高中数学中的组合数学应用案例
高中数学中的组合数学应用案例
数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。组合数学
是数学中的一个重要分支，它涉及到选择、排列和组合等概念。在高中数学中，我们经常会遇到一些组合数学的应用案例，下面就让我们来看几个有趣的例子。
案例一：排队问题
小明所在的班级要进行一次出游活动，全班同学都要排队上车。假设班级有
30名同学，车上有20个座位，其中5个座位是特殊座位，只能给班干部坐。那么，全班同学排队的方式有多少种可能性呢？
解析：这是一个典型的组合数学问题，我们可以用组合数的概念来解决。首先，我们需要选择5名班干部坐在特殊座位上，这可以用C(30,5)来表示。接下来，剩
下的25名同学可以随意排队，这可以用25!来表示。所以，全班同学排队的方式
一共有C(30,5) * 25!种可能性。
案例二：选课问题
某高中有5个选修课程，学生可以选择其中的3门进行学习。如果每门课程至
少有一个学生选择，那么一共有多少种不同的选课组合呢？
解析：这是一个组合数学中的排列问题。首先，我们需要选择3门课程，这可
以用C(5,3)来表示。接下来，每门课程至少有一个学生选择，那么剩下的2个学生
可以任意选择课程，这可以用2!来表示。所以，不同的选课组合一共有C(5,3) * 2!
种可能性。
案例三：分组问题
某班级有20名学生，老师要将他们分成若干个小组，每个小组至少有3名学生，且每个小组的人数不能超过5人。那么，老师一共可以分成多少个小组呢？
解析：这是一个组合数学中的组合问题。首先，我们需要确定小组的人数。假设小组的人数为k，则k的取值范围为3≤k≤5。我们可以用C(20,k)来表示选择k个学生组成一个小组的可能性。接下来，我们需要确定小组的个数。假设小组的个数为m，则m的取值范围为1≤m≤20/k。所以，老师一共可以分成的小组数为
∑(C(20,k) * C(20/k,m))，其中k的取值范围为3≤k≤5，m的取值范围为1≤m≤20/k。
组合数学在高中数学中的应用案例还有很多，它们不仅能够帮助我们理解数学概念，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。通过解决这些案例，我们可以更好地理解组合数学的应用，并将其运用到实际生活中。
总结起来，高中数学中的组合数学应用案例涉及到排队问题、选课问题和分组问题等。通过解决这些问题，我们可以更好地理解组合数学的概念和原理，并将其应用到实际生活中。数学不仅是一门抽象的学科，更是一门实用的工具，它能够帮助我们解决各种问题，提高我们的思维能力和解决问题的能力。让我们在学习数学的过程中，不仅要注重理论知识的学习，更要注重实际应用的训练，这样才能真正掌握数学的精髓。
高中数学排列组合3篇
高中数学排列组合 第一篇：排列组合的基础 排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。 一、排列 排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的 n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n- 2)×…×(n-m+1)。 如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n- 1)×(n-2)×…×3×2×1。 二、组合 组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。 可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，
既有m!个排列与同一组合对应，因此有： Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1), Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n- 2)…(n-m+1)。 三、问题的应用 1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。 2. 解决排列组合问题，需要注意以下几点： (1) 首先要明确题目所求的是排列还是组合，按照相应的排列或组合公式计算. (2) 仔细分析题目中给出的条件，判断问题的特点，选择适当的方法解题. (3) 当题目较为复杂时，可以运用等价思想、唯一分解定理、组合意义等思想方法进行分析计算. (4) 在实际计算中，需要注意排除误算及误差积累，特别是数据较大时的计算技巧和方法. 通过学习排列组合的基础，我们不仅能够解决实际生活和工作中的问题，而且可以激发我们的思维，提高我们的逻辑思考能力和创新能力。 第二篇：排列组合中的常见问题 在排列组合中，有一些常见问题，如全排列问题、变位问题、选位问题、圆排列问题、不定方程问题等。这些问题都
高中数学中的排列与组合的应用技巧解析
高中数学中的排列与组合的应用技巧解析数学中的排列与组合是一种常见的组合数学概念，广泛应用于高中数学的各个领域。本文将对排列与组合的应用技巧进行解析，通过实际问题的例子来说明其在实际生活中的运用。排列与组合的应用包括排列组合法的计算、概率统计等方面，下面将详细介绍。 一、排列与组合的基本概念 首先，我们来回顾一下排列与组合的基本概念。排列是指从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列的方式，而组合则是指从一组元素中无序选取若干个元素的方式。排列与组合的计算公式分别为： 排列公式：P(n,r) = n! / (n-r)! 组合公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 二、排列与组合的应用技巧 1. 使用排列计算可能的情况 在某些情况下，我们需要计算一系列可能的情况数量。例如，假设有8个人参加一个会议，其中只能选出3个人担任领导，那么可以使用排列公式P(8,3) = 8! / (8-3)!来计算可能的组合情况。 2. 使用组合计算可能的组合方式
