最新初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
八年级三角形辅助线作法及答案解析
三角形辅助线作法一.“分角两边作垂线，垂直平分连两端” 例1. 如图，在ABC Rt 中，ACB 90A 30∠=∠=，,BD 平分ABC ∠；若CD 3cm =，求AD 的长度？分析：本题不添辅助线也可以求得AD 的长度，但环节要多，书写的步骤也就较多，浪费时间；若过ABC ∠的平分线AD 的点D 向AB 垂线，根据角平分线的性质可以得出DE CD 3cm ==;在AED Rt 有A 30∠=,所以()AD 2DE 236cm ==⨯=.点评：本题的关键是通过过ABC ∠的平分线AD 的点D 向AB 垂线后，使得DE CD 3cm ==的转换后，使得线段AD 的长度在AED Rt便可轻松求得；真可谓是“分角两边作垂线，线段相等好转换”. 例2.如图所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ． 分析：根据题中条件容易求出B C 30∠=∠=；本题从结论出发自然会想到“在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”这条性质，而这一个“结”，在当我们连结AF 解开了. 略证：连结AF∵AB AC = ,∴B C ∠=∠ ; 又BAC 120∠=,∴B C 120∠+∠= ∴B C 30∠=∠=.∵EF 垂直平分AC ∴FA FC = ∴FAC C 30∠=∠= 又BAC 120∠= ∴BAF 1203090∠=-=∵B 30∠= ∴BF 2AF = ∵FA FC = ∴BF 2CF =点评：本题的关键是通过连结AF ，使得FA FC =的转换后，使得在BAF Rt 中有BF 2AF =，然后进一步证得BF 2CF =；真可谓是“垂直平分两端连，线段相等好转换”.二.“等腰作三线，解答更方便”例. 如图，,AB AE AC AD ==,点B C D E 、、、在同一直线上.求证：BC ED =分析：本题通过证明ABC ≌AED 能证明BC ED =.但本题若作AF BE ⊥更为简捷.略证：过A 作AF BE ⊥，垂足为F .又∵,AB AE AC AD == ∴,BF EF CF DF ==（三线合一）∴BF CF EF DF -=-即BC ED =点评：本题的关键是抓住,AB AE AC AD ==即ABE 和ACD 都是等腰三角形的特点，在等腰三角形的性质中的“三线合一”中的等腰三角形的“底边上的高线与底边上的中线互相重合”，两次推理即可完成推理，这比通过证明三角形全等少了一大半的环节；真是“等腰作三线，解题更方便”. 所谓“作三线” 也就是作等腰三角形底边上的高线或作等腰三角形底边上的中线或作等腰三角形顶角的平分线.三、“图中出现‘T ’字形，连成等腰三角形”例.已知：ABC ∆中，高AD 与BE 相交于点F ,且AD BD =,G I 、分别是 AC BF 、上的点，且AG BI =，H 为IG 的中点. 求证：DH IG ⊥分析：我们学了等腰三角形的“三线合一”后，证明垂直关系又多 了一条途径，本题中的“T ”形（见图中的粗线部分）中，有H 为IG 的中点，若连结DI DG 、，并证明到,根据等腰三角形的“三线合一”的等腰三角形的底边上的中线与底边上的高线互相重合即可证明DH IG ⊥.根据题中的条件能证明DI DG =.略证：连结DI DG 、.∵AD 与BE 是ABC 的BC AC 、的高 ∴AD BC BE AC ⊥⊥、 ∴ADC BEC 90∠=∠=∴EBC C 90DAC C 90∠+∠=∠+∠=， ∴EBC DAC ∠=∠ 于是在BDI 和DAG 中有: AD BD =,EBC DAC ∠=∠,AG BI = ∴BDI ≌DAG ∴DI DG = ∵H 为IG 的中点∴DH IG ⊥(三线合一).点评：本题的关键是在图中出现的“T ”形（见图中的粗线部分）中，有H 为IG 的中点，连结DI DG 、后，非常容易联想到证明DI DG =构成等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一“获得证明.请记住“图中出现‘T ’字形，连成等腰三角形”.四.“线段和差要证好，‘截长补短’不可少”例1.已知：如图，ABC ∆中，,AB AC A 108=∠=,CD 平分BCA ∠交AB 于D .求证：BC CE BD =+分析: 证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补短”的办法来添辅助线来破题.本题采用截长法，若在BC 上截取CE CA =,连结DE 后易证CDE ≌CDA （SAS ）,所以DEC A 108∠=∠= ∴DEB 180DEC 18010872∠=-∠=-= ∵,AB AC A 108=∠= ∴()1B 180108362∠=-= 在BDE 中，BDE 180B BED 180367272∠=-∠-∠=--= ∴BED BDE ∠=∠ ∴BD BE =.由BC CE BE =+可得BC CE BD =+.例2.如图，已知：ABC ∆中，12A ∠=∠，AD 评分ACB ∠求证：AC BC DE =+分析: 证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补 短”的办法来添辅助线来破题.本题采用截长法或补短法均可，下面我们采用“补短法”. 延长CB 至E ,使CE CA =,此时由于有CE CB BE =+,所以AC CB BE =+;由题中的条件容易证明ACD ≌ECD （SAS ）,得出E A ∠=∠;∵,12A 1E 2∠=∠∠=∠+∠∴E 2∠=∠ ∴BD BE =E∴AC CB BE =+.点评：在证明一条线段等于另外两条线段的和差，可以在较长的一条线段上截取一条线段等于和差中其中一较短的一线段，称为“截长法”；在较段的一条线段的延长线上截取一条线段和原线段的和等于和差中较长的一条线段，称为“补短法”. “截长补短”法的核心还是通过辅助线构造全等三角形来转换，上面两例就是这样.真是“线段和差要证好，‘截长补短’不可少”.五.“两边之间夹中线，倍长中线全等见”例.已知：ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，AB 3AC 5==，;求AD 的取值范围？分析:在几何图形中，求一条线段的取值范围，我们自然会联想到三角形的三边之间的关系，而本题的已知的AB 3AC 5==，和要求取值范围的线段AD 并非为同一三角形的三边，所以我们要想办法把这三条线段“搬”到同一三角形中；本题若采取倍长中线的办法可以获得解决.如图，若延长AD 至E ,使DE AD =连结BE ;容易证明ACD ≌EBD （SAS ）, ∴BE AC 5==；在ABE 中，有BE AB AE BE AB -<<+,即：2AE 8<<,又AE AD DE 2AD =+=, ∴,22AD 8<<故1AD 4<<.点评：在几何解答题中，要把分散的条件在图中集中起来（也就是“化归”），常常要通过构造全等三角形来变更有些角或线段的位置，倍长中线是比较重要的途径.请记住: “两边之间夹中线，倍长中线全等见”.。
初二数学图形辅助线常见做法(活动za)
八年级数学培优训练题补形法的应用班级 姓名 分数一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到十足的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形 .补成三角形例.如图，已知为梯形的腰的中点。
