第2章一阶逻辑

1）假命题 2）真命题
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一元谓词实例
例：在一阶逻辑中将下面命题符号 化（全总个体域）
凡偶数均能被2整除 F(x)：x是偶数，G(x)：x能被2整除 x(F(x) →G(x))
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例：存在着偶素数
F(x)：x是偶数，G(x)：x是素数 x(F(x) ∧G(x)) 例：没有不犯错误的人 M(x)：x是人，G(x)：x犯错误 ¬ x(M(x) ∧ ¬ G(x)) x(M(x) →G(x)) （所有的人都犯错误）
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使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应 以全总个体域为个体域。 3. 在引入特性谓词后，使用全称量 词与存在量词符号化的形式是不 同的。
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例题
例：每个自然数都是实数 引入特性谓词N(x)：x是自然数 R(x)：x是实数 x(N(x) →R(x)) 例：有的有理数是整数 引入特性谓词R(x)：x是有理数 G(x)：x是整数 x(R(x) ∧G(x))
第2章
一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
2.4 一阶逻辑推理理论
1
2.1
一阶逻辑基本概念
个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域 全称量词∀ 存在量词∃
谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词
使用量词注意事项
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个体词
在原子命题中所描述的对象；是 可以独立存在的客体；可以是具体 的，也可以是抽象的。 如李明，自然数，计算机，思想 等。
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约束变元换名
1. xφ(x, x1, x2, …, xn) yφ(y, x1, x2, …, xn)
2. xφ(x, x1, x2, …, xn) yφ(y, x1, x2, …, xn) 其中y {x1, x2, …, xn}
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换名实例
例. v2 (v1∙v2 +1<0) ∀v3 (v1∙v3 +1<0)
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谓词p(x)的表达能力和量词
p(x): x是大学生； 论域是某单位的职工； p(x)可以表示论域中所有职工都 是大学生， 也可以表示论域中有些职工是大 学生。 量词：表示数量的词
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全称量词 ∀
1. 表示“所有的”，“每一个”， “对任何一个”，“一切”， “任意的” xP(x), yQ(x,y)
2. x 是指导变元
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存在量词 ∃
1. 表示“存在着”，“有一个”， “至少有一个”，“存在一些”， “对于一些”，“某个”等 2. xP(x), 3. x yQ(x,y) 4. ！xP(x),存在唯一一个x，x具 有性质P
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所有的人都是要死的 苏格拉底是人 所以苏格拉底是要死的。
3
个体常项、个体变项
个体常项：表示具体的个体或表 示特定的个体。 a,b,c,…… 个体变项：表示不确定的个体， 泛指。 v1,v2,v3,……或x,y,z……
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个体域（论域）
个体变项的取值范围，可以是有 限的，也可以是无限的。 如：{1，2，3，4}，{a,b,c},{计 算机，2，狮子}，自然数集合，实 数集合…
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P(x) ：变元x满足某种性质 称P(x)为一元谓词,或一元关系 Q(x,y) 二元谓词或二元关系 R(x,y,z) 三元谓词或三元关系 由一个谓词(如P)和n个个体变 元如(x1,x2,……,xn)组成 P(x1,x2,……,xn ) ，称为n元原子谓 词或n元命题函数，简称n元谓词。
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谓词的记法
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例：命题符号化
1. 对所有的x，均有x2-1=(x+1)( x-1) 个体域为 1）自然数集合 2）实数集合 解： xF(x) 其中F(x)：x2-1=(x+1)( x-1)，
1）真命题
2）真命题
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例：命题符号化
2. 存在x，使得x+5=2 个体域为 1）自然数集合 2）实数集合 解： xF(x) 其中F(x)：x+5=2，
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实例
1. v1 (v1 +1=0) 量词的辖域是全公 式。v1是约束变元 2. v2 (v1+ v2 +1<0) 量词的辖域是全 公式。v2是约束变元, v1是自由变元 3. v1 (v1 + v2+1=0 → v2 (v1+ v2 +1<0)) v2 的辖域是(v1+ v2 +1<0);∀v1的辖域是全公式，v1是约 束变元，第二个v2是约束变元，第 一个v2是自由变元.
