则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1. ①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2； ②当2a>a＋1，即a>1时，解得x<a＋1或x>2a； ③当2a<a＋1，即a<1时，解得x<2a或x>a＋1. 综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x<a＋1或x>2a}．
2020高考数学复习二次函数测试题
⎪ 2- -高考数学复习二次函数测试题1．（人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题）解析式、待定系数法若 f (x ) = x 2 + bx + c ，且 f (1) = 0 ， f (3) = 0 ，求 f (-1)的值．变式 1：若二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像的顶点坐标为 (2, -1) ，与 y轴的交点坐标为(0,11)，则A ． a = 1,b = -4, c = -11B ． a = 3, b = 12, c = 11C ． a = 3,b = -6, c = 11D ． a = 3, b = -12, c = 11变 式 2 ： 若 f (x ) = - x 2 + (b + 2)x + 3, x ∈[b , c] 的 图 像 x =1 对 称 ， 则c =_______．变式 3：若二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴有两个不同的交点A (x ,0 ) 、B (x ,0 )，且 x 2 + x 2 = 1 2 1 2 26，试问该二次函数的图像由 f (x ) = -3 (x - 1)29的图像向上平移几个单位得到？2．（北师大版第 52 页例 2）图像特征将函数 f (x ) = -3x 2 - 6x + 1 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式 1：已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ，如果 f (x ) = f (x ) (其中 x ≠ x )，1 2 1 2则 f ⎛ x 1 + x 2 ⎫ =⎝⎭A ． bB ． b2aaC ． cD ．4ac - b 24a变 式 2 ： 函 数 f (x ) = x 2 + px + q 对 任 意 的 x 均 有f (1 + x ) = f (1 - x )，那么 f (0)、 f (-1)、 f (1) 的大小关系是yO x变式 2：已知函数 f (x ) = x 2 - (a -1)x + 5 在区间( ,1)上为增函数，那么A ． f (1) < f (-1) < f (0)B ． f (0) < f (-1) < f (1)C ． f (1) < f (0) < f (-1)D ． f (-1) < f (0) < f (1)变式 3：已知函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像如右图所示，请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题_________．3．（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）单调性已知函数 f (x ) = x 2 - 2x ， g (x ) = x 2 - 2x (x ∈[2,4] ) ．(1)求 f (x )， g (x )的单调区间；(2) 求 f (x )， g (x )的最小值．变式 1：已知函数 f (x ) = x 2 + 4ax + 2 在区间 (-∞,6 )内单调递减，则 a 的取值范围是A ． a ≥ 3B ． a ≤ 3C ． a < -3D ． a ≤ -312f (2)的取值范围是_________．变式 3：已知函数 f (x ) = -x 2 + kx 在 [2,4] 上是单调函数，求实数 k 的取值范围．4．（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）最值已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=x2-2x(x∈[2,4])．(1)求f(x)，g(x)的单调区间；(2)求f(x)，g(x)的最小值．变式1：已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．[1,+∞)B．[0,2]C．[1,2] D．(-∞,2)变式2：若函数y=3-x2+4的最大值为M，最小值为m，则M+m 的值等于________．变式3：已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)．画出函数f(x)的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数，则在区间(-∞,0]上f(x)是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f(x)=ax2+bx+3a+b(a-1≤x≤2a)是偶函数，则点(a,b)的坐标是________．变式3：设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R．(I)讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值．6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换2⎩- x + 6 x - 5,1 ≤ x ≤ 6⎪ ⎧ x 2 + 4 x + 3, -3 ≤ x < 0 已知 f ( x ) = ⎨-3x + 3, 0 ≤ x < 1 ． ⎪(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式 1：指出函数 y = - x 2 + 2 x + 3 的单调区间．变式 2：已知函数 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b | ( x ∈ R ) ．给下列命题：① f ( x ) 必是偶函数；② 当 f (0) = f (2) 时， f ( x ) 的图像必关于直线 x =1 对称；③ 若 a 2 - b ≤ 0 ，则 f ( x ) 在区间[a ，＋∞ ) 上是增函数；④ f ( x ) 有最大值 | a 2 - b | ．其中正确的序号是________．③变式 3：设函数 f ( x ) = x | x | +bx + c, 给出下列 4 个命题：①当 c =0 时， y = f ( x ) 是奇函数；②当 b =0，c >0 时，方程 f ( x ) = 0 只有一个实根；③ y = f ( x ) 的图象关于点（0，c ）对称；④方程 f ( x ) = 0 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为．7．（北师大版第 54 页 A 组第 6 题）值域求二次函数 f ( x ) = -2 x 2 + 6 x 在下列定义域上的值域：(1)定义域为 {x ∈ Z 0 ≤ x ≤ 3}；(2) 定义域为 [-2,1]．变式 1：函数 f ( x ) = -2x 2 + 6x (-2 < x < 2)的值域是A．-20,⎡9⎤32⎤⎛B．(-20,4)C．-20,2⎦2⎦⎝-20,9⎪⎥⎣D．⎛⎫⎝2⎭变式2：函数y=cos2x+sin x的值域是__________．变式3：已知二次函数f(x)=a x2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f(1+x)=f(1－x)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．变式2：已知函数f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-2,2]时，有f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．变式3：若f(x)=x2+bx+c，不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cosβ)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值．9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系右图是二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像，它与x轴交于点(x,0)和1(x,0)，试确定a,b,c以及x x，x 2121+x的符号．2y1xx1O1x2变式1：二次函数y=ax2+b与一次函数y=ax+b(a>b)在同一个直角坐标系的图像为yO A．yx OB．xOy yx O xC．D．变式2：直线y=mx-3与抛物线C : y = x 2 + 5mx - 4m , C : y = x 2 + (2m - 1) x +m 2 - 3,1 2C : y = x 2 + 3mx - 2m - 3 中至少有一条相交，则 m 的取值范围是．