2-第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结

章末总结

1.(2018课标全国Ⅰ,2,5分)已知集合A={x|x 2-x-2>0},则?R A=( ) A.{x|-1

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

答案 B 解不等式x 2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2}, 所以可以求得?R A={x|-1≤x≤2},故选B. 2.(2017上海,3,5分)不等式x -1

x

>1的解集为 .

答案 {x|x<0} 解析 由

x -1

x

>1,得1-1x >1?1

x <0?x<0,所以不等式的解集为{x|x<0}.

3.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c 是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为 . 答案 -1,-2,-3(答案不唯一)

解析 答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c. 4.(2017天津,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b 4+1

ab 的最小值为

.

答案 4

解析 ∵a 4+4b 4≥2a 2·2b 2=4a 2b 2(当且仅当a 2=2b 2时“=”成

立),∴a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab+1

ab ,

由于ab>0,∴4ab+1ab ≥2√4ab ·1ab =4当且仅当4ab=1

ab 时“=”成立, 故当且仅当{

a 2=2

b 2,4ab =1

ab

时,a 4+4b 4+1

ab 的最小值为

4.

5.(2017山东,12,5分)若直线x a +y

b =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 答案 8

解析 由直线x a +y

b =1(a>0,b>0)过点(1,2)可得1a +2

b =1, 所以2a+b=(2a+b)(1

a +2

b )=4+b a +4a

b ≥4+2√b

a ·

4a b =8.当且仅当b a =4a b

,即b=4,a=2时等号成立.

6.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 30

解析 总费用为4x+600

x

×6=4(x +

900

x

)≥4×2√900=240,当且仅当x=

900

x

,即x=30时等号

成立.

7.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)

xy

的最小值为 .

答案 9

2 解析

(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy =2xy+5xy =2+5

xy . ∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2√解得0

xy ≥1

2,∴2+5

xy ≥2+52=9

2,故

(x+1)(2y+1)xy 的最小值为9

2

.

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则( ) A.M>N B.M≥N

C.M

D.M≤N

1.答案 A ∵M -N=(2a 2

-4a+7)-(a 2

-5a+6)=a 2

+a+1=(a +12)2+3

4>0,∴M>N.

2.不等式1x <1

2的解集是( ) A.{x|x<2}

B.{x|x>2}

C.{x|0

D.{x|x<0或x>2}

2.答案 D 1x <1

2可转化为x -2

2x >0,∴x>2或x<0. 3.若0

B.3

2

C.1

D.1

2

3.答案 C 因为00,x(2-x)≤(x+2-x 2)2

=1,当且仅当

x=2-x,即x=1时,取

“=”,故选C.

4.若不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|-2√3} B.{x|-3

C.{x|-1

D.{x|x<-3或x>1}

4.答案 D 由题意知a<0,且-2,1是方程ax 2+bx+c=0的两个根,∴-b a

=-1,c a

=-2,∴a=b,c= -2a.

∴ax 2+(a+b)x+c-a<0等价于ax 2+2ax-3a<0, ∵a<0,∴x 2+2x-3>0,∴x<-3或x>1.

5.已知2x +2

y =1(x>0,y>0),则x+y 的最小值为( ) A.1

B.2

C.4

D.8

5.答案 D ∵x>0,y>0,∴x+y=(x+y)·(2

x +2

y )=4+2(x

y +y

x )≥4+4√x

y ·y

x =8, 当且仅当x y =y

x ,即x=y=4时取等号.

6.已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc>0,若T=1a +1b +1

c ,则( ) A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0

6.答案 B 由a+b+c=0,abc>0,知a 、b 、c 三个数中一正两负,

不妨设a>0,b<0,c<0,则T=1a +1b +1c =ab+bc+ca abc

=ab+c (b+a )abc =ab -c 2

abc . ∵ab<0,-c 2<0,abc>0,∴T<0.