证明：△的面积等于梯形面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证：.补成等腰三角形例 如图.已知∠＝°，＝，∠＝∠，⊥，求证：＝分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现＝，再证＝即可。
略证：.补成直角三角形例.如图，在梯形中，∥，∠＋∠＝°，、分别是、的中点，若＝，＝，求的长。
分析：从∠、∠互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长、，要求，需求、。
略解：.补成等边三角形例.图，△是等边三角形，延长至，延长至，使＝，连结、。
证明：＝分析：要证明＝，通常要证∠＝∠，但难以实现。
这样可采用补形法即延长到，使＝，连结。
略证：二、补成特殊的四边形 .补成平行四边形例.如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，并且、、、不在同一条直线上，求证：和互相平分。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形是平行四边形。
略证：图.补成矩形例.如图，四边形中，∠＝°，∠＝∠＝°，＝，＝，求、的长。
分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
略解：.补成菱形例.如图，凸五边形中，∠∠＝°，＝＝＝，＝＝，求其面积 分析：延长、交于，根据题意易证四边形为菱形。
初二辅助线练习题推荐
初二辅助线练习题推荐作为初二学生，在数学学习中，掌握线段的辅助线绘制方法是非常重要的。
辅助线不仅能够帮助我们解题，还能够提高我们的思维能力和解题的灵活性。
下面我将向大家推荐一些初二辅助线练习题，希望对大家的学习有所帮助。
一、平行四边形的辅助线题目1：已知平行四边形ABCD中，AB=10cm, BC=8cm，以点A 为起点，用适当的辅助线绘制的正方形BEFG，连接DG，求DG的长度。
解题思路：首先，我们可以将平行四边形ABCD绘制出来，并连接对角线AC，形成等腰直角三角形ADC。
然后，我们通过画辅助线，将正方形BEFG绘制出来。
最后，连接DG，并求出其长度。
通过这道题目的练习，我们可以锻炼辅助线的运用能力和平行四边形的性质。
题目2：在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，以点A为起点，用适当的辅助线绘制的矩形AEFG，连接CG，求CG的长度。
解题思路：我们可以利用平行四边形的性质，绘制出矩形AEFG，进而连接CG，并求出其长度。
通过这道题目的练习，可以加深对平行四边形及其性质的理解，提高画辅助线的技巧。
二、三角形的辅助线题目3：在三角形ABC中，已知AC=12cm，BC=9cm，以BC为底边，作一个正方形BCDE，连接AE，求AE的长度。
解题思路：我们可以从直角三角形ABC出发，先绘制正方形BCDE，然后连接AE，并求出AE的长度。
这道题目可以帮助我们熟练运用辅助线的方法，加深对三角形性质和直角三角形的理解。
题目4：在三角形ABC中，已知AB=8cm，AC=10cm，以AC为底边，作一个矩形ACDE，连接BE，求BE的长度。
解题思路：我们可以通过绘制矩形ACDE，连接BE，并求出BE的长度。
这道题目可以帮助我们巩固辅助线的方法，加深对三角形的认识，提高解题的灵活性。
三、数形结合的辅助线题目5：在平行四边形ABCD中，已知AD=12cm，同时AB是一条边长为6cm的正方形ABEF的对角线，求平行四边形ABCD的面积。
初二数学梯形中常用的辅助线例题
［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移 1、平移一腰：从梯形的一个顶点 作一腰的平行线，把梯形转化为一个 三角形和一个平行四边形。
（如下图）2、平移两腰：利用梯形中的某个 特殊点，过此点作两腰的平行线，把 两腰转化到同一个三角形中。
3、平移对角线：过梯形的一个 顶点作对角线的平行线，将已知条件 转化到一个三角形中。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为 三角形。
图1图2图3 图4 ［例5］如图5，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
图5（2）证明:△AB F 的面积等于梯形ABCD 的面积。
（3）证明：△AB E 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。
［例10］如图10。
在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE 。
求(1)∠AEB=2∠CBE 。
［例9］如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF //AD ；（2）)AD BC (21EF -=［例8］如图8，在梯形ABCD 中，AB //DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。
中考初中数学几何辅助线大全(很详细版本57页)
中考初中数学几何辅助线大全(很详细版本57页) 祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)中考初中几何辅助线—克胜秘籍祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)等腰三角形祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)1.作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法;2.作一腰上的高;祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)3.过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)2.垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)很简单。
无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。
