圆心角与圆周角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案目标：1. 理解和描述圆周角和圆心角的概念；2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系；3. 能够解决与圆周角和圆心角相关的问题。
教学步骤：I. 引入（约5分钟）- 利用生活中的例子引起学生对圆周角和圆心角的注意，例如车轮、钟表等。
- 引导学生思考圆周角和圆心角的定义和特点。
II. 讲解圆周角和圆心角的概念（约10分钟）- 通过示意图解释圆周角和圆心角的定义，并介绍角度的度量单位。
- 强调圆周角是指相邻两条弧所对应的角，圆心角是指以圆心为顶点的角。
III. 圆周角和圆心角的关系（约15分钟）- 阐述圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角的度数是圆心角的二倍。
- 使用具体案例和图形进行说明，让学生理解这一关系。
IV. 解决问题（约15分钟）- 给学生一些练习题，让他们应用所学的知识解决问题。
- 引导学生逐步解决问题，并给予必要的提示和指导。
- 鼓励学生主动思考和讨论，提高解决问题的能力。
V. 总结（约5分钟）- 和学生一起总结本节课所学的内容，检查是否达到了教学目标。
- 强调圆周角和圆心角之间的关系对圆的几何性质的重要性。
VI. 拓展活动（约10分钟）- 给学生一些拓展问题，让他们运用所学的知识进行探究和进一步思考。
- 鼓励学生在小组内互相讨论和合作，提出自己的观点和解决方法。
VII. 课堂作业（约5分钟）- 布置一些课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展所学的内容。
- 强调作业的重要性，并鼓励学生按时完成和提交。
备注：以上教案的时间安排仅供参考，请根据实际情况做适当调整。
（教案完）。
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4.1节的内容。
本节课主要让学生了解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而得出圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法。
他们具备一定的观察、分析和推理能力。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解圆周角和圆心角的概念，理解它们之间的关系。
2.让学生掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的关系。
2.圆周角定理的证明和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。
2.利用几何画板和实物模型，直观地展示圆周角和圆心角的关系。
3.采用小组合作学习，让学生在讨论中共同探究和解决问题。
4.通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示圆周角和圆心角的关系。
2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板或实物模型，展示一个圆和一些圆周角、圆心角，让学生观察它们之间的关系。
提问：你们觉得圆周角和圆心角有什么关系呢？2.呈现（10分钟）引导学生通过观察和推理，发现圆周角和圆心角的关系。
呈现圆周角定理：圆周角等于它所对圆心角的一半。
让学生理解并记住这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个实例，验证圆周角定理。
每组选取一个代表进行汇报，其他组进行评价。
通过这个过程，让学生加深对圆周角定理的理解。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
圆周角和圆心角的关系-北师大版九年级数学下册教案
圆周角和圆心角的关系 - 北师大版九年级数学下册教案一、知识目标1.记住圆周角和圆心角的定义，知道它们的度数关系。
2.熟悉相关概念和公式，能够灵活运用。
3.理解圆周角和圆心角的概念对于解题的重要性。
二、教学重点1.记住圆周角和圆心角的定义，明确它们的度数关系。
2.了解使用相关概念和公式解题的方法。
3.掌握圆周角和圆心角的应用技巧。
三、教学难点1.掌握圆周角和圆心角的应用技巧。
2.在实际应用中能够识别圆周角和圆心角。
四、教学过程1. 导入环节老师可以出示两个圆形图片，一个是圆周角的例子，一个是圆心角的例子，让学生自主分析其定义和特点，提出不同于直角角度的新角度，并引出本节课的主旨：圆周角和圆心角的关系。
