弹性力学chapter7
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材料的断裂和韧性PPT课件
E
2
0
临界应力为：
c
2E c
1/ 2
E
c
1/ 2
2/ 1
平面应变状态下的断裂强度：
（2.7）格里菲斯公式
c
(1
2E 2 )c
1/
2
Chapter3 Properties of Materials
陶瓷、玻璃 等脆性材料
按照晶体材料断裂时裂纹扩展的途径
穿晶断裂；沿晶断裂；
根据断裂机理分类 解理断裂；剪切断裂；
根据断裂面的取向分类 正断；切断。
Chapter3 Properties of Materials
11/25/2019 4:22:35 PM
2
1.金属材料的韧性断裂与脆性断裂
韧性断裂（延性断裂）是材料断裂前及断裂过程 中产生明显宏观塑性变形的断裂过程。
07amchapter3propertiesmaterials17从能量平衡的观点出发格里菲斯认为裂纹扩展的条件是物体内储存的弹性应变能的减小大于或等于开裂形成两个新表面所需增加的表面能即认为物体内储存的弹性应变能降低或释放就是裂纹扩展的动力否则裂纹不会扩展
§1-5 材料的断裂和强度
固体材料在力的作用下分成若干部分的现象称为断 裂。材料的断裂是力对材料作用的最终结束，它意味 着材料的彻底失效。因材料断裂而导致的机件失效与 其他失效方式(如磨拙、腐蚀等)相比危害性最大，并 且可能出现灾难性的后果。因此，研究材料断裂的宏 观与微观构征、断裂机理、断裂的力学条件，以及影 响材料断裂的各种因素不仅具有重要的科学意义，而 且也有很大的实用价值。
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临界应力为：
c
2E c
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平面应变状态下的断裂强度：
（2.7）格里菲斯公式
c
(1
2E 2 )c
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Chapter3 Properties of Materials
陶瓷、玻璃 等脆性材料
按照晶体材料断裂时裂纹扩展的途径
穿晶断裂；沿晶断裂；
根据断裂机理分类 解理断裂；剪切断裂；
根据断裂面的取向分类 正断；切断。
Chapter3 Properties of Materials
11/25/2019 4:22:35 PM
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1.金属材料的韧性断裂与脆性断裂
韧性断裂（延性断裂）是材料断裂前及断裂过程 中产生明显宏观塑性变形的断裂过程。
07amchapter3propertiesmaterials17从能量平衡的观点出发格里菲斯认为裂纹扩展的条件是物体内储存的弹性应变能的减小大于或等于开裂形成两个新表面所需增加的表面能即认为物体内储存的弹性应变能降低或释放就是裂纹扩展的动力否则裂纹不会扩展
§1-5 材料的断裂和强度
固体材料在力的作用下分成若干部分的现象称为断 裂。材料的断裂是力对材料作用的最终结束，它意味 着材料的彻底失效。因材料断裂而导致的机件失效与 其他失效方式(如磨拙、腐蚀等)相比危害性最大，并 且可能出现灾难性的后果。因此，研究材料断裂的宏 观与微观构征、断裂机理、断裂的力学条件，以及影 响材料断裂的各种因素不仅具有重要的科学意义，而 且也有很大的实用价值。
11/25/2019 4:22:35 PM
复变函数ppt课件
为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
弹塑性力学(第10讲)
L-N 方程()()()22200G u G X x G v G Y y G w G Z zθλθλθλ∂∇+++=∂∂∇+++=∂∂∇+++=∂()2,0i i i G u G f λθ∇+++=(),,0i kk j ji i Gu G u f λ+++=B-M 方程()2,,,,111ij ij i j j i k k ijf f f νσδνν∇+Θ=−+−+−Chapter 6.3223112222321222233122223221211121112111111x y z yz zx f f f f xx x y z f f f f yy x y z f f f f zz x y z f f y z z y νσνννσνννσνντντν⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂Θ∇+=−+⎜⎟+∂∂∂∂⎝⎠∂∇++231221211xy f f x z z x f f x y y x τν∂∂Θ⎛⎞=−+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂Θ∇+=−+⎜⎟+∂∂∂∂⎝⎠(),,,,,111ij kk kk ij i j j i k k ijf f f νσσδνν+=−+−+−ijε本构关系ijσ位移表示的平衡方程（L -N 方程）（3）边界条件位移解法iu 几何关系基本框架()2,0i i i G u G f λθ∇+++=Chapter 6.2222u v u u w X G l G m G nx x y z x v u vw v Y G l G e m G n x y y y z u w w v w Z G l G m G e n z x y z z