2011丰台期末
北京丰台区2011年中考数学一模试题及答案(word版)
丰台区2011年初三毕业及统一练习数 学 试 卷 2011.5.学校 姓名 考号一、选择题 （本题共32分, 每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是 A ．3- B ．3C ．13 D ．13- 2．2010年某市启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设项目，预计某市轨道交通投资将达到51 800 000000元人民币. 将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是A. 5.18×1010B. 51.8×109C. 0.518×1011D. 518×1083．下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）4．若130x y -++=，则x y -的值是A ．1B ．1-C ．4D ． 4-5. 某射击队要从四名运动员中选拔一名参加比赛，选拔赛中，每名队员的平均成绩x -与方差2S 如下表所示．如果要选择一个平均成绩高且发挥稳定的人参赛，那么这个人应是甲 乙 丙 丁 x -8998考生须知 1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．A ．B ．C ．D ．O DC BA NML M NLx x x x y y yy OO O O B 1C 1C 2B 2AA B 1C 1C 1B 1A 2S1 1 1.2 1.3A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6. 已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥-1D ．m ＜17. 在九张大小质地都相同的卡片上分别写有数字4-、3-、2-、1-、0、1、2、3、4，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是 A ．19 B ．13 C ．12 D ．238. 一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为（x ，y ）（x>0）,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题 （本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：244x y xy y -+= .10．在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 .11．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ， 交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．12．已知在△ABC 中，BC=a.如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________； 如图3, 点EDCBA xy B AO-4-3-2-10432112......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n+1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：012－（－2011）+1)2－1（+30tan 60．14．已知x-2y=0， 求22y 1x y x y÷-- 的值．15. 已知：如图，∠B=∠D ，∠DAB=∠EAC ，AB=AD ．求证：BC=DE ．16.解不等式4-5x ≥3(2x+5),并把它的解集在数轴上表示出来．17.列方程或方程组解应用题：“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数121+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.（1）求点A 、B 的坐标；（2）点C 在y 轴上，当2ABC AOB S S ∆∆=时，求点C 的坐标.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.A B CD E FO ABCDEF(1) 求证：四边形BECF 是菱形；(2) 当A 的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB 上.（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论.（2）若OB =BD =2,求CE 的长．21．“十一五”期间，尽管我国经历了雪冻、干旱、洪涝、地震等自然灾害，以及受国际金融危机冲击等影响，但在政府的各种强农、惠农、扩大内需、促进消费的政策措施下，农村居民收入保持较快增长态势．在农村居民收入较快增长的基础上，农村居民消费整体呈现较强增势，生活消费水平稳定提高，生活质量明显改善．根据国家统计局公布的2006-2010年农村居民纯收入及增长情况的相关数据绘制的图表如下：图1 图2ABCABC图3表1 2010年农村居民家庭生产经营人均纯收入分项统计表 纯收入分项项目第一产业生产经营 得到的纯收入第二产业生产经营 得到的纯收入第三产业生产经营 得到的纯收入金额(元)2240420请根据以上信息解答下列问题：（1） “十一五”期间，农村居民人均纯收入年增长最快的是 年，计算这五年农村居民人均纯收入的平均增长率是 （精确到1%）．根据此平均增长率预测2011年农村居民纯收入人均约为__________元（精确到个位）；（2）请将图2中的空缺部分补充完整（补图所用数据精确到个位）； （3）填写表1中的空缺部分．22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；图1 图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.已知: 反比例函数()y 0kk x=≠经过点B(1,1) ． （1）求该反比例函数解析式；DC BA ABC DA B Cx yO H G F E （2）联结OB ，再把点A(2,0)与点B 联结,将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转135°得到△O ''A B ，写出''A B的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此双曲线上，并说明理由； （3）若该反比例函数图象上有一点F(m ，312m -)（其中m ＞0），在线段OF 上任取一点E,设E 点的纵坐标为n,过F 点作FM ⊥x 轴于点M ，联结EM ，使△OEM 的面积是22，求代数式2223n n +-的值．24.已知：如图，在□ EFGH 中，点F 的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°． （1）求点H 的坐标;（2）抛物线1C 经过点E 、G 、H ,现将1C 向左平移使之经过点F ，得到抛物线2C ,求抛物线2C 的解析式；（3）若抛物线2C 与y 轴交于点A ，点P 在抛物线2C 的对称轴上运动．请问：是否存在以AG 为腰的等腰三角形AGP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.EDCBA xyC 2AB C 1O-4-3-2-104321图1 图2 图3丰台区2011年初三毕业及统一练习数学参考答案及评分标准2011.5.一、选择题（本题共32分, 每小题4分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C B A B C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．2(2)y x - 10．2≠x 11．6 12． 1,2a a ,12na 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=332132++-…………4’ =135+ ……………………5’14．解：原式=()()）（y x y x y x y-⋅-+……2’=yx y+…………………………3’ ∵x-2y=0 ∴x=2y ∴y x y +=312=+y y y …………………5’ 15.证明：∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE =∠EAC+∠BAE∵即∠DAE=∠BAC ………………………1’ 在△DAE 和△BAC 中B DAB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩…………………………4’ ∴BC=DE …………………………………5’15题图18题图16．解：4-5x ≥6x+15……………………1’ -5x-6x ≥15-4 …………………2’ -11x ≥11 ………………………3’ x ≤-1 …………………………4’…………5’17.解: 设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶. ………1’ ∵⎩⎨⎧=+=+145.16.19y x y x ……………………3’ ∴解此方程组得⎩⎨⎧==45y x ………………4’ 1.6x=1.658,1.5x=1.546⨯=⨯= ……5’ 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶. 18．解：（1）令y=0,则0121=+-x ，∴x=2，点A （2，0）； ………………1’ 令x=0,则y=1，点B （0，1）；………2’（2）设点C 的坐标为（0,y ），2,112,222,3(0,1)1,2(0,3)(0,1).5’或’∆∆=∴⋅=⨯⋅∴=∴=∴=∴-ABCAOBS S OA BC OA OB BC OB B OB BC C第9页FEDABC O FE DCB A 321AB CDEF四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.