3变式 3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1 （a > 0 ）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证 m >12；(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围．10．（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？y变式1：在抛物线f(x)=-x2+ax与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长A DxO B C最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a)．（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足g(a)=g(1)的所有实数a．a二次函数答案1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法⎪2a=2⎪4a⎪c=1139393变式1：解：根据题意可知x1+x2=-b，∴f⎛x1+x2⎫=4ac-b2，故3⎭⎧b-⎪⎧a=3变式1：解：由题意可知⎪⎨4ac-b2=-1，解得⎪⎨b=-12，故选D．⎪c=11⎩⎪⎩变式2：解：由题意可知b+2=1，解得b=0，∴0+c=1，解得c=2．22变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为f(x)=-3(x-1)2+k，展开得f(x)=-3x2+6x-3+k，∴x+x=2,x x=3-k，1212∴x2+x2=(x+x)2-2x x=26，即4-2(3-k)=26，解得k=4．121212所以，该二次函数的图像是由f(x)=-3(x-1)2的图像向上平移4单位得到的，它的解析式是f(x)=-3(x-1)2+4，即f(x)=-3x2+6x-5．332．（北师大版第52页例2）图像特征22a⎝2⎪4a选D．变式2：解：∵f(1+x)=f(1-x)，∴抛物线f(x)=x2+px+q的对称轴是x=1，∴-p=1即p=-2，2∴f(x)=x2-2x+q，∴f(0)=q、f(-1)=3+q、f(1)=-1+q，故有f(-1)>f(0)>f(1)，选C．y变式3：解：观察函数图像可得：O x变式2：解：函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上为增函数，由于（①a>0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；③4a+2b+1=0(和x轴的交点)；④a+b+1<0(f(1)<0)；⑤b2-4a>0(判别式)；⑥1<-b<2(对称轴)．2a3．（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1：解：函数f(x)=x2+4ax+2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x=-2a，由已知函数在区间(-∞,6)内单调递减可知区间(-∞,6)应在直线x=-2a 的左侧，∴-2a≥6，解得a≤-3，故选D．12其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴x=a-1或与直线x=1重合或位于22直线x=1的左侧，即应有a-1≤1，解得a≤2，222∴f(2)=4-(a-1)⨯2+5≥7，即f(2)≥7．变式3：解：函数f(x)=-x2+kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是x=k，2∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线x=k的左侧2或右侧，即有k≤2或k≥4，解得k≤4或k≥8．224．人教A版第43页B组第1题）最值变式1：解：作出函数f(x)=x2-2x+3的yO x2-2a=3，解得a=-，这个值与0≤a≤4相矛盾． x-a⎪图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，∴m的取值范围是1≤m≤2，故选C．变式2：解：函数有意义，应有-x2+4≥0，解得-2≤x≤2，∴0≤-x2+4≤4⇒0≤-x2+4≤2⇒0≤3-x2+4≤6，∴M=6，m=0，故M+m=6．变式3：解：函数f(x)的表达式可化为f(x)=4⎛⎫2+(2-2a)．⎝2⎭①当0≤a≤2，即0≤a≤4时，f(x)有最小值2-2a，依题意应有212②当a<0，即a<0时，f(0)=a2-2a+2是最小值，依题意应有2a2-2a+2=3，解得a=1±2，又∵a<0，∴a=1-2为所求．③当a>2，即a>4时，f(2)=16-8a+a2-2a+2是最小值，2依题意应有16-8a+a2-2a+2=3，解得a=5±10，又∵a>4，∴a=5+10f()≤f(a)． ⎪为所求．综上所述，a=1-2或a=5+10．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1：解：函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数⇒m2-1=0⇒m=±1，当m=1时，f(x)=1是常数；当m=-1时，f(x)=-2x2+1，在区间(-∞,0]上f(x)是增函数，故选D．变式2：解：根据题意可知应有a-1+2a=0且b=0，即a=1且b=0，∴3点(a,b)的坐标是⎛1,0⎫．⎝3⎭变式3：解：（I）当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)≠f(-a)，f(a)≠-f(-a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（II）（i）当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-1)2+a+3，24若a≤1，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而函数f(x)在2(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1．若a>1，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(1)=3+a，且224 12（ii）当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+1)2-a+3，24若a≤-1，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(-1)=3-a，且224f (- ) ≤ f (a) ， 1 2若 a > - 1 ，则函数 f ( x ) 在 [a,+∞ ) 上单调递增，从而函数 f ( x ) 在 2[a,+∞ ) 上的最小值为 f (a) = a 2 + 1．综上，当 a ≤ - 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为 3 - a ；2 4当 - 1 < a ≤ 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为 a 2 + 1；2 2 当 a > 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为3 + a ． 24 6．（北师大版第 64 页 A 组第 9 题）图像变换变式 1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单 调区间．当 x ≥ 0 时， y = - x 2 + 2 x + 3 = - (x - 1)2 + 4 ，当 x < 0 时， y = - x 2 - 2 x + 3 = - (x + 1)2 + 4 ．作出函数图像，由图像可得单调区间．yOx在 (-∞, -1)和 (0,1]上，函数是增函数；在[-1,0 ]和 (1,+∞)上，函数是减函 数．变式 2： 解：若 a = 1,b = 1, 则 f ( x ) =| x 2 - 2 x + 1| = x 2 - 2 x + 1 ，显然不是偶函数，所以①是不正确的；⎨⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎨若 a = -1,b = -4, 则 f ( x ) =| x 2 + 2 x - 4 | ，满足 f (0) = f (2) ，但 f ( x ) 的图像不关于直线 x =1 对称，所以②是不正确的；若 a 2 - b ≤ 0 ，则 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b |= x 2 - 2ax + b ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 x = a ，∴ f ( x ) 在区间[a ，＋∞ ) 上是增函数，即③是正确的；显然函数 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b | (x ∈ R )没有最大值，所以④是不正确的．