圆周角与圆心角
圆周角和圆心角的定理
圆周角和圆心角的定理圆周角和圆心角的定理，听起来有点高深莫测，其实也没那么复杂。
想象一下，你在公园里散步，看到一个大圆形的花坛，花坛有棵树。
树的影子就像个小圆心，而你和花坛边缘的距离就形成了一个大圆。
圆心角就是从树的影子到花坛边缘的角度，圆周角呢，就是你站在花坛边上，看着树的影子和花坛另一边的角度。
这个小故事其实就能说明，圆心角和圆周角之间的关系。
圆心角是指从圆心出发，指向圆周上两点的角度。
嘿，这就好比你从花坛中心看着两个花朵，瞧，那两朵花的方向和它们之间的距离就构成了一个圆心角。
然后，圆周角就有点意思了，站在圆周上看向同样的两朵花，形成的角度就是圆周角。
这里面有个小秘密哦，圆心角的大小恰好是圆周角的两倍。
是不是有点儿像“家有一老如有一宝”的道理？这个关系让人觉得很亲切，不是吗？说到这里，很多人可能会想，这样的理论有什么用呢？嘿，别小看这玩意儿。
圆周角和圆心角在我们的生活中其实到处可见。
比如，你在玩转盘游戏，那个转盘就是个大圆。
你转动的时候，转盘的某一部分会被划分成一个个区域，转动的角度就是个圆心角，而转盘上的箭头指向的每个区域的角度，就是圆周角。
想想看，玩得不亦乐乎的时候，这些角度就在你身边悄悄发挥着作用。
再说了，几何图形的美，圆形就是其中之一。
它是最对称的，最完美的。
有时候在学校，老师拿出圆规，跟你讲解如何画圆，那种感觉就像是打开了一扇新世界的大门。
你会发现，几何学里藏着无数有趣的秘密。
你可以用这些知识去解锁一些谜题，或者在生活中解决实际问题。
嘿，这就是圆周角和圆心角的魅力所在。
不仅如此，想象一下，当你在街上骑自行车，转弯的时候，其实你也在无形中用到了这些知识。
你身体的转动角度和车轮转动的角度，恰恰就是那圆心角和圆周角在发挥作用。
你骑得越顺，转弯的感觉就越流畅，嘿，真是一种乐趣！还有一个值得一提的例子是，航海中的导航。
船长们利用这些几何知识，计算出正确的航向，以确保船只不会迷失方向。
海上可是一片茫茫大海，圆心角和圆周角帮助他们保持在正确的航道上，真是了不起的智慧啊。
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆心角,圆周角,圆内角,圆外角的定义及计算方法
圆心角,圆周角,圆内角,圆外角的定义及计算方法圆心角是指以圆心为顶点的角，其大小等于其所对弧所对应的圆周角的两倍。
圆心角是圆内角的一种特殊情况。
圆周角是指以圆上两点为端点的弧所对应的角。
圆周角的大小由所对应的弧所占的圆周长来确定。
根据圆周角的范围，可以分为两类：小于半圆的圆周角称为锐圆周角，大于半圆的圆周角称为钝圆周角。
圆内角是指以圆的弧上两点为端点的角，其顶点在圆内部。
圆内角的大小由所对应的弧所占的圆周长来确定。
圆外角是指以圆的弧上两点为端点的角，其顶点在圆的外部。
圆外角的大小等于其所对应的圆内角的补角。
计算圆心角的方法：1.如果知道圆心角所对应的弧的长度，可以利用圆心角公式求得圆心角的大小。
圆心角的度数等于所对应弧的长度除以圆周长再乘以360度。
弧所对应的圆心角度数=弧长/圆周长× 360度2.如果知道圆心角所对应的弧所占的圆周角度数，可以利用圆心角公式求得圆心角的大小。
圆心角的度数等于所对应圆周角的度数的一半。
圆心角的度数=圆周角的度数/ 2计算圆周角的方法：1.如果知道圆周角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆周角公式求得圆周角的大小。
圆周角的度数等于所对应弧的长度除以圆的半径。
圆周角的度数=弧长/圆的半径2.如果知道圆周角所对应的弧所占的圆周角度数，可以直接读取圆周角的度数。
计算圆内角的方法：1.如果知道圆内角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆内角公式求得圆内角的大小。
圆内角的度数等于所对应弧的长度除以圆的半径。
圆内角的度数=弧长/圆的半径2.如果知道圆内角所对应的圆周角度数，可以利用圆周角公式求得所对应弧的长度，再根据弧的长度求得圆内角的大小。
计算圆外角的方法：1.如果知道圆外角所对应的圆周角度数，可以利用圆周角公式求得所对应弧的长度，再根据弧的长度求得圆内角的大小。
最后利用圆内角的补角关系求得圆外角的大小。
圆外角度数= 180度-圆内角度数2.如果知道圆外角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆外角公式求得圆外角的大小。
圆周角等于圆心角的一半三种情况证明
圆周角等于圆心角的一半三种情况证明
圆周角和圆心角是数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
本文将从三
个方面来证明圆周角等于圆心角的一半。
首先，从几何学的角度来看，圆心角是以圆心为起点，以两条射线为边，构成
的角，而圆周角是以圆心为起点，以圆弧为边，构成的角。
由于圆弧的长度是圆心角的两倍，因此圆周角等于圆心角的一半。
其次，从数学的角度来看，圆心角的度数是指以圆心为起点，以两条射线为边，构成的角的度数，而圆周角的度数是指以圆心为起点，以圆弧为边，构成的角的度数。
由于圆弧的长度是圆心角的两倍，因此圆周角的度数等于圆心角的一半。
最后，从实际应用的角度来看，圆周角和圆心角都可以用来衡量物体在圆周上
的运动距离。
例如，当物体在圆周上运动一周时，它的圆周角就等于圆心角的一半。
综上所述，圆周角等于圆心角的一半是一个有效的数学定理，它可以从几何学、数学和实际应用的角度得到证明。
圆周角和圆心角演示课件
A
A
=
1 2
∠AOC.
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
•16
练习： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
.O
X
A
B
B
A
BA
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
•10
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
•11
图１ 不是
图２
不是
图４
2、指出图中的圆周角。
不是
是
图３
不是
图５
•7
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧所对的
•8