解：⑴∵ EF 垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° …………………………1’又∵ ∠ACB=90°∴EF ∥AC∴E 为AB 中点， 即BE=AE ………………………………2’ ∵CF=AE ∴CF=BE∴CF=FB=BE=CE …………………………………………3’ ∴四边形是BECF 菱形. …………………………………4’ ⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF 是正方形. …………5’20.（1）直线FC 与⊙O 的位置关系是_相切_；………………1’ 证明：联结OC∵OA=OC ，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°∴∠3=∠2 ……………………………………………………2’ ∴OC ∥AF ，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC 与⊙O 相切 …………3’（2）在Rt △OCD 中，cos ∠COD=OC 1OD2∴∠COD=60° …………………………4’在Rt △OCD 中，CE=OC ·sin ∠COD=3 ………………………5’21. 解：(1)2010年；年均增长率为13%；6696元 …………3’(2)见图；……………………………………………………4’(3)140. ……………………………………………………5’22．解：（1）………………… 正确画出一个图形给1分，共2’（2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相等 ；………4’(3) 不相等 ． …………………………………………………………………………………5’五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）第10页23．⑴反比例函数解析式：1yx=………………………………1’ ⑵∵已知B(1,1),A(2,0) ∴△OAB 是等腰直角三角形 ∵顺时针方向旋转135°，∴B ’(0,-2), A’(-2,-2) ∴中点P 为(-22, -2)．………………………………………2’ ∵（-22）·（ -2）=1 ………………………………………3’ ∴点P 在此双曲线上． ……………………………………………4’ ⑶∵EH=n , 0M=m ∴S △OEM =EH OM ⋅21=mn 21=22，∴m=2n………………5’ 又∵F(m ，312m -) 在函数图象上 ∴)123(-m m =1．………………………………………………6’ 将m =2n 代入上式，得2)2(23n -2n=1∴2n +2n =3 ∴2n +2n -23=3-……………………7’24．解：（1）∵在□ABCD 中∴EH=FG=2 ，G （0，－1）即OG=1………………………1’ ∵∠EFG=45°∴在Rt △HOG 中，∠EHG=45° 可得OH=1∴H （1，0）……………………………………………………2’ （2）∵OE=EH-OH=1 ∴E （－1，0）， 设抛物线1C 解析式为1y =2ax +bx+c ∴代入E 、G 、H 三点，∴a =1 ，b=0,，c=－1∴1y =2x －1……………………………………………………3’依题意得，点F 为顶点，∴过F 点的抛物线2C 解析式是2y =2(+2x ）－1…………………4’（3）∵抛物线2C 与y 轴交于点A ∴A （0，3），∴AG=4情况1：AP=AG=4过点A 作AB ⊥对称轴于B ∴AB=2在Rt △PAB 中，BP=23教育城中考网：/zhaokao/zk第11页 本资料由教育城编辑整理 更多资料：/SearchDatum.aspx E D C B A D AB C E ∴1P (-2,3+23)或2P (-2,3-23) ……………………………6’情况2：PG=AG=4同理可得：3P (-2,-1+23)或4P (-2,-1-23)…………………8’∴P 点坐标为 (-2,3+23)或 (-2,3-23)或(-2,-1+23)或(-2,-1-23).25．解：（1）33；…………………………………………1’（2）2363 ； …………………………………………2’（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E.联结AE,CE ，∴CD=ED ，∠CDE=60°，AE=CB= a ，∴△CDE 为等边三角形，∴CE=CD. …………………………………………4’当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE<AE+AC=a +b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时， CD 有最大值，CD=CE=a +b ；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a +b .。
丰台区2011年初三统一练习(二)
奉港初中初三模拟测试数学试卷2010.4一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算(－3)3的结果是( )A ．9B ．－9C ．27D ．－272. 下列运算正确的是 （ ） Ａ．()()22a b a b a b +--=-Ｂ．()2239a a +=+Ｃ．()22424aa -= Ｄ．2242a a a +=3. 下列事件是不确定事件的是（ ）A ．宁波今年国庆节当天的最高气温是35℃B ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球C ．抛掷一石头，石头终将落地D ．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒4. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“我”相对的面上的汉字是（ ） A ．祝B ．福C ．博D ．会5. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图。
则在字母“L ”、“K ”、“C ”的投影中，与字母“N ”属同一种投影的有（ ）Ａ．“L ”、“K ” Ｂ．“C ” Ｃ．“K ” Ｄ．“L ”、“K ”、“C ”6. 如图，已知□ABCD 的对角线交于平面直角坐标系的原点，点A 为（2-，3），则点C 的坐标为（ ） A （3-，2） B （2，3-） C ．（3，2-） D ．（2-，3-）7. 已知相交两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径可能是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．108. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的表面积．．．为（ ） A ．π12 B ．π21 C ．π24 D ．39π9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数是x 人，则下列方程正确的是（ ）A.10012=+x B.1002=xC ．100)1()1(=+++x x xD ．100)1()1(2=+++x x第4题x(第6题)第11题10. 如图，直线24y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A B ，两点，C 为OB 上一点，且12∠=∠，则ABC S =△ （ ）A ．1B ．2C ．3D ．411. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根12. 如图，在直线m 上摆放着三个正三角形:△ABC 、△HFG 、△DCE , 已知BC ＝12CE ,F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM ∥AC ，GN ∥DC ．设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S 2,S 3,若S 1＋S 3＝20，则S 2等于（ ） A ．7B ．8C ． 9D ． 10二、填空题（每题3分，共18分）13. 函数x y 21-=的自变量x 的取值笵围是___ ____。
丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)
xyO π2π1-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x>(B) x ∀∈R ，2310x x ++>(C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12- (B) 23-(C)35(D)525．如图所示，已知2AB BC = ，OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式中成立的是(A) 3122c b a =-(B) 2c b a =-(C) 2c a b =-(D) 3122c a b =-6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+7．已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为 0.95y x a =+，则a = (A) 3.25 (B) 2.6(C) 2.2(D) 0O8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 (A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于第 象限． 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是 ．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．14．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12f π-的值； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，CD G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折到△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．