圆周角与圆心角
圆心角与圆周角的定义
圆心角与圆周角的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆心角和圆周角呀！
咱先说说圆心角哈，你就想象一下，那圆心就像是一个班级的老大，圆心角呢，就是从这个老大这儿发出的一种特殊的“眼光”。
这“眼光”可厉害啦，它能把圆分成不同的部分呢！比如说，一个圆就像一个大蛋糕，圆心角就是切蛋糕的那一刀，把蛋糕切成了不同大小的块儿。
那圆周角又是啥呢？嘿，这圆周角啊，就像是围着圆心这个老大转的一群小伙伴。
它们虽然没有圆心角那么牛气哄哄，但也有自己的特点呢！圆周角总是和圆上的一段弧有关系，就好像小伙伴总是和特定的事情联系在一起。
你说这圆心角和圆周角之间有没有啥特别的关系呢？那当然有啦！就好像一个班级里，老大和小伙伴们之间总会有一些互动和关联嘛。
有时候，圆周角的度数会和圆心角的度数有一定的比例关系呢。
咱举个例子哈，你看那个圆，想象一下圆心角是个直角，那和它对应的圆周角会是多少度呢？嘿嘿，是不是很有意思呀！这就像是玩一个解谜游戏一样。
再想想，如果有很多个圆周角都围着同一个圆心角，那它们之间是不是也很有趣呢？就好像一群小伙伴围着老大，各自有着不同的表现。
而且啊，这圆心角和圆周角在我们生活中也有很多应用呢！比如说，在设计圆形的东西的时候，我们就得考虑到它们的角度问题，这样才能
让东西更完美呀！难道不是吗？
总之啊，圆心角和圆周角就像是圆这个奇妙世界里的两个重要角色，它们相互关联，又各有特点。
我们要好好了解它们，才能更好地理解圆的奥秘呀！所以啊，可别小瞧了它们哟！。
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案目标：1. 理解和描述圆周角和圆心角的概念；2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系；3. 能够解决与圆周角和圆心角相关的问题。
教学步骤：I. 引入（约5分钟）- 利用生活中的例子引起学生对圆周角和圆心角的注意，例如车轮、钟表等。
- 引导学生思考圆周角和圆心角的定义和特点。
II. 讲解圆周角和圆心角的概念（约10分钟）- 通过示意图解释圆周角和圆心角的定义，并介绍角度的度量单位。
- 强调圆周角是指相邻两条弧所对应的角，圆心角是指以圆心为顶点的角。
III. 圆周角和圆心角的关系（约15分钟）- 阐述圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角的度数是圆心角的二倍。
- 使用具体案例和图形进行说明，让学生理解这一关系。
IV. 解决问题（约15分钟）- 给学生一些练习题，让他们应用所学的知识解决问题。
- 引导学生逐步解决问题，并给予必要的提示和指导。
- 鼓励学生主动思考和讨论，提高解决问题的能力。
V. 总结（约5分钟）- 和学生一起总结本节课所学的内容，检查是否达到了教学目标。
- 强调圆周角和圆心角之间的关系对圆的几何性质的重要性。
VI. 拓展活动（约10分钟）- 给学生一些拓展问题，让他们运用所学的知识进行探究和进一步思考。
- 鼓励学生在小组内互相讨论和合作，提出自己的观点和解决方法。
VII. 课堂作业（约5分钟）- 布置一些课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展所学的内容。
- 强调作业的重要性，并鼓励学生按时完成和提交。
备注：以上教案的时间安排仅供参考，请根据实际情况做适当调整。
（教案完）。
圆周角和圆心角的关系
们都是哪条弧所对的角？它们与
足球队员射门的时候的∠难AOC有易什程么关度系？与从而他得所到 处位 ∠ABC=∠ADC=∠AEC 置 门的对A 情球况门抽的OO 象张成角几有C 何关图，形如推论：图可等。以圆 周把弧 所球员同 弧 射
角对或
相的等
精品课件
认真思考，练练手
如图，OA,OB,OC都是圆O的半径∠AOB=2∠BOC, ∠ACB 与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
∠DOC+ ∠A
C
∵OB=OC OA=OC
∴ ∠A = ∠ DCA ∠B= ∠DCB
∴ ∠AOD+ ∠BOD=2(∠ DCA +∠DCB)即∠ACB=1/2 ∠AOB
最后一种情况圆心O在∠C外部时，由同学们自己独立完成，不理解的可
以互相交流。
精品课件
认真观察，探究结果
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的度数的一半。
小有怎样的关系呢？是不是也是二倍的关系？
精品课件
如图，当圆心O在∠C内部时，
我们可以把这种情况给转化为上面的特殊情况，连接
OC并延长交圆O于点D
∵∠AOD是⊿AOC的外角
B D
∠BOD是⊿BOC的外角
∴ ∠AOD= ∠DOC+ ∠A ∠BOD= ∠BCD+ ∠B
1
A
O
∴ ∠AOD+ ∠BOD= ∠BCD+ ∠B+
一题多变
1、如图，在圆O中， ∠ O=50°，求∠ A的度数。 BC
通过对以上A 三种O 情况的证明，同O学们能A 得到 什么结论呢？
B
C
变式练、如图，点A、B、C是圆O上的三点， ∠BAC=40°，则
∠BOC= 80°, ∠ OBC=50°.
12圆心角与圆周角、切线判定