在某些情况下，我们需要计算组合的方式。例如，某个班级有10 个学生，其中只能选出3个学生参加一个比赛，那么可以使用组合公 式C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!)来计算可能的组合方式。 3. 计算概率问题 排列与组合在概率问题中有着广泛的应用。例如，假设有一副扑克牌，从中随机抽取5张牌，我们可以使用组合公式C(52,5) = 52! / (5! * (52-5)!)来计算抽取任意5张牌的概率。 4. 求解密码锁问题 排列与组合可以应用于求解密码锁问题。例如，假设一个4位数字 密码锁，每位数字是0-9之间的整数，那么可以使用排列公式P(10,4) = 10! / (10-4)!来计算可能的密码组合数量。 5. 解决分组问题 排列与组合还可以应用于解决分组问题。例如，假设某班级有30 个学生，要将他们分成3个小组，每组10个人，可以使用组合公式 C(30,10) * C(20,10) * C(10,10)来计算可能的分组方式数量。 三、结语 排列与组合是数学中常见的概念，也是高中数学中经常涉及的内容。通过对排列与组合的应用技巧的解析，我们能够更好地理解其实际应用，并能够灵活运用于解决各种数学问题。希望本文对您在高中数学 学习中的排列与组合的理解有所帮助。
高中数学中的组合数学应用案例
高中数学中的组合数学应用案例 数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。组合数学 是数学中的一个重要分支，它涉及到选择、排列和组合等概念。在高中数学中，我们经常会遇到一些组合数学的应用案例，下面就让我们来看几个有趣的例子。 案例一：排队问题 小明所在的班级要进行一次出游活动，全班同学都要排队上车。假设班级有 30名同学，车上有20个座位，其中5个座位是特殊座位，只能给班干部坐。那么，全班同学排队的方式有多少种可能性呢？ 解析：这是一个典型的组合数学问题，我们可以用组合数的概念来解决。首先，我们需要选择5名班干部坐在特殊座位上，这可以用C(30,5)来表示。接下来，剩 下的25名同学可以随意排队，这可以用25!来表示。所以，全班同学排队的方式 一共有C(30,5) * 25!种可能性。 案例二：选课问题 某高中有5个选修课程，学生可以选择其中的3门进行学习。如果每门课程至 少有一个学生选择，那么一共有多少种不同的选课组合呢？ 解析：这是一个组合数学中的排列问题。首先，我们需要选择3门课程，这可 以用C(5,3)来表示。接下来，每门课程至少有一个学生选择，那么剩下的2个学生 可以任意选择课程，这可以用2!来表示。所以，不同的选课组合一共有C(5,3) * 2! 种可能性。 案例三：分组问题 某班级有20名学生，老师要将他们分成若干个小组，每个小组至少有3名学生，且每个小组的人数不能超过5人。那么，老师一共可以分成多少个小组呢？
解析：这是一个组合数学中的组合问题。首先，我们需要确定小组的人数。假设小组的人数为k，则k的取值范围为3≤k≤5。我们可以用C(20,k)来表示选择k个学生组成一个小组的可能性。接下来，我们需要确定小组的个数。假设小组的个数为m，则m的取值范围为1≤m≤20/k。所以，老师一共可以分成的小组数为 ∑(C(20,k) * C(20/k,m))，其中k的取值范围为3≤k≤5，m的取值范围为1≤m≤20/k。 组合数学在高中数学中的应用案例还有很多，它们不仅能够帮助我们理解数学概念，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。通过解决这些案例，我们可以更好地理解组合数学的应用，并将其运用到实际生活中。 总结起来，高中数学中的组合数学应用案例涉及到排队问题、选课问题和分组问题等。通过解决这些问题，我们可以更好地理解组合数学的概念和原理，并将其应用到实际生活中。数学不仅是一门抽象的学科，更是一门实用的工具，它能够帮助我们解决各种问题，提高我们的思维能力和解决问题的能力。让我们在学习数学的过程中，不仅要注重理论知识的学习，更要注重实际应用的训练，这样才能真正掌握数学的精髓。
数学高中排列组合知识和典例
1．排列与排列数 (1)排列： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n. 2．组合与组合数 (1)组合： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n. 排列数、组合数的公式及性质 顺序有关，组合问题与顺序无关． 一、排列问题
排列典型例题： 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)． (3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)． 法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)． 1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324 B．648 C．328 D．360 2.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________． 3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有() A．10种B．16种 C．20种D．24种
高中数学排列组合问题方法总结
高中数学排列组合方法总结 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀♀♀♀♀♀♀ ↑↑↑↑↑↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 解法1：将5个人依次站成一排，有种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 211 421 2 26 C C C A = 5 5 A 有=120种排法 2 6 A 有=30种插入法120303600 ∴⨯ 共有＝种排法 2 2 A 有＝2种捆法 2120240 ∴⨯ 共有＝种排法 5 5 A 有＝120种排法 5 5 A 2 2 A 5 3 5 5 2 2 543 A A A =⨯⨯=
高中数学排列组合与组合
高中数学排列组合与组合 排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。本文将详 细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计 算方法以及实际应用。 一、排列组合的定义和基本原理 排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。 组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。 二、排列组合的计算方法 1. 排列的计算方法： (1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)! 2. 组合的计算方法： (1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!