三角形祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)祝同学们中考取得好成绩,为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量)图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (2)【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 (3)【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线 (4)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (5)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (6)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (7)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线【例3】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，ABC V 是等边三角形，D 是AC 的中点，点F 在AB 上，点E 在直线BC 上，120EDF ∠=︒(1)当点E 与C 重合时，判断ADF △的形状，并说明理由?(2)当点E 在BC 的延长线上时，求证：DE DF =．【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边ABC V 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．若1BD =，3AE =．则CF 的长是．【变式2】（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）如图，等边三角形ABC 中，D 为AC 上一点，E 为AB 延长线上一点，DE AC ⊥交BC 于点F ，且DF EF =．若12AB =，则BF 的长为．【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线【例4】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，在等边ABC V 中，点M 为AB 上任意一点，延长BC 至点N ，使AM CN =，连接MN 交AC 于点P ．(1)求证：MP NP =；(2)作MH AC ⊥于点H ，设AB a =，请用含a 的式子表示PH 的长度．【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF DE =，连接BF ；②如图2，过点B 作BF DE ⊥，交DE 的延长线于点F ，过点C 作CG DE ⊥，垂足为G ．(2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．【变式2】（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D 在AC 上，延长BC 至点E ，使CE AD DF BC =⊥，于点F ．(1)如图①，若点D 是AC 的中点，求证：BF EF =；(2)如图②，若点D 是AC 上任意一点，BF EF =是否仍然成立？请证明你的结论；(3)如图③，若点D 是AC 延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明．【题型5】倍长中线构造等腰三角形【例5】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，若60ACB ∠=︒，44DAC ∠=︒，则求FBC ∠的度数为．【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE ，AE 平分DAB ∠，90D C ∠=∠=︒，32AD BC ==，则线段AB 的长为．【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(1)如图（1），AD 是ABC V 的中线，且AB AC >，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，可证得ADC EDB V V ≌，其中判定两个三角形全等的依据为________．(2)如图（2），在ABC V 中，点E 在BC 上，且DE DC =，过E 作EF AB ∥，且EF AC =．求证：AD 平分BAC ∠．【题型6】截长补短构造等腰三角形【例6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC V 中，40ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，三角形内有一点P ，连接AP ，BP ，CP ，若BP 平分ABC ∠，13BCP ACB ∠=∠，则PAC ∠=．【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在BA 的延长线上，DB DE =，若62BC AE ==，，则线段AD 的长为．【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，ACB △是等边三角形，D 为ACB △外一点，且60ADB ∠=︒，连接CD ，若6,4BD CD ==，则AD 的长为．【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形【例7】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在ABC V 中，6BC =，EF BC ∥，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，CBP ∠的平分线交CE 于Q ．则当12CQ CE =时，EP BP +=．【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，D 为ABC 外一点，BD AD ⊥，B 平分ABC 的一个外角，若2180C BAD ∠+∠=︒，5AB =，3BC =，则B 的长为．【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，AB CD ∥，60BCD ∠=︒，点E 为AD 的中点，若2AB =，6,BC =，8CD =，则BE 的长为．。
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题-周末
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题-周末数学专题——三角形中的常用辅助线常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC 是等腰三角形。
∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。
解题后的思考：①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线。
（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。
初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版)
梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图12、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
图2【变式1】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。
图3【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
图4二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
图5【变式3】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB ⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。