第二节：圆心角与圆周角、切线判定知识点1：圆心角【笔记】1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、多对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.简记为：圆心角相等→弧相等→弦相等→弦心距相等2 圆周角、圆心角定理：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半径或直径所对的圆周角是直角；90︒的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：① ∵AB 是直径 ∴ ② ∵90ACB ∠=︒ ∴ 如下三个图，分别证明圆周角定理：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 所对的 是直径。
【例题】【例1】如图，AD 是⊙O 的直径，且6AD =，点,B C 在⊙O 上，弧AmB 和弧AnC 相等，120AOB ∠=︒，点E 是线段CD 的中点，则OE =（ ）A ．1B ．C ．3D ．【例2】如图，已知,,A B C 三点在⊙O 上，AC BD ⊥于点D ，55B ∠=︒，则BOC ∠的度数是【例3】已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4AC =，则sin B =（ ）A.13 B.34 C.45 D.23【例4】如图，AB 是⊙O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是优弧上一点，若AB =1OH =，则APB ∠的度数是【练习】1.<1分钟>如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ,34COD ∠=︒，则AEO ∠的度数是（ ）A ．51︒B ．56︒C ．68︒D ．78︒2.<1分钟>如图，BD 是⊙O 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒3.<2分钟>如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，B 是y 轴右侧⊙A 优弧4.<2分钟>如图，已知⊙O 的半径为1，锐角ABC ∆内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）A ．OM 的长B ．2OM 的长C ．CD 的长 D ．2CD 的长【补救练习】1.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若4BC CD D A c m ===，则⊙O的周长为（ ）A ．5πcmB ．6πcmC ．9πcmD ．8πcm2.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若35ACD ∠=︒，则BAD ∠=（ ）A ．55︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒3.如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒，2AB =，则⊙O 的半径为（ ）A.1B. 22C.2 24.如图，ABC ∆内接于⊙O ，OD BC ⊥于D ，50A ∠=︒，则OCD ∠的度数是 .知识点2：圆内接四边形 【笔记】定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.【例题】【例1】如图，两圆相交于,A B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点,C D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A. 35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒【例2】如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠=_______________°.【例3】如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的圆分别交边,AC AB 于,D E 两点，连．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．BD AC ⊥B ．22AC AB AE =∙ C ．ADE ∆是等腰三角形D ．2BC AD =【练习】1.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=︒，则ÐBOD =( )A ．35︒ B.70︒ C ．110︒ D.140︒2.<2分钟>如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，110BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A. 110︒B.70︒C.55︒D ．125︒3.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E ．求证：BC EC =．【补救练习】1.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0,3)，M 是第三象限内弧上一点，120BMO ∠=︒，则⊙C 的半径为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．22.如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．3.如图，已知,,,A B C D 是⊙O 上的四点，延长,DC AB 相交于点E ，若DA DE =，求证：BCE ∆是等腰三角形．