变式 3： 解： f ( x ) = x | x | +bx + c = ⎧⎪ x 2 + bx + c, x ≥ 0 ， ⎪⎩- x 2 + bx + c, x < 0(1)当 c =0 时， f ( x ) = x x + bx ，满足 f (- x ) = - f (x )，是奇函数，所以①是正确的；(2)当 b =0，c >0 时， f ( x ) = x x + c = ⎧⎪ x 2 + c, x ≥ 0 ， ⎪⎩- x 2 + c, x < 0方程 f ( x ) = 0 即 ⎧ x 2 + c = 0 或 ⎧- x 2 + c = 0 ， ⎩ x ≥ 0 ⎩ x < 0显然方程 ⎧ x 2 + c = 0 无解；方程 ⎧- x 2 + c = 0 的唯一解是 x = - c ，所以②⎩ x ≥ 0 ⎩ x < 0是正确的；(3) 设 (x , y ) 是 函 数 f ( x ) = x | x | +bx + c 图 像 上 的 任 一 点 ， 应 有0 0y = x | x | +bx + c ，0 0 0而 该 点 关 于 （ 0 ， c ） 对 称 的 点 是 (- x ,2 c - y ) ， 代 入 检 验0 02c - y = - x | x | -bx + c 即 - y = - x | x | -bx - c ，也即 y = x | x | +bx + c ，所以0 0(- x ,2 c - y )也是函数 f ( x ) = x | x | +bx + c 图像上的点，所以③是正确的；(4)若 b = -1,c = 0 ，则 f ( x ) = x | x | - x ，显然方程 x | x | - x = 0 有三个根，所以④ 是不正确的．7．（北师大版第 54 页 A 组第 6 题）值域在⎛-2,3⎤上是增函数，在⎡3,2⎫上是减函数，求出f(-2)=-20，f(2)=4，2⎦⎝⎣2⎭39，注意到函数定义不包含x=-2，所以函数值域是⎛-20,⎥⎤．∴3m=f(x)min =f(n)=－n2+n(*)，变式1：解：作出函数f(x)=-2x2+6x(-2<x<2)的图象，容易发现 ⎥⎢⎪9f()=22⎝2⎦变式2：解：∵y=cos2x+sin x=－2sin2x+sin x+1，令t=sin x∈[－1,1]，则y=－2t2+t+1，其中t∈[－1,1]，∴y∈[－2,99]，即原函数的值域是[－2,]．88变式3：解：(I)∵f(1+x)=f(1－x)，∴－b2a=1，又方程f(x)=x有等根⇔a x2+(b－1)x=0有等根，1∴△=(b－1)2=0⇒b=1⇒a=－，21∴f(x)=－x2+x．2(II)∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，1︒当m≥1时，f(x)在[m,n]上是减函数，123n=f(x)max=f(m)=－m2+m，∴3m=f(x)min=f(m)=－m2+m，3n=f(x)max=f(n)=－n2+n，(I)⎨a>0121两式相减得：3(m－n)=－(n2－m2)+(n－m)，2∵1≤m<n，上式除以m－n得：m+n=8，代入(*)化简得：n2－8n+48=0无实数解．2︒当n≤1时，f(x)在[m,n]上是增函数，1212∴m=－4，n=0．3︒当m≤1≤n时，对称轴x=1∈[m,n]，∴3n=f(x)max =f(1)=11⇒n=26与n≥1矛盾．综合上述知，存在m=－4、n=0满足条件．8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题变式1：解：函数f(x)的定义域为R，即不等式a x2+2x+1> 0的解集为R，∴应有⎧⎪⇒a>1，⎪⎩△=4－4a<0∴实数a的取值范围是(1,+∞)．⎧⎪a>0⎪⎩△=4－4a≥0f(2)≥0⎪⎪⎪-a≥2或-a≤-2(II)函数f(x)的值域为R，即a x2+2x+1能够取(0,+∞)的所有值．1︒当a=0时，a x2+2x+1=2x+1满足要求；2︒当a≠0时，应有⎨⇒0<a≤1．∴实数a的取值范围是[0,1]．变式2：解法一：(转化为最值)f(x)≥2在[-2,2]上恒成立，即f(x)=x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立．⑴∆=a2-4(1-a)≤0，∴-2-22≤a≤-2+22；⎧∆=a2-4(1-a)>0⎪⑵⎨f(-2)≥0，∴-5≤a<-22-2．⎪⎪⎩22综上所述-5≤a≤22-2．解法二：（运用根的分布）⑴当-a<-2，即a>4时，应有g(a)=f(-2)=7-3a≥2，即a≤5，∴a23不存在；⑵当-2≤-a≤2，即-4≤a≤4时，应有g(a)=f(-a)=-a2-a+3≥2，224即－22-2≤a≤22-2，∴-4≤a≤22-2；⑶当-a>2，即a<-4时，应有g(a)=f(2)=7+a≥2，即a≥-5，2∴-5≤a<-4综上所述-5≤a≤22-2．变式3：证明：(I)依题意，f(sin f(1)≤0，π2)=f(1)≥0，f(2+cosπ)=∴f(1)=0⇒1+b+c=0⇒b+c=－1，(II)由(I)得：f(x)=x2－(c+1)x+c(*)∵f(2+cosβ)≤0⇒(2+cosβ)2－(c+1)(2+cosβ)+ c≤0⇒(1+cosβ)[c－(2+cosβ)]≥0，对任意β成立．∵1+cosβ≥0⇒c≥2+cosβ，∴c≥(2+cosβ)max=3．(III)由(*)得：f(sinα)=sin2α－(c+1)sinα+c，设t=sinα，则g(t)=f(sinα)=t2－(c+1)t+c，－1≤t≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为t=c+12，3+1由(II)知：t≥=2，2∴g(t)在[－1,1]上为减函数．∴g(t)max=g(－1)=1+(c+1)+c=2c+2=8，∴c=3∴b=－c－1=－4．⎪4m 2 - 4(-2m ) < 0, ⎨9．（北师大版第 54 页 B 组第 1 题）根与系数关系变式 1： 解： 二次函数 y = ax 2 + b 与一次函数图象 y = ax + b 交于两点(o , b ) 、 (1, a + b ) ，由二次函数图象知 a, b 同号，而由 B, C 中一次函数图象知 a, b 异号，互相矛盾，故舍去 B, C ．又由 a > b 知，当 a > b > 0 时，- b > -1，此时与 A 中图形不符，当 0 > a > ba时， - b < -1 ，与 D 中图形相符． a变式 2：解 ： 原 命 题 可 变 为 ： 求 方 程 mx - 3 = x 2 + 5mx - 4m ，mx - 3 = x 2 + (2m - 1) x + m 2 - 3 ，mx - 3 = x 2 + 3mx - 2m - 3 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的 m 的值，即得所求．⎧(4m ) 2 - 4(-4m + 3) < 0,解不等式组 ⎪(m - 1) 2 - 4m 2 < 0, 得 - 3 < m < -1 ，2 ⎩故符合条件的 m 取值范围是 m ≤ - 3 或 m ≥ -1 ．2变式 3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b2a，∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2，b b1∴ g (1) < 0 ⇒ a + b < 0 ⇒ － > 1 ⇒ － > ，即a 2a 2x 1 + x 2 = ，x 1x 2 = ，∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = ( ) 2－ = 2 2，∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x =的距离都为 1，m >12．(II) △= (b －1) 2－4a > 0 ⇒ (b －1) 2 > 4a ，1－b 1a a1－b 4a a∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2(*)又 | x 1－x 2 | = 2，1－b 2a要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)，1－b则 g (x ) 对称轴 x = ∈ (－3,3)，2ab －1 1< 3 ⇒ a > | b －1 |，∴ －3 <2a 62 1把代入 (*) 得：(b －1) 2 >| b －1 | + (b －1) 2， 3 91 7解得：b <或 b > ， 4 4∴ b 的取值范围是：(－∞, 1 7 )∪( 4 4,+∞)．24⎝ 42⎭ ⎝⎭ 2 2 2 2 4 4x ．a - x , a 2 - x 2 ⎪ ⎪ ⎪10．（北师大版第 52 页例 3）应用变式 1：解：设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是 BC ，BC 的长是 x (0<x <a )，则 B 点的坐标为 ⎛ a - x ,0 ⎫ ，A 点的坐标为 ⎛⎫．⎭设矩形 ABCD 的周长为 P ，则 P =2 ⎛ x + a 2 - x 2 ⎫ = - 1 x 2 + 2x + a 2 = - 1 (x - 2)2 + a 2 + 2 (0<x <a )．⎝① 若 a >2，则当 x =2 时，矩形的周长 P 有最大值，这时矩形两边的长分别为 2 和 a 2 - x 2 ，两边之比为 8: (a 2 - 4 )；4②若 0 <a ≤2，此时函数 P = - 1 (x - 2 )2 + a 2 + 2 无最大值，也就是说周长22最大的内接矩形不存在．综上所述，当 a >2 时，周长最大的内接矩形两边之比为 8: (a 2 - 4)；当0 <a ≤2 时，周长最大的内接矩形不存在．