极坐标与参数方程数学讲义
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程首先，我们来看看极坐标。
在极坐标中，平面上的点由两个数值确定，即极径和极角。
极径表示点到原点的距离，而极角表示这个点与一些参考轴的夹角。
使用极坐标时，点的坐标通常表示为(r,θ)。
极坐标系具有许多有用的特点，例如它能更好地描述圆形和对称图形，且对部分函数的积分更加简单。
在极坐标系中，曲线的方程通常表示为一个关于r和θ的函数的方程。
例如，圆的极坐标方程通常表示为r=a，其中a是圆的半径。
其他常见的极坐标图形包括椭圆、双曲线和螺旋线等。
接下来，我们来看看参数方程。
在参数方程中，曲线的坐标是由一个或多个参数变量t决定的。
通过给定参数t不同的值，可以得到曲线上的不同点。
参数方程的主要优势是它可以非常灵活地描述各种曲线形状，包括曲线的复杂度和对称性。
参数方程通常表示为两个或多个关于参数t的函数f(t)和g(t)。
每个函数都描述了一个坐标轴上的变化情况，从而确定了曲线上的点的位置。
例如，一条直线的参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中f(t)和g(t)是线的斜率和截距的函数。
参数方程可以用来描述几何图形中的曲线、参数化过程和动画效果等。
例如，在计算机图形学和动画制作中，参数方程常用于生成复杂的动态曲线和图形。
总结起来，极坐标和参数方程是一种描述平面上曲线的数学方法。
极坐标通过极径和极角来确定点的位置，适用于描述圆形和对称图形。
参数方程通过一个或多个参数变量来确定曲线上的点的位置，具有很高的灵活性，适用于描述各种曲线形状和动画效果。
无论是极坐标还是参数方程，它们都在数学和实际应用中发挥着重要的作用。
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程
【实用版】
目录
一、极坐标的概念与基本公式
二、参数方程的概念与基本公式
三、极坐标与参数方程的转换关系
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
正文
一、极坐标的概念与基本公式
极坐标是一种平面直角坐标系的替代方法，用来表示平面上点的位置。
在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。
半径表示点到原点（极点）的距离，角度表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标的基本公式如下：
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
其中，x 和 y 分别表示点的横纵坐标，ρ表示半径，θ表示角度。
二、参数方程的概念与基本公式
参数方程是一种用参数来表示曲线上点的方法。
参数方程由一组参数方程和一组普通方程组成。
参数方程表示曲线上某一点的位置，普通方程表示参数方程中参数的取值范围。
参数方程的基本公式如下：
x = x(t)
y = y(t)
其中，x(t) 和 y(t) 表示曲线上某一点的横纵坐标，t 表示参数。
三、极坐标与参数方程的转换关系
极坐标和参数方程之间可以互相转换。
从极坐标转换为参数方程，需要先求出极坐标的导数，然后将极坐标方程化为普通方程。
从参数方程转换为极坐标，需要先求出参数方程的极坐标方程，然后将普通方程化为极坐标方程。
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
极坐标和参数方程在实际问题中有广泛应用，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域。
它们可以简化问题的处理，使得问题更加直观和易于理解。
极坐标与参数方程堂讲义
第1节 坐标系与参数方程基础知识诊断 回顾教材 务实基础【知识梳理】1.伸缩变换平面直角坐标系的伸缩变换是指：设点)(y x P ，是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：⎩⎨⎧⋅=⋅=y y xx μλ''的作用下，点)(y x P ，对应到点)''('y x P ，，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化（1）极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序对)(θρ，叫做点M 的极坐标，记为)(θρ，M .一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可以取任意实数.（2）极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y)，极坐标为(ρ，θ). 极坐标与直角坐标的互化公式.为： ⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ3.常见曲线的极坐标方程4.常见曲线的参数方程（1）直线的参数方程过定点)(00y x M ，，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（2）圆的参数方程圆心为点)(00y x M ，，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）．（3）圆锥曲线的参数方程椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）．双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）．抛物线px y 22=)0(>p 的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）．.考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 伸缩变换【例1】将曲线x y 2sin =按照伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'后得到的曲线方程为 .【例2】曲线C 的方程为13222=+y x ，曲线C 进过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'，得到新曲线的方程为 .【解题总结】在平面直角坐标系中，曲线)(x f y =在伸缩变换ϕ：⎩⎨⎧>=>=)0(')0('μμλλy y x x 的作用下的变换方程是将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==μλ''y y x x 代入)(x f y =，可得)'('λμx f y =，整理得)'('x g y =，即为所求变换后的方程.【跟踪训练】1.将曲线)43sin(π-=x y 按照伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 21'3'后得到的曲线方程为 .2.在同一直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'5'后曲线C 变为曲线1'8'222=+y x ，则曲线C 的方程为 .考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化考向1 极坐标化为直角坐标【例1】（2019•江苏卷）在极坐标系中，已知两点)43(π，A ，)22(π，B ，直线l 的方程为3)4sin(=+πθρ.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.考向 2 直角坐标化为极坐标【例2】（2020•新课标3）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=22322tt y tt x （t 为参数且1≠t ），C 与坐标轴交于A ，B 两点. (1)求AB ;(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【解题总结】当极坐标与平面直角坐标的极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合且单位长度相同时，可以使用θρcos =x ，θρsin =y 以及222ρ=+y x 将两坐标方程实现互化。
