02空间几何体的三视图(二)-2019年高考数学考点讲解(三)

重难点展示：一．多面体1、棱柱特征：（1）有两个底面相互平行；（2）其余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

性质：（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

分类：（1）按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱等；（2）按侧棱与底面的位置关系分为：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩斜棱柱正棱柱直棱柱一般棱柱 说明：深刻理解棱柱的特征及性质，才能准确地应对概念题，才能准确地判断棱柱中的线线、线面、面面关系。

2、棱锥特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形。

一般棱锥的截面性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；（3）棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

掌握正棱锥的概念，特别是其中的几个直角三角形，可求高、斜高、侧棱长等；另外，还要熟悉一条侧棱垂直底面的棱锥，此两点是高考中常见考点。

3、棱台特征：（1）圆棱锥的底面和与其平行的截面分别叫做棱台的下底面、上底面；（2）其他各面叫做棱台的侧面；（3）相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高；由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质：（1）各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；（2）两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；（3）两底面中心两线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；（4）正棱台的上下底面中心的连线是棱台的高；（5）正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。

说明；根据定义可以判定一个几何体的类型，当已知几何体的类型时，根据它的定义又可以说出它的特征性质。

棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间几何体，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形。

因此，棱台的各条侧棱延长后交于一点，即棱台可以还原成棱锥。

二、旋转体圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征圆柱、圆锥、圆台分别可以看作是由矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体，球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体。

说明：圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个封闭的平面图形绕一个轴旋转形成的，要清楚它们分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的特征。

三、三视图1、中心投影与平行投影中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，斜二测画法和三视图都是平行投影，中心投影后的图形与原图形相比改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致。

化实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，多用平行投影。

2、三视图的画法关键是要分清观察者的方向，应从正面、侧面、上面三个方向去观察图形，然后再画它的三视图。

其排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，侧视图与俯视图的宽度一样，简记为“正俯——长对正，正侧——高平齐，俯侧——宽相等。

对于简单几何体的组合体，一定要认真观察，先确定它的基本结构，然后再画它的三视图。

说明：画简单组合体的三视图应注意以下三个问题：（1）确定正视图、俯视图、侧视图的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同。

（2）看清简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置。

（3）画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征。

3、直观图斜二测画法的作图规则可以简要地说成：“画竖直或水平方向放置的线段时，方向、长度都不变，画前后方向放置的线段时，方向与水平方向成045或0135角，长度画成原来长度的一半（仍表示原来长度）”。

说明：1.解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二侧画法的规则，关键是确定直观图的顶点或其他关键点，因此，尽量把定点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。

用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决。

有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解。

2.空间几何体的直观图斜二测画法有三项基本不变。

①原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的共点线，在直观图中仍是共点线。

②原图中的平行线，在直观图中仍是平行线。

③原图中的平行线段（或共线线段）的比，仍等于直观图中对应线段的比。

因此，原图中的全等和相似的关系中直观图中仍然保持不变。

走进高考1．（2018年北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C2.(2018年新课标Ⅰ理)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )A.217B.2 5C.3D.2【答案】B图1 图23.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A B C D【答案】A【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.4．（2018年浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C专题热点透析课标要求学生会画基本几何体的三视图，会判断简单几何体的三视图，能够根据三视图描述出几何体的形状，了解几何体与三视图的展开图之间的关系，三视图是高中新课标的新增内容，也是近年高考数学常考的热点内容。

三视图有助于培养学生的观察能力，空间想象能力、形象思维能力和几何直观能力，对发展空间观念，增强对数学价值的认识起到一定的作用，因而备受高考命题者的青睐。

这类题型多以选择题、填空题为主，只有少数出现在解答题。

对于这部分内容，与立体几何中有关的证明计算问题交汇在一起进行考查已成为高考命题的新热点，如面积、体积、空间角的计算，平行、垂直的证明等，近几年高考对三视图的考查不仅仅是常规几何图形的考查，近几年考查更加多元化，如非常规放置的几何体，组合体，几何体的切割问题，在常规几何体中挖出某一几何体等。

题目灵活，增加了问题的难度，更加能够考查学生的空间想象能力。

如何快速解决这类问题，需要明确这类问题的命题方向。

热点题型分类精热点方向一：三视图与实际图形的互化例1. （2017•广西模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）B分析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力。

例2. （2018淄博模拟）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）分析：沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 解析：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D 不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C 不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B 不正确，故A 选项正确．故选：A ．点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．热点方向二．切割几何体问题例1.（2018•重庆一模）一多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（ ）A. 223B. 233C.6D.7 分析：根据三视图判断出几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．解析：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=11232222111323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ． 点评：本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．根据几何体的形状即可得出几何体的体积。

例2.（2018•贵州模拟）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A. 203B. 163C. 86π-D. 83π- 分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．解析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A ．点评：本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．热点方向三．非常规放置例1. （2018•山东实验中学模拟题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 180B.200C.220D.240解析; 由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．解析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．∴S表面积=2×12×（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．故选D．点评：本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．例2（2018•郑州一模）如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A.15+ C. 30+分析：由已知中三视图可以确定，该几何体是以侧视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和侧面积，即可得到答案．解析：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3=底面积3，故侧面积为：（2+3+2+3）×3=30．∴几何体的表面积为：30+C．点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．热点方向四．组合体例1 （2015•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A. 90cm 2B. 129cm 2C. 132cm 2D. 138cm 2分析：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．解析：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2×12×3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm 2）．故选：D ．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．例2 （2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. 89πB. 827πC. 31)π D 31)π分析：由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．解析：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为133π⨯=；其内接正方体的棱长为x ，则2=3x =，所以正方体的体积为3(327=，所以原工件材料的利用率为：=89π；故选：A ． 点评：本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题． 热点方向五．三视图之间的关系的判断例1. （2018•南昌一模）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ﹣BCD 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A. 1：1B. 2：1C. 2：3D. 3：2分析：由题意确定P 在正视图中的射影到AB 在平面CDD 1C 1上的射影的距离，P 的射影在左视图中到AC 在平面BCC 1B 1三度射影的距离，即可求出正视图与左视图的面积的比值． 解析：由题意可知，P 在主视图中的射影是在C 1D 1上，AB 在主视图中，在平面CDD 1C 1上的射影是CD ，P 的射影到CD 的距离是正方体的棱长； P 在左视图中，的射影是在B 1C 1上，在左视图中AC 在平面BCC 1B 1三度射影是BC ，P 的射影到BC 的距离是正方体的棱长， 所以三棱锥P ﹣ABC 的主视图与左视图的面积的比值为：：=1：1，故选：A点评：本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．方法技巧提炼:（一）掌握三视图的性质是求解关键：主要性质是：主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。