三、排列组合的实际应用 排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。 1. 概率计算： (1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。 2. 空间排列： (1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。 3. 信息编码： (1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。 4. 运输和配送： (1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。 四、排列组合的实例分析 为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：
高中数学排列组合题型总结
排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一． 直接法 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 25A ，其余 2位有四个可供选择 2 4 A ，由乘法原理：25A 2 4 A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有1 4A 种选法，个位有1 4 A 种，余下的有 24 A ，共有14A 14A 2 4A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 4 35462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 3 33 5 2A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯2 2 A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 3 3 3352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插 入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1 10 19A A ⨯=100中插入方法。 四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1。排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 3.排列数公式： 4。组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？ 分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？ 分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解. 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？ 分析此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来，将得到0。05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0。15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法：在组合问题中，有多少取法,就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此,当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况,能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法：在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？ 分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程. 解43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法：有些问题,正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除. 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？ 练习3 马路上有编号为1，2,3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？ 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目？ 小结： 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目,根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比
高中排列组合经典例题
运用两个基本原理 例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。 A．24个 B.30个 C.40个 D.60个 30。 例2．(1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种． 72 例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种. A33· A72＝252 例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。 36 三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法． 例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
高中数学中的排列组合计数原理
高中数学中的排列组合计数原理排列组合计数原理是高中数学中的一个重要概念，用于解决与排列和组合相关的问题。在这篇文章中，我们将深入研究排列组合计数原理，并探讨它在数学中的应用。 一、概述 排列和组合是数学中两个常见的概念。排列指的是从一组元素中按一定顺序选取若干个元素，而组合则是从一组元素中无序选取若干个元素。排列组合计数原理正是为了解决这两类问题而产生的。 二、排列计数原理 排列计数原理是指从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的个数计算方法。其中，n表示总元素个数，r表示被选元素的个数。排列计数原理可以表示为公式： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n!表示n的阶乘。 举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要按照一定顺序选取其中2个元素，即r=2。按照排列计数原理，我们可以计算出排列的个数为： P(3,2) = 3! / (3-2)! = 3 因此，从A、B、C这3个元素中按照一定顺序选取2个元素的排列个数为3。
三、组合计数原理 组合计数原理是指从n个元素中无序选取r个元素的个数计算方法。组合计数原理可以表示为公式： C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要从中无序选取2个元素，即r=2。按照组合计数原理，我们可以计算出组合的个数为：C(3,2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 因此，从A、B、C这3个元素中无序选取2个元素的组合个数为3。 四、排列组合计数实例 现在，让我们通过一个实例来更好地理解排列组合计数原理的应用。 假设有5个不同的球，要从中选择3个球放入三个不同的盒子中， 问有多少种不同的放法。 首先，我们需要明确题目中的条件。题目中要求从5个不同的球中 选择3个球，共有3个盒子，且盒子之间没有顺序要求。 根据题目中的条件，我们可以使用组合计数原理来解决这个问题。 根据组合计数原理计算公式： C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 因此，共有10种不同的放球方式。 五、应用领域
高考数学中的组合数学及相关概念
高考数学中的组合数学及相关概念在高中的数学学习中，组合数学是一个重要的分支，也是高考 中的重点之一。组合数学指的是在数学中对无序集合的处理，包 括组合数、排列数、多重组合数等相关概念。在本文中，我们将 探讨组合数学及其相关概念在高考数学中的应用和实践。 一、基本概念 1. 排列数：指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的个数。排列数的计算公式为： P(n, m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)…1。 2. 组合数：指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的个数。组合数的计算公式为： C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]
组合数与排列数的区别在于组合数是无序的，即组合数中的元 素排列顺序不重要，只要包含指定的元素个数即可。 3. 二项式定理：指对于任意的实数a和b以及非负整数n，有： (a + b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^(n-1) b^1 + … + C(n, n) a^0 b^n 二项式定理将(a + b)^n表示为n+1个组合数的和，其中系数为 C(n, k)。 二、应用实例 1. 从整数1，2，3，4，5中任意取出3个数，不放回地排成一排，问有多少种排法？ 这个问题可以看作是从5个元素中取出3个元素进行排列，因 此答案为： P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60
2. 从完整的扑克牌中任意取出5张牌，问有多少种取法？ 这个问题可以看作是从52张牌中取出5张牌进行排列，因此 答案为： C(52, 5) = 52! / [5! (52-5)!] = 2,598,960 需要注意的是，这里的牌是无序的组合数而不是有序的排列数。 3. 一个学校招生，要求录取n个男生和m个女生，其中男生必 须在同一班，女生也必须在同一班，问能够招多少个班级？ 这个问题可以看作是将n个男生分在k个班级，m个女生分在 k个班级的问题，因此答案为： C(n-1, k-1) * C(m-1, k-1) 其中，n-1和m-1是因为每个班级中至少有一个学生，组合数 的系数用于选择班级。
高中数学练习题附带解析排列与组合的应用与计算
高中数学练习题附带解析排列与组合的应用 与计算 高中数学练习题附带解析——排列与组合的应用与计算 在高中数学学习中，排列与组合是一个重要的概念。排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，并且排列的顺序很重要；组合是指在一组元素中选取若干个元素，组合的顺序不重要。这两个概念在实际生活中也有广泛的应用。本文将通过多道数学练习题来探讨排列与组合的应用与计算方法。 1. 排列的应用与计算方法 题目：一家电影院有10个座位，有5个人来买票，其中3个人有特殊要求，必须坐在相邻的位置，问有多少种不同的就座方式？ 解析：首先，我们可以将这道题目看作是一个排列组合问题中的全排列问题。因为这道题目中不同的“就座方式”就是从10个座位中选取5个人进行排序。因此，全排列的结果为10 × 9 × 8 × 7 × 6。此外，这道题目还有一个特殊的限制条件，即3个人必须坐在相邻的位置。因此，我们需要把这3个人看成一个整体，把他们的全排列除以3!，即可得到他们的所有排列方式。因此，最终的答案为：（10 × 9 × 8 × 7 ×6）/（3 × 2 × 1）= 5,040 种不同的就座方式。 2. 组合的应用与计算方法 题目：从6个数中选出4个数，问有多少种不同的选法？