知识点3：切线的判定和性质【笔记】1.切线判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.=为圆的两条切线，根据切线长定理，写出两个结如图所示，P为⊙O外一点，PA PB论：，4.切线的判定方法：（1），这条直线是圆的切线；（利用切线的定义）（2），这条直线是圆的切线；（利用r与d的关系）（3），这条直线是圆的切线；（利用切线定理）5.拓展：圆外切四边形两组对边的和相等.E F G H分别为切点，则有如图所示,⊙O是四边形A B C D的内切圆，点,,,+=+.AB CD AC BD【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，30A ∠=︒，给出下面3个结论：①AD CD =；②BD BC =；③2AB BC =，其中正确结论的个数是（ ）【例2】已知：如图，ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且D 为AC 的中点，过D 作DE CB ⊥，垂足为E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）已知4CD =，3CE =，求⊙O 的半径．1.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC PD BC ==．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO AB =；（4）120PDB ∠=︒． 其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ．3个 C ． 2个 D ． 1个2.如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，连接CD ．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：“补充已知：OB BD =，CD 切⊙O 于点C ，求证：A D ∠=∠“补充已知： ．求证： ．”【补救练习】1.如图3，,PA PB 切⊙O 于点,A B ，点C 是⊙O 上的一点，且65ACB ∠=︒，则P ∠=____________2.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，⊙O 经过点A ，且与BC 相切于点D（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若5BD =，3CD =，求AD 的长．。
圆心角与圆周角的关系圆周角定理PPT教学课件
❖ 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
❖ 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
∴ ∠ABC = ∠1 AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所
有另一个交点,像这样 的角,叫做圆周角.
想一想
圆周角
驶向胜利 的彼岸
❖ 当球员在B,D,E处射门时,
他所处的位置对球门AC
分别形成三个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个角
A
C
的大小有什么关系?.
A
E
E ●O
B
D
B
D
C
圆周角 顶点在圆上, 它的两边分别 与圆还
有另一个交点,像这样
的角,叫做圆周角.
制 乙烯
如何验证乙烯中混有SO2、CO2？
品红 溶液
酸性 品红 澄清 高锰 溶液 石灰水 酸钾
小结：在确定气体发生装置和收集装置是时应
常 考虑的因素 见
反应物的状态 固体+固体
气 体
气体发生装置
的
固体+液体 反应条件 ：是否需要加热等
制
取
与
气体密度比空气
净 化
排空气法 大——向上排气法
气体收集装置
鉴定所用试剂
C2H2 C2H4
通过装有酸性 KMnO4溶液 (或Br2水)的洗 气瓶洗气
通入装有酸性 KMnO4溶液(或 Br2水、或Br2的 四氯化碳溶液)， 是否褪色
圆周角和圆心角的关系
●
A
1 ∠AOC. 2
C
●
A C
O
O
B
●
O
B
B
想一想
• 圆周角的度数与他所对的弧的度数 有什么关系?
想一想
• 同弧或等弧所对的圆周角有什么关系?
课内练习
• 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A = ∠BOC = 25°. 2
A
B
C
●
O
课内练习
• 2.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
5.4 圆周角和圆心角的关系 （1）
圆周角 顶点在圆上,它们的两边在圆内 的部分分别 是圆的弦,像这样的角叫做圆 周角.
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
C
●
A C
●
A
C
O
O
B
●
O
B
B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角 和圆心角之间有的关系.
●
1 即 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
圆周角的度数等于它所对弧 上的圆心角度数的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况?
