计量经济学 第四章 统计推断： 估计与假设检验

第四章统计推断：估计与假设检验

4.1 统计推断的含义

总体和样本

总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体，样本是总体的一个子集(例如，杭州的人口；下沙开发区的人口)。

宽泛地说，统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。

国内股票交易市场共有1500多支股票。假定某一天从中随机选取50支，并计算这50支股票价格与收入比的平均值—即P/E比值。（例如，一支股票的价格为50元，估计年收益为2.5美元，则P/E为20；也就是说，股票以20倍的年收益出售。）

根据50支股票的平均P/E值，能否说这个P/E值就是总体的1000多股票的平均P/E值呢？

如果令X表示一支股票的P/E值，X表示50支股票的平均P/E值，能否得知总体的均值E(X)呢？此处统计推断的实质就是从样本值均值(X)归纳出总体值E(X)的过程。

4.2 参数估计

通常假定某一随机变量X服从某种概率密度，但并不知道其分布的参数值。例如，X服

从正态分布，想知道其两个参数，均值E(X)=u X，及方差2 x

δ。

为了估计未知参数，一般的步骤是：

假定有来自某一总体，样本容量为n的随机样本，根据样本估计总体的未知参数。因此，可将样本均值作为总体均值(或期望)的估计量，样本方差作为总体方差的估计量。

这个过程称为估计问题，估计问题有两类：

点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)。

假定随机变量X(P/E值)服从某一未知均值和方差的正态分布。但是，有来自该正态总体的一个随机样本(50个股票的P/E值)，如何根据这些样本数据计算总体的均值u X (=E(X))和方

差

2 x δ？

表4 - 1

点估计

据表4 - 1的数据 50个P/E 的样本均值为11.5，显然我们可以选择

X 作为u X

的估计值。

我们称这个单一数值为u X 的点估计值。

（注意：点估计量是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不同。）

某一特殊的估计值(比如11.5)的可信度有多大呢？虽然

X 可能是总体均值的“最好的”

估计值，但是某个区间，比如8～10，更可能包括了总体均值。这正是区间估计的基本思想。

区间估计 区间估计的主要思想源于估计量的概率分布的概念。如果随机变量X~N(u X ，2x δ)，则（回

忆第三章中心极限定理）：

X ~ N(u X ，2n

δ)

或，

(0,1)X u Z N -=

即样本均值的抽样分布也服从正态分布。 如前所述，通常

2

δ

未知，可用其估计量2

2()1

i

X X X S n -=∑-代替，则：

/x X u t s -=

服从自由度为(n －1)的t 分布。

在P/E 一例中，共有50个样本观察值，因此自由度为49。查附录中的t 分布表可得： P(－2.0096≤t ≤2.0096)=0.95

也即区间(－2.0096，2.0096)包括t 值的概率为95%。－2.0096和2.0096称为临界t 值，表明了在临界值区间内，位于t 分布曲线下区域的比例。

把

/x X u t s -=代到P(－2.0096≤t ≤2.0096)=0.95中，得到：

P(－2.0096

≤

/x X u t s -=

≤2.0096)=0.95 整理得：

(0.95

x P X u X ≤= 上式为真实的u X 一个区间估计量。

10.63≤u X ≤12.36(近似值) 即为u X 的95%的置信区间。 一般地，称

2.0096 2.0096()0.95

x S S P X u X

-≤≤+=为未知的总体均值u X 的一个95%

的置信区间。0.95称为置信系数。上式表示随机区间(

X X

)包括真实的u X 概率为0.95。（

2.0

096S X

-）

称为区间的下限(lower limit)，( 2.0096S

X +)称为区间的上限(upper limit)。

特别强调：

2.0096 2.0096()0.95

x S S P X u X

-≤≤+=

给出的区间是随机的区间

本的不同而变化。虽然总体均值u X 是未知的，但是它取某一固定值，因而它是非随机的。

简言之，区间是随机的，而参数u X 不是随机的。

2.0096 2.0096()0.95

x S S P X u X

-≤≤+= 也可以理解为，如果建立类似上式这样的置信区间100次，将有95次的区间包括真

实的u X 。

4.3 点估计量的性质

在P/E 一例中，用样本均值作为u X 的点计量，同时还得到了u X 的区间估计量。但除了样本均值以外，样本中位数同样可用作u X 的点估计量，为什么要选择样本均值为u X 的估计量呢？

在实践中，样本均值是度量总体均值最广泛使用的统计量,因为它满足了下面的一些统计性质：

(1) 线性(linearity)

(2) 无偏性(unbiasedness) (3) 有效性(efficiency)

(4) 最优线性无偏估计量(BLUE) (5) 一致性(consistency)

4.4.1 线性

若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量是线性估计量。