7.当x>4时,不等式x+4

x -4≥m 恒成立,则m 的取值范围是( ) A.m≤8 B.m<8 C.m≥8

D.m>8

7.答案 A ∵x>4,∴x -4>0,

∴x+4

x -4=x-4+4

x -4+4≥2√(x -4)·4

x -4+4=8当且仅当x-4=4

x -4,即x=6时取“=”, ∴m≤8.

8.若不等式x 2+ax+1≥0对一切x>0恒成立,则a 的最小值为( ) A.0

B.-2

C.-52

D.-3

8.答案 B ∵不等式x 2+ax+1≥0对一切x>0恒成立, ∴对一切x>0,ax≥-x 2-1,即a≥-x 2+1

x

成立. 令

y=-x 2+1

x =-(x +1

x ),

∵x+1

x ≥2当且仅当x=1

x ,即x=1时取“=”, ∴-(x +1

x )≤-2,

∴a≥-2,即a 的最小值是-2.

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.对于任意实数a,b,c,d,下列说法中正确的是( ) A.若a>b,c≠0,则ac>bc

B.若a>b,则ac 2>bc 2

C.若ac 2>bc 2,则a>b

D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 9.答案 CD

10.下列不等式中解集是?的是( ) A.x 2+x+1<0 B.x 2-x-1≥0 C.x 2-5x+6>0 D.2x -3

x 2-x+1>1

10.答案 AD

11.若a 、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b≥2√ab C.1a +1

b >

√ab

D.b a +a

b ≥2

11.答案 AD ∵a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 正确; 对于B 、C,当a<0,b<0时,明显错误;

对于D,∵ab>0,∴b a +a

b ≥2√b

a ·a

b =2(当且仅当b

a =a

b 时,取等号),∴D 正确. 12.若关于x 的不等式(1+k 2)x≤k 4+4的解集为M,则对任意实数k,总有( ) A.0∈M

B.2∈M

C.0?M

D.2?M

12.答案 AB 由题意,得M={x |x ≤k 4+4k 2+1

},

∵

k 4+4k 2

+1

=

k 4-1+5k 2

+1

=k 2-1+

5

k 2

+1

=k 2+1+

5

k 2

+1

-2≥2√5-2>2当且仅当k 2+1=

5

k 2

+1

时,取等号,

∴2∈M,0∈M.

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知a,b∈R,则a

b 同时成立的条件是 . 13.答案 a<0

解析 若ab<0,由a1

a ,则1a <1

b ;若ab>0,则1a >1

b . 所以a

b 同时成立的条件是a<0

14.已知全集U=R,集合A={x|3≤x<7},B={x|x 2-7x+10<0},则?R (A∩B)= . 14.答案 {x|x<3或x≥5}

解析 由题意知,集合B={x|2

∴A∩B={x|3≤x<5},∴?R (A∩B)={x|x<3或x≥5}.

15.已知关于x 的不等式x 2-ax+2a>0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是 . 15.答案 0

16.某公司租仓库,每月租房费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km 处租仓库,那么租房费用和运输费用分别为

2万元和8万元.当仓库租在离车站 km 处时,两项费用之和最小,最小值为 万元. 16.答案 5;8

解析 设车站到仓库的距离为x km,租房费用为y 1万元,运输费用为y 2万元,由题意得y 1=k

1x ,y 2=k 2x,∵x=10时,y 1=2,y 2=8,∴k 1=20,k 2=4

5,∴费用之和y=y 1+y 2=20x +4x

5≥2√20

x ×

4x

5

=8,当且仅当20x =4x 5,即x=5时取等号.即当仓库租在离车站5 km 处时,两项费用之和最小,最小为8万元.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):

(1){x (x +2)>0,

x 2

<1;