变式 2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为f (x ) = kx ，g (x ) = m x ，5 由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ⇒ m =，415∴ f (x ) =x （x ≥0），g (x ) =(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x万元，∴企业的利润y=15(10－x)+44x=15[－(x－)42652+]（0≤x≤10），4∴565 x=，即x=6.25万元时，企业获得最大利润≈2164万元．答：在A产品投资3.75万元，在B产品投资6.25万元，企业获得最大利润约4万元．变式3：解：设t=1+x+1-x，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，∵t2=2+21-x2∈[2,4]，且t≥0……①∴t的取值范围是[2,2]．由①得：1-x2=1t2-1，2不妨设m(t)=a(1t2-1)+t=1at2+t-a，t∈[2,2]．22（I）由题意知g(a)即为函数m(t)=1at2+t-a，t∈[2,2]的最大值，2当a=0时，m(t)=t，t∈[2,2]，有g(a)=2；当a≠0时，此时直线t=-1是抛物线m(t)=1at2+t-a的对称轴，a2∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当a>0时，函数y=m(t)，t∈[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t=-1<0知m(t)在t∈[2,2]上单调递增，故ag(a)=m(2)=a+2；（2）当a<0时，，函数y=m(t)，t∈[2,2]的图象是开口向下的抛物a + 2(a > - )2综上所述，有 g (a) = ⎪⎨- a - 1 2 1 2a 2 2⎪⎩ ⇒ a =－2+ 2 <－ (舍去)； 2 2 2 ⇒ a =－2a 2a2 =线的一段，若 t = - 1 ∈ (0, 2 ] 即 a ≤ - 2 时， g (a) = m ( 2 ) = 2 ，a 2若 t = - 1 ∈ ( 2,2] 即 a ∈ (- 2 ,- 1 ] 时， g (a) = m (- 1 ) = -a - 1 ，a a 2a若 t = - 1 ∈ (2,+∞) 即 a ∈ (- 1 ,0) 时， g (a) = m (2) = a + 2 ．a 2⎧1 ⎪ ⎪ , (- < a ≤ - ) ．⎪⎪2 2(a ≤ - ) 2111（II ）若 a >0，则>0，此时 g(a )=g() ⇔ a +2=+2 ⇔ a =aaa1a ⇒a =1(舍去 a =－1)；11 1若－ <a <0，则 <－2，此时 g(a )=g( ) ⇔ a +2= 22 a a1221 1若－<a ≤－ ，则－2≤ <－ 22 a2 ，此时 g(a )=g( 1 1 ) ⇔ －a － a 2a=2(舍去)；2 若－ 2 ≤a ≤－，则－21 22 ≤ ≤－ ，此时 g(a )=g(1) ⇔2 恒成立；2 a 2 a 2 = a +2⇒ a =－2+ - 若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 1 1 < ≤－ ，此时 g(a )=g( 1 a ) ⇔ 2 =－a － 1 2 ⇒ a =－ (舍 2a 2 去)；1 1 若 a <－2，则－ < <0，2 a 此时 g(a )=g( 1 ) ⇔ 2 >－2 (舍 去) ．综上所述，满足 g (a) = g ( 1 ) 的所有实数 a 为： 2 ≤ a ≤ - 2 或 a = 1 ．a 2。
高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.6 幂函数与二次函数94
第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.对应学生24考点梳理1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x 12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函 数性 质 特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值 域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇[来源: ]非奇非偶奇单调性单调递增x ∈[0，＋∞)时，单调递增 x ∈(－∞，0] 时，单调递减单调 递增单调 递增x ∈(0，＋∞)时，单调递减 x ∈(－∞，0)时，单调递减 定点(0,0)，(1,1)(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象[来源: ]定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性 图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形【助学·微博】 两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.三种形式 二次函数表达式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))；(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标)．考点自测1.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B2．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α>0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c <0.又abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知，A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴对称轴x ＝－b 2a <0，∴B 错误． 答案 D4．(2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )． A.2π5 B.43C.32D.π2解析 观察函数图象可知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f (x )＝ax 2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋1，所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＝43.答案 B5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ＋m ＋6＝－a ， ∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －3＋14a 2＝9. 答案9对应学生26考向一 求二次函数的解析式【例1】►若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [审题视点] 对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数．解 法一 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意知最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∴函数的解析式是f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即－9a ＋44＝8，解之，得a ＝－4.∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.考向二 二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[审题视点] 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]， 且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解．【训练2】求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域．解由已知可得，函数y的对称轴为x＝a.①当a<0时，y min＝f(0)＝－1.y max＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a.所以函数的值域为[－1,3－4a]．②当0≤a≤1时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．③当1<a≤2时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a>2时，y min＝f(2)＝3－4a，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∵函数y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13<(3－2a)－13等价于a＋1>3－2a>0，或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32. 