高考数学总复习第七章解析几何第10讲直线与圆锥曲线的位置关系课件文
高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。
一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。
1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。
（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。
新课标高考艺考数学复习教师用书：第七章第8节 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析
第8节直线与圆锥曲线的位置关系最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养．2.根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c ＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ>0两个不等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个切点Δ<0无实数解无公共点(2)锥曲线的位置关系．1.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．2．中点弦的重要结论AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a2[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.( )(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．( ) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．( ) (4)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 29＝1恒有两个公共点．( )(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [小题查验]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：C [双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23.] 4．(人教A 版教材P80A 组T8改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析：由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝41＋m 2＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2， 所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案：45．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________． 解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0. 答案：2x ＋4y －3＝0考点一 直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)[题组集训]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：C [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.]2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b a解析：D [由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜ba .故选D.]3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：B [∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.]判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围．考点二 根据直线与圆锥曲线的位置求参数(师生共研)[典例] (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [解析] D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0x 1x 2＝10k 2－1＞0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－153＜k ＜－1.故选D.] (2)(·沈阳市模拟)已知直线3x －y －3＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，与x 轴交于F 点，OF →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13[解析] B [直线3x －y －3＝0过抛物线的焦点F (1,0)，把直线方程代入抛物线的方程y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，或⎩⎨⎧x ＝13y ＝233，不妨设A (3,23)、B ⎝⎛⎭⎫13，－233.∵OF →＝λOA →＋μOB →，∴(1,0)＝(3λ，23λ)＋⎝⎛⎭⎫13μ，－233μ＝⎝⎛⎭⎫3λ＋13μ，23λ－233μ.∴3λ＋13μ＝1,23λ－233μ＝0，∴λ＝14，μ＝34，则λ－μ＝－12.故选B.]由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况．[跟踪训练]1．(·永州市三模)已知F 为椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点，A 是椭圆的短轴的上顶点，点B 在x轴上，且AF ⊥AB ，A ，B ，F 三点确定的圆C 恰好与直线x ＋my ＋3＝0相切，则m 的值为( )A ．±3 B.3 C ．±3 D ．3解析：C [由题意可知：椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点(－1,0)，设B (x,0)，由AF ⊥AB ，且A ，B ，F 三点确定的圆C ，圆心C ⎝⎛⎭⎫x －12，0，半径为r ＝x ＋12. 在△AOC 中，由|AO |2＋|OC |2＝|AC |2＝r 2， 即(3)2＋⎝⎛⎭⎫x －122＝⎝⎛⎭⎫x ＋122，解得x ＝3，则C (1,0)，半径为2，由题意可知：圆心到直线x ＋my ＋3＝0距离d ＝|1＋m ×0＋3|1＋m 2＝2， 解得m ＝±3.故选C.]2．已知直线y ＝x ＋m 被椭圆4x 2＋y 2＝1截得的弦长为225，则m 的值为________． 解析：把直线y ＝x ＋m 代入椭圆方程得4x 2＋(x ＋m )2＝1，即5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，设该直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0的两根，Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝－16m 2＋20>0，即m 2<54.由韦达定理可得x 1＋x 2＝－2m5，x 1·x 2＝m 2－15，所以|AB |＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·4m 225－4m 2－45＝225，所以m ＝±1. 