第46讲 抽样方法、用样本估计总体及正态分布

第46讲抽样方法、用样本估计总体及正态分布

【课程要求】

1．理解随机抽样的必要性和重要性．

2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法；搞清三种抽样的联系与区别．

3．了解分布的意义与作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．

4．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)．

5．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

6．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单实际问题．

7．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

对应学生用书p127

【基础检测】

概念辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．()

(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()

(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()

(4)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()

(5)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．()

(6)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()

(7)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．()

(8)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．()

(9)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．()

(10)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()

[答案] (1)√(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×

(7)√(8)×(9)√(10)√

教材改编

2．[必修3p100A组T1]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

[解析] 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

[答案] A

3．[必修3p 100A 组T 2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

[解析] 设频数为n ，则n

32

＝0.25，

∴n ＝32×1

4

＝8.

[答案] B

4．[必修3p 81A 组T 1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A ．91.5和91.5

B ．91.5和92

C ．91和91.5

D ．92和92

[解析] ∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位数是

91＋92

2＝91.5，

平均数x －＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968

＝91.5.

[答案] A

5．[必修3p 71T 1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民有______人．

[解析] 0.5×0.5×100＝25. [答案] 25 6．[选修2－3p 75B 组T 2]已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c －1)＝P(X

[解析] ∵X ～N(3，1)，∴正态曲线关于x ＝3对称， 且P(X>2c －1)＝P(X

∴2c －1＋c ＋3＝3×2，∴c ＝4

3

.

[答案] 4

3

易 错 提 醒

7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，

得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x －，则m ，n ，x －

的大

小关系为________．(用“<”连接)

[解析] 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m ＝5.5；又5出现次数最多，故n ＝5；

x －＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030

≈5.97. 故n

. [答案] n

8．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1

2

，

则μ等于( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．不能确定 [解析] 当函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对

称性，当函数f(x)＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1

2

时，μ＝4.

[答案] C

【知识要点】 1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中__逐个不放回地__抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都__相等__，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：__抽签法__和__随机数法__． 2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)编号：先将总体的N 个个体__编号__．

(2)分段：确定__分段间隔k__，对编号进行__分段__，当N

n

(n 是样本容量)是整数时，

取k ＝N n

.

(3)确定首个个体：在第1段用__简单随机抽样__确定第一个个体编号l(l ≤k)．

(4)获取样本：按照一定规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号__l ＋k__，再加k 得到第3个个体编号__l ＋2k__，依次进行下去，抽取样本l ＋(n －1)k ，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成__互不交叉__的层，然后按照__一定的比例__从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：当总体是由__差异明显的几个部分组成__时，往往选用分层抽样．

4．分层抽样的步骤

(1)分层：将总体按某种特征分成若干部分．

(2)确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比． (3)确定各层应抽取的样本容量．

(4)在每一层进行抽样(各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)，综合每层抽样，组成样本．

5．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数

在一组数据中出现次数__最多__的数据叫做这组数据的众数； 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在__中间位置__上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(2)平均数与方差

如果这n 个数据是x 1，x 2，…，x n ，那么__x －＝1n ∑n

i ＝1x i __，叫做这n 个数据的平均数；

如果这n 个数据是x 1，x 2，…，x n ，那么__s 2＝1n ∑n

i ＝1

__(x i －x －)2__，叫做这n 个数据

的方差；同时s ＝1n ∑n

i ＝1

（x i －x －）2，叫做这n 个数据的标准差．

6．频率分布直方图

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用__样本的频率分布估计总体的分布__；另一种是用__样本的数字特征(如平均数、标准差等)估计总体数字特征__．

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． ②决定__组距__与__组数__． ③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图．

(3)在频率分布直方图中，纵轴表示__频率

组距

__，数据落在各个小组内的频率用__各小长

方形面积__表示．各小长方形的面积总和等于1.