图6四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
初二数学复习常见辅助线 ppt课件
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
初二数学复习常见辅助线
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
初二数学复习常见辅
助线
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
初二数学复习常见辅助线
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
B
A
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
初二数学复习常见辅
助线
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
初二数学复习常见辅
助线
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
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初二数学辅助线常用
做法及例题(含答案)
------------------------------------------作者xxxx
------------------------------------------日期xxxx
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常见的辅助线的作法
总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添. 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线. 三角形中有中线,延长中线等中线。 1．等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形，可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题 ２.倍长中线：倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 ３。角平分线在三种添辅助线 4。垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法"或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长, 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边
三角形
7.角度数为３0、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为3０度
或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30
—60—９0的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可
以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证明全等三角形创造
边、角之间的相等条件。
８。计算数值法：遇到等腰直角三角形,正方形时，或30—6０—90
的特殊直角三角形,或40—6０－80的特殊直角三角形，常计算边的
长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从
而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二
条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一"的性质解
题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.
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DCB
A
E
D
F
C
B
A
2) 例２、如图，△AＢC中，Ｅ、Ｆ分别在AB、AＣ上,DE⊥DF,D是中点, 21 C A FE A 5 / 65 ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 N F C 2 E D A 6 / 66 F E D A N
遇到三角形的中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转" 法构造全等三角形. 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(１)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。（3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠" 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三
角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答
一、倍长中线(线段)造全等
例1、已知，如图△ABC中，AB＝5,AC=3,则中线AD的取值范围是
___＿_____。
解：延长ＡD至E使ＡE＝２AD，连BE,由三角形性质知
AB-BE ＜2AD
试比较BE＋ＣF与ＥF的大小．
解：（倍长中线,等腰三角形“三线合一"法)延长ＦD至G使FG=２
EF,连BG，EG，
显然BG＝FC，
在△ＥＦG中,注意到ＤE⊥DＦ,由等腰三角形的三线合一知
EＧ=EＦ
在△BEG中,由三角形性质知
ＥG〈ＢＧ+BE
故:EF〈BE+ＦＣ
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例３、如图,△ABC中，BＤ＝ＤC=AC,E是DC的中点，求证:AD平分∠BＡE． EDCBA 解:延长AE至G使ＡＧ=2AE，连BG,DＧ， 显然DＧ＝AＣ, ∠GＤC=∠ACD 由于ＤC=ＡＣ，故 ∠AＤC=∠DAC 在△ADB与△ADG中, BD=ＡC=DG,AＤ＝AＤ， ∠ADB=∠ADC+∠AＣD=∠ADＣ＋∠GDC=∠AＤＧ 故△ADB≌△ADＧ,故有∠ＢAD＝∠DAＧ,即ＡD平分∠BAＥ 有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线 例：已知，如图，ＡＢ ＝ AＣ,BＤ⊥AＣ于D, 求证：∠BAC ＝ 2∠DBC 证明:(方法一)作∠BAC的平分线ＡE,交ＢC于E，则∠1 = ∠２
＝ 12∠BＡC
又∵AB = AC
∴AＥ⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 9０
o
∵BD⊥AＣ
∴∠DBC+∠ＡCB = ９0
ｏ
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = ２∠DBC
(方法二）过A作AE⊥BC于Ｅ(过程略)
(方法三)取BＣ中点E,连结AE（过程
略）
⑵有底边中点时,常作底边中线
例:已知,如图,△ABC中，ＡB = AC，D为BC中点,DE⊥AB于Ｅ,DＦ
⊥AC于F,
求证:DE = DF
证明:连结ＡD.