λθλλ⎞⎛∂∂∂∂∂⎞⎞⎛⎛=+++++⎜⎟⎜⎟⎟⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎠⎠⎝⎠⎞⎞⎞⎛⎛⎛∂∂∂∂∂=+++++⎟⎟⎟⎜⎜⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎝⎠⎠⎠⎞⎛∂∂∂∂∂⎞⎞⎛⎛=+++++⎜⎟⎜⎟⎟⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎠⎠⎝⎠用位移表示的外力边界条件：ijε本构关系ijσ应力协调方程（3）应力平衡方程（3）边界条件应力解法iu 几何关系基本框架()2,,,,,1110ij ij i j j i k k ijji j i f f f f νσδννσ∇+Θ=−+−+−+=6 弹性力学问题的微分提法和基本解法•6.1 弹性力学问题的微分提法•6.2 位移解法•6.3 应力解法•6.4 解的唯一性定理•6.5 应力函数解法•6.6 叠加原理•6.7 圣维南原理位移应力应变几何方程本构方程应力公式应力函数协调方程平衡方程红线：位移解法蓝线：应力函数解法Chapter 6.4位移解法与应力函数解法的求解思路圈表示物理量，框表示关系式，双框表示最后导出的定解方程，实箭头表示推导过程，虚箭头表示自动满足。
第11节_弯曲应力
y1
σdA
y FN2
pn : N1
A1 dA
M
M
A1 I z y1dA I z
A1 y1dA
p1n1
:
N2
M
dM Iz
A1 y1dA
pp1 : dQ' 'bdx
目录
§11-4 对称弯曲切应力
X 0, M dM
Iz
M A1 y1dA I z
A1 y1dA 'bdx 0
（1）求截面形心 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 203 12
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
38
目录
§11-5 梁的强度条件
2.5kN.m 4kN.m
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
m m1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
q
σdA y
FN2
z
y
q1
y1
' dM ( 1 ) dx I zb
A1 y1dA
dM
dx
Fs ,
A1
y1dA
S
* z
,
'
,
Fs
S
* z
Izb
§11-4 对称弯曲切应力
3 FS 2A
目录
切应变
§11-4 对称弯曲切应力
Fs
h2 (
y2)
G 2IzG 4
第十一章 弯曲应力
Chapter11 Stresses in beams
国外大学部分现用教材及教学参考书
O431.2 FG37
Introductory quantum optics/量子光学介绍/Christopher Gerry, Peter Knight.
CambridgeUniversityPress/c2005.
本书是一本高水平的量子光学的基础著作。主要介绍了光的量子力学本质和光与物质的相互作用，以及量子化的电磁场。
World Scientific/c1999
本书为新加坡世界科技出版公司出版的理论和实验物理学院的讲义：粒子物理学和场理论的第一卷。这套丛书是为高年级大学生和研究生写的，内容既全面又丰富，是这方面的一种重要著作。
O413 FP87
Scattering and structures :essentials and analogies in quantum physics/散射和结构：量子物理学中的要点和相似性/Bogdan Povh, Mitja Rosina ; translated by Martin Lavelle.
TN911.2 FS17
Coding for data and computer communications/用于数据与计算机通信的编码/David Salomon.
Springer/c2005.
本书特点为：1.对编码领域提供了全面的报道，特别强调了数字编码的实用性；2.提供了大量的实例和附有答案的练习来帮助读者容易地掌握本书的内容；3.包括有关数据隐藏的一个扩大的章节；4.包括支持本书的具有补充材料的网站；5.详尽的参考文献、有用的术语汇编、索引及附录。
O343-62 FK11
Handbook of elasticity solutions/弹性力学解集手册/by Mark Kachanov, Boris Shafiro and Igor Tsukrov.
Introductory quantum optics/量子光学介绍/Christopher Gerry, Peter Knight.
CambridgeUniversityPress/c2005.
本书是一本高水平的量子光学的基础著作。主要介绍了光的量子力学本质和光与物质的相互作用，以及量子化的电磁场。
World Scientific/c1999
本书为新加坡世界科技出版公司出版的理论和实验物理学院的讲义：粒子物理学和场理论的第一卷。这套丛书是为高年级大学生和研究生写的，内容既全面又丰富，是这方面的一种重要著作。
O413 FP87
Scattering and structures :essentials and analogies in quantum physics/散射和结构：量子物理学中的要点和相似性/Bogdan Povh, Mitja Rosina ; translated by Martin Lavelle.