《坐标系与参数方程》讲义
《坐标系与参数方程》讲义坐标系是我们在几何学中常用的一个工具，用来描述和分析点的位置和位置关系。
在坐标系中，我们可以用数值来表示点在各个方向上的位置，这些数值即为点的坐标。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由两条垂直的数轴组成，一条表示水平方向（通常横轴），一条表示垂直方向（通常纵轴）。
点的坐标由这两个数轴上的数值组成，例如(x,y)表示点在横轴上的位置为x，在纵轴上的位置为y。
极坐标系由一个原点O和一个极轴组成，点的坐标由极轴与点所在射线的夹角和点到原点的距离两个数值组成，例如(r,θ)表示点到原点的距离为r，点所在射线与极轴的夹角为θ。
参数方程也是常用于描述曲线的一种方法，它将曲线上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数。
参数方程可以描述一条曲线上的点的位置，轨迹或运动状态，使得我们可以直观地理解和分析曲线的形状和特性。
以直角坐标系为例，我们可以将参数方程应用在描述平面上的曲线。
考虑一个参数方程x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，f(t)和g(t)为t的函数。
曲线上的每个点都可以用参数t对应的x和y值来表示。
通过不同的参数取值，我们可以得到曲线上的一系列点，连接这些点就可以得到整个曲线。
特别地，当参数在一个范围内变化时，曲线的形状和特性也随之变化。
参数方程的优势之一是可以很方便地描述一些复杂的曲线。
例如，在直角坐标系中，我们难以用一个解析式来准确地描述圆形，但是我们可以用参数方程来描述它。
以单位圆为例，可以取参数t在区间[0, 2π)内变化，令x=cos(t)，y=sin(t)，对应的点就在单位圆上运动。
当t从0变化到2π时，我们可以得到单位圆上的所有点，得到了一个完整的圆形。
另外一个重要的应用是描述运动状态。
考虑一个点沿着曲线运动的情况，可以用参数方程来描述点在曲线上的位置。
通过对参数t进行适当的调整，我们可以得到点在曲线上的运动轨迹。
例如，考虑一个点在直角坐标系中水平方向匀速运动，可以用参数方程x=vt，y=h，其中v是速度，t是时间，h是点所在的垂直位置。
参数方程讲义
再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
高考数学专题讲解：直线的极坐标方程与参数方程
2 sin( 2
5 ) 3 sin( 5 5 5 1 3 ) 2 (sin cos sin cos ) 2 ( sin cos ) 2 3 3 3 2 2
b b ； ④ 。 a sin( ) a cos( )
7 1 2 ；③ 4 cos( 。 ) 2 ；② ) 3 ；④ 2 5 4 6 2 cos( ) sin( ) 3 3 ) 2 4
【解法设计】 ：① 3 sin(
③ 4 cos(
7 )3 6
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4 cos(
7 7 7 3 1 ) 3 4 (cos cos sin sin ) 3 4 ( cos sin ) 3 6 6 6 2 2
2 3 cos 2 sin 3 ， cos x ， sin y 2 3 x 2 y 3 2 3 x 2 y 3 0 。
第二象限
第三象限
， ， 6 4 3
第四象限
第二步：判断三角函数的正负。如下表所示： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
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正弦 sin 余弦 cos 正切 tan
第三步：计算三角函数的绝对值。
正弦绝对值 | sin |
b b ；④ 。 a cos a sin
b ； a b ； a
② a sin b ， sin y ay b y
③
b b a cos b a cos b ， cos x ax b x ； a cos a b b a sin b a sin b ， sin y ay b y 。 a sin a c 。 a cos b sin
极坐标系和参数方程
极坐标系和参数方程一、极坐标系1.1 定义极坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它是以原点为中心，以极轴为基准，以极径为距离的坐标系。
1.2 极坐标系的基本概念极轴：极坐标系中的一条射线，通常取水平方向。
极角：一个点与极轴的夹角，用Greek字母theta表示。
θ=0时表示在x轴正半轴上。
极径：原点到该点的距离，用r表示。
1.3 极坐标系与直角坐标系之间的转换直角坐标系和极坐标系是两种不同的描述平面上点位置的方式。
它们之间可以相互转换。
由直角坐标系到极坐标系：r=sqrt(x^2+y^2)θ=arctan(y/x)由极坐标系到直角坐标系：x=r*cos(θ)y=r*sin(θ)二、参数方程2.1 定义参数方程是指用一个参数t来表示曲线上各个点的位置关系，并将其分别代入x(t)和y(t)两个函数中得到曲线上各个点的具体位置。
2.2 参数方程与直角坐标系之间的转换对于一条曲线，如果已知其参数方程，则可以通过将参数t代入x(t)和y(t)两个函数中得到曲线上各个点的具体位置。
反之，如果已知一条曲线的具体位置，则可以将其转换为参数方程。
例如，对于直角坐标系中的一条直线y=2x+3，其参数方程为：x=ty=2t+3其中t表示直线上任意一点到原点的距离。
2.3 参数方程的应用参数方程广泛应用于物理、工程、数学等领域中。
例如，在物理学中，许多物理量都可以用参数方程来表示；在工程学中，许多工程问题也可以用参数方程来求解；在数学中，许多曲线和图形也可以用参数方程来描述。
三、极坐标系与参数方程之间的关系极坐标系和参数方程都是描述平面上点位置的方式。
它们之间也可以相互转换。
由极坐标系到参数方程：x=r*cos(θ)y=r*sin(θ)即可得到相应的参数方程。
由参数方程到极坐标系：r=sqrt(x^2+y^2)θ=arctan(y/x)即可得到相应的极坐标系。
四、总结极坐标系和参数方程是两种不同的描述平面上点位置的方式。
