高一数学函数经典习题及答案

高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-((2x-1)+4-x^2)/(x+1)(x+3)-3/(x-1)^22、设函数f(x)的定义域为[-1,1]，则函数f(x-2)的定义域为[-3,-1]；函数f(2x-1)的定义域为[-1/2,1]。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域是[-3/2,2]；函数f(2)的定义域为[1,4]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围为[-1/2,1/2]。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1)(5x^2+9x+4)-2/(x^2+ax+b) (x≥5)⑸y = x-3+1/x+2⑹y = x^2-x/(2x-1)+2⑺y = x-3+1/x+2⑻y = x^2-x/(2x-1)+2⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = (2x+1)/(x-1)的值域为[1,3]，求a,b的值为(-1,5)。

三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x，求函数f(x)和f(2x+1)的解析式为f(x) = x-3x，f(2x+1) = 2x-3x+2.2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x，代入二次函数的通式y = ax^2+bx+c中，得到a = -1/2，b = 0，c = 1，所以f(x) = -(1/2)x^2+1.3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4，代入奇偶性的性质f(-x) = -f(x)，得到f(x) = (3x+4)/4.4、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x) =x(1+1/(x+1))，则f(x)在R上的解析式为f(x) = |x|(1+1/(|x|+1))。

5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = 3x，则f(x) = x，g(x) =3x-x = 2x。

四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴y = x+2/x+3 (单调递增)⑵y = -x^2+2x+3 (顶点为(1,4)，单调递减)⑶y = x-6/x-12 (单调递增)7、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。

8、函数y = (2-x^2-x)/(3x+6)的递减区间是(-∞,-3)和(-1,1)；函数y = 1/(3x+6)的递减区间是(-∞,-2)。

五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的：⑴y1 =(x+3)/(x-5)，y2 = x-5；⑵y1 = x+1/x-1，y2 = (x+1)(x-1)。

答案为⑴。

10、若函数$f(x)=\frac{x-4}{2mx+4mx+3}$的定义域为R，则实数m的取值范围是（）。

答案：B解析：当分母为0时，有$2mx+4mx+3=0$，解得$x=-\frac{3}{2m}$，因此定义域为$R$时，$-\frac{3}{2m}$不能在定义域内，即$-\frac{3}{2m}\leqslant -\infty$或$\frac{3}{2m}\geqslant +\infty$，解得$m\in(0,+\infty)\cup(-\infty,-\frac{3}{4})$，故选B。

11、若函数$f(x)=mx^2+mx+1$的定义域为R，则实数m 的取值范围是（）。

答案：$m\leqslant 4$或$m>-\frac{1}{4}$。

解析：当$m=0$时，函数$f(x)=1$，定义域为$R$；当$m\neq 0$时，函数$f(x)$的判别式$\Delta=m^2-4m4$，故实数$m$的取值范围是$m\leqslant 4$或$m>0$。

又因为当$m=-\frac{1}{4}$时，函数$f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}x+1$的判别式$\Delta=\frac{1}{16}-4-\frac{1}{4}$时函数$f(x)$的定义域为$R$，综上可得实数$m$的取值范围是$m\leqslant 4$或$m>-\frac{1}{4}$。

13、函数$f(x)=\frac{x+1}{x}$的定义域是（）。

答案：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

解析：当$x=0$时，分母为0，因此$x=0$不在定义域内；当$x\neq 0$时，分子分母同号，因此$x\neq 0$时函数有定义。

故函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

14、函数$f(x)=\frac{x+1}{x}$（$x\neq 0$）是（）。

答案：奇函数，且在(0，1)上是减函数。

解析：将$x$替换为$-x$得到$f(-x)=\frac{-x+1}{-x}=\frac{x-1}{x}=-f(x)$，因此函数$f(x)$是奇函数。

当$x\in(0,1)$时，$x>0$且$x+1>1$，因此$f(x)<1$，又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，因此$f(x)$在$(0,1)$上是减函数。

故选B。

15、函数$f(x)=\begin{cases}x+2.& x\leqslant -1 \\ x。

& -1<x<2 \\ 2x。

& x\geqslant 2\end{cases}$，若$f(x)=3$，则$x=$（）。

答案：$x=2$。

解析：当$x\leqslant -1$时，$f(x)=x+2\leqslant 1$；当$-1<x<2$时，$f(x)=x\leqslant 1$；当$x\geqslant 2$时，$f(x)=2x\geqslant 4$。