17.（本小题共13分）AB C A D P 1 P 2P 3P 4P 5正视图侧视图俯视图FGE ABCD 'AB C EDFG某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中 考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间． 19.（本小题共14分）已知椭圆C 的长轴长为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）参考答案2011.5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．(0,)π写成闭区间也给满分 12．15 13．12 14． 8，(1)4n n +π注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12f π-的值；（Ⅱ）求函数(),[0,]2y f x x π=∈的最小值，及取得最小值时的x 的值．解：（Ⅰ）∵21()sin cos 2f x x x x =+-1sin 2cos 222x x =- sin(2)6x π=-， ………………5分∴()sin(2)sin()1212632f ππππ-=-⨯-=-=-． ………………7分 （Ⅱ）∵02x π≤≤∴02x π≤≤．∴52666x πππ-≤-≤． ………………9分∴1sin(2)126x π-≤-≤， 即1()12f x -≤≤． ………………11分∴min 1()2f x =- 此时266x ππ-=- ∴0x =． ………………12分∴当0x =时，min 1()2f x =-． ………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，CD =G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD 的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折成△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线．∴EF //D B '． ………………2分又∵EF ⊄平面AD B '，D B '⊂平面AD B '， ………………4分 ∴EF // 平面AD B '． ………………6分 （Ⅱ）∵G 是AD 的中点，112BC AD ==，即2AD =， ∴1DG =．又∵CD =CG =∴在DGC ∆中，222DG GC DC += ∴DG GC ⊥． ………………9分 ∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ，∴GC ⊥平面AD G '． ………………12分 又∵GC ⊂平面CD G '，∴平面CD G '⊥平面AD G '． ………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………6分 （Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………7分[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；[]90,100分数段抽取1人，记为M ． ………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，FGEABCD 'ABC EDFG则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人． 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， ………………10分 则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )， (B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种． 事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种．………………12分 ∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153P A ==． ………………13分18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分2()af x x x '=-． ………………3分 ∵1x =时函数()y f x =取得极小值，∴(1)0f '=． ………………4分 ∴1a =． ………………5分 当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ………………6分 ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =有意义． ………………7分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，322()a x af x x x x -'=-=．令()0f x '=，得x = ………………9分0a <………………11分综上所述： ………………13分当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为，(0,)+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．（实际上，P 是不同于A ，B 的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且1c =，2a =， ………………1分∴a =2221b a c =-=． ………………2分∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ） 2222x y y x⎧+=⎨=⎩ ………………5分∴x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………7分即A，(B ，P ．所以12ABP S ∆==． ………………9分 （ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．椭圆的右顶点为P2222x y y kx⎧+=⎨=⎩ ， 消y 整理得 22(21)2k x +=， 不妨设x 1>0>x 2， ∴1x =2x =1y =2y =-．……………12分AP BP k k ⋅==………………13分 2222212221k k k -+=-+22212422k k -==--++ ∴ AP BP k k ⋅为定值12-． ………………14分20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，48b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ． ………………3分又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= (*)n ∈N ． ………………6分 （Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++ 12(21)(21)(21)n =-+-++- 12(222)n n =++-2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--． ………………9分 （Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N因为 21n n c =-，所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列．所以 2k l m c c c =+，即2(21)(21)(21)k m l -=-+-，2222k m l ⋅=+， 即222m k l k --=+．（方法一）因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以1l k -≥，0m k -<． 所以 22l k-≥，20m k ->，所以 222m kl k --+> 与222m k l k --=+矛盾． 所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分（方法二）2222k m l ⋅=+2(12)m l m-=+所以 12122k l mm +-=+， 即1212k m l m +--=+． 所以 1221k ml m +---=．因为(,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以 12k m+-，2l m-均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13分。
2011届高三数学较难题——解答题部分(快乐学生版)
