四川省宜宾市一中高中数学第一章常用逻辑用语教学设计新人教A版选修11
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题》优质课教案_5
1.练习：教材P42、32.作业：教材P9第1题
②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；
假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.
上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.
③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数 是素数，则 是奇数；
（3）2小于或等于2；
（4）对数函数是增函数吗？
（5） ；
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨.
（学生自练 个别回答 教师点评）
教
学
过
程
④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.
2.将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式：
①例1中的（2）就是一个“若 ，则 ”的命题形式，我们把其中的 叫做命题的条件， 叫做命题的结论.
§1.1.1命题教学设计
上课时间
课型
新课
课题
1.1.1命题及其关系（一）
教学目的
了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式.
教学设想
教学重点：命题的改写.
教学难点：命题概念的理解.
教
学Hale Waihona Puke 过程一、复习准备：
阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
（1）矩形的对角线相等；
（2）3 ；
（3）3 吗？
（4）8是24的约数；
（5）两条直线相交，有且只有一个交点；
（6）他是个高个子.
二、讲授新课：
1.教学命题的概念：
①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件》优质课教案_8
1.2 充要条件小结［教学目标］一：知识目标1.会判断充分条件，必要条件。
（选择，填空）2.利用充要条件确定参数的取值范围。
（解答题）二：能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三：情感目标1.通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
[教学重难点]重点：充分条件、必要条件的判断；难点：充分条件、必要条件的应用；[教学过程]1：复习引入：2：新知建构定义：一般地，如果有q p ⇒，称p 是q 的充分条件，称q 是p 的必要条件.判定充分条件、必要条件的三种方法：1．定义法：若A B ⇒，则A 是B 的 条件，B 是A 的 条件．若B A ⇒，则A 是B 的 条件，B 是A 的 条件．若B A ⇔，则A 是B 的 条件．2．利用集合的包含关系 若A B ⊆，则A 是B 的 条件， B 是A 的 条件． 若A B ，则A 是B 的 条件． 若A B =，则A 是B 的 条件．例1.（1）“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的 条件（2）设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的 条件（3）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________．（4）若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________．（5）已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的 条件例2.已知集合A ＝{ y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈ ⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．例3．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．小结:本节课复习充要条件的基本知识,共解决两个问题:1. 会判断充分,必要条件.2. 利用充分,必要条件求参数范围.3.。
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词 1.3.2 或(or)》优质课教案_3
第1章 1.3.1、2教学目标1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)教材整理1 “且”“或”“非”的含义阅读教材P14第1段～第6段，P15“思考”～第3段，P16“思考”～第2段，完成下列问题.1..用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”.一、选择题(每小题5分，共20分)1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p是真命题⇒/ p∧q为真命题，p∧q为真命题⇒p是真命题．故选B.答案： B2．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p 且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)解析：p且q为真命题，则p、q都是真命题，∴点P为直线y＝2x－3与y＝－3x＋2的交点，即(1，－1)．答案： C3．若命题p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1被直线x＝1平分；q：在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C ．“p ∧q ”为真D ．以上都不对解析： 命题p ：直线x ＝1是圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的一条直径，故p 为真命题．命题q ：在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，故q 为假命题． ∴p ∧q 为假，p ∨q 为真．答案： B4．“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： p ∧q 是真命题 ⇒p ∨q 是真命题，p ∨q 是真命题⇒/ p ∧q 是真命题．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．则命题“p ∧q ”是________命题，命题“p ∨q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析： 命题p 、q 均为假命题，故p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题．答案： 假 假6．已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析： 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即若p 是真命题，则m <1； 若f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，则m <2.由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥1，m <2，解得：1≤m <2.所以应填[1,2)．答案： [1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假．(1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆．(2)p ：角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q ：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．(3)p ：2∈{2,3,4}；q ：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p ：正六边形的对角线都相等；q ：凡是偶数都是4的倍数．解析： (1)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真．(2)因为p 假q 真，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”真．(3)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真．(4)因为p 假q 假，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”假．8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解析： 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2，所以命题p ：－2＜a ＜2.函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a ＞1，即a ＜2.所以命题q ：a ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －2＜a ＜2a ≥2，此不等式组无解． (2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a ＜2，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |a ≤－2}． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)对命题p ：“1是集合{x |x 2<a }中的元素”，命题q ：“2是集合{x |x 2<a }中的元素”，则a 为何值时，“p 或q ”是真命题？a 为何值时，“p 且q ”是真命题？解析： 由1是集合{x |x 2<a }中的元素，可得a >1，由2是集合{x |x 2<a }中的元素，可得a >4，即使得p ，q 为真命题的a 的取值集合分别为P ＝{a |a >1}，T ＝{a |a >4}．当p ，q 至少一个为真命题时，“p 或q ”为真命题，则使“p 或q ”为真命题的a 的取值范围是P ∪T ＝{a |a >1}；当p ，q 都为真命题时，“p 且q ”才是真命题，则使“p 且q ”为真命题的a 的取值范围是P ∩T ＝{a |a >4}．。