答案：±1考点三 弦长问题(师生共研)[典例] (·贵阳市摸底)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.(1)求椭圆的方程； (2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．直观想象、逻辑推理、数学运算——直线与 椭圆位置关系综合问题中的核心素养以学习过的直线与椭圆位置关系的相关知识为基础，借助直线、椭圆等平面图形的几何性质，通过逻辑推理将已知条件代数化，并通过消元等进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． [跟踪训练]已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋2－m ＝0. (1)求证：∀m ∈R ，l 与圆C 总有两个不同的交点A ，B ； (2)当|AB |取最小值时，求l 的方程与|AB |的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －1)2＝5，mx －y ＋2－m ＝0消去y 并整理得，(1＋m 2)x 2＋2m (1－m )x ＋m 2－2m －4＝0，所以Δ＝[2m (1－m )]2－4(1＋m 2)(m 2－2m －4)＝16⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋142＋1516＞0， 所以∀m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A ，B .(2)由(1)可得k CD ＝2－11－0＝1，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k ＝－1，即m ＝－1， 故此时直线l 的方程为－x －y ＋3＝0，即x ＋y －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1＜x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 并整理得2x 2－4x －1＝0. ① 解①得x 1＝1－62，x 2＝1＋62，所以|AB |＝2|x 1－x 2|＝2 3. 考点四 中点弦问题(多维探究)[命题角度1] 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[命题角度2] 由中点弦确定曲线方程2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又因为a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.]由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式，求解即可．[命题角度3] 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32B.52C ．2D ．3 解析：A [由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.故选A.]由中点弦解决对称问题，首先根据斜率之积等于－1，用点差法表示出有关式子．再利用中点在已知直线上，代入解的．[命题角度4] 由中点弦解决离心率问题4．(·郑州市一模)已知椭圆r ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，且离心率为12，△ABC的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，且k 1、k 2、k 3均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1.则1k 1＋1k 2＋1k 3＝________.解析：由c ＝1，e ＝c a ＝12，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (s 1，t 1)，E (s 2，t 2)，M (s 3，t 3)．由A ，B 在椭圆上，则3x 21＋4y 21＝12,3x 22＋4y 22＝12，两式相减得到：y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－34·s 1t 1，即1k 1＝－4t 13s 1，同理1k 2＝－4t 23s 2，1k 3＝－4t 33s 3，所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43⎝⎛⎭⎫t 1s 1＋t 2s 2＋t 3s 3， 直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1，则1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43.答案：－43由中点弦解决离心率问题，指导思想是整体代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利用点差法，把相关的关系式是表示出来，再根据具体题目的条件求解．1．已知抛物线y 2＝2x ，过点(－1,2)作直线l ，使l 与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：D [因为点(－1,2)在抛物线y 2＝2x 的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－1,2)的切线，过点(－1,2)与x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.]2．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝－2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.∴26＝1＋12·(x ＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(2p －2)2－4.解得p ＝－1或p ＝3， ∴抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .故选C.] 3．过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12 (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D.]4．(·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：D [如图焦点F (1,0)，直线的方程为y ＝23(x ＋2)，将其代入y 2＝4x 得：x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4， ∴FM →·FN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋23(x 1＋2)·23(x 2＋2)＝139x 1x 2－19(x 1＋x 2)＋259 ＝139×4－19×5＋259＝8.] 5．(·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：A [因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bca ，因为四边形F AMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得(a ＋c )24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.]6．(·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k (x －1)得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1.