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极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22=的参数方程为()为参数t pty pt x ⎩⎨⎧==2224.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．圆的极坐标方程①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； ③以(,)2a π)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是)0(≥=ραθ和(0)θπαρ=+≥.②过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 化为直角坐标方程为x a =. ③过点(,)2A a π且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sin a ρθ=. 化为直角坐标方程为y a =.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式．．．．的象限由点(x,y)所在的象限确定 三、课前预习1．直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 答案：C2．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 答案：A3．在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是（ ）A 、(1,)2πB 、(1,)2π- C 、 (1,0) D 、(1，π) 解：将极坐标方程化为普通方程得：0222=++y y x ，圆心的坐标为)1,0(-，其极坐标为)23,1(π，选B 4．点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 答案：C5．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：A6．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A 、一条直线B 、两条直线C 、一条射线D 、两条射线 答案：D7．()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） A 、-6 B 、16-C 、6D 、16答案：A8．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A 、22(2)4x y -+=B 、224x y +=C 、22(2)4x y +-=D 、22(1)(1)4x y -+-= 答案：A9．4sin()4x π=+与曲线122122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ） A 、 相交过圆心 B 、相交 C 、相切 D 、相离答案：D10．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 答案：D11．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 . 答案：112．圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l：x =3ty =13t ⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 。
答案：213．已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．答案：． 14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为0,3πθθ==，曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），则曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 . 答案：23π 四、典例分析考向一 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ 【例1 】（1）点M 的极坐标分别是(2,)2π，(4,)π，2(6,)3π，3(2,)4π换算成直角坐标依次是 ， ， ，（2）点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--，(如果0,02ρθπ≥≤< 换算成极坐标依次是 ， ， ，【例2】在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．分析：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 过圆心的直线的直角坐标方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。
【变式1】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ B ） A 、B 、C 、D 、分析：圆心在即指的是直角坐标系中的)02(，-圆的直角坐标方程：22(2x y +=。
圆的极坐标方程为【变式2】已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.解:曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π【变式3】在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ．解:如图所示,在△OAB 中，65367,5||,4||πππ=-=∠==AOB OB OA 5sin 21=∠=⇒∆AOB OB OA S AOB 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。
考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化【例3】（1）曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 ( C )A 、22(1)(1)1x y -++=B 、22(1)(1)1x y +++=C 、22(1)(1)1x y ++-=D 、22(1)(1)1x y -+-=（2）参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11表示的曲线是（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆答案：B【变式1】已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________。
答案：2解：抛物线的标准方程为x y 82=，它的焦点坐标是)0,2(F ，所以直线的方程是2-=x y ，圆心到直线的距离为2【变式2】若直线340x y m ++=与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞⋃+∞ .【变式3】直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A、1404C分析:2101x t x y y t =-+⎧⇒++=⎨=-⎩，22(3)(1)25x y -++=得圆心到直线的距离d ==，∴弦长=【例4】已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，求2x y +的取值范围。