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件》优质课教案_4
1.2.2充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点1充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作__p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.【预习评价】思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点2常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：【预习评价】若x，y∈R，则“x＝y”是“|x|＝|y|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析当x＝y时，|x|＝|y|显然成立；若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，所以“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件.答案 A知识点3从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件B其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.【预习评价】若“x＜a”是“x＜2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.解析由题意知{x|x＜a}{x|x＜2}，所以a＜2.答案(－∞，2)题型一充要条件的判断【例1】(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. 答案 A(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.规律方法判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p 成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q 互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.【训练1】 (1)a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab ＝0B.ab >0C.a 2＋b 2＝0D.a 2＋b 2>0(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________.解析 (1)a 2＋b 2>0，则a ，b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0. (2)函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a <－1. 答案 (1)D (2)a <－1 题型二 充要条件的证明【例2】 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，（x 1－1）＋（x 2－1）>0，（x 1－1）（x 2－1）>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，（x 1＋x 2）－2>0，x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－（2k －1）－2>0，k 2＋（2k －1）＋1>0，解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.【训练2】求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx.因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.【探究1】设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，若A B，求实数a的取值范围. 解因为A B，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).【探究2】 设A ，B 是两个集合，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合A 与B 是什么关系？解 由充分不必要条件的定义可知，若x ∈A ，则x ∈B 一定成立；但x ∈B ，则x ∈A 不成立，所以A B .【探究3】 已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围.解 设p 对应的集合为A ，q 对应的集合为B .解不等式x 2－8x －20＞0，得A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}.解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0，得B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}.依题意知p ⇒q ，q ⇒/p ，说明A B .于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，(说明：“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0＜a ≤3.规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.解 由题意知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2⇒－2≤x －13－1≤2⇒－1≤x －13≤3⇒－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇒[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0.(*) ∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集的真子集. ∵m ＞0，∴不等式(*)的解集为{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 且1－m ＝－2与1＋m ＝10不同时成立. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).课堂达标1.对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0. 答案 A2.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 a ＝3时，A ＝{1，3}，A ⊆B ，当A ⊆B 时，a ＝2或3. 答案 A3.已知α：“a＝±2”，β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a|2＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要条件.答案 C4.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________.解析由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.答案－15.已知p：x>0，y<0，q：x>y，1x>1y，则p是q的________条件.解析当x>0，y<0时，x>y且1x>1y成立，当x>y且1x>1y时，得⎩⎪⎨⎪⎧x－y>0，x－yxy<0，⇒⎩⎨⎧x>0，y<0.所以p是q的充要条件.答案充要课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p 的充要条件是q ，则由p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.基础过关1.“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数. 答案 A2.设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 {a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1q <a 1q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1，则数列{a n }为递增数列.反之也成立. 答案 C3.设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为{x |2x 2＋x －1＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12或x ＜－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12{x |2x 2＋x －1＞0}，故选A. 