2011届高三数学较难题——解答题部分1．（2011,1房山期末）在数列{}n a 中，12a =，142()31n n n a a n a *+-=∈-N ，设321nn n a b a -=-． （Ⅰ）试写出数列{}n b 的前三项；（Ⅱ）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅲ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()()1111122221()212n n nn n n n n Sn +-*+-+⋅--+⋅-<≤∈-N ．2．（2011,1石景山期末）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，…，(,)n n n P x y ，12(0y y <<<…,)ny n *<∈N 是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n = 在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）． （Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时， 不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列5111,3,,35…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 4．（2011,1海淀期末）已知集合{}1,2,3,,2A n = ()n *∈N ，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P ． （Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k *=∈=-∈N是否具有性质P ？并说明理由；（Ⅱ）若集合S 具有性质P ，试判断集合{}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由； （Ⅲ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？ 并说明理由；② 若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值．有(3, )n n n *∈N ≥首项为1，项数为n 的等差数列，设其第(, )m m n m *∈N ≤个等差数列的第k 项为(1,2,3,,)mk a k n =L ，且公差为m d ．若121,3d d ==，12,,,n n nn a a a ⋅⋅⋅也成等差数列．（Ⅰ）求m d (3)m n ≤≤关于m 的表达式；（Ⅱ）将数列{}m d 分组如下：1()d ，234(,,)d d d ，56789(,,,,)d d d d d …，（每组数的个数组成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >， 求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n >N 时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值． 6．（2011,4丰台一模）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a == ，0i a =或1，1,2,,}i n = (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =L 14444244443个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a = ，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a L ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =L ， 设12j j b k k k =+++L (1,2,3)j =L ，12()100m g m b b b m =+++-L (1,2,3)m =L ． （Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a L 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=L ，求函数()g m 的最小值． 8．（2011,3怀柔一模）已知集合123{,,,,}n A a a a a =L ，其中(1,2)i a R i n n ∈≤≤>，)(A l 表示和i j a a +(1)i j n ≤<≤中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）对于集合},,,,{321n a a a a A =，猜测)1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有多少个； （Ⅲ）若集合}2,,8,4,2{n A =，试求)(A l ；（Ⅳ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9．（2011,4西城一模）将n ,,3,2,1 这n 个数随机排成一列，得到的一列数n a a a ,,,21 称为n ,,3,2,1 的一个排列．定义=),,,(21n a a a τ||||||13221n n a a a a a a -+-+-- 为排列n a a a ,,,21 的波动强度．（Ⅰ）当3=n 时，写出排列321,,a a a 的所有可能情况及所对应的波动强度； （Ⅱ）当10=n 时，求1210(,,,)a a a τ 的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当10=n 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列1210,,,a a a ，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9？若可以，给出调整方案；若不可以，请给出反例并加以说明．在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*n ∈N 都成立． （Ⅰ）求2a 的取值范围；（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由；【数列}{n a 不能为等比数列】 （Ⅲ）设11(11)(1)(1)22n n b =+++，)211(6nn c -=， 求证：对任意的*n ∈N ，012≥--n nn a c b ．11．（2011,5朝阳二模）对于整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0||r b <≤，特别地， 当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3, , 23}A =⋅⋅⋅． （Ⅰ）存在q A ∈，使得201191q r =+(091)r <≤，试求q ，r 的值； （Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，b a ，则称B 为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”0B 和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m A ∈，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．12．（2011,5西城二模）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 则称函数)(x f 具有性质P ．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①(1)x y a a =>； ②3y x =．（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ，若成立给出证明，若不成立给出反例．用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项．14．（2011,5海淀二模）对于数列12:,,,n A a a a ⋅⋅⋅，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“01- 数列”．定义变换T ：T 将“01-数列”A 中原有的每个1都变成0,1，原有的每个0都变成1,0．例如:1,0,1A ，则():0,1,1,0,0,1T A 设0A 是“01-数列”．令1()k k A T A -=，1,2,3,k =L .（Ⅰ）若数列2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1A ，求数列10,A A ；（Ⅱ）若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； （Ⅲ）若0A 为0,1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅，求k l 关于k 的表达式．。
2011北京丰台高三一模数学理(word版+答案+免费免点数)
y C y x =2y x =(1,1)丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学（理科）2011.3 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤2．6x x的展开式中常数项是 (A) -160(B) -20(C) 20(D) 1603．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，3,1)=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 27(C)23(D)274．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或-1 (B) 3或1(C) 3 (D) 1 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C)③④ (D) ②③6．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞(B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞(C) (1,2)-(D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为(A)12(B)13(C) 14(D)168．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是(A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ， 点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 10．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方 程为 ，渐近线方程为 ． 11．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．12．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ． 13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为___天． 