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和 圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
3.4.1圆周角和圆心角的关系(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对圆周角和圆心角的关系这一部分内容兴趣浓厚，但也存在一些理解上的难点。首先，他们对圆周角和圆心角的定义掌握得相对较好，但在应用到具体问题时，还是会出现一些困惑。我意识到，这主要是因为他们在将理论知识转化为实际应用时，缺乏足够的练习和经验。
在讲授过程中，我尽量用生动的例子和直观的图形来解释这两个概念，但效果似乎并不如预期。我反思，可能需要更多的互动和实际操作，让学生在动手实践中感受圆周角和圆心角的关系。比如，可以设计一些更具挑战性的题目，让学生分组讨论，通过合作解决问题，加深对知识点的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
还有一个值得注意的问题是，在小组讨论过程中，部分学生表现出较强的依赖性，不够独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强对学生的引导，培养他们独立思考的能力，鼓励他们大胆提出自己的观点和疑问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握圆周角和圆心角的定义：这是本节课的基础，要求学生能够明确圆周角和圆心角的含义，并能够正确画出相应的图形。
-掌握圆周角和圆心角的关系：学生需要理解在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的圆心角相等，反之亦然。
-应用圆周角和圆心角的关系解决实际问题：学生应学会运用这一关系进行几何证明和计算，解决与圆相关的实际问题。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过严密的逻辑推理证明圆周角和圆心角的关系，培养他们运用几何知识分析和解决问题的能力。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
圆心角和圆周角
圆心角和圆周角
圆周角和圆心角的关系：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。
圆周角是顶点在圆周上的角，圆心角是顶点在圆心上的角。
圆周角和圆心角的性质和定理：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
4、直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。
5、圆心角计算公式：θ=（L/2πr）×360°=180°L/πr=L/r （弧度）。
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
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圆周角与圆心角
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§第9讲圆心角与圆周角
本课是在学习了圆，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。
它
在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。
【知识点清单】
§Ⅰ圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。
则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2.圆心角：顶点在的角。
3.弦心距：从圆心到的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。
4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．1?的弧：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每1份的圆心角
是1?的角；把整个圆也被分成360份，我们把每一份这样的弧叫作的弧。
6.圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。
§Ⅰ圆周角及其相关定理
1．圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。
注意：(1)圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。
如下图中的角
2．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在Ⅰ0中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况：
①圆心在圆周角的“一边上”（如图Ⅰ）②圆心在圆周角的“内部”（如图Ⅰ）③圆心在圆周角的“外部\（如图Ⅰ）
1
3.圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90?的圆周角所对的弦是直径。
【典例精析】
考点1:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基本理解【例1】判断题:
(1)相等的圆心角所对弦相等（）(2)相等的弦所对的弧相等（）
(3)相等弦的弦心距相等（）(4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（）
变式训练:
1.下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等
b．等弧所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等
c．圆心角相等，所对的弦相等
e．同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等
︵︵︵︵
2.已知那么弦cD与2Ab的大小关系为Ab和cD是同圆中的两条弧，且cD=2Ab
【例2】(09南充)如图1，Ab是Ⅰo的直径，点c、D在Ⅰo上，?boc?110°，ADⅠoc，求?AoD?
