二项分布图像
二项分布、泊松分布、伽马分布
一、二项分布二项分布是一个离散型概率分布，在一系列独立的重复的是/非试验中，每次试验只有两种可能的结果，例如成功与失败。
如果每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么进行n次独立重复试验后，成功k次的概率可以用二项分布来描述。
1.1 二项分布的概率密度函数设X表示n次重复试验中成功的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即从n中选取k个的组合数，计算公式为C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!).1.2 二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p).1.3 二项分布的特点二项分布的特点是其概率分布函数在图像上呈现出左侧低、右侧高的倾斜形态。
当试验次数n较大时，二项分布近似于正态分布。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间（或单位面积、体积等）内随机事件发生次数的概率分布，常用于描述单位时间内独立随机事件发生次数的概率。
2.1 泊松分布的概率密度函数设X表示单位时间内随机事件发生的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中λ表示单位时间内随机事件的平均发生次数。
2.2 泊松分布的特点泊松分布的特点是其概率密度函数在大部分取值区间内值较小，且随着随机事件发生次数增多而减小。
在实际应用中，泊松分布常用于描述稀有事件的发生概率，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内颗粒的沉积数等。
三、伽马分布伽马分布是一种连续型概率分布，常用于描述随机事件的持续时间或等待时间的概率分布。
3.1 伽马分布的概率密度函数伽马分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x|α,β) = ( β^α * x^(α-1) * e^(-βx) ) / Γ(α)其中α和β为伽马分布的两个参数，Γ(α)表示Γ函数，x≥0。
三大分布--二项分布
三、常见的题型：
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
练习1.背定义、熟公式：
(1)若 X ~ B(n , 3) ,且 P(X 1) 96 ,则 n =_____
5
625
析:由题意得
PX
1
C1n
( 3 )(1 5
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
为ξ的方差 ，称 ＝ D 为ξ的标准差
随机变量期望与方差的作用(目的)
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
二项分布的知识点
二项分布的知识点一、二项分布的定义。
1. 基本概念。
- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。
- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。
2. 独立重复试验的条件。
- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。
- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。
- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。
二、二项分布的概率计算。
1. 利用公式计算。
- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。
- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。
- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。
- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。
2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。
不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。
三、二项分布的期望与方差。
1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。
- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。
用EXCEL作二项分布、产生随机数
7、t分布的计算 、 分布的计算 分布fx=TDIST() ⑴ t分布 分布 分布反函数fx=TINV() ⑵t分布反函数 分布反函数 8、x2分布的计算 、 分布fx=CHIDIST() ⑴ x2分布 分布反函数fx=CHIINV() ⑵ x2分布反函数 9、F分布的计算 、 分布的计算 分布fx=FDIST() ⑴ F分布 分布 分布反函数fx=FINV() ⑵ F分布反函数 分布反函数 请参考中国青年出版社《 函数、 请参考中国青年出版社《Excel2002函数、统计与 函数 分析应用范例》杨世莹编著， 分析应用范例》杨世莹编著，2003第一版本 第一版本