解析：这道题目涉及到了组合，因为题目中不考虑数字的先后顺序，只关心选出的4个数。因此，我们需要将这4个数看成一个组合体， 从中选取出任意4个数的选法都算作一种结果。这就是我们熟知的组 合数学问题。通过组合数学的公式，我们可以得到该问题的答案：C （6，4）= 15。其中，C（n，m）表示从 n 个不同元素中取出 m 个不 同元素的组合数。 3. 排列组合的综合应用 题目：有8个人排成一列，其中有4个男生和4个女生，请问有多 少种不同的排列方式，使得男女两个组内的人都不相邻？ 解析：这道题目中既有排列，又有组合，因此需要综合运用排列与 组合的知识。首先，男生和女生在8个人中各占一半，因此从8个人 中选出4个男生和4个女生的组合数量为 C（8，4）= 70。然后，我们 需要将这70个组合分别排成两排，一排是男生，一排是女生，然后再 在男生和女生内分别进行全排列。男生和女生的全排列结果都为 4!， 因为男生和女生各占4个人。最后，我们需要将两个全排列结果相乘，然后再乘以70，即可得到答案：C（8，4）× 4！ × 4！ = 16,800。 以上三道数学练习题分别涉及了排列与组合的应用与计算方法，目 的是帮助读者更好地理解这两个概念，并掌握这些知识在实际生活中 的应用方法。排列与组合是高中数学中的重要知识点，通过平时的练 习与掌握，相信大家都可以掌握这些知识，并用于实际生活中。
高中数学排列组合定序问题陪缩法
高中数学排列组合定序问题陪缩法 全文共四篇示例，供读者参考 第一篇示例： 高中数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到了数学中的定序问题和组合问题。在解决这类问题时，我们常常会用到陪缩法，这是一种简便有效的解题方法。本文将详细介绍高中数学中排列组合定序问题和陪缩法的相关知识。 我们来了解一下排列和组合的概念。在数学中，排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序排列在一起的方式。而组合则是指从一组元素中取出一部分元素没有顺序地排列在一起的方式。在排列中，每个元素只能使用一次，而在组合中，每个元素可以被多次使用。 在解决排列问题时，我们常常要面对的就是定序问题，即考虑元素之间的顺序关系。比如说，有4个不同的元素，要求从中选取3个元素按照一定的顺序排列在一起，那么共有多少种排列方式呢？这时我们就可以使用排列的公式来计算：P(n,m) = n!/(n-m)!，其中n代表元素的个数，m代表选取的元素个数。 以上述例子为例，我们可以计算排列的数量为P(4,3) = 4!/(4-3)! = 4×3×2 = 24。即从4个不同的元素中选取3个元素按照一定顺序排列在一起，共有24种排列方式。
在实际解题过程中，我们常常会遇到需要同时考虑排列和组合问题的情况，这时就要运用到陪缩法。陪缩法是一种将排列问题转化为组合问题来解决的方法。它的基本思想是将待排列的元素拉成一队，然后再按照一定的规则来进行组合，最后再乘以适当的倍数，就可以得到排列的数量。 举例而言，假设有4个不同的元素，要求从中选取2个元素按照一定的顺序排列在一起，那么使用陪缩法可以将问题转化为组合问题。首先我们将4个元素排成一列，然后从中选取2个元素。这样就得到了一个组合，而实际上这个组合就包含了一组排列。然后计算组合数量C(4,2) = 4!/[2!(4-2)!] = 6，再乘以2!，得到排列的数量为2×6 = 12。 通过陪缩法的应用，我们可以将原本复杂的排列问题转化为简单的组合问题，从而更容易地解决。在解决数学问题时，灵活运用排列组合的知识和陪缩法，可以帮助我们更快更准确地得到答案。 高中数学中的排列组合定序问题和陪缩法是一个非常重要且实用的概念。掌握了这些知识，我们就能更加深入地理解数学中的排列组合问题，提高解题效率，拓展思维力。希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用这些概念，提升数学解题能力。【2000字】 第二篇示例： 高中数学中，排列组合是一个十分重要且基础的概念。排列和组合是两个重要的子概念，定序问题则是在排列中的一个重要分支。在
高中数学排列组合的性质及相关题目解析
高中数学排列组合的性质及相关题目解析 在高中数学中，排列组合是一个重要且常见的概念。它不仅在数学中有着广泛 的应用，而且在生活中也有着实际的意义。本文将从排列组合的性质出发，结合具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握排列组合的知识。 一、排列的性质及相关题目解析 排列是从给定的元素中选取若干个进行排列，它的性质主要包括全排列和部分 排列两种情况。 1. 全排列 全排列是指从给定的n个元素中选取n个进行排列，排列的顺序不同即视为不 同的排列。全排列的个数可以通过n!（n的阶乘）来计算。例如，有4个元素A、 B、C、D，它们的全排列个数为4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。 2. 部分排列 部分排列是指从给定的n个元素中选取m个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。部分排列的个数可以通过A(n, m)来计算，其中A代表排列数。例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行部分排列，部分排列的个数为A(4, 2) = 4 × 3 = 12。 下面通过具体的题目来进一步说明排列的性质。 题目1：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，请问有多少种 不同的选取方式？ 解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列。由于顺序不同即 视为不同的排列，因此这是一个部分排列问题。根据部分排列的计算公式A(n, m)