2. 讲解圆周角和圆心角的概念1.圆周角：以圆心为端点，它所对的弧所对应的角度称为圆周角。
常用的表示方法为：θ=弧长/圆周长×360°。
2.圆心角：以圆的圆心为端点，它所对的弧所对应的角度称为圆心角。
常用的表示方法为：θ=弧长/半径。
3. 圆周角和圆心角的度数关系1.当圆弧等于圆周时，圆周角为360°，圆心角为2π。
2.当其他弧对应的圆周角大小为x°时，圆心角的大小为2x°。
3.当弧对应的圆周角大小为x°，半径为r时，弧长为x/360×2πr。
4. 综合练习1.练习1：在相同半径的圆中，一圆周角为120度，求另一圆弧所对的圆心角的大小。
2.练习2：半径为3cm的圆上的一弧所对的圆周角的大小为60度，求这个弧的长度。
3.练习3：在相同圆周上，圆心角比圆周角小20度，求这个圆弧对应的圆心角和圆周角的大小。
五、教学体会本节课主要介绍了圆周角和圆心角的概念和度数关系，通过逐一分析演示，使学生更加深刻地了解到各种情形下圆周角和圆心角的度数大小，并通过解题练习加深了对相关知识的掌握。
在教学的过程中，应适时提醒学生注重归纳总结，加强题目训练，以提高学生对知识点的理解和认识。
3.4圆心角与圆周角的关系(教案)
2.教学难点
-理解圆心角与圆周角之间的数量关系，特别是当圆心角是直角或平角时的情况。
-在复杂的图形中识别圆心角和圆周角，并能正确应用相关定理。
-将圆心角与圆周角的理论知识应用到解决综合性几何问题中。
举例解释：
其次，在教学难点部分，我发现有些学生在处理复杂的图形时，仍然难以准确识别圆心角和圆周角。这说明我在讲解这一部分时，可能需要更多针对性地设计一些练习题，让他们在实际操作中逐步突破难点。
在实践活动环节，学生们的参与度很高，但我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题。为了提高讨论的效率，我应该在分组讨论前给出更明确的指导，比如设置一些具体的问题或任务，让学生们有针对性地展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角与所对弧的关系以及圆周角是圆心角的一半这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆心角和圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量不同圆心角和对应的圆周角，验证它们之间的数量关系。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的空间观念：通过探究圆心角与圆周角的关系，使学生能够形成对圆上角度的直观感知，提高空间想象能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：引导学生运用圆的基本性质和几何定理，推导圆心角与圆周角的关系，培养学生严谨的逻辑思维。
3.增强学生的几何直观：通过实际操作和观察，让学生感受圆心角与圆周角在实际应用中的联系，提高解决几何问题的能力。同时，培养学生运用几何知识解释生活中现象的意识。
圆周角和圆心角的关系公开课教案
求证：∠ABC＝ AOC．(学生口述，教师板书)
证明：∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠AOC＝2∠ABO．
即∠ABC＝ ∠AOC．
特殊情况会给我们什么启发吗？(学生互相交流、讨论)
这三个角有什么共同特征？它们的大小有什么关系？
类比圆心角探索圆周角
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？（学生探索）
1、请同学们在圆上确定一条劣弧AC，画出它所对的圆心角与圆周角。
2、它们的大小有什么关系？弧AC所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？
(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．
圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．
练习
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．
2．研究圆周角和圆心角的关系．
这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。
在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．
本节通过学习认识了圆周角，并且探索了圆周角定理。
在上述探索过程中，利用分类讨论情况，利用由“特殊到一般”的途径，将问题进行转化，加以证明。
Ⅳ．课后作业
习题3．4知识技能1、2、3.