ADob
c图1
变式训练:
1.如图2，在Ⅰo中，Ⅰboc=50°,ocⅠAb,ⅠAco=。
2．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．图2
考点2:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的证明、计算
【例4】如图，Ab为直径，AbⅠoc,Ab=24cm，eF过co的中点D，eFⅠAb,
︵︵
ec=2eA②求eF的长。
①求证：
2
变式训练:
已知：Ⅰo中，弦AbⅠcD于p，且Ab=cD，oeⅠAb于e，oFⅠcD于F．
①求证：四边形0epF是正方形.②连op，若Ⅰo半径为5cm，op?32cm，求Ab的长。
考点3:证明两弧相等
【例5】Ab是Ⅰo的直径，e、F分别是Ao、bo的中点，且AbⅠce，AbⅠDF
︵︵
求证：Ac=bD
AcDo
●方法归纳：证明两弧相等有如下几种思路：
eFb①等弧的定义；②证圆心角相等或所对的弦相等，或所对的弦的弦心距相等；③运用平行弦夹等弧．
考点4：四量关系定理的综合运用
【例6】在ⅠAbc中，Ab=Ac,Ab交Ⅰo于g、h两点，Ac交Ⅰo于F、
e两点，gh=eF,bh=ce
①如图1，求证：Ao垂直平分bc
②如图2，bF与cg交于点m，连结Am并延长分别交gF、bc 于点n、D，若bh=1,gh=3,gA=2,求mn:mD的值。
图1图2
变式训练:
如图Ⅰo中两条相等的弦Ab、cD分别延长到e、F，使be=DF．(1)求证：eF的垂直平分线必过圆心．
(2)若Ab与cD在Ⅰo内相交于p，同样延长Ab、cD，使be=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如
图2)．
图1图2
3
考点5：圆周角的概念理解
【例7】下面命题中，正确的命题个数为（）
(1)顶点在圆周上的角是圆周角．(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．(3)90的圆周角所对的弦是直径．(4)圆周角相等，则它们
所对的弧也相等．A．1个b．2个c．3个D．4个
?
【例8】已知：如图1，Ab为Ⅰo的直径，弦cD交Ab于p，ⅠApD=60?,Ⅰcob=30?则ⅠAbD=。
变式训练:
1.下列命题中，真命题的是（）
A．同圆中，同一条弦所对的圆周角相等b．相等的圆周角所对的弧相等c．等弧所对的圆周角相等D．长度相等的弧所对的圆周角相等
2.如图2，A、b、c是Ⅰ0上的三点，以bc为一边，作ⅠcbD=ⅠAbc，过bc上一点p，作peⅠAb交bD于点e．若ⅠAoc=60°，be=3，则点p 到弦Ab的距离为_______。
AcopbeD
考点6:圆周角与垂径定理：
图1图2
【例9】如图，Ab为直径，AbⅠoc,Ab=24cm，eF过co的中点D，eFⅠAb,求ⅠAbe的度数。
变式训练:
如图，Ab、Ac是Ⅰo的两条弦，m、n是分别是弧Ab、弧Ac的中
点，m、n交Ab、Ac于e、F，求证：ⅠAeF是等腰三角形。
（2种证法）4
【以练励学】
1．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等b．同弧所对圆周角相等
c．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
2．如图1，半圆的直径Ab=4，o为圆心，半径oeⅠAb，F为oe 的中点，cDⅠAb，则弦cD的长为（）
A．23
b．3
c．5
D．25
3．已知：如图2，Ⅰo的直径cD垂直于弦Ab，垂足为p，且Ap=4cm，pD=2cm，则Ⅰo的半径为（）
A．4cm
b．5cm
图1图2图3
4、Ⅰo的弦Ab等于半径，那么弦Ab所对的圆周角一定是（）．
A．30°b．150°c．30°或150°D．60°
︵︵
5.（20XX天津）已知，如图3，bc与的度数之差为20°，弦Ab 与cD交于点e，ADⅠceb=60°，则ⅠcAb等于（）
A.50°b.45°c.40°D.35°
6.如图，c是Ⅰo直径上一点，过c点作弦De，使cD=co，若弧AD 的度数为40?，求弧be的度数。
D
Ac
7、已知：如图，ⅠAbc是Ⅰo的内接三角形，Ⅰo的直径bD交Ac
于e，AFⅠbD
AF交bc于g．求证：Ab2=bg·bc
5
c．42cm
D．23cm
obe于F，延长
6
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