A B●Βιβλιοθήκη D E●C O
O
B C (1)
D A
O C
A
●
B
(2)
圆周角和圆心角的概念
圆周角和圆心角的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊圆周角和圆心角，这俩可是数学世界里挺有意思的角色呢！
你看啊，圆周角就像是个调皮的小孩，总是围着圆到处跑，在圆上的不同位置出现。
它的顶点在圆上，两边分别和圆相交。
哎呀，这小家伙可机灵着呢，角度大小会随着它在圆上的位置变化而变化。
那圆心角呢，就像是圆这个大家庭的老大，顶点就在圆心那稳稳地待着，两边也都是圆的半径。
它可威风啦，角度大小是固定不变的哟！
咱可以打个比方，圆就像是一个大舞台，圆周角就是在舞台上跑来跑去表演的演员，而圆心角就是坐在舞台中央的主角，一直稳稳当当的。
圆周角和圆心角之间还有着一些有趣的关系呢！比如说，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
这就好像是圆周角这个小调皮总是要比圆心角这个老大“矮半截”似的。
想象一下，你在操场上画一个大大的圆，然后在圆上找几个点，连接起来形成圆周角和圆心角，是不是感觉特别有意思？你可以自己动手量一量它们的角度，亲自验证一下它们之间的关系。
而且啊，圆周角和圆心角在我们的生活中也有不少应用呢！比如建筑设计中，那些圆形的屋顶、拱门，说不定就用到了它们的知识。
还有那些漂亮的圆形图案、装饰品，不也是和它们有关嘛！
咱学习圆周角和圆心角可不能只是死记硬背那些定义和定理呀，得像玩游戏一样去感受它们，去发现它们的奇妙之处。
这样学起来才带劲呢，不是吗？
你说，圆周角和圆心角是不是很有趣呀？它们就像数学世界里的一对好伙伴，互相陪伴，又各有特点。
我们要好好去了解它们，掌握它们的规律，这样才能在数学的海洋里畅游呀！所以呀，可别小瞧了这俩家伙哦！。
第08讲 圆心角与圆周角
第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是度．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB 交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC 于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．1611．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝06．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣28．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．1610．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE＝6cm，DE＝3cm，则CE＝cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH 与线段PK的积等于．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．。
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圆周角与圆心角
圆周角和圆心角是圆的两个重要角度概念。
在几何学中，圆是一个
由一条曲线围成的形状，其每一点与中心点的距离相等。
圆周角和圆
心角是与圆相关的两种角度测量方式。
一. 圆周角
圆周角是指圆上的一小部分所对应的角度。
可以想象圆周角是由圆
的弧所围成的角度。
圆周角的度数范围是0度到360度，它是以圆心
为顶点的角度。
二. 圆心角
圆心角是以圆心为顶点的角度，它的两条边分别是两条射线，一条
从圆心指向圆上的一点，另一条则是从圆心指向圆上的另一点。
圆心
角可以被认为是由圆周角所围成的角度。
圆心角的度数范围是0度到360度。
三. 圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角之间存在以下关系：
1. 当两个角度互为半周角时，即一个角度的度数是180度，另一个
角度的度数是360度，它们所对应的弧长长度相等。
2. 当一个角度等于90度时，它所对应的弧长长度是1/4圆周的长度。
3. 当一个角度等于30度时，它所对应的弧长长度是1/12圆周的长度。
四. 应用举例
1. 圆周角和圆心角在测量弧长和曲线长度方面有广泛应用。
通过测量圆心角的大小，可以计算出弧长的长度。
2. 圆周角和圆心角也被用于计算扇形的面积。
扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算，面积等于圆周角所对应的弧长与半径的乘积再除以2。
结论：
圆周角和圆心角是与圆相关的两个重要角度概念。
圆周角是由圆的弧所围成的角度，度数范围为0度到360度。
圆心角以圆心为顶点，度数范围也为0度到360度。
圆周角和圆心角之间有一定的关系，可以通过它们的度数计算弧长和扇形的面积。
在几何学中，理解圆周角和圆心角的概念对于解决与圆相关的问题非常重要。