数阵图
(完整版)4年级有趣的数阵图
4年级有趣的数阵图相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。
这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相等。
幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。
我发现一条直线上三个数相加时，端点四个数只加一次，中间的数加了两次。
不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也就是6个数相加等于2×9=18。
说得对，我们把多加一次的那个数用括号或者字母表示，就可以得到一个等式。
解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。
可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解答出来。
把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。
例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？我发现一条直线上四个数相加时，中间的数加了三次，其他的三个数只加一次。
而且，和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线上的和是多少。
和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。
第09讲-数阵(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图主意一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；主意二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要详细情况详细分析。
第 1 页/共11 页典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分离填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【解析】中间方格中的数很异常，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，惟独重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2、将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。
因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。
可得右上图的填法。
倘若把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例3，重叠数可能等于几？怎样填？考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个天然数分离填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12 333的数，且其中随意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经实验，填法如图。
数阵图
总结：
例1~4都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相 等的性质，这样的数阵图称之为辐射型。例1~3有两条边， 每边有三个数，称为辐射型2—3图；例4有三条边，每边 有三个数，称之为3—3图。 一般地说，有m条边，每边有n个数的图形称为辐射型 m—n图。 辐射型数阵只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1, 即m-1，对于辐射型数阵图，有 已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数
因此，两条直线上另两个数的和等于10-5=5。在剩下的四 个数1，2，3，4中，只有1+4=2+3=5，故有下图填法。
1
2
5 4
3
例3 把1~5这五个数填入下图中的圆圈里， 使得两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：本例题不同于前面两道例题，此题既不知道三数的和也 不知道重叠数，但由例1、2分析可知， （1+2+3+4+5）+重叠数=2×每条直线上的三个数之和 即，每条直线上的三个数之和=[(1+2+3+4+5)+重叠数]÷2 因为每条线直线上三个数之和为整数,所以重叠数只能为1,3或5
例2：把1~5这五个数填入下图中的圆圈里（已填 入5），使得两条直线上的三个数之和相等
5
分析与解：与例1不同的是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线 上的三个数之"和"等于什么数。所以，先要求出这个“和”。根据例 1的分析可知，两条线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其 余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和等于： [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10
中阶数阵图
幻方和数阵图一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图。
数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用。
幻方三、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3*3的数阵称作三阶幻方，4*4的数阵称作四阶幻方，5*5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样：四、解决这幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法，口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样。
⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2（2）四阶幻方是最简单的双偶幻方,其构成方法就是两句话：【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例：1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.如图：按行从左向右顺序排数.2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法）1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34.2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34.（3）对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
数阵图知识点总结
数阵图知识点总结数阵图在计算机科学中有很多应用，例如在图像处理中用来表示图像的像素信息，在数据库中用来存储和管理数据，还可以用来表示图形和网络的关系。
数阵图还可以用来做矩阵运算，包括加法、减法、乘法以及求逆等。
在算法和数据结构中，数阵图也是一个常见的数据结构，例如用来表示图形的邻接矩阵，解决网络流的最大流问题等。
数阵图可以用不同的方式表示和存储，例如用数组、链表、向量等数据结构来实现。
在不同的应用场景中，选择不同的表示和存储方式可以提高数据的访问效率和计算性能。
本文将从数阵图的基本定义、表示和存储、运算以及应用等方面进行介绍和总结。
1. 数阵图的基本定义数阵图可以定义为一个m行n列的二维数组，用来存储各种不同类型的数据。
在数学中，数阵图可以表示为一个m×n的矩阵，每个元素用Aij表示，其中i表示行号，j表示列号，Aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
例如，一个3行4列的数阵图可以表示为：A11 A12 A13 A14A21 A22 A23 A24A31 A32 A33 A34在计算机科学中，数阵图也可以用数组、链表、向量等数据结构来表示和存储。
例如，可以用一维数组来表示一个m行n列的数阵图，数组的长度为m×n，其中每个元素对应矩阵中的一个元素。
也可以用链表来表示一个数阵图，每一行用一个链表节点来表示，节点中包含该行中的所有元素。