故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解 (1)设f (x )＝x a ，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a ， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．对应学生27方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题【命题研究】通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．【真题探究】►(2012·山东)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()．A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0[教你审题] 第1步构造方程；第2步设出方程的根；第3步由待定系数法确定方程的相关系数；第4步由对应系数相等确定x1、x2的关系式；第5步判断符号．[一般解法] 利用函数与方程思想求解．由题意知函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程1x＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3＋bx2－1＝0有两个不同非零实根x1，x2，因而可设ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋x21x－x2x2＋2x1x2x－x2x21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0. 当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0. [优美解法]不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，故选B.[答案] B[反思] 准确使用数形结合思想，起到事半功倍的效果．【试一试】 已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 依题意得f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，f (－1)＝2b －c ，方程f ′(x )＝0的两个根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0，在坐标平面bOc 内画出该不等式组表示的平面区域D 及直线2b －c ＝0，平移直线2b －c ＝0，当该直线经过平面区域D 内的点(0，－3)与(0，－12)时，f (－1)＝2b －c 分别取得最小值与最大值，最小值与最大值分别是3,12，选C. 答案C 对应学生235A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析 对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数． 答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 答案 136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧ －12a ≤1，－a 2≥1，得a ≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； ②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1.由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1.。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：二次函数与幂函数
课时跟踪检测(十二) 二次函数与幕函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1幕函数y= f(x)经过点(3, 3)，则f(x)是()A•偶函数，且在(0,+^ )上是增函数B. 偶函数，且在(0,+^ )上是减函数C .奇函数，且在(0 ,+^ )上是减函数D •非奇非偶函数，且在(0,+^ )上是增函数解析：选D 设幕函数的解析式为y= x a,将(3, 3)代入解析式得3 a= 3，解得1a 2，所以y= x2 .故选D.2. (2018丽水调研股函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0, x € R),对任意实数t都有f(2 + t)= f(2-1)成立，在函数值f( —1), f(1), f(2), f(5)中，最小的一个不可能是()A. f(—1)B. f(1)C. f(2)D. f(5)解析：选B 由f(2 + t)= f(2 —t)知函数y= f(x)的图象对称轴为x = 2.当a>0时，易知f(5) = f(—1) > f(1) > f(2);当a v 0 时，f(5) = f(—1) v f(1) v f(2)，故最小的不可能是f(1).3. (2018金华模拟)已知幕函数y= f(x)的图象经过点2, 4，则它的单调递增区间为( )A. (0,+^ )B. ［0,+^ )C.(―汽0)D. ( — m,+m )解析：选C设幕函数f(x)=x a,••• f(x)的图象经过点2, 1 ,••• 2a= 1,解得a= —2,则f(x) = x—2= 4,且X M 0,••• y= x2在(—s, 0)上递减，在(0,+ s)上递增，•函数f(x)的单调递增区间是(一s, 0).4. 定义：如果在函数y= f(x)定义域内的给定区间［a , b］上存在x o(a v x o< b),满足f(x。
) =f［一fa，则称函数y= f(x)是［a , b］上的“平均值函数”，x°是它的一个均值点，如yb—a=x4是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点. 现有函数f(x) = —x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数，则实数m的取值范围是____________ .解析：因为函数f(x)=—x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数,设X 0为均值点，所以X 。
高三数学第一轮复习课时作业(6)二次函数
课时作业(六) 第6讲 二次函数时间：35分钟 分值：80分基础热身1．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤ 3 B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <02．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(a 2＋b )x ＋c 的图像开口向上，且f (0)＝1，f (1)＝0，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－34B.⎣⎡⎭⎫－34，0C ．0，＋∞)D ．(－∞，－1)3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2 B ．－2,2C ．(－2,2D ．(－∞，－2)4．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．不确定 能力提升5．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图像关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．2011·长沙二模 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有两个零点x 1，x 2，且1<x 1<x 2<3，那么在f (1)，f (3)两个函数值中( )A ．只有一个小于1B ．至少有一个小于1C ．都小于1D ．可能都大于17．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )① ② ③ ④ 图K6－1 A ．1 B ．－1C.－1－52D.－1＋528．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈－1,1时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b <－2C ．b <－1或b >2D ．不能确定9．下列四个命题：(1)函数f (x )在x >0时是增函数，x <0时也是增函数，所以f (x )是增函数；(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0；(3)y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为1，＋∞)；(4)y ＝1＋x 和y ＝(1＋x )2表示相同的函数．其中正确命题的个数是________．10．2011·上海十三校联考 已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则f (1)的最小值为________．11．