v1 (v1 + v2+1=0 → v2 (v1+ v2 +1<0)) 换名： x (x + v2+1=0 → y (x+ y +1<0))
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判断下面哪一个换名是正确的
例：将公式 x(P(x) →Q (x,y)) ∧R (x,y)中的约束变元改名。 1） y(P(y) →Q (y,y)) ∧R (x,y) 2） z(P(z) →Q (x,y)) ∧R (x,y) 3） z(P(z) →Q (z,y)) ∧R (x,y) 3）正确
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闭式
没有自由变元的公式φ(x1, x2, …, xn), 叫做封闭的合式公式，也叫闭式。 v1 (v1 + v2+1=0 → v2 (v1+ v2 +1<0)) 在上面这个公式中，v1 和v2有时自由 出现，有时是约束出现的，为了避免 混淆我们引入换名规则
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换名规则
将量词辖域中出现的某个约束 出现的个体变项及对应的指导变项， 改成另一个辖域中未曾出现过的个 体变项符号，公式中其余部分不变， 称为换名规则。
x y (M(x)∧M(y)∧H(x,y)→ ¬ L(x,y))
¬ x y (M(x)∧M(y)∧H(x,y) ∧L(x,y))
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每个自然数都有后继数 F(x)：x是自然数， H(x,y)：y是 x的后继数 x(F(x) → y(F(y)∧H(x,y)))
有的自然数无先驱数 F(x)：x是自然数， H(x,y)：y是 x的先驱数 x(F(x)∧ y(F(y) → ¬ H(x,y)))
1. 论域A中元素a,b,c∈A,满足关系 P,Q,R，记作P(a),Q(a,b),R(a,b,c). 2. 不满足关系记作 ¬ P(a), ¬ Q(a,b), ¬R(a,b,c).
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例：将下列命题符号化 李明是位大学生 S(c)
1. S(x):x是位大学生；c:李明 2. 若x的论域为某大学计算机系的全体 学生，则S(x)为真； 3. 若x的论域为某中学的全体学生，则 S(x)为假； 4. 若x的论域为某剧场中的观众，则S(x) 真值不确定； 5. 所以个体变元在哪些论域取特定的 值，对命题的真值极有影响。
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字母表涉及的函数是广义的函 数，它是一个从个体到个体的映射。 比如: f (x,y)表示x + y, f (2,3)表示 个体自然数5； 函数f (x)：x 的父亲,c:张强；P (x)：x是教授，则P (f (c))：张强的 父亲是教授。
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考虑命题：对于任意整数x，x21=(x +1)(x -1)是恒等式。 不用函数： xF(x)， F(x)：x2-1=(x +1)(x -1)是恒等式； 利用函数： x(I(x) →E(f (x), g (x))), 其中I(x)：x是整数，f (x)= x2-1, g (x)= (x +1)(x -1), E(x, y): x = y
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实例
1. x (x +1=0)
2. y (x+ y +1<0)
3. x (x+1=0 → y (x+ y +1<0) )
都是公式
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辖域、约束变元和自由变元 xA， xA中的x称为指导变 项，A为相应量词的辖域，在辖域中， x的所有出现称为约束出现，x称为 约束变元，A中不是约束出现的其他 变项的出现称为自由出现，这些变 项称为自由变元。
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使用量词注意事项(6-6）
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它 们的顺序，颠倒后会改变原命题的含义. 例：对任意的x，存在着y,使得x+y=5,个 体域为实数集，其中H(x,y)：x+y=5， x yH(x,y) 真命题 颠倒量词的顺序， y xH(x,y) 假命题 意为“存在着y，对任意的x，都有 x+y=5”，意义不符、假命题。
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合式公式(也叫公式)的定义
1. 原子公式是公式, 2. 设A， B是公式，则（ ¬ A）. 3. （A∧B），（A∨B）， （A→B），（A↔B）是公式, 4. 设A， B是公式，x是个体变元则 （ xA）， ( xA)都是公式。 5. 只有有限次地应用1-4构成的符 号串才是合式公式（谓词公式）
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2.2 一阶逻辑合式公式及解释
字母表 项 原子公式 合式公式 指导变项 约束出现 自由出现 闭式
换名规则 代替规则 解释 分类
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字母表如下：
个体常项：a, b, c,…ai, bi, ci,…, i≥1; 个体变项：x, y, z,…xi, yi, zi,…, i≥1; 函数符号：f, g, h,…fi, gi, hi,…, i≥1 谓词符号：F, G, H,…Fi, Gi, Hi,…, i≥1 5. 量词符号： ， 6. 联结词符： ¬ ，∨，∧，→，↔ ; 7. 技术符号:），（ 1. 2. 3. 4.
x(M(x) →P(x)), M(a) ⇒ P(a) M(x)：x是人，特性谓词 P(x)：x是要死的 a:苏格拉底，