14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．NBAαxy O三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD． （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；PABCD QM（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()axg x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==L ，0i a =或1，1,2,,}i n =L (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =L 14243个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =L ，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．35- 10．221432x y -=，y =± 11．2 12．25413．16天（15.9天给满分） 14．n 2-n +5 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π ， （或写成A是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）PA BCDQM2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11sin cos 222x x =++ ……………………7分1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈∴5666B πππ<+<（没讨论，扣1分） …………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ……………………11分 又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD． （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ． 证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ……………………1分∵BC ∥AD 且BC =12AD ，即BC //AQ ． ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ……………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，…………………3分 ∴ PA // 平面MBQ ． ……………………4分 （Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD//BQ ． ……………………6分∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ……………………7分∴BQ ⊥平面PAD ． ……………………8分∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………9分 另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC = DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ……………………6分∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ． ……………………7分∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………8分∵ AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………9分 （Ⅲ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．……………10分（不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为(0,0,1)n =r；(0,0,0)Q ，P ，B，(C -分设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =-u u u u r ，(1,)MC x y z =---u u uu r ， ∵PM tMC =u u u u r u u u u r ，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩）， ∴1t x t y z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ ……………………12分 在平面MBQ中，QB =u u u r，(1t QM t =-+u u u u r ， ∴平面MBQ法向量为)m t =u r． ……………………13分∵二面角M -BQ -C 为30°，cos302n m n m ︒⋅===r u r r u r ∴3t =． ……………………14分17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分则P (A )=111114444256⨯⨯⨯=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分 P (B )33341-A =2565= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况． P (C )222444111*********()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=．…7分（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=，3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．（各1分）故取球次数ξ的分布列为139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …13分18.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()axg x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥， ∴2'()1f x x ax =++． ……………………1分∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-， ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩， ……………………3分 ∴1=a ，611-=b ． （各1分） ……………………5分（Ⅱ）'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈．'()g x =22(2)(1)()ax axax x a e a x ax e e +-++2[(2)]ax x ax a e -=-+-． ……………………7分①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞． ……………………9分②当a >时，令'()0g x =，得x =或2x a a=- ……………………10分（ⅰ）当20a ->，即0a <<()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞；……11分（ⅱ）当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤， 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减； ……12分（ⅲ）当20a -<，即a >()g x 在22(,0)a a-上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a --∞上单调递 ………13分 综上所述，当0a=时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a<<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞， 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >时，()g x的单调递增区间为22(,0)a a-，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a--∞． （“综上所述”要求一定要写出来）19.（本小题共14分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为2分∴1c =，a =22b =． ……3分W 的方程是22132x y +=． …………4分 （另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=． ……6分所以122632k x x k +=-+ …………7分 ∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MN y k k k x m m k +==---+． ………9分 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥， ∴222132332k k k m k +=---+ 即 232k m k =-+ …10分 当0k =时，0m =； ……11分当0k ≠时，212323k m k k k=-=-++]126,0()0,126[⋃-∈． ……13分 故所求m 的取范围是]126,126[-． ……14分 （可用判别式法）20.