3、二项分布的计算 、 fx=BINOMDIST(x, n, p, FALSE) 4、泊松分布的计算 、 fx=POISSON(x, λ, FALSE) 5、标准正态分布的计算 、 fx=NORMSDIST(数值 数值) 数值 6、标准正态分布反函数的计算 、 fx=NORMSINV(概率值 概率值) 概率值 以上各函数的计算，请见用EXCEL作的“oc曲 作的“ 曲 以上各函数的计算，请见用 作的 线图象”文件,以及用 以及用EXCEL作的“计量抽样附 作的“ 线图象”文件 以及用 作的 件”文件
按Enter键，pa=1.000, 在C2格右下角做成“+ 往下拖移，pa=0.9245， 0.6769， .......0
计算机作OC曲线（图像） OC曲线 三. 计算机作OC曲线（图像） 1.选 1.选p，pa 2.在任务栏找到 图表向导” 2.在任务栏找到 “图表向导” ，击→选 “XY” 散点图→选→“确定” →显出OC曲线. XY 散点图→ 确定” 显出OC曲线. OC曲线
2、样本 、 从总体中抽取部分个体所组成的集合称 总体中抽取部分个体所组成的集合称 所组成的集合 为样本。 为样本。 由于总体的全部数据往往是不能得到的， 由于总体的全部数据往往是不能得到的， 所以总体分布的特征值μ 也是不可知的。 所以总体分布的特征值μ、σ也是不可知的。 也是不可知的 人们从总体中抽取样本是为了认识总 但人们从总体中抽取样本是为了认识总 从样本去推断总体 即搜集的数据中: 推断总体。 体，从样本去推断总体。即搜集的数据中 这个总体的均值为多少? ⑴这个总体的均值为多少 这个总体的标准差是多少? ⑵这个总体的标准差是多少
用EXCEL作二项分布、产生随机数
3.计算：
（1）先在 “B”列，选中B2（此时：计算px=0)
（2）在EXCEL任务栏中找出 “插入”，单击
“插入” →击 “函数” →找到BINOMDIST
（二项分布）→ BINOMDIST（x,n,p,FALSE密
度）
（3）输入数据：x=A2,n=5,p=0.1, FALSE
（4）计算 按 Enter 键，px=0=59.05%
（5）计算：在B2的右下角，显出 “+” ，按 住鼠标往下拖，计算出：px=1=0.354,
px=2=0.134, px=3=0.033, px=4=0.006
px=5=px=6≈0 （6）用上面相似方法，将FALSE换成TRUE,计 算出∑累计.
二.绘制泊松分布图像 1.选x列，p列 2.在任务栏找出 “图表向导” ，击→选 “XY” 散点图→选→“确定” →显出泊松分 布图像.
三. 计算机作OC曲线（图像） 1.选p，pa 2.在任务栏找到 “图表向导” ，击→选 “XY” 散点图→选→“确定” →显出OC曲线.
3.根据需要，调整p轴、pa轴。
四、随机数在计算机中产生
例：已知N=100，要随机n=13的抽取 操作步骤如下： 1.100台产品编号为：1～100 2.打开EXCEL
1、总体与个体
在一个统计问题中，称研究对象的全体为总体，
构成总体的每个成员称为个体。
总体可用一个分布描述，统计学的主要任务是: ⑴研究总体是什么分布? ⑵这个总体(即分布)的均值、方差或标准差是 多少?
2、样本 从总体中抽取部分个体所组成的集合称 为样本。 由于总体的全部数据往往是不能得到的， 所以总体分布的特征值μ 、σ也是不可知的。 但人们从总体中抽取样本是为了认识总 体，从样本去推断总体。即搜集的数据中: ⑴这个总体的均值为多少? ⑵这个总体的标准差是多少?
初中数学中的二项分布与正态分布
二项分布和正态分布都可以用于描述数据的分布情况，但应用场景不同
二项分布和正态分布都可以通过中心极限定理进行转换，从而扩大其应用范围
性质和特点的区别和联系
二项分布：离散随机变量，只有两种可能结果，如硬币正反面
添加标题
正态分布：连续随机变量，结果在特定范围内，如身高、体重
正态分布的集中性：正态分布的随机变量大部分集中在均值μ附近，离均值越远，概率越小。
正态分布的标准差σ决定了曲线的宽度和陡度，σ越大，曲线越宽，陡度越小；σ越小，曲线越窄，陡度越大。
二项分布与正态分布的区别和联系
04
定义上的区别和联系
二项分布：指在n次独立重复试验中，每次试验只有两种可能的结果，且每次试验的结果互不影响。
μ：正态分布的均值，表示数据分布的中心位置
σ^2：正态分布的方差，表示数据分布的离散程度平方
正态分布的曲线形状：对称、单峰、中间高、两边低
正态分布在初中数学中的应用
正态分布的应用：在初中数学中，正态分布可以用于描述各种数据的分布情况，如考试成绩、身高、体重等
正态分布的概念：数据分布的一种规律，大多数数据集中在平均值附近，两端逐渐减少
概率计算：用于计算随机事件发生的概率
决策制定：用于制定决策，如风险评估、投资决策等
实验设计：用于设计实验，如抽样调查、实验研究等
统计分析：用于分析数据的分布情况
二项分布的性质和特点
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
正态分布
03
正态分布的定义
添加标题
二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数，p为成功概率，n为试验次数，k为成功次数
二项分布与超几何分布、正态分布
,k=t,t+1,…,s,
(2)记法:X~H(N,n,M).