∵∠AMB ＝90°，∴k MA ·k MB ＝－1 解y 1－1x 1＋1·y 2－1x 2＋1＝－1. 化简得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2. 答案：27．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝xp，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：1或28．(·泉州市模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆与P 、Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________________________________________________________________________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 内切圆的半径的最大值即可．设直线l 方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，于是S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2.∵m 2＋1(3m 2＋4)2＝19m 2＋9＋1m 2＋1＋6≤116， ∴S △F 1PQ ≤3所以内切圆半径r ＝2S △F 1PQ 8≤34，因此其面积最大值是916π.答案：916π9．(·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2,0)，B (2,0)，则OA →·OB →＝－4， 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 10．(·贵阳市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1渐近线的距离为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线AB ：y ＝kx ＋m (k ＜0)与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线AB 的距离为255，求直线AB 的方程．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，∴c a ＝22，∵双曲线x 22－y 2＝1的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 椭圆C 的左焦点F 1(－c,0)，∵椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1渐近线的距离为33.∴d ＝|－c |1＋2＝33＝c3得c ＝1， 则a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1；(2)设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由原点O 到直线AB 的距离为255，得|m |1＋k 2＝255， 即m 2＝45(1＋k 2)，①将y ＝kx ＋m (k ＜0)代入x 22＋y 2＝1；得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0， ∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，∵以线段AB 为直径的圆经过点F 2， ∴AF 2→·BF 2→＝0，即(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.即(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝0， ∴(1＋k 2)2m 2－21＋2k 2＋(km －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＋m 2＋1＝0， 化简得3m 2＋4km －1＝0 ②由①②得11m 4－10m 2－1＝0，得m 2＝1， ∵k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1k ＝－12，满足判别式Δ＝8(2k 2－m 2＋1)＞0，∴AB 的方程为y ＝－12x ＋1.。
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系教师用书文(PDF,含解析)
一个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的渐近线平行；
若 ｒ 为抛物线，则直线 ｌ 与抛物线的对称轴平行或重合．
考点二 弦长公式
高频考点
连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 直线 ｌ： ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，曲线 ｒ：Ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ０，ｌ 与 ｒ 的两个不同的交
点为 Ａ、Ｂ， Ａ （ ｘ１ ， ｙ１ ）、 Ｂ （ ｘ２ ， ｙ２ ）， 则 （ ｘ１ ， ｙ１ ）、 （ ｘ２ ， ｙ２ ） 是 方 程 组
∴
ｙ１ －ｙ２ ｘ１ －ｘ２
＝ －ｂ２（ ｘ１ ＋ｘ２ ） ＝ ａ２（ ｙ１ ＋ｙ２ ）
－
ｂ２ ａ２
ｘ０ ｙ０
，故
ｋＡＢ
＝
ｂ２ －
ａ２
ｘ０ ｙ０
．
２．已知 ＡＢ
是
双
曲
线
ｘ２ ａ２
－
ｙ２ ｂ２
＝ １ （ ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０） 的一条弦， 且
Ａ（ ｘ１ ，ｙ１ ） ，Ｂ（ ｘ２ ，ｙ２ ） ，ｘ１ ≠ｘ２ ，弦的中点 Ｍ（ ｘ０ ，ｙ０ ） ，则用点差法同
所以 ａ ＝ ｂ２ ＋ｃ２ ＝ ３ ，
因为椭圆 Ｅ 的焦点在 ｘ 轴上，
{Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ Ｆ（ ｘ，ｙ） ＝
＝ ０， 消去
０，
ｙ（
或
ｘ）
后得
ａｘ２
＋ｂｘ＋ｃ
＝
０（
或
ａｙ２
＋ｂｙ＋ｃ
＝
０）
．
（１） 当 ａ≠０ 时，则 Δ＞０ 时，直线 ｌ 与曲线 ｒ 相交；Δ ＝ ０ 时，直
线 ｌ 与曲线 ｒ 相切；Δ＜０ 时，直线 ｌ 与曲线 ｒ 相离．
（２）当 ａ ＝ ０ 时，即得到一个一次方程，则 ｌ 与 ｒ 相交，且只有
2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第7章 第12节 直线与圆锥曲线的位置关系
数．在具体解方程时，需要比较消去x与消去y哪个简单，从而选择 恰当的消参方式，还要注意Δ＝0只是直线与曲线有且只有一个 公共点的充分不必要条件．
第五页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科） 变式探究
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点， 这样的直线有( )
4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2－56x+51＝
0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案：4x－y－7＝0
第十三页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科）
解析：(1)点A(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点是B(2，
－3，－5)，故|AB|＝
2－22＋[－3－－3]2＋[5－－5]2
＝10.