拓展：１．如图(１)：AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
２．如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
1题 2题
实验结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。
通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。
但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。
2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。
3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。
2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。
通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。
九年级数学上册《圆心角和圆周角的关系》教案、教学设计
4.应用举例：通过具体例题，展示圆心角和圆周角关系在实际问题中的应用，使学生认识到数学知识在实际生活中的价值。
（三）学生小组讨论
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组内成员的数学水平相对均衡。
2.讨论主题：以圆心角和圆周角的关系为主题，让学生在小组内分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们在之前的课程中学习了角度、三角形等基本概念，为本章节的学习奠定了基础。但在圆的相关知识方面，学生们的认识可能还不够深入，对圆心角和圆周角的关系理解可能存在困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
1.充分发挥学生已有的知识经验，引导他们主动发现圆心角和圆周角的关系。
五、作业布置
为了巩固学生对圆心角和圆周角知识的掌握，提高他们的实际应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：根据课堂所学，完成课本相关练习题，加深对圆心角和圆周角概念的理解。
（1）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角相等的两组角，比较它们之间的关系。
（2）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角不相等的两组角，分析原因。
2.提高拓展题：结合圆心角和圆周角的关系，解决以下实际问题。
（1）一块圆形的披萨，被切成八等份，每份的圆心角是多少度？如果切成十二等份呢？
（2）一个圆形的花坛，要将其分割成若干个扇形区域，每个区域圆心角相等，且总面积为花坛面积的一半。请问需要分割成几个区域？
3.创新研究题：以小组为单位，选择以下课题进行研究，并将研究结果以报告形式提交。
c.组织小组讨论，让学生分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
数学初三下北师大版3.3圆周角和圆心角的关系(第一课时)教案
教学过程：一、设计情景，引入新课师：在上周我们班和九二班旳足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进旳？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．师：感谢他们给我们班带来旳胜利，现在有这样旳一个游戏是他们三个人参与旳． 课件出示：如果他们三人进展一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 旳位置射任意球〔直线射〕，仅从教学旳角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？生：D ．课时第三章第三节第1课时 课 题课 型新授课时 间 2021年2月28日 周四节 次第四节授 课 人教学 目标 旳概念,掌握圆周角旳两个特征、定理旳内容及简单应用． 旳关系．旳证明，进一步体会思考问题旳全面性和合理性． 旳运用，渗透转化旳数学思想．5.学会以特殊情况为根底，通过转化来解决一般问题旳方法，体会分类旳数学思想． 重点 圆周角旳概念和圆周角定理难点 圆周角定理旳证明中由“一般到特殊〞旳数学思想方法和完全归纳法旳数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法 课前准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺师：为什么呢？生：因为角度大．师：你说旳角度是这旳什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．生：〔边指边说〕连接AD、CD形成旳∠ADC．师：同学们都是这样认为旳吗？生表达意见．师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天旳内容：圆周角和圆心角旳关系〔板书课题〕，学完以后我们再来看终究应该怎样选择．设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活旳联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单旳实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系旳方法．引导学生对图形旳观察、发现激发学生旳好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题旳活动中获取成功旳体验，建立学生旳自信心．二、师生互动，探究新知〔一〕圆周角旳定义师：大家还记得什么叫做圆心角吗？生：顶点在圆心上旳角叫做圆心角．师：这个图中旳∠AOB就是一个圆心角，那我把它旳圆心拖到圆周上C点旳位置，看一下这个角有什么特点？生：这个角旳顶点在圆周上，并且角旳两边都和圆相交．师：他观察出了这个角旳特征，那同学们能不能仿照圆心角旳名字给它起一个名字？生：圆周角．师：是根据什么而定旳？或者说什么叫做圆周角呢？生：顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆周角．师：对，这就是我们要来掌握旳另一种角．板书：圆周角．设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生旳观察能力、归纳能力．师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？A B C D E生1：A不是，因为它旳顶点不在圆周上．生2：B不是，因为它旳顶点不在圆周上．生3：C是．生4：D不是，角旳两边分别与圆没有另一个交点．生5：E不是，角旳一条边和圆没有另一个交点．师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？生：先看这个角旳圆心在不在圆周上，再看角旳两边与圆还有没有另一个交点．师：说旳很好，我们再来看这道题目：课件出示：2.判断以下命题是否正确．〔1〕圆周角旳顶点一定在圆上．〔〕〔2〕顶点在圆上旳角叫做圆周角．〔〕〔3〕圆周角旳两边都和圆相交．〔〕〔4〕两边都和圆相交旳角是圆周角．〔〕学生判断并说明理由．生1：〔1〕正确．生2：〔2〕错误．还要看角旳两边是否和圆还有另外一个交点．生3：〔3〕正确．生4：〔4〕错误．还有看这个角旳顶点是否在圆上．师：这道题目比拟简单，下面我们来看谁能在最短旳时间内找出图中所有旳圆周角．课件出示：以下两个圆中，各有几个圆周角？生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC师：你是怎样找旳？生：我先在圆上找顶点，在确定角．师：第二幅图呢？生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．设计意图：通过练习加深对圆周角定义旳理解．师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角旳定义以后再来看看刚刚旳问题．〔课件出示图3-13〕球员射中球门旳难易程度与他所处旳位置B对球门AC旳张角〔∠ABC〕有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处旳位置队球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？