(3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此
时X的分布列如下表所示.
X 0
P
… k
1
0 n
M
N-M
Nn
1 n-1
M
N-M
Nn
…
… s
-
C C-
C
…
-
C
C-
二项分布与超几何分布、正态分布
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
03
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是
相互独立 的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方
法随机抽取则随机变量X服从超几何分布
放回抽样,当n远远小于N时,每抽取
一次后,对N的影响很小,超几何分
布可以用二项分布近似
4.正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地,函数
1
φμ,σ(x)=
e
2π
μ= E(X)
,σ=
()
(- )2
P(Di)=4.
由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(3 )P(2 1 ∪ 2 D1∪D21 )
1
=4
1
4
× ×
45
.
1 024
3
2013版高中全程复习方略配套课件：11.8条件概率与独立事件、二项分布、正态分布(北师大版·数学理)
【解题指南】(1)根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从 9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”，然 后计算；(2)“不超过2次”就按对包括两种情况：第一次就按 对；第一次没按对，第二次按对.
【规范解答】(1)方法一：从10件产品中不放回抽取2次，记
“第一次抽到正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件
【例3】(2012·南昌模拟)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规 则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获 奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是 2 .
3
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布 列; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率； (3)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教 师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概 率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
2.常见词语的理解 在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一 个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发 生”等词语的意义.已知两个事件A、B则 (1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B； (2)A、B都发生的事件为AB； (3)A、B都不发生的事件为 A B； (4)A、B恰有一个发生的事件为 AB AB； (5)A、B中至多有一个发生的事件为 AB AB A B.
Ai(i=1,2,3)，
则
PA1
4 5
，P
A
2
3，P 5
A3
2， 5
∴该选手被淘汰的概率
P P A1 A1A2 A1A2 A3 P(A1) PA1 P(A2) PA1 PA2 P(A3)
1 42 433 5 55 555
101. 125
概率论与数理统计第四章_几种重要的分布
ξ
0
1
2
3
4
p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
４.２超几何分布（了解）
主要内容： （一）了解超几何分布的概念 （二）了解超几何分布的期望和方差
４.２超几何分布
例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从 班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 11)n! pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 1)n!
n
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
n!
n
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k2 (k 2)!(n k)!
解 可以取０,１,２,３这４个值。
P(
=k)=
C3k
C4k 17
C420
(k=0,1,2,3,)
列成概率分布如下
ξ
0
1
2
3
p 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035
定义４２ 设Ｎ个元素分为两类，有Ｎ１个属于第一类， Ｎ２个属于第二类（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。从中按不重复抽 样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，
k1 (k 1)!(n k)!