(2)M在xOz平面上的射影为M′(－2,0，－3)，所以M′关
于原点对称点的坐标为(2,0,3)．
答案：(1)A (2)C
第十四页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科）
圆锥曲线的弦长问题
【例3】 过点P(－1,1)作直线与椭圆
x4＝2＋1交y22于A，B两点，若
线段AB的中点为P，求直线AB所在的直线方程和线段AB的长度．
(2)当点 P 异于 A，B 两点时，求证：O→P ·O→Q 为定值．
第二十页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科） (1)解析：因为椭圆焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 由已知得 b＝1，c＝1，所以 a＝ 2， 椭圆方程为y22＋x2＝1.直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符． 设直线 l 的方程为 y＝kx＋1， 将其代入椭圆方程，化简，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2，
高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)课件 新人教B版
点评： 1.点差法的一个基本步骤是：点 A(x1， y1)， B(x2，y2)都在圆锥曲线 f(x· y)＝0 上， ∴f(x1，y1)＝0， f(x2， y2)＝ 0，两式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝ 0，然后变形构造 y2－ y1 出 及 x1＋ x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解． x2－ x1
1 y＝ 3x－3 x＝6， (2)解方程组 1 22 ，得 5 y＝－ x－ y＝－ . 3 9 2 所以直线 l1 和 l1、 l2 与
Ax＋ By＋ C＝ 0 2．解方程组 fx， y＝ 0
时，若消去 y，得到
关于 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0，这时要考虑 a＝0 和 a≠ 0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况 要考虑全面，除 a≠ 0，Δ＝ 0 外，当直线与双曲线的渐近 线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平 行时，只有一个交点． 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0， 即只能得到一个一次方程．
x2 y2 [例 1] P(1,1)为椭圆 ＋ ＝ 1 内的一定点，过 P 点 4 2 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的 长度．
解析： 设弦 AB 所在的直线方程为 y－ 1＝ k(x－ 1)， A、B 两点坐标分别为 (x1， y1)， (x2，y2)，则
2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是 → → 否过焦点，遇到 AO⊥BO 的情况，常用AO· BO＝ x1x2＋ y1y2＝ 0 解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法 解决．
【创新设计】高考数学一轮总复习 第九篇 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 湘教版
2．(2013·西安调研)已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与 直线 x＋ 3y＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长
为
( )．
A．3 2 B．2 6 C．2 7
D. 7
解析 根据题意设椭圆方程为b2x＋2 4＋by22＝1(b＞0)，则将 x
＝－ 3y－4 代入椭圆方程，得 4(b2＋1)y2＋8 3b2y－b4＋
a＝2，
解 (1)由题意得ac＝ 22， a2＝b2＋c2，
解得 b＝ 2.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
y＝kx－1，
(2)由x42＋y22＝1
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k42.
中点为N(－12，－15)，则E的方程为
( )．
A.x32－y62＝1
B.x42－y52＝1
C.x62－y32＝1
D.x52－y42＝1
解析 设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)，由
题意知 c＝3，a2＋b2＝9，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
ax122－by212＝1， ax222－by222＝1，
第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【2014年高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联
立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．考查圆锥曲线中的最值、定点、定值问题．
考点梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方 程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程 F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或 变量y)的一元方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0，＝0， 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为 Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C___相__交____；
(北京专用)2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系课件
所以椭圆G的方程为 x 2 + y 2 =1. 12 4
(2)设直线l的方程为y=x+m.
y x m ,
由
x2 y2
得4x2+6mx+3m2-12=0. ①
1
12 4
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0= x1
x 2
=- 3 m ,
2
4
y0=x0+m= m .
4
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB.
m
所以PE的斜率k= 2 4 =-1.
3m 3
4
解得m=2. 此时方程①为4x2+12x=0. 解得x1=-3,x2=0. 所以y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2 .
此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d= | 3 2 2 | = 3 2 ,
2
1
= k x 2 2 + k x1 6x来自3x21
= 4
k+ 2 ( x1
x) 2
3
x1 x 2
16k
2
= 4 k+ 1 2 k 2 =0.
3
24
1 2k 2
即kAN=kAG,故A,G,N三点共线.