7．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的__中点__，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加__组距__减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．

8．茎叶图的优点

(1)统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到． (2)茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示． 9．正态分布

(1)函数φ

μ，σ(x)＝2，x ∈R 的图象称为正态分布密度曲线，简称正

态曲线．

对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )≈__??a

b φμ，σ(x )d x __，则称X 的分布为

正态分布，正态分布完全由参数__μ和σ__确定．因此正态分布常记作__N(μ，σ2)__，如果X 服从正态分布，则记为__X ～N(μ，σ2)__．

(2)正态分布的特点：①曲线__位于x 轴上方与x 轴不相交__；②曲线关于直线__x ＝μ__

对称；③曲线在x ＝μ时

；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，

曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越__集中__．

(3)δ原则

①x ∈(μ－δ，μ＋δ)，P(x)＝0.6826； ②x ∈(μ－2δ，μ＋2δ)，P(x)＝0.9544； ③x ∈(μ－3δ，μ＋3δ)，P(x)＝0.9974.

对应学生用书p 128

抽样方法及应用

1 (1)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中

抽取20个作为样本：

①采用简单随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；

②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．

若用这三种抽样方式抽样，每个零件被抽到的概率分别是p 1，p 2，p 3，则p 1，p 2，p 3的值分别是________．

[解析] 由抽样方法的性质知，抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，这个比例只与样本容量和总体有关，即不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15

. [答案] p 1＝p 2＝p 3＝1

5

(2)某学校高二年级为了表彰第一次月考成绩优异者，需要5件不同的奖品，这些奖品要从由1－200编号的200件不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法确定其中一件奖品编号为6，则其他四件奖品编号为__________．

[解析] 根据系统抽样可知，样本容量为5，所以分5组，分组间隔为k ＝200

5＝40，再

根据系统抽样编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 可知，若一件编号为6，则其余四件编号依次为：46，86，126，166.

[答案] 46，86，126，166

[小结]分层抽样、系统抽样的基础知识的课程要求是“了解”和“会”，因此复习时重点在基础知识的了解与简单应用．

1．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余

下的每个个体被抽到的概率为1

3

，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )

A .14

B .13

C .514

D .1027

[解析] 由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为10

28＝

5

14

，故选C . [答案] C

2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

[解析] 由840

42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481，720]的人数为

720－48020＝240

20

＝12.

[答案] B

3．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n 等于( )

A ．54

B ．90

C ．45

D ．126

[解析] 依题意得3

3＋5＋7

×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90.

[答案] B

频率分布直方图及应用

2 某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金

(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；

(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1，2]和(4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

[解析] (1)根据题意有?

???

?16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，

解得?????x ＝80，

y ＝50.

∴p ＝0.4，q ＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示，

(2)根据题意，网购金额在(1，2]内的人数为

2424＋16

×5＝3(人)，记为a ，b ，c.

网购金额在(4，5]内的人数为16

24＋16

×5＝2(人)，记为A ，B.

则从这5人中随机选取2人的选法有：(a ，b)，(a ，c)，(a ，A)，(a ，B)，(b ，c)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，(A ，B)共10种．

记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A)，(a ，B)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)共6种．

∴P(M)＝610＝3

5

.

[小结]1.绘制频率分布直方图时的2个注意点

(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； (2)频率分布直方图的纵坐标是频率

组距

，而不是频率．

2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式 (1)频率组距

×组距＝频率； (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )

A ．56

B ．60

C ．120

D ．140 [解析] 自习时间不少于22.5小时为后三组，其频率和为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，

故人数为200×0.7＝140人．

[答案] D

茎叶图及应用

3 “日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，由于研究性学习

的需要，某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级n 名成员一天行走的步数，然后采用分层抽样的方法按照[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)分层抽取了20名成员的步数，并绘制了如下尚不完整的茎叶图(单位：千步)；已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步．

(1)求x ，y 的值；

(2)若估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[40，50)千步的人数少12人，求n 的值．

[解析] (1)因为甲、乙两班行走步数的平均值都为44，

所以x －

甲＝110×(26＋32＋42＋40＋x ＋45＋46＋48＋50＋52＋53)＝44，解得x ＝6.