已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18，则a ＝________.12．(13分)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图像过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数x 都成立． (1)求f (x )的解析式；(2)若F(x)＝λx2＋8x－f(x)在－1,1上是增函数，求实数λ的取值范围．难点突破13．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，且f(x＋1)为偶函数，定义：满足f(x)＝x的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)＋kx2在(0,4)上是增函数，求实数k的取值范围；(3)是否存在区间m，n(m<n)，使得f(x)在区间m，n上的值域为3m,3n？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．课时作业(六)【基础热身】1．D 解析 f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1上单调递增，有－a 3－a2a≥－1且a <0，得－3≤a <0.2．D 解析 由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋a 2＋b ＋1＝0，b ＝－a 2－a －1(a >0)，得b <－1.3．C 解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0恒成立，∴a ＝2满足题意；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0，解得－2＜a ＜2.所以a 的范围是－2＜a ≤2.4．A 解析 ∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )＜0，∴m ∈(0,1)，∴m －1＜0，∴f (m －1)>0. 【能力提升】5．C 解析 对于①，c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数； 对于②，b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ，∴当x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根；对于③，f (－x )＋f (x )＝－x |－x |＋b (－x )＋c ＋(x |x |＋bx ＋c )＝－x |x |－bx ＋c ＋x |x |＋bx ＋c ＝2c ， ∴f (x )的图像关于点(0，c )对称；对于④，当c ＝0时，f (x )＝x (|x |＋b )，若b <0，则方程有三根0，b ，－b ，故选C.6．B 解析 当函数图像关于直线x ＝2对称时，Δ＝16－4b >0，b <4，f (1)，f (3)都小于1；当函数图像对称轴不是直线x ＝2时，f (1)，f (3)中至少有一个小于1.7．B 解析 由b >0可知，①、②图像不正确；由③、④图像均过点(0,0)，则a 2－1＝0⇒a ＝±1.当a ＝1时，b >0，f (x )的对称轴为x ＝－b 2<0，此时不合题意；当a ＝－1时，f (x )的对称轴x ＝b2>0，③图像满足，故选B.8．B 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )得对称轴为直线x ＝1，所以a ＝2.当x ∈－1,1时，f (x )>0恒成立，得f (x )min ＝f (－1)>0，即－1－2－b ＋1>0⇒b <－2.9．0 解析 (1)反例f (x )＝－1x；(2)不一定a >0，a ＝b ＝0也可；(3)画出图像(图略)可知，递增区间为－1,0和1，＋∞)；(4)值域不同．10．4 解析 由题意知⎩⎨⎧a >0，4－4ac ＝0，f (1)＝a ＋c ＋2≥2＋2ac ＝4.11．1 解析 f (x )＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋16a 2，f (x )max ＝16a 2≤16，得－1≤a ≤1，对称轴为x ＝a3.当－1≤a <34时，⎣⎡⎦⎤14，12是f (x )的递减区间，而f (x )≥18，即f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，与－1≤a <34矛盾；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，而34≤a ≤1，所以a ＝1.12．解答 (1)∵f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数x 都成立，∴f (x )的对称轴为直线x ＝－1，∴－m2＝－1，∴m ＝2.又f (1)＝3，∴1＋2＋n ＝3，∴n ＝0.∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由(1)得F (x )＝(λ－1)x 2＋6x .①当λ－1>0，即λ>1时，函数F (x )为二次函数，其对称轴为x ＝－3λ－1，∴函数F (x )在⎣⎡⎭⎫－3λ－1，＋∞上为增函数．∵函数F (x )在－1,1上是增函数， ∴－3λ－1≤－1，解得1<λ≤4. ②当λ－1＝0，即λ＝1时，函数F (x )＝6x ，f (x )在R 上为增函数，符合题意；③当λ－1<0，即λ<1时，函数F (x )为二次函数，其对称轴为x ＝－3λ－1∴函数F (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－3λ－1上为增函数，∵函数F (x )在－1,1上是增函数， ∴－3λ－1≥1，解得－2≤λ<1. 综上，λ的取值范围是－2,4． 【难点突破】13．解答 (1)∵f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b 为偶函数， ∴2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴f (x )＝ax 2－2ax .∵函数f (x )有且仅有一个不动点， ∴方程f (x )＝x 有且仅有一个解，即ax 2－(2a ＋1)x ＝0有且仅有一个解，∴2a ＋1＝0，a ＝－12，∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)g (x )＝f (x )＋kx 2＝⎝⎛⎭⎫k －12x 2＋x ，其对称轴为x ＝11－2k.由于函数g (x )在(0,4)上是增函数，∴当k <12时，11－2k ≥4，解得38≤k <12；当k ＝12时，符合题意；当k >12时，11－2k<0恒成立．综上，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫38，＋∞.(3)f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∵在区间m ，n 上的值域为3m,3n ，∴3n ≤12，∴n ≤16，故m <n ≤16，∴f (x )在区间m ，n 上是增函数，∴⎩⎨⎧f (m )＝3m ，f (n )＝3n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝3m ，－12n 2＋n ＝3n ，∴m ，n 是方程－12x 2＋x ＝3x 的两根，由－12x 2＋x ＝3x ，解得x ＝0或x ＝－4， ∴m ＝－4，n ＝0.。
2020高考数学(文数)考点测试刷题本08 二次函数与幂函数(含答案解析)
2020高考数学(文数)考点测试刷题本08二次函数与幂函数一、选择题1.幂函数y=x －1，y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m<0<n<1B ．－1<n<0<mC ．－1<m<0<nD ．－1<n<0<m<12.函数y=a x(a ＞0，a ≠1)与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是( )A ．b a＞0 B ．a ＋b ＞0 C ．a b＞1 D ．log a 2＞b3.已知函数f(x)=－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．24.已知函数f(x)=x 2＋bx ，则“b<0”是“f [f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.若函数f(x)=x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b]，则实数b=( )A ．3B ．2或3C ．2D ．1或26.二次函数f(x)满足f(x ＋2)=f(－x ＋2)，又f(0)=3，f(2)=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，4]7.已知幂函数f(x)=x a的图象过点⎝⎛⎭⎫3，13，则函数g(x)=(2x －1)f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值是( )A ．－1B ．0C ．－2D ．1.58.已知函数f(x)=ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]二、填空题9.