（本小题共13分） 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==L ， 0i a =或1，1,2,}i n =L (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =L 14243个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥； （Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =L ，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．解：（Ⅰ）2510C =； ………3分（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =-当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =- 当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-= 故||i a +||i b ||i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++L ++123()n b b b b +++L ++ 123(||||||)n a a a a =++L |++|123(||||||)n b b b b +++L |++| 112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--L |++|(,)d u v = ………8分（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k =L 123(,,)n v b b b b =……∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)nk k d u v =∑ =∴21(,)n kk d u v =∑=12n n -g ．法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个∴21(,)n k k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ++++g g g L g 21(,)n kk d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --+-+-++g g g L g两式相加得21(,)n k k d u v =∑=12n n -g（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2010~2011学年度第一学期北京市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1)
十二、圆锥曲线1.（2011年东城区期末文7）已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ D ）A ．24y x =B ．28y x =C ．24y x =或24y x =-D ．28y x =或28y x =-2．（2011年房山区期末文7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为（ A ）A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ． 221412x y -= D ．221124x y -= 3．（2011年朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭 圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ A ）A1 B．12C．．24.（2011年昌平期末理6）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ C ） A.32 B.6 C. 34 D. 125.（2011年海淀期末理7）已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭 圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是（ D ） A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 6.（2011年东城区期末理13）已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂 直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ．答案：2,102x y ±=。
7.（2011年东城区期末文13）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂 线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 答案：1 。
2011丰台区高三一模数学试题及答案(文).doc
北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项：1．答题前，考生务必将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡上的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须用2B 铅笔以正确的填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它选项。
非选择题区域使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合2,{|560},U U R A x x x C A ==-+≥那么=（ ）A ．(|23)x x x <>或B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x x ≤≥或D ．{|23}x x ≤≤2．“a=2”是“直线2010ax y x y +=++=与直线平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量,a b 的夹角为60,||4,||3,||a b a b ︒==+则= （ ）A ．37BC ．13D 4．记集合22{(,)|4}{(,)|20,0}A x y x y B x y x y y =+≤=+-≤≥和集合表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为 （ ）A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 5．如图所示，O 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是（ ）6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是 （ ） A ．-1 B ．i-1 C ．0 D ．-i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面。
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新疆石河子市第八中学九年级英语全册 Unit 11 Could you please tell me where the restrooms 教案（1） 人教新目标版 Language goals语言目标 1. Words && expressions生词和短语 restroom, shampoo, drugstore 2. Key sentences重点句子 (P86) Do you know where I can ...? Can you tell me where I can ...? Ability goals能力目标 Enable the Ss to learn how to ask for directions politely. Emotion && attitude goals情感和态度目标 Be polite when you ask for information. Strategy goals策略目标 Matching. Culture awareness goals文化意识目标 Etiquette in English language. Teaching important points教学重点 Expressions used to ask for directions politely. Teaching procedures and ways教学过程与方式 Step I Lead-in (1a: P86) T: Good morning / afternoon, boys and girls. Nice to see you again. Ss: Good morning / afternoon. T: Do you like traveling? I am sure most of you do. When we are traveling in strange cities, sometimes we may find it difficult to get to a place. So we have to ask the locals for information. What do you usually say when you ask for directions, for example, you want to visit a museum? What should we pay attention to when we ask others for information? S: I think we should be very polite in using language. T: You are right. In this unit, we will learn some polite expressions in English used to ask for information. They will be very helpful for you, especially when you travel in English-speaking countries. Ask the Ss to match the places with activities in 