答案 A4.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________. 解析 当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 答案 m ＝－2 5.下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以为x 2<1的一个充分条件的所有序号为__________.解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意. 答案 ②③④6.试说明0＜m ＜13是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件. 解 若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0，m ≠0，3m ＞0，∴0＜m ＜13.反之，若0＜m ＜13，则2m ＞0，3m ＞0，－4＜－12m ＜0，0＜4－12m ＜4，即Δ＞0，且2m ＞0，3m ＞0.因此0＜m ＜13是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等实根的充要条件. 7.求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac ＜0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b 2－4ac ＞0，且x 1x 2＝ca ＜0， ∴ac ＜0.充分性：由ac ＜0可推出Δ＝b 2－4ac ＞0及x 1x 2＝ca ＜0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正一负两实根.因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac ＜0.能力提升8.在△ABC中，“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，又因为sin A≤1，所以sin A＝1.又因为0<A<π，所以A＝π2，故△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，则A不一定为直角，也可能为锐角，则sin A不一定取到最大值1，即不一定有sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin A≥1，故“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A9.若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为0＜ab＜1，所以a，b同号，且ab＜1.当a＞0，b＞0时，显然有a＜1 b；当a＜0，b＜0时，显然有b＞1 a，故“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件.而当a＜0，b＞0时，显然有a＜1b且b＞1a，但推不出0＜ab＜1.综上所述，“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分不必要条件，故选A.答案 A10.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________.解析圆心(0，0)到直线的距离为d＝21＋k2，由题意知d>1，∴21＋k2>1，两边平方得k2<3，∴－3<k< 3.答案－3<k< 311.已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件.解析面面平行时一定有分别位于两个平面内的直线无公共点，但是分别位于两个平面内的直线无公共点时，这两个平面的关系可能是平行，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件.答案必要不充分12.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立.总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.13.(选做题)已知函数f(x)＝3－（x＋2）（2－x）的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a －1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B.(1)求A；(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解(1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－1或x≥1，∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.(2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)＞0，即(x－a－1)(x－2a)＜0，又∵a＜1，∴a＋1＞2a，∴B＝{x|2a＜x＜a＋1}.∵p是q的必要不充分条件，∴B A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，解得12≤a ＜1或a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.。
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题》优质课教案_4
1.1.1命题明目标、知重点 1.理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题.2.能判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p，则q”的形式．预习检测：1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句叫做真命题．判断为假的语句叫做假命题．2．命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．[情境导学]我们在初中已经学过许多数学命题，但还不适应我们今后学习的需要，本节开始我们深化对命题的研究．探究点一命题的定义思考1在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一个例子吗？思考2下面的语句的表述形式有什么特点？(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)2＋4＝7；(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；(4)若x2＝1，则x＝1；(5)两个全等三角形的面积相等；(6)3能被2整除．思考3数学中的定义、公理、定理、推论是命题吗？小结用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．例1判断下面的语句是否为命题？(1)空集是任何集合的子集．(2)若整数a是素数，则a是奇数．(3)指数函数是增函数吗？(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．(5)(－2)2＝2.(6)x>15.反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪训练1判断下列语句是否是命题．(1)求证3是无理数．(2)x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果．(5)一个正整数不是质数就是合数．(6)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(7)x＋3>0.探究点二命题的分类思考1命题分哪几类？小结判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题．例2请对例1给出的命题判断真假．反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．思考2数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？探究点三命题的结构思考1跟踪训练2中(2)(3)两个命题是什么形式？命题的常见形式是什么？小结命题由条件和结论两部分组成，它的结构形式为：“若p，则q”．也可写成：“如果p，那么q.其中p是命题的条件，q是命题的结论．思考2指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．思考3如何把命题改写成“若p，则q”的形式．例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行(2)负数的立方是负数．(3)对顶角相等．反思与感悟把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．跟踪训练3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac>bc时，a>b；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等课堂练习：1．下列语句是命题的是()A．2 014是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗D．a≤152．下列命题中是真命题的是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是，结论是．4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是．课堂小结1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.。