∵D为ＢＣ中点,
E
D
B
D
C
B
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∴BD = CD 又∵AB ＝AＣ ∴AD平分∠ＢAC ∵DE⊥AＢ,ＤF⊥AC ∴ＤE = DF ⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题 例:已知,如图，△ABC中，AB = AＣ,在BA延长线和AC上各取一点Ｅ、F,使AE ＝ AF， 求证:EF⊥BC 证明：延长BE到Ｎ,使AN = ＡB，连结CN,则ＡB = AN = AC ∴∠B = ∠ACＢ, ∠ACN = ∠AＮC ∵∠B+∠ACＢ＋∠AＣN＋∠ＡNC = 180o ∴２∠BCA＋2∠ACN = 1８0ｏ ∴∠BCA＋∠AＣN = 90ｏ 即∠BCＮ ＝ 90o ∴NC⊥ＢC ∵AE ＝ AF ∴∠AEF = ∠AＦE
又∵∠BAC = ∠ＡEＦ +∠AFE
∠BAＣ = ∠ACN ＋∠ANC
∴∠ＢＡC ＝２∠AEＦ = 2∠ANC
∴∠ＡEＦ ＝ ∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
例：已知,如图,在△ABC中，AB = AC，D在AB上,E在ＡC延长线上,
且BD ＝ CＥ，连结DE交BC于F
求证:DF = EＦ
证明:(证法一)过Ｄ作DN∥AE，交BＣ于Ｎ，则∠DNB = ∠
ACB，
∠NDＥ ＝ ∠Ｅ,
∵AＢ = AC,
∴∠B ＝ ∠AＣB
∴∠B =∠DNB
E
B
A
1
N
F
C
B
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∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DＮＦ和△ECＦ中 ∠１ = ∠２ ∠NDF =∠E DＮ ＝ EC ∴△DNＦ≌△ECF ∴DF = ＥF (证法二)过E作EＭ∥AＢ交ＢC延长线于Ｍ，则∠ＥMB =∠B(过程略) ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知,如图，△AＢC中,AB =AＣ，E在AC上,Ｄ在ＢA延长线上，且AD = AE,连结ＤE 求证：DE⊥ＢC 证明:(证法一）过点Ｅ作EF∥BC交AB于F，则 ∠ＡＦＥ =∠Ｂ ∠AEF =∠C ∵AB = ＡＣ
∴∠B ＝∠C
∴∠AFE =∠AEF
∵AD ＝ AE
∴∠AＥD =∠ＡＤE
又∵∠AFE+∠ＡEＦ＋∠AEＤ+∠ＡDE ＝ １8０
o
∴2∠AEF＋2∠AED ＝ 90ｏ
即∠FED = 90ｏ
∴DE⊥FＥ
又∵ＥF∥BC
∴DＥ⊥BC
(证法二）过点D作ＤＮ∥BＣ交ＣＡ的延长线于N,(过程
略）
(证法三）过点Ａ作AM∥BＣ交DE于Ｍ,(过程略)
2
1
M
C
B
MFEDCBA