若x ≥0,y ≥0,且x+2y=1,则2x+3y 2的最小值为 .10.已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α=________．11.已知a 是实数，函数f(x)=2ax 2＋2x －3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________．12.已知函数f(x)=x 2－2x ，g(x)=ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g(x 1)=f(x 0)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题13.已知函数f(log 2x)=x 2＋2x ．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a·2x－4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围．14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)=2x且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．15.已知函数f(x)=ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，求实数a，b的值；(2)若b=2，a≥0，解关于x的不等式f(x)＞0.16.已知二次函数f(x)=x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)=0，且关于x的方程f(x)＋x＋b=0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．答案解析1.答案为：D解析：在第一象限作出幂函数y=x ，y=x 0的图象，在(0，1)内作直线x=x 0与各图象有交点， 如图，由“点低指数大”，知－1<n<0<m<1，故选D ．2.答案为：D.由图象可知a ＞1，b ＜0，故log a 2＞0，所以log a 2＞b.3.答案为：A ；解析：f(x)=－x 2＋4x ＋a=－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f(x)=－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增， ∴当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值， ∴f(0)=a=－2，f(1)=3＋a=3－2=1，故选A ．4.答案为：A ；解析：记g(x)=f[f(x)]=(x 2＋bx)2＋b(x 2＋bx)=⎝⎛⎭⎫x 2＋bx ＋b 22－b 24=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋b 22－b 24．当b<0时，－b 24＋b 2<0，即当⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋b 2=0时，g(x)有最小值，且g(x)min =－b 24，又f(x)=⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，所以f[f(x)]的最小值与f(x)的最小值相等，都为－b24，故充分性成立．另一方面，当b=0时，f[f(x)]的最小值为0，也与f(x)的最小值相等．故必要性不成立．故选A ．5.答案为：C ；解析：二次函数的对称轴为直线x=1，它在[1，b]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f (b )＝b 2－2b ＋2＝b ，b>1，解得b=2．故选C ．6.答案为：D ；解析：∵二次函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，∴其图象的对称轴是x=2， 又f(0)=3，∴f(4)=3，又f(2)<f(0)，∴f(x)的图象开口向上，∵f(0)=3，f(2)=1，f(4)=3，f(x)在[0，m]上的最大值为3，最小值为1， ∴由二次函数的性质知2≤m≤4．故选D ．7.答案为：B.8.答案为：D ；解析：当a=0时，f(x)=－3x ＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x=－a －32a，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－a －32a≤－1，得－3≤a<0．综上可知，实数a 的取值范围是[－3，0]．故选D ．一、填空题9.答案0.75解析 由x ≥0,且x+2y=1得x=1-2y ≥0,又y ≥0,∴0≤y ≤,设t=2x+3y 2,把x=1-2y代入,得t=2-4y+3y 2=3+,∴t=2-4y+3y 2在上递减,∴当y=时,t 取到最小值,即t min =.10.答案为：－1；解析：∵幂函数f(x)=x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)=x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α=－1.11.解析：由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1，1]上恒成立．当x=0时，－3＜0，符合题意；当x≠0时，a ＜32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x=1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.答案为：⎝⎛⎭⎫－∞，12；12.答案为：(0,0.5]；解析：当x 0∈[－1，2]时，由f(x)=x 2－2x 得f(x 0)∈[－1，3]， 又对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g(x 1)=f(x 0)， 所以当x 1∈[－1，2]时，g(x 1)∈[－1，3]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.二、解答题(1)设t=log 2x ，t ∈R ，则x=2t，f(t)=22t ＋2·2t =4t ＋2t ＋1．∴f(x)=4x ＋2x ＋1．(2)∵方程f(x)=a·2x－4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，∴4x ＋(2－a)2x＋4=0在(0，2)有两个不相等实根．令2x =m ，则m ∈(1，4)，h(m)=m 2＋(2－a)m ＋4， ∴h(m)=0在(1，4)上有两个不相等的实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2－16>0，1<a －22<4，7－a>0，28－4a>0，解得6<a<7．14.解：(1)设f(x)=ax 2＋bx ＋c(a≠0)，由f(0)=1，得c=1，所以f(x)=ax 2＋bx ＋1． 因为f(x ＋1)－f(x)=2x ，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)=2x ，即2ax ＋a ＋b=2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)=x 2－x ＋1．(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．设g(x)=x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x=32，所以g(x)在[－1，1]上单调递减．故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1． 故实数m 的取值范围是(－∞，－1)．15.解：(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2=0的两根，∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b=2时，f(x)=ax 2＋2x －a ＋2=(x ＋1)(ax －a ＋2)， ①当a=0时，f(x)＞0，即2x ＋2＞0，∴x ＞－1②a ＞0，∴(x ＋1)(ax －a ＋2)＞0⇔(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a －2a ＞0，(ⅰ)当－1=a －2a ，即a=1时，解集为{x|x∈R 且x≠－1}；(ⅱ)当－1＞a －2a ，即0＜a ＜1时，解集为{x|x ＜a －2a 或x ＞－1}；(ⅲ)当－1＜a －2a，即a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1或x ＞a －2a .16.解：(1)设x 1，x 2是方程f(x)=0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c.由条件知x 1，x 2就是－1，1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b=0，c=－1．(2)由题知，f(1)=1＋2b ＋c=0， 所以c=－1－2b ．记g(x)=f(x)＋x ＋b=x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c=x 2＋(2b ＋1)x －b －1， 由g(x)的图象，得⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b>0，g (－2)＝1－5b<0，g (0)＝－1－b<0，g (1)＝b ＋1>0，解得15<b<57．故b 的取值范围为(15，57)．。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第四节 二次函数与幂函数 Word版含答案