TN911.2 FS17
Coding for data and computer communications/用于数据与计算机通信的编码/David Salomon.
Springer/c2005.
本书特点为：1.对编码领域提供了全面的报道，特别强调了数字编码的实用性；2.提供了大量的实例和附有答案的练习来帮助读者容易地掌握本书的内容；3.包括有关数据隐藏的一个扩大的章节；4.包括支持本书的具有补充材料的网站；5.详尽的参考文献、有用的术语汇编、索引及附录。
O343-62 FK11
Handbook of elasticity solutions/弹性力学解集手册/by Mark Kachanov, Boris Shafiro and Igor Tsukrov.
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-04应变理论
v dx x
v dy y x
16
v dx x
dx
u
u d x ＋u x
x
位移和应变
由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上 的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为 A: B:
u( x d x, y, z ) ; v( x dx, y, z ) u( x, y d y, z ) ; v( x, y dy, z )
Taylor 级数展开：
du 1 d2u 2 u x dx u x dx dx 2 dx 2 dx
8
Chapter 4.1
位移和应变
单轴应变
略去高阶项：
du l u x dx u x dx dx
单轴应变（工程应变）定义为：
位移和应变
1 2 (dS 2 dS0 ) da E da 2
根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。
1 xm xm E ji ji 2 a j ai
A: B:
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
Chapter 4.1
17
位移和应变
按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而 略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分 量为
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
OP x xi ei OQ x dx ( xi dxi )ei
PQ OQ OP dx dxi ei
36
Chapter 4.2
位移和应变
变形前后，线元 PQ 和 PQ的长度平方为
Elasticity-08
������
Ω
=
Ω
������ ∗ ������ ∗ ������ ∗ ������ ∗ ������ ∗ ∗ ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������ dΩ
注意这里我们不考察相应的应力状态，因而只是变形 可能状态。
机械工程与力学学院/王骥教授/弹性力学Elasticity
33
可能功（虚功）原理：外力在变形可能的位移上所做的功 等于静力可能的应力在变形可能的应变上所做的功。
∗ ∗ ∗ ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ d������ + ∗ ∗ ∗ ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ dΩ
Ω
������
机械工程与力学学院/王骥教授/弹性力学Elasticity
31
用散度定理， ������ ∙ ������������������ =
������ ������
������ ∙ ������������������ ,
梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
变分法
13
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法： 直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实 位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路： 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这 些容许函数的组合构造一个试函数 。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可 以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理������ ������ 在给定的外力作用下，满 足位移边界条件的各组位移中， 实际存在的位移，应使系统的总 势能成为驻值。当系统处于稳定 衡时，总势能取极小值，通常也 为最小值。
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法： 直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实 位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路： 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这 些容许函数的组合构造一个试函数 。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可 以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理������ ������ 在给定的外力作用下，满 足位移边界条件的各组位移中， 实际存在的位移，应使系统的总 势能成为驻值。当系统处于稳定 衡时，总势能取极小值，通常也 为最小值。
压裂(Fracturing)
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
13
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
14
Chap.6 Hydraulic Fracturing
Introduction-history 1949年 美国Amoco公司 1952年 延长油矿 1955年 玉门油田
Chap.6 Hydraulic Fracturing
17 西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli 18
3
Chapter 6 Hydraulic Fracturing
Content of this Chapter
5. Proppant transport 支撑剂输送 6. Hydraulic fracturing evaluation 水力压裂
基质酸化 Matrix Acidizing
酸压裂 Acid Fracturing
h
Pe Pwf
水力加砂压裂 Hydraulic Fracturing
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
3
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
4
各类储层中增产方法的使用
砂岩储层 Sandstone Formation
A 0
Fn A
x
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
23
西南石油大学采油气工艺研究所 Liu Pingli
24
4
E and
R R
E, , and G
For a linear elastic, isotropic material stress, strain, E,
flow path Fracs propagate vertically and extend radially Growth can be limited by proppant settlement Frac height will grow vertically (except at depths <1000m) Eff ti frac Effective f b i needed barrier d d to t propagate t laterally l t ll While propagating, if the frac reaches a formation that is easier to fracture,l subsequent lateral frac extension will be arrested/limited Stress contrast between shale and pay necessary to obtain extension About 70% of fracs use water based fluids because they are cheap and effective Special fluids are only required for special problems.