浙大 概率论第一章3第四讲几何概率

推论5. 设A、B为任意俩事件， 则P（A－B）=P（A）－P（AB）；
推论6. (一般概率加法公式)对任意事件A、B有 P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）；
推广: P (A∪B∪C) =P (A) + P (B) + P (C) － P (AB)
－ P (AC) － P (BC) + P (ABC)；
第四讲
几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 请看演示 几何概率
一.定义: 设有一个可度量区域S（这个区域可以是
直线区域、平面区域或空间区域），向 区域内任意掷一质点M，此点落于S内任 一位置是等可能的，且落在S内任何子区 域A上的可能性与A的度量（如长度，面 积，…）成正比，而与A的位置和形状 无关，则这个试验称为几何概型试验； 并定义M落在A中的概率P（A）为：
P( A ) A的几何度量 S的几何度量 L（A） L（S）
例1．（约会问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在 某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率。 解： 以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则 两人能够会面的充要条件是：|x－y|≤15. 在平面 上建立直角坐标系，如图 y 则（x, y）的所有可能结果是边 60 长为60的正方形，图中阴影表示 可会面的时间。 设A=两人能会面，则 15

代入数据计算
例2
对 问
某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？
设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3
A={没有一封信装对地址} 则
A={至少有一封信装对地址}
直接计算P(A)不易，我们先来计算 P ( A )
A A1 A2 A3
由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率 具有如下性质：
1. 2. 3. 0≤P（A）≤1； P（S）=1； 若 A1 , A 2 , A n 互不相容，则
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。
( 1) 1 n!
n 1
1 n!
)
( 1)
fn( A ) m n P( A )
，足以满足实际需要。
例1．用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进 行治疗，结果368人有明显疗效，现有胃 溃疡病人预服此药，你能对其效果作何 0.72 ，由统
512
计概率定义该患者服此药有明显效果的可 能性为0.72。
蒲丰投针试验
第五讲
统计概率
下面我们从几个试验入手，揭示随机 事件一个极其重要的特征：
频率稳定性
频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.
因此，概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似.
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
证明：
P ( A1 A2 An ) P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
即 古典概率的性质也是一般公理化概率的性质。 古典概率、几何概率、统计概率都是公理化概率 的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象。
总结：1. 了解几何概率、统计概率、概率的公
理化定义；
2. 会判定和计算几何概率。
例1 设元件盒中装有50个电阻，20个电感， 30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元 理解题意, 用字母表示事件 件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的 概率. 解: 设A={所取元件中至少有一电阻}
2!

1
3! 3 1 1 P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) 3! 6 1 1 P ( A1 A2 A3 ) 3! 6
代入计算
P ( A ) 的公式中
P ( A ) P ( A1 A2 A3 )
3 2! 3 1 1
推论3：0≤P（A）≤1。
P( A ) 1 P( A )
证明：
1 P( S ) P( A A ) P( A ) P( A ). P( A ) 1.
P( A ) 1 P( A )
同理可证：4. 若A B，则P（A） P（B）
且P（B A） P（B） P（A）
定理：事件频率具有如下性质：
1. 对任意事件A，有 2．f n ( S
)1
0 fn( A ) 1
3．若 A1 , A 2 , A k 为互不相容事件，则：
f n ( A1 A 2 A k ) f n ( A1 ) f n ( A 2 ) f ( A k )
3! 3! 3! 1 1 2 1 2! 3! 3
推广到n封信,用类似的方法可得: 把n 封信随机地装入n个写好地 址的信封中, 没有一封信配对的 概率为:
1 (1 1 2! 1 2! 1 3! 1 3!
n
于是
P ( A) 1 P ( A ) 1 2! 1 3! 1 3
从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有 一个电阻同时至少有一个电感的概率.
P ( AB) 1 [ P ( A ) P ( B ) P ( A B )]
50 80 1 30 30 1 100 30 …... 电容 电阻50个, 30个,电感20个
(1) (2) (3)
公理3 若事件A1, A2 ,… 互不相容，则有
这里事件个数可以是有限或无限的 . ——可列可加性或完全可加性
推论1： P( ) 0.
证明：
S S , P( S ) P( S ) P( ) ,
则P（） 0。
推论2： 若 A1 , A2 , An 互不相容，则：
，只有当n充分大
时，频率才呈现出稳定性。
二. 统计概率: 在一组固定条件下，重复做n次试验 ，
如果当n增大时，事件A出现的频
率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而
且一般说来，随着n的增大，这种摆
动的幅度越来越小，则称常数p为事
件A的概率，即 P（A）=p。 此定义适合于一切类型的试验， 当n充分大时，频率作为概率的近似值，即
统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的，下面先介绍事件频率的概念。
一.频率定义：设A为联系于某一试验的事件，将 试验在相同的条件下重复进行n次， 用m表示A出现的次数，则比值 m/n称为事件A的相对频率， 记为fn(A),即 m
fn( A ) n
一般情况下： f1( A )
f2( A )
A A1 A2 A3
P ( A ) P ( A1 A2 A3 )
应用加法公式
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
其中
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
第六讲
概率的公理化定义
在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.
P( A ) SA SS 60 45 60
2 2 2

7 16
0 15
60
x
例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别 为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 解： 设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则1≤x≤2, y 1≤y≤2, 确定平面S， 2 如图正方形，设A=两人 乘同一辆公共汽车，则： 1.5 A发生的充要条件是： 两人到达时间x, y在同一 发车区间，即阴影部分。 1 故 P（A）=4/16=1/4。 2 x 1.5 0 1
二. 性质:
1．对任意事件A，有0≤P（A）≤1； 2．P（S）=1；
3．若
A1 , A2 , An 互斥，则：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。
法国科学家蒲丰于1777年发现了随机 投针的概率与圆周率π之间的关系，提供 了早期学者们用随机试验求π 值的范例. 请看演示
B={所取元件中至少有一电感}

所求概率为P(AB)
…... 电阻50个, 电容 30个,电感20个
导出所求事件概率 的计算公式 P ( AB) 1 P ( AB)
1 P( A B )
1 [ P ( A ) P ( B ) P ( A B )]
下面介绍用公理给出的概率定义.
概率的公理化定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对 于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为 P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理: 公理1 P(A)≥ 0 —— 非负性 公理2 P(S)=1 —— 规范性