生：这三个角都是圆周角．师：还有呢？生：它们都对着AC．师：那这三个角谁大谁小？生大胆猜测：一样大．师：为什么？生有些茫然．师：我们上节课学习了圆心角旳有关知识，那么我们旳这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角旳关系，然后再来说明这三个角旳大小呢？这是我们这节课要研究旳主要内容．〔二〕探究活动一．师：下面请各个组进展探究活动一，拿出探究活动纸：学生开场探究活动，教师进展巡视指导．师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．各个小组利用实物投影仪进展汇报，教师引导学生进展汇总，最后分为三类：教师利用几何画板固定∠AOC旳位置，拖动点B使其落在不同旳位置上，是同学们再次形象旳并且连续性旳认识上面旳问题．师：如图①O点在∠ABC旳一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC旳内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC旳外部．所以我们把圆周角和圆心角旳位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进展探究二．①A②③设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示旳设计：教师利用几何画板从动态旳角度进展演示，目旳是用运动变化旳观点来研究问题，在运动变化旳过程中寻求不变旳关系．〔三〕探究二师：我们要研究一条弧所对旳圆周角∠ABC与它所对旳圆心角∠AOC旳大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来旳这两个角是什么关系？找一位学生利用电脑上旳几何画板软件进展操作：每拖动一次B点旳位置就测量一次圆周角和圆心角．A师：同学们计算一下∠AOC与∠ABC旳大小有什么关系？生：两倍关系．师感谢学生旳操作，然后利用几何画板改变AC旳位置引导学生发现，∠AOC依然是∠ABC旳两倍．师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系呢？．生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12师板书结论．设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具〔几何画板〕进展猜测、实验、探究，得出结论．激发学生旳求职欲望，调动学生学习旳积极性．师：刚刚我们是通过观察、猜测得到了一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快旳把这三种情况旳证明旳出来．学生利用探究纸进展小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后旳展示．师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究旳结果来展示一下．我们从那一幅图开场？生：第一幅图．师：谁来说一下？生1：如图〔1〕，圆心在∠ABC旳边上∵∠AOC是△ABO旳外角，∴∠AOC=∠B+∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠AOC=2∠B即∠ABC=12∠AOC师：那第二幅图谁来说一下？生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，那么将这幅图转化成图〔1〕旳形式．由〔1〕可知，∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=12〔∠AOD +∠COD〕=12∠AOC师：我刚刚发现，很多组旳同学在探究第三幅图旳时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图旳形式呢？再给同学们两分钟旳时间快速旳思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当旳指导．师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明旳？生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两组根本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由〔1〕可知∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=1 2〔∠AOD -∠COD〕ABCOD=1∠AOC2师：在证明旳过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题旳证明中我们也应用了分类讨论旳方法以及完全归纳旳证明方法．对于这个定理“一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半．〞我们也可以这样理解：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．设计意图：让学生对所发现旳结论进展证明，培养学生严谨旳治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论旳数学思想研究问题，培养学生思维旳深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题旳方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．(四)解决问题师：现在让我们再回到到个问题上〔多媒体出示画面〕，在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利旳呢？生：一样旳．师：为什么？生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对旳弧都是AC，AC所对旳圆心角旳度数是固定旳，这三个角旳度数等于这个角度数旳一半，所以这三个角旳度数是相等旳．师：从而我们就能得到这样旳结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等．(五)联系实生活实际师：在生活中还有那些运用圆周角旳实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们旳生活中处处有数学．比方〔课件出示〕：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？生：有．师：还有许多歌剧院、大剧院旳座位排列都是呈圆弧状旳，这是为什么呢？生：这样可以保证在同排旳观众视角是一样旳．师：非常好．〔学生鼓掌〕设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功旳体验．三、稳固应用，开拓创新师：现在请同学们看大屏幕，快速旳完成这两道题．多媒体出示：1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，那么∠A= ．2、如图2，A,B,C,D是⊙O上旳四点，且∠BCD=100°，那么∠BOD= °，∠BAD= °．图1 图2学生完成后，教师安排学生到大屏幕前讲解自己旳做法．设计意图：练习层层推进，难易结合，考察学生对定理旳理解和运用，使学生很好地进展知识旳迁移，让学生在练习中加深对本节知识旳理解．教师通过练习及时发现问题，评价教学效果．四、课堂小结师：刚刚同学们旳表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课旳收获．；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12圆周角相等．师：还有要补充旳吗？生：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理旳推论，在圆周角定理旳证明中，运用了数学中分类讨论和化归旳思想以及完全归纳旳证明方法．设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课旳知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进展严密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学旳积极情感．