第四节 二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。
一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点，则k ＋α＝( )(12，22)A ．B ．1C ．D ．21232解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。
又f (x )的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k ＋α＝1＋＝(12，22)(12)221212。
故选C 。
32答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。
解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3＝22－的图象的对称轴为(x －32)32直线x ＝>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函32数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。
答案 －1二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1＋b ，M ＝x ＋ax 2＋b 。
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课时跟踪检测（九） 二次函数
A级——保大分专练
1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，
并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C ∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，∴－b2a＝1. ①
又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6. ②
由①②可得a＝2，b＝－4.
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D 函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋
4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数
的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4
a
＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选A 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)
取值范围为________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
7．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为－32，49，且方程f(x)＝0的两个实根之差等
于7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设f(x)＝ax＋322＋49(a≠0)，
方程ax＋322＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 －49a＝7，
所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
8．(2018·浙江名校协作体考试)y＝2ax2＋4x＋a－1的值域为[0，＋∞)，则a的取
值范围是________．
解析：当a＝0时，y＝4x－1，值域为[0，＋∞)，满足条件；
当a≠0时，要使y＝2ax2＋4x＋a－1的值域为[0，＋∞)，只需
综上，0≤a≤2. 解：函数f(x)＝－x－a22＋a24的图象的对称轴为x＝a2，应分a2<－1，－1≤a2≤1，a2>1， (2)当－2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[－1,1]上的最大值为fa2＝a24. 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝x－322－54， 对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误； 2．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－12时，n≤f(x)≤ C.34 D．1 对称轴为x＝－32∈[－2,3]， ∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214， ∴函数f(x)的值域为－214，15. (2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－2a－12. ∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意； ②当－2a－12＞1，即a＜－12时， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－13或－1. ①当t＋1－1≤1－t，即0≤t≤12时， ②当t＋1－1>1－t，即12 (3)当对称轴在闭区间左侧，即当t>1时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增， 综上所述，t≤12时，所求最大值为t2－2t－1；t>12时，所求最大值为t2－2.
2a>0，
Δ＝16－8aa－1，
解得0
答案：[0,2]
9．求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．
即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论．
(1)当a<－2时，由图①可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．
(3)当a>2时，由图③可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.
综上可知，f(x)max＝ －a＋，a<－2，a24，－2≤a≤2，a－1，a>2.
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数
m
的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立．
因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
B级——创高分自选
1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，
对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
m
恒成立，则m－n的最小值为( )
A.13 B.12
解析：选D 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
因为x∈－2，－12，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.
3．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
f(x)max＝f
(3)＝15，
①当－2a－12≤1，即a≥－12时，
f(x)max＝f(3)＝6a
＋3，
f(x)max＝f(－1)＝－2a
－1，
4．求函数y＝x2－2x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值．
解：函数y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2的图象的对称轴是直线x＝1，
顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t进行讨论如下：
(1)当对称轴在闭区间右边，即当t＋1<1，即t<0时，函数在区间
[t，t＋1]上单调递减，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1.
(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t≤1，有两种情况：
f(x)max＝f(t)＝t2－2t
－1；
2
－2.
f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t
2
－2.