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高中数学_高中数学1.1常用逻辑用语(讲评课)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计苏霍姆林斯基曾说过：“在心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要。
”只有通过学生的自身操作或实践才是最有效的。
在本节课上，我采用我校“三段五步”高效教学模式，指导学生自行解决，教师辅助指导的教学方式，明确的责任分工，有助于因材施教，可以弥补一个教师教学难以顾及众多学生差异性的不足，真正体现教师为主导者，学生为主体的科学观点，实现教与学和谐发展。
当遇到学生难以解决的新题型时，教师可加以指导、示范。
而对学生来讲，不论对与错，都有一个思维过程，所以为了突破本节课的重难点，首先让学生课前进行试卷分析，在课堂上教师应善于有意识地引导学生回到考试解决问题的情境中，重建学生思维，进而重建或完善解题思路。
并有效地促使学生进行反思与自我评价。
一、课前准备针对学生：课前下发试卷及试卷讲评学案，学生完成“试卷错题自我分析反思表”，查找自己易错题型，并完成通过努力可以改错的部分。
上课前让学生准备好试卷、双色笔、课堂笔记和练习本，还有学习的激情。
针对教师：应对学生得失分情况进行统计、汇总，确定讲评重点。
将学生分小组，使每组内有好，中，差三个层次学生。
统计解答题的得分，计算各题的平均分，以此衡量全班对此类题的掌握情况。
分析学生对相关知识、及相关方法的掌握情况，对学生错误较为集中或不会者较多的题目进行分析，找出错误根源，制订措施，并设计好针对训练题。
提前搜集学生不同解法，典型错误解法，制作课件，使用实物投影仪。
二、课堂讲评第一步：导入（5分钟）（一）、出示学习目标、学习重难点学习目标：1.查漏补缺，解决学习中存在问题，完善认知结构；加深对本章知识点的理解、深化常见题型的答题技巧。
2.开阔解题思路，提高分析问题、解决问题的能力；激励同学们主动思考、积极探究、培养创新精神。
3.利用小组合作交流等方式，培养同学们的合作精神；通过小组展示要有敢想、敢说、敢于标新立异的思想意识。
学习重点：典型错误出错原因的剖析与纠错，典型题目解题思路探究与解题方法分析练习。
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件》优质课教案_5
充分条件与必要条件教学设计（一）课标导示1.知识与技能：（1）掌握充分不必要条件、必要不充分条件的概念，（2）会判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件（3）会利用命题的等价性判断充分不必要条件、必要不充分条件2.过程与方法：利用多媒体教学，多让学生举例讨论，教学方法较灵活，学生参与意识强3.情感、态度与价值观：（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力；（2）以及培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力（3）培养学生的竞争于合作的意识，培养他们的良好的思维品质（二）教学重点与难点重点：讲清充分不必要条件、必要不充分条件的概念难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件若命题的条件和结论分别为p和q，若p => q 且q ≠> p则p是q的充分不必要条件，若p => q 且q≠> p则p是q的必要不充分条件（三）教学过程设计1．引入课题问题1：写出下列两个命题的条件和结论，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x > a2 + b2，则x > 2ab（2）若ab = 0，则a = 0有问题1可得出结论充分条件和必要条件的定义：2．定义：命题“若p则q”为真命题，即p => q,就说p是q的充分条件；q是p必要条件命题“若p则q”为真命题“若q则p”为假命题, 则p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件3．例题分析：例1：“a > 2,b > 2”是“a + b > 4”的什么条件？例2：下列“若p则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x = 1，则x2 — 4x + 3 = 0（2）若f(x) = x，则f(x)为增函数（3）若x为无理数，则x2为无理数例3：下列“若q则p”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? （1）若x = y，则x2 = y2（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a > b,则ac> bc例4：已知命题p: {x|-2 < x < 10 },q: x2 — 2x + 1— m2 < 0 (m>o)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数m的范围(四)：小结（1）充分、必要、充要条件的定义。
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第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系；1.2充分条件与必要条件；1.3简单的逻辑联结词；1. 4全称量词与存在量词
1.1.1命题及其关系
四种命题之间的关系和命题真假的判断.
教学过
=，则
B B
2
三、情感态度与价
不对。
如：“三角形有两条相等的边”的否定是“三角形没有两条相等的边”而不是“三角形有两条不相等的边”。
3．原命题与逆否命题
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：（原命题为：若p ，则q ）
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（逆命题为：若q ，则p ）
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（否命题为：若非p ，则非q ）
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. （逆否命题为：若非q ，则非p ）
4．四种命题之间的关系：
如右图所示
三．练习领会
1．学生口答例4
【例4】写出命题“若0a =,则
0ab =”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
解：原命题：若0a =,则0ab =是真命题；
逆命题：若0ab =，则0a =是假命题；
否命题：若0a ≠，则0ab ≠”是假命题；
逆否命题：若0ab ≠，则0a ≠”是真命题；
说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.
2．学生完成例5
【例5】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆
成：
启发引导，分析讲解，练习领会。
．充分条件与必要条件
就不成立，故
四边形。
所以：
【生】①定义法；②命题法；③集合法；
都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立； (2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.
【例7】证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．
分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件
证明：必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y += 则0x =，0y = 即0xy = 故0xy =是220x y +=的必要条件
不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠
故0xy =是220x y +=的不充分条件
综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．
三角形
1．了解含有“且”“或”“非”的命题的含义；
2．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系。
1．通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。
2．通过学习，体会从特殊到一般的探究性学习方法。
通过本节课的学习，体会探索的乐趣，培养学生创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力。
复合命题的真假判断，正确的用“且”“或”“非”表述新命题。
）的构成形式为：p 且{|B x x =B 中的“且”两个条件都要满足的意思．②对“或”的理解：逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别这与并集中的“或”{|B x x =也称为命题}U x A ∉且
7．否定与否命题的关系
“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，而“命题的否定”只是否定命题的结论．
否定
词语
某个 某两个 某些 不能 至少1n +个 原词
语
等于（=） 大于（>） 小于（<） 至少一个 至多一个 否定
词语 不等于（≠） 不大于（≤）
不小于（≥） 一个也没
有 至少两个
2
10,x =>若方程(244x m +()为真”时， D 、使用了逻辑联结词“非”
12sin x x +≥。