五、课堂检测1、⊙O旳弦AB等于半径，那么弦AB所对旳圆周角一定是〔〕．〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°〔D〕60°2、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，假设BC =12，AB =123 ，那么BE 旳度数为〔 〕．〔A 〕60° 〔B 〕80° 〔C 〕100° 〔D 〕120° 3、一条弦分圆为1：4两局部，求这弦所对旳圆周角旳度数？ 4、AB 为⊙O 旳直径，AC 和AD 为弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 旳度数． 六、布置作业作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中旳微妙吗？设计意图：课后作业是对课堂所学知识旳检验，是让学生稳固、提高、开展，同时关注不同层次学生对所学内容旳理解和掌握．师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学旳语言去说明道理，用数学旳思维去解读世界旳习惯． 下课．七、板书设计§旳关系〔一〕一、圆周角定义顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆心角．二、圆周角定理一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半． (1) (2) (3)设计意图：让本节课旳学习内容及重难点一目了然．教学反思：收获：研究圆周角和圆心角旳关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度旳，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进展思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习旳主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角旳关系旳位置关系时，有一个小组是这样画旳：我说这也属于“圆心角旳顶点在圆周角旳内部〞，当时就有一些同学不认可，或者说是不能BA AO C A BCO D很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧旳概念还是很陌生，不能灵活旳加以应用．改良：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。
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圆周角与圆心角的关系
一、知识讲解：
1．圆周角与圆心角的的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数就是圆心角的度数。
解题思路：
1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角
2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角
3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角
1.圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：
(1)顶点在圆上；
(2)两边都和圆相交。
二、教学内容
【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2】理解圆周角定理的证明
一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系
本题有三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边上 O
（2）圆心O在∠BAC的内部
（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C
●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即
可证明
●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个
角的和或差即可
证明:
圆心O在∠BAC的一条边上 A
OA=OC==>∠C=∠BAC
∠BOC=∠BAC+∠C O
==>∠BAC=1/2∠BOC. B C
【3】圆周角与圆心角的关系
（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。
（5）．弧的度数就是圆心角的度数。
三、精讲精练
（一）选择、填空题：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
A、30°
B、150°
C、30°或150°
D、60°
8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则
的度数为（）．
A、60°
B、80°
C、100°
D、120°
9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
A、3
B、4
C、5
D、6
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）
A、70°
B、65°
C、60°
D、50°
11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形
内角的度数分别为__________．
（二）解答题
1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
5. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD 和BD的长．
6. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
8.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．
9.如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．
（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2
是否成立？请说明理由． （2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2
= ．参照（1）填写相应结论，
并证明你填写结论的正确性．
10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．
11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．
12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．
13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=5
3，cos β=
3
1，
AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．
14．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．
（1）求证：AB 2=AD ·AE ；
（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
15．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒
AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ．
（1）求证：△ABE ∽△DBC ； （2）已知BC=
2
5，CD=
2
5，求sin ∠AEB 的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．
16．如图，已知AB 是O 的直径，A C 是弦，过点O 作O D A C ⊥于D ，连结B C ． （1）求证：12O D B C =
；
（2）若40BAC = ∠，求
A B C 的度数．
四、小结：
1、圆周角与圆心角的概念
2、圆心角与圆周角的大小关系
C （图16）。