1a, introduce the structures “Do you know where I can ... / Could you tell me where I can ...” to them. T: What kinds of places do you usually go to in your city? List as many as possible. S: Restaurant, bank, museum, theater, department store, shopping mall, bookstore, post office, supermarket, park and so on. T: What do you do in a post office? S1: I can send mails to my friends or buy some stamps. T: Good. What do you do in a shopping mall? S2: I usually go to the shopping mall with my mother and buy some clothing there. T: OK. Now look at the box in 1a on page 86, suppose you want to do the following things, match each thing with a place in the picture below. There may be different answers. After the Ss finish matching, collect the answers. T: Now suppose you are not in your own city, you are traveling in another city, which you are not familiar. For example, you want to save money but you don’t know where the bank is. What would you do? S3: I would ask a local citizen for help. T: What would you say then? S3: Where is the nearest bank? I can’t find it. T: If I were the local citizen, I would say nothing and turn away. S3: Why? T: Because your request sounds very impolite. He / She won’t help a rude person, you see? We can use the following expressions instead to ask for help. Show the following structures on the screen. Could you tell me where I can ...? Do you know where I can get to ...? T: By using these two structures, your requests may sound very polite and I am sure he / she will tell you how you can get to the bank. Will you have a try Make? S3: Could you tell me where I can get to the nearest bank? T: Great, that sounds much better. Or we can also say “Do you know where I can save money?” Make more sentences using these two expressions. S: Do you know where I can buy any local presents? Could you tell me where I can make a phone call? Step II Listening and Speaking (1b && 1c: P86) Ask the Ss to listen and complete the conversations. After that let the Ss work in pairs andpractice the structures orally. T: Now listen to the tape and complete the conversations in the picture. Check the answers. T: Work in pairs, and make conversations by following the example. Sample conversations: 1. S1: Hi, good morning. S2: Hi, good morning. S1: Where are you going? S2: I’m going to buy shampoo for my mother. Do you know where I can buy the cheapest shampoo? S1: I know a mall between the cinema and the bookstore on River Road. Things are very cheap and nice there. S2: Thank you very much. 2. S1: Excuse me. Can you tell me where I can drink some coffee? S2: Sure. There is a Starbucks Café on the first floor of that building. S1: Thank you. 3. S1: Excuse me. Do you know where I can mail a package? S2: Yes. The post office just around the corner. S1: Thank you very much. Step III Homework Ask the Ss to prepare for the next period: Talk about directions. 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)(数学理)
xyO π2π1-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x>(B) x ∀∈R ，2310x x ++>(C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B) (C ) (D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D)41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。
最好采用排除法。
考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则 (A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交OO O O x xxxyyyy1 11 1111 1本题就是考查线性规划问题。
2011丰台区高三一模数学试题(含答案)理科.doc
xy OAC y x=2y x =(1,1)B丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学（理科）2011.3 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤2．6的展开式中常数项是 (A) -160(B) -20(C) 20(D) 1603．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 2(C)(D)4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或-1 (B) 3或1(C) 3 (D) 1 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C)③④ (D) ②③6．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)-(D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为(A)12(B)13(C) 14(D)168．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是(A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ， 点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 10．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方 程为 ，渐近线方程为 ．11．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．12．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ． 13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为___天．14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 1315 17 19 …… 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．BAαxy O（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =12AD =1，CD． （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：P A // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．