考研自动控制原理习题集及其解答
自动控制原理习题及其解答
第一章(略) 第二章
例2-1 弹簧,阻尼器串并联系统如图2-1示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。
解:(1) 设输入为y r ,输出为y 0。弹簧与阻尼器并联平行移动。
(2) 列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足∑=0F ,
则对于A 点有
021=-+K K f F F F
其中,F f 为阻尼摩擦力,F K 1,F K 2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式
220110)()
(y K F Y Y K F dt
y y d f F K r K r f =-=-?
=
(4) 消中间变量得 020110y K y K y K dt
dy f dt dy f r r
=-+- (5) 化标准形 r r Ky dt
dy
T y dt dy T +=+00 其中:2
15
K K T +=
为时间常数,单位[秒]。
2
11
K K K K +=
为传递函数,无量纲。
例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角θ ,摆球质量为m 。 (2)由牛顿定律写原始方程。
h mg dt
d l m --=θθ
sin )(22
其中,l 为摆长,l θ 为运动弧长,h 为空气阻力。
(3)写中间变量关系式
)(dt
d l
h θα= 式中,α为空气阻力系数dt
d l θ
为运动线速度。
(4)消中间变量得运动方程式
0sin 22=++θθθmg dt d al dt
d ml (2-1)
此方程为二阶非线性齐次方程。
(5)线性化
由前可知,在θ =0的附近,非线性函数sin θ ≈θ ,故代入式(2-1)可得线性化方程为
022=++θθ
θmg dt d al dt
d ml 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示,试列出系统运动方程。
解:(1)设输入量作用力矩M f ,输出为旋转角速度ω 。 (2)列写运动方程式
f M f dt
d J
+-=ωω
式中, f ω为阻尼力矩,其大小与转速成正比。
(3)整理成标准形为
f M f dt
d J
=+ωω
此为一阶线性微分方程,若输出变量改为θ,则由于 dt
d θω= 代入方程得二阶线性微分方程式
f M dt d f dt
d J =+θ
θ22 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。
图2-2 单摆运动
图2-3 机械旋转系统
倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A 。试求该系统的运动方程式。
解:(1) 设输入为作用力u ,输出为摆角θ 。
(2) 写原始方程式,设摆杆重心A 的坐标为(X A ,y A )于是 X A =X +l sin θ X y = l cos θ
画出系统隔离体受力图如图2-5所示。
摆杆围绕重心A 点转动方程为:
θθθ
cos sin 22Hl Vl dt
d J -=
(2-2)
图2-4 倒立摆系统 图2-5 隔离体受力图