n2
n1
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l nCnj1 p j1(1 p)n1 j
l0
j0
n2
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l l0
二项分布，柏松分布和正态分布
⼆项分布，柏松分布和正态分布主要介绍以下三种相互关联的概率分布：离散型随机变量的概率分布：⼆项分布，柏松分布连续性随机变量的概率分布：正态分布。
⼀，⼆项分布满⾜条件：1）每次试验中事件只有两种结果：事件发⽣或者不发⽣，如硬币正⾯或反⾯，患病或没患病；2）每次试验中事件发⽣的概率是相同的，每次抛硬币正⾯和反⾯的概率都为0.5；每次投篮命中率都为0.6等等。
3）n次试验的事件相互之间独⽴。
特征：1，当p较⼩且n不⼤时，分布是偏倚的。
但随着n的增⼤，分布逐渐趋于对称。
2，当p约等于1-p，且n趋近于⽆穷⼤时，⼆项分布的极限分布为正态分布。
当p很⼩，且n很⼤时，⼆项分布的极限分布为柏松分布概率分布函数为：也为：若随机变量满x(或者k)=0，1，2，3，....满⾜该分布函数，则称随机变量x(或者k)服从参数为n和p的⼆项分布，记为：x(k)~B(n, p)。
应⽤：判断n次独⽴重复事件中成功或者失败次数为k的概率，其中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
⼆，柏松分布由⼆项分布推导⽽来。
柏松分布是⼆项分布的极限情况，即⼆项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很⼤，⼆项分布的概率p很⼩，且乘积λ= np⽐较适中，则事件出现的次数的概率可以⽤泊松分布来逼近。
推导例⼦：如下图，满⾜条件：a, 事件发⽣为⼩概率事件b, 事件独⽴发⽣c, 事件发⽣的概率稳定特征：1，柏松分布的⼀⼤特征为平均数等于⽅差等于lamda，即。
2，是柏松分布的唯⼀参数，当⼤于等于20时，接近于正态分布，可以⽤正态分布来处理柏松分布问题。
概率分布函数为：若随机变量满x(或者k)=0，1，2，3，....满⾜该分布函数，则称随机变量x(或者k)服从参数为的柏松分布，记为：x(k)~P()。
应⽤：观察事物平均发⽣次的条件下，实际发⽣k次的概率P。
三，正态分布正态分布是⼀种重要的连续随机变量的概率分布。
中⼼极限定理表明，在观测数据⾮常⼤的时候，具有独⽴分布的独⽴随机变量的观测样本的平均值是收敛于正态分布的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项分布图像
二项分布图像也叫做欧拉图像，是研究连续随机变量的统计分布最常用的工具之一。
在科学、经济、管理和生活等领域中有着广泛的应用。
二项分布图像具有如下的性质：
1。
如果Y＝ax+b其中a， b是连续正整数，且a＞b＞0，则二项分布图像为对称双曲线(y轴在x轴左侧，横坐标为a和b)2。
如果Y＝ax+b的条件成立，且其中a和b是正整数，则二项分布图像可以表示为如下形式： y＝ax(b＝0)或y＝ax+b(b＝0) 3。
当二项分布图像具有两个极限值时，对于连续的正整数a， b，可以分别得到两个不同的极限值。
当这些极限值距离相等时，二项分布图像表现为单峰的形状。
当极限值不相等时，表现为三角形。
二项分布图像总是对称于一个纵坐标轴。
4。
对于连续的正整数a， b，二项分布图像总是对称于横坐标轴，而且这个函数的图像从左到右无限地接近二次曲线的形状。
从二项分布图像的性质可以看出，二项分布图像是典型的伪随机变量。
它在复杂的随机过程模型的建立中起着重要作用。
为了便于分析和理解随机变量Y的性质，我们可以根据二项分布图像的性质对Y 进行一些简化处理，通常将二项分布图像按照某种变换进行变换，使Y近似服从指数分布或正态分布，然后再利用欧拉图像进行分析。
因此，通常使用欧拉图像作为一种特殊的二项分布图像。
综上所述，欧拉图像与二项分布图像之间存在密切联系，但是又
不完全相同。
二项分布图像是二项分布图像的简化形式，它属于一种简化的理论。
如果能够将二项分布图像有效地转换为欧拉图像，则可以方便地解决很多实际问题。
同时，欧拉图像本身还具有较好的直观性，容易为人们理解和掌握。
在应用过程中，当数学公式涉及到连续概率分布的概念时，常常会涉及到二项分布图像与欧拉图像之间的相互转换，但并非只有这两种图像可以相互转换。
例如，当涉及到两个均匀分布的随机变量Y和Z时，也可以通过转换转化为二项分布图像和欧拉图像的形式。
由于各种类型的随机变量均可以通过二项分布图像和欧拉图像来研究其统计性质，因此，二项分布图像和欧拉图像可以说是研究大量随机变量的有效工具。
综上所述，二项分布图像是关于离散型随机变量的随机过程的理想模型，这种模型可以被视为统计中的“二维欧拉平面”。