PABCD QM18.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()axg x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．35- 10．221432x y -=，y =± 11．2 12．25413．16天（15.9天给满分） 14．n 2-n +5 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π ， （或写成A是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11cos 22x x =++ ……………………7分1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分） …………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是PABCD QM23． ……………………11分 又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． ……………………13分16.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ……………………1分∵BC ∥AD 且BC =12AD ，即BC //AQ ． ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // P A ……………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，…………………3分 ∴ P A // 平面MBQ ． ……………………4分（Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD//BQ ． ……………………6分∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面P AD ⊥平面ABCD 且平面P AD ∩平面ABCD=AD ， ……………………7分∴BQ ⊥平面P AD ． ……………………8分∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面P AD ． ……………………9分 另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC = DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°即QB ⊥AD ． ……………………6分∵ P A =PD ， ∴PQ⊥AD ． ……………………7分∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………8分∵ AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD ． ……………………9分 （Ⅲ）∵P A =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．C∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．……………10分（不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，P ，B ，(C -分设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC =，∴(1))(x t xy t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩……………………12分 在平面MBQ 中，QB =，(,,)111t QM t t t=-+++， ∴平面MBQ法向量为(3,0,)m t =．……………………13分∵二面角M -BQ -C 为30°， c o s 303n m n m︒⋅===+ ∴3t =． …………………14分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分则P (A )=111114444256⨯⨯⨯=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分P (B )33341-A =2565= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P (C )222444111*********()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=．…7分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=，3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．（各1分）故取球次数ξ的分布列为139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …13分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥， ∴2'()1f x x ax =++． (1)分∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-， ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩， ……………………3分∴1=a ，611-=b ． （各1分） ……………………5分（Ⅱ）'()()ax f x g x e=21ax x ax e ++=()x R ∈．'()g x =22(2)(1)()ax axax x a e a x ax e e +-++2[(2)]ax x ax a e -=-+-． ……………………7分①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞． ……………………9分②当a >时，令'(g x =，得x =或2x a a=- ……………………10分（ⅰ）当20a ->，即0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞；……11分（ⅱ）当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤， 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减； ……12分（ⅲ）当20a a-<，即a >()g x 在22(,0)a a-上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a --∞上单调递 ………13分综上所述，当0a =时，()gx 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞， 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >()g x 的单调递增区间为22(,0)a a-，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a--∞．（“综上所述”要求一定要写出来）19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为……2分∴1c =，a =22b =． ……3分W 的方程是22132x y +=． …………4分（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=． ……6分所以122632kx x k +=-+ …………7分∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MN y k k k x m m k +==---+． ………9分 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥， ∴222132332k k k m k +=---+ 即 232k m k =-+ …10分 当0k =时，0m =； ……11分当0k ≠时，212323k m k k k=-=-++]126,0()0,126[⋃-∈． ……13分 故所求m 的取范围是]126,126[-． ……14分 （可用判别式法）20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2510C =； ………3分（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =-当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-=故||i a +||i b ||i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++ 123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|++|(,)d u v = ………8分（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k =123(,,)n v b b b b =…… ∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)nk k d u v =∑ =1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+---|++|+|=12n n - ……13分∴21(,)nk k d u v =∑=12n n -．法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个∴21(,)nk k d u v =∑=012012nn n n n C C C n C ++++21(,)nk k d u v =∑=12(1)(2)0nn n n n n n n C n C n C C --+-+-++两式相加得 21(,)nk k d u v =∑=12n n -（若用其他方法解题，请酌情给分）。