向量也是一种常见的数阵图表示方式，它可以用来表示稀疏矩阵，在稀疏矩阵中大部分元素为0，向量可以节省存储空间和提高计算性能。
2. 数阵图的表示和存储在计算机中，数阵图可以用不同的数据结构来表示和存储，选择不同的表示和存储方式可以根据实际应用场景来提高数据访问效率和计算性能。
常见的数阵图表示和存储方式包括数组、链表、向量等。
下面分别介绍各种方式的表示和存储方法：2.1 数组表示数组是一种连续存储的数据结构，可以用来表示和存储数阵图。
数组的优点是数据访问速度快，可以通过下标直接访问元素，缺点是数组的大小固定，不方便动态扩展。
学而思教师版第六讲数阵图
第六讲数阵图教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。
本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：1. 引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2. 教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；3. 锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4. 培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。
经典精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键， 基本类型的数阵图【例1】 将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。
162435 163254 254163 435162【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。
由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。
s 和k 有四组取值：96k s =⎧⎨=⎩ 109k s =⎧⎨=⎩ 1112k s =⎧⎨=⎩ 1215k s =⎧⎨=⎩ 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。
一年级奥数：《有趣的数阵图》
一年级奥数：《有趣的数阵图》《有趣的数阵图》课前预热所属体系板块：第二级下主要知识点：1、补全型（凑数）2、辐射型（最忙的数填在最忙的位置）；3、封闭型（凑数法）能力培养：运算能力体系对接：第四级下《数阵图》例题展示：课前预热：1）认识数阵图，简单的补全型要会做（先填只剩一个的，然后凑数）；2）了解小手拉大手；《有趣的数阵图》知识点精讲一、补全型数阵图 1、先填只剩1个的 2、凑数【例1】把1-10这十个数分别填入“六一”的10个空格里，使每条直线上所有数的和都是12。
【解析】要求是每条直线上所有数的和是12。
发现六一的“六”的一横的这条直线上只剩下一个空，根据计算填出5；剩下的分别进行凑数（情况较多时，要求按顺序来思考和凑数），最后发现还有两个空不知道，刚好还有两个数3和9，相加刚好是12 ，填进去即可。
二、辐射型数阵图通用：凑数法（最忙的数填最忙的位置） 连续数：砍头砍尾砍腰（小手拉大手）【例2】把3~9填入下面的中，使得每条直线上的数字之和都相等。
【解析】观察可得，这个数阵图是辐射型数阵图，而且让我们填的是连续的数字，所以可以采9用砍头砍腰砍尾的方法来完成。
3~8：3、4、5、6、7、8、9，头是3，腰是6，尾是9,其它的数“小手拉大手”。
三、封闭型数阵图（凑数法）【例3】小小三角阵，每边和为9，已知三个数，其它三个数怎么填？【解析】这个题我们可以用凑数法，如果最下面圆圈里面的数是1，那么答案不成立，接下来看最下面的圆圈里面是否能填2，正好可以得出答案，答案如上。
《有趣的数阵图》课后拓展练习1、把3，4，5，6，7这五个数分别填入空格中，使每条线上三个数相加的和都等于15。
2、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条直线上三个数的和为30。
3、把2-7填入中，使每条边上的三个数相加的和等于12。
4、将数字1—6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是12。
数字谜综合数阵图和式数字谜
练习2：
将1至12分别填入图中正方形四条边上的圆圈内，使每条边上四个圆 圈内的数之和均等于22.请填出一种解法。
练习2：
将1至12分别填入图中正方形四条边上的圆圈内，使每条边上四个圆 圈内的数之和均等于22.请填出一种解法。
1 10 8 3
12
6
5
11
47 9 2
例题4、请你将数1、2、3、4、5、6、 7填入图中的圆圈内,使得每个圆上三个 数之和相等,并且也等于每条直线上三 个数的和。应怎样填?
2、如果重叠数有1个时，数阵图的填法是唯 一的；如果重叠数有2个时，数阵图的填法可 能是不唯一的；如果重叠数有3个或4个时， 重叠数的确定还需要用尝试法进行确定，然 后再来完成数阵图。
方法总结:小结---数阵图
1.如果数•阵1.图如果中数有阵若图干中个有相若等干的个和相，等可的以把其中 某几个和和累，加可在以一把起其，中或某者几比个较和有累公加共在部分的两 个相等的一和起。，或者比较有公共部分的两
1
x3
2
3
2
2
5
1
8
0
2.5特殊数位分析
（1）如果是字母（文字）替数的问题，就要 多留意相同字母出现较多的数位。
2 0 09 QHFZ
+ QHFZ
1QHDX
• 可以先判断出 • Q和H
(2)、解字谜
ABCDEF
x
3
BCDEFA
（3）选讲：
在下面除法竖式的方框内填入适当的数字，使竖式成立
36
9 3 32 27 62 54
x
=
x
= 5568
例题1
将0至8这九个数字填入下面的方框内，使这个算式的 结果最大
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【知识要点】
数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
常见的数阵图有以下三种：
1．有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。
2．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”。
填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。
3．有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”。
我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字。
数阵图的解题关键是找”重复数”。
【例1】 将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
【例2】 把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【例3】 将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
【例4】 唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大王告诉他们，只有他们能1,2,3,4,5,6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是l6才允许他们通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？ 【例5】 【超常】将1～8填入下图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
【例5】 【超常2】将自然数1～7填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等。
【例5】 【超常】如图 “好、朋、友、伙、伴、帮、手”这7个汉字分别代表1～7这7个数字。
已知3
条直线上的3个数相加，2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同。
那么，“好”字代表多少? 【例6】 【超常】 (希望杯培训题)小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了它的去路，问题是这 样的：请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15，快点帮帮小老鼠吧。
【例6】
【超2】将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
【例6】
【超1】将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。