因此$f(x)=3$时只可能是$x=2$，故选C。

16、已知函数$f(x)$的定义域是$(0,1]$，则$g(x)=f(x+a)\cdot f(x-a)$（$a<0$）的定义域为（）。

答案：$(0,1-|a|]$。

解析：由于$a1$且$x-a>1-2|a|\geqslant 0$，因此$f(x+a)$和$f(x-a)$都没有定义。

综上可得$g(x)$的定义域为$(0,1-|a|]$。

18、把函数$y=\frac{x+1}{x^2+1}$的图象沿$x$轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为（）。

答案：$y=-\frac{x-1}{x^2+1}$。

解析：将函数$y=\frac{x+1}{x^2+1}$的图象沿$x$轴向左平移一个单位，得到函数$y=\frac{x}{(x+1)^2+1}$的图象。

设关于原点对称的图象的解析式为$y=f(x)$，则有$f(x)=f(-x)$，即$f(x)$是偶函数。

由于函数$y=\frac{x}{(x+1)^2+1}$的图象关于点$(1,0)$对称，因此关于原点对称的图象的解析式为$y=-\frac{x-1}{x^2+1}$。

19、求函数$f(x)=\frac{x-2a}{x^2-2ax-1}$在区间$[0,2]$上的最值。

答案：最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-\frac{1}{2}$（$a\neq 0$）。

解析：当$a=0$时，$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$，在区间$[0,2]$上无最值。

当$a\neq 0$时，$f(x)$的导数为$f'(x)=\frac{(x-a)(x+a)}{(x^2-2ax-1)^2}$，令$f'(x)=0$解得$x=a$或$x=-a$，因此$f(x)$在$x=a$和$x=-a$处取极值。

当$x\in(0,2)$时，$x^2-2ax-1>0$，因此$f(x)$的极值只可能出现在$x=0$，$x=2$，$x=a$，$x=-a$这四个点处。

当$x=0$时，$f(x)=-\frac{2a}{-1}$；当$x=2$时，$f(x)=\frac{2-2a}{3}$；当$x=a$时，$f(x)=\frac{1}{2a}$；当$x=-a$时，$f(x)=-\frac{1}{2a}$。

因此$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为$\frac{1}{2}$（当$a>0$时取到），最小值为$-\frac{1}{2}$（当$a<0$时取到）。

20、若函数$f(x)=x-2x+2$，当$x\in[t,t+1]$时的最小值为$g(t)$，求函数$g(t)$当$t\in[-3,-2]$时的最值。

答案：最大值为$g(-3)=1$，最小值为$g(-2)=0$。

解析：当$x\in[t,t+1]$时，$f(x)=x-2x+2=-x+2$，因此$f(x)$在$x\in[t,t+1]$时的最小值为$2-t$。

当$t\in[-3,-2]$时，$[t,t+1]$的交集为$[t,t+1]$，因此$g(t)=2-t$，最大值为$g(-3)=1$，最小值为$g(-2)=0$。

21、已知$a\in R$，讨论关于$x$的方程$x^2-6x+8-a=0$的根的情况。

答案：当$a2$时，方程无实根。

解析：根据判别式$\Delta=36-4(8-a)=4a-8$，当$\Delta>0$时，方程有两个实根；当$\Delta=0$时，方程有一个二重实根；当$\Delta0$时，即$a>2$时，方程无实根；当$4a-8=0$时，即$a=2$时，方程有一个二重实根；当$4a-8<0$时，即$a<2$时，方程有两个实根。

22、已知$1\leqslant a\leqslant 3$，若$f(x)=ax^2-2x+1$在区间$[1,3]$上的最大值为$M(a)$，最小值为$N(a)$，令$g(a)=M(a)-N(a)$，则（）。

答案：$g(a)=\frac{1}{2}(a-1)$，$g(a)$在$[1,3]$上单调递增，最小值为$\frac{1}{2}$。

解析：当$x\in[1,3]$时，$f(x)$的导数为$f'(x)=2ax-2$，令$f'(x)=0$解得$x=\frac{1}{a}$，因此$f(x)$在$x=\frac{1}{a}$处取极值。