评析 本题主要考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力及转化与化归思想.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系教师用书(PDF,含解析)
{ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，
Ｆ（
ｘ，ｙ）
＝
的解． ０
方程组消元后化为关于
ｘ（
也可以是
ｙ）
的一元
二次方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘ＋Ｃ ＝ ０（ Ａ≠０） ．判别式 Δ ＝ Ｂ２ －４ＡＣ，应有 Δ＞０．所
以 ｘ１ 、ｘ２ 是方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘ＋Ｃ ＝ ０ 的解． 由根与系数的关系求出 ｘ１ ＋
ｘ２ ＝ －
Ｂ Ａ ， ｘ１ｘ２
则ｋＡＢ
＝
ｐ ｙ０
．
对应学生用书起始页码 Ｐ２１９
有关位置关系、弦长、面积问题的解题策略
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１．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可
个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的渐近线平行；
若 ｒ 为抛物线，则直线 ｌ 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或
重合．
２．连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，曲线 ｒ：Ｆ（ ｘ，ｙ）＝ ０，ｌ 与 ｒ 的两个不同的交点
为 Ｍ （ ｘ１， ｙ１ ）、 Ｎ （ ｘ２， ｙ２ ）， 则 （ ｘ１， ｙ１ ）、 （ ｘ２， ｙ２ ） 是 方 程 组
第十章 圆锥曲线与方程 １ ２５
§ １０．４ 直线与圆锥曲线的位置关系
考 点 直线与圆锥曲线的位置关系 高频考点
１．判断直线 ｌ 与圆锥曲线 ｒ 的位置关系时，通常将直线 ｌ 的
方程 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ （ Ａ、 Ｂ 不 同时为 ０） 代入 圆锥 曲线 ｒ 的方 程
2015届高考数学(文)基础知识总复习精讲课件：第7章 第12节 直线与圆锥曲线的位置关系
原点对称的点的坐标 【例2】 (1)分别写出点P(－3,2，－1)关于三个坐标平面的对
称点的坐标；
(2)分别写出点P(－3,2，－1)关于三个坐标轴的对称的点的坐标；
(3)写出点P(－3,2，－1)关于原点对称的点的坐标；
(4)写出点P(－3,2，－1)关于点A(2，－1,5)对称的点B的坐标．
高考总复习•数学（文科）
第七章
第十二节 空间直角坐标系
第一页，编辑于星期五：十点 二十一分。
高考总复习•数学（文科）
求空间的点到坐标轴(坐标平面)的距离
【例1】 在空间直角坐标系中，求点N(3，－4，－2)到原
点、各坐标轴、各坐标平面的距离．
思路点拨：要理解空间直角坐标系中点的坐标的意义， 先确定点N在空间的位置(第Ⅷ卦限)，然后作出点N在各坐标平
高考总复习•数学（文科）
点评：研究点N(x，y，z)坐标，以N，O(坐标原点)为对顶顶
点，构造一个长方体，借助长方体模型来理解空间直角坐标系中的
点的坐标十分直观，注意此长方体中的以N为一端点的棱，对角 线，面对角线的意义．
第五页，编辑于星期五：十点 二十一分。
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变式探究
1．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上，且到A，B
于原点对称点的坐标为(2,0,3)．
答案：(1)A (2)C
第十三页，编辑于星期五：十点 二十一分。
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求空间中两点间的距离
【例3】(1)△ABC三个顶点的坐标为A(1，－2,11)，B(4,2，3)，
C(6，－1,4)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．锐角三角形
2019年《·高考总复习》数学：第七章 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系
＝
1＋22×532－4×0＝5
3
5 .
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考点 2 点差法的应用
例 2：已知椭圆x22＋y2＝1.
(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；
(2)过点 A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方
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2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长： 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段)，线段的长就是弦长. (2)圆锥曲线的弦长的计算：
同样有xx222212＋ ＋yy2122＝ ＝11， .
⑤ ⑥
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⑤－⑥，得x1－x22x1＋x2＝－(y1＋y2)(y1－y2). 有yx11－ －yx22＝－2xy11＋＋xy22，即 kMN＝－2×2×2×12 12＝－12. 即过点 P12，12且被点 P 平分的弦所在的直线的方程为 y－ 12＝－12x－12，即 y＝－12x＋34.
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d＝2|m5|<1，|m|<
5 2.
∴|CD|＝2 1－d2＝2
1－4m5 2.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立yx4＝ 2＋－y3212＝x＋1，m，
整理，得 x2－mx＋m2－3＝0. 可得 x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.