所以x －

乙＝110×(26＋34＋30＋y ＋41＋42＋46＋50＋52＋57＋58)＝44，解得y ＝4.

(2)该团队中一天行走步数少于40千步的频率为2＋320＝14，处于[40，50)千步的频率为

8

20＝2

5

， 则估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[40，50)千步的人数的频率之差为25－14＝320.

又因为该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于[40，50)千步的人数少12人，

所以n ×3

20

＝12，解得n ＝80.

5．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )

A ．a 1>a 2

B ．a 2>a 1

C ．a 1＝a 2

D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 [解析] 由茎叶图知，

a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋5

5＝84，

a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋7

5

＝85，故选B .

[答案] B

样本的数字特征

4 甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，x －1，x －

2分别表示甲、

乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有( )

A .x －1＞x －2，s 1

B .x －1＝x －

2，s 1

2，s 1>s 2

[解析] 由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92. 乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93.

∴x －1＝1

8(78＋79＋84＋85＋85＋86＋91＋92)＝85，

s 21＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋0＋0＋(86－85)2＋(91－85)2＋(92－85)2]＝1728； x －2＝1

8(77＋78＋83＋85＋85＋87＋92＋93)＝85，

s 22＝18[(77－85)2＋(78－85)2＋(83－85)2＋0＋0＋(87－85)2＋(92－85)2＋(93－85)2]＝2348， ∴x －1＝x －

2，s 1

[小结]利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．

(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．

6．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． [解析] (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x －甲＝10＋13＋12＋14＋165

＝13；

x －乙＝13＋14＋12＋12＋145

＝13，

s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4； s 2乙＝15

[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2

]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙

，可知乙的成绩较稳定．

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．

正态分布及应用

5 (1)设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，

则P(|ξ|<1.96)等于( )

A ．0.025

B ．0.950

C ．0.050

D ．0.975

[解析] 本题考查变量服从标准正态分布的概率计算．由题意P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.

[答案] B

(2)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm )服从正态分布(165，52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )

A ．683套

B ．954套

C ．972套

D ．997套

[解析] ∵P(155

(3)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

[解析] 利用阴影部分的面积所占正方形的比例，估计落入阴影部分的点的个数． 由P(－1

阴影部分的点的个数为10000×0.3413

1×1

＝3413.

[答案] C

[小结]正态分布的概率计算关键是利用数形结合思想和对称性转化．

7．某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求直方图中a 的值；

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少(结果保留整数)； (3)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(200，12.22)，试计算数据落在(187.8，212.2)上的概率．

(参考数据：若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

[解析] (1)由已知得(0.002＋0.009＋0.022＋a ＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝1， 解得a ＝0.033.

(2)众数＝195＋205

2

＝200；

由前三组频率之和0.02＋0.09＋0.22＝0.33<0.50， 前四组频率之和为0.33＋0.33＝0.66>0.50， 故中位数位于第四组[195，205)内， 中位数估计为195＋0.50－0.33

0.033

≈200.

(3)因为Z ～N(200，12.22)，从而P(187.8

对应学生用书p 131

1．(2017·全国卷Ⅲ理)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平衡 [解析] 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A 错误．

[答案] A

2．(2017·全国卷Ⅰ理)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X ≥1)及X 的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii )下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸； 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得x －＝116∑16i ＝1x i ＝9.97，s ＝116∑16i ＝1 （x i －x －）2＝116（∑16i ＝1

x 2i －16x －2

）≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)

用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^

，利用估计值判断

是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ

[解析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，分析可知X ～B(16，0.0026)．因此P(X ≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.

X 的数学期望为EX ＝16×0.0026＝0.0416.

(2)(i )如果生产状态正确，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． (ii )由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^

＝0.212，由样本数

据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1

15

(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估计值为10.02.

∑16

i ＝1

x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^

)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 1

15

(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09.