= n × (n-1) × ... × (n-m+1)，可得部分排列的个数为A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60。所以，有60种不同的选取方式。 题目2：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，如果其中一名学生必须参加，请问有多少种不同的选取方式？ 解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列，并且其中一名学生必须参加。这个问题可以转化为从剩下的4名学生中选取2名学生进行排列。根据部分排列的计算公式A(n, m) = n × (n-1) × ... × (n-m+1)，可得部分排列的个数为A(4, 2) = 4 × 3 = 12。所以，有12种不同的选取方式。 二、组合的性质及相关题目解析 组合是从给定的元素中选取若干个进行组合，组合的顺序不同不视为不同的组合。组合的性质主要包括无重复组合和有重复组合两种情况。 1. 无重复组合 无重复组合是指从给定的n个元素中选取m个进行组合，组合的顺序不同不视为不同的组合。无重复组合的个数可以通过C(n, m)来计算，其中C代表组合数。例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行无重复组合，无重复组合的个数为C(4, 2) = 4 × 3 / 2 × 1 = 6。 2. 有重复组合 有重复组合是指从给定的n个元素中选取m个进行组合，组合的顺序不同不视为不同的组合，并且可以重复选取同一个元素。有重复组合的个数可以通过 C'(n+m-1, m)来计算。例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行有重复组合，有重复组合的个数为C'(4+2-1, 2) = C'(5, 2) = 5 × 4 / 2 × 1 = 10。 下面通过具体的题目来进一步说明组合的性质。
高中数学 2-3 排列组合典型例题 教师用
1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法． 2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法． 注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。 3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元 素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数， 用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N * ，并且m ≤n ． ⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()! m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1. 注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11 --=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示. ⑬组合数公式: (1)(1)!!!()! m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n. 注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质: ①;m n m n n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. ②11m m m n n n C C C - ++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元 素中再取m -1个元素，所以有C 1- m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个 元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+. 5．解排列、组合题的基本策略与方法 (Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法： ①直接法; ②排除法; ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”; ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先
(完整版)高中数学排列组合习题精选
1、体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）种。 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种 3、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（各项目冠军都只有一人），共有多少种可能的结果？ 4、从集合{1，2，…，10}中任选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（） 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）种。 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 6、3人玩传球游戏，由甲开始并做为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，有多少种不同的传球方式呢？ 7、集合A ＝{a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。（1）从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？（2）从集合A 到集合B 的映射中，要求集合A 中元素的象不同，这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色，每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色，但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种 11、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A ．64B ．72C.84 D ．96 12、（13山东）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 13、（13福建）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 14、（16全国）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18（B ）16（C ）14 （D ）12