(2)6-2x≤x 2-3x<18. 17.解析 (1)原不等式组可化为{x <-2,

-10,-1

解得0

所以原不等式组的解集为{x|0

x 2-3x <18,

即{x 2-x -6≥0,x 2-3x -18<0,

因式分解得{(x -3)(x +2)≥0,

(x -6)(x +3)<0,

所以{x ≤-2或x ≥3,-3

所以-3

所以原不等式的解集为{x|-3

18.(本小题满分12分)已知a,b,c 都为正实数,且a+b+c=1.求证:(a +1

a )+(

b +1

b )+(

c +

1

c

)≥10. 18.证明 (a +1a )+(b +1b )+(c +1

c ) =(a +

a+b+c

a )+(

b +

a+b+c

b )+(

c +

a+b+c

c

) =4+(b

a +a

b )+(c

a +a

c )+(c

b +b

c )≥4+2+2+2=10, 当且仅当a=b=c=1

3时取等号,

∴(a +1a )+(b +1b )+(c +1

c )≥10.

19.(本小题满分12分)已知“?x∈{x|-1

(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N 是x∈M 的必要条件,求实数a 的取值范围.

19.解析 (1)由题意,知m=x 2

-x=(x -12)2-1

4.

由-1

4≤m<2, 故M={m |-1

4≤m <2}.

(2)由x∈N 是x∈M 的必要条件,知M ?N.易知方程(x-a)(x+a-2)=0的根为a,2-a.

①当a>2-a,即a>1时,N={x|2-a1,

2-a <-1

4

,a ≥2,

解得a>9

4.

②当a<2-a,即a<1时,N={x|a

a <-1

4

,2-a ≥2,

解得a<-1

4.

③当a=2-a,即a=1时,N=?,不满足M ?N.

综上可得,实数a 的取值范围是{a |a <-1

4或a >9

4}. 20.(本小题满分12分)已知ax 2+2ax+1≥0恒成立. (1)求a 的取值范围;

(2)解关于x 的不等式x 2-x-a 2+a<0. 20.解析 (1)当a=0时,1≥0恒成立; 当a≠0时,则{

a >0,

Δ=4a 2-4a ≤0,

解得0

综上,a 的取值范围是0≤a≤1.

(2)由x 2-x-a 2+a<0得,(x-a)[x-(1-a)]<0. 方程(x-a)[x-(1-a)]=0的根为a,1-a. 因为0≤a≤1,

所以当1-a>a,即0≤a<1

2

时,a

当1-a=a,即a=1

2时,不等式可化为(x-1

2

)

2

<0,此时不等式无解;

当1-a

2

综上所述,当0≤a<1

2

时,不等式的解集为{x|a

当a=1

2

时,不等式的解集为?;

当1

2

21.(本小题满分12分)已知函数y=x 2+3

x-a

(x≠a,a为非零常数).

(1)解不等式x 2+3

x-a

(2)设当x>a时,y=x 2+3

x-a

的最小值为6,求a的值.

21.解析(1)不等式x 2+3

x-a

当a>0时,不等式可化为(x+3

a )(x-a)<0,∴不等式的解集为{x|-3

a

当a<0时,不等式可化为(x+3

a )(x-a)>0,∴不等式的解集为{x|x>-3

a

或x

(2)设t=x-a,则x=t+a(t>0),

y=t 2+2at+a2+3

t

=t+a

2+3

t

+2a≥2√t·a2+3

t

+2a=22+3+2a,

当且仅当t=a 2+3

t

,即t=√a2+3时,等号成立,

即y的最小值为2√a2+3+2a.

且2√a2+3+2a=6,解得a=1.

22.(本小题满分12分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产

品的利润y

1与投资金额x的函数关系为y

1

=18-180

x+10

,B产品的利润y

2

与投资金额x的函数关

系为y

2=x

5

.(利润与投资金额单位:万元)

(1)该公司有100万元资金,并已全部投入A、B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A、B两种产品利润总和y表示为x的函数,并写出x的取值范围;

(2)怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?最大利润为多少万元?

22.解析 (1)由题意得,x 万元资金投入A 产品,则(100-x)万元资金投入B 产品, 利润总和y=18-180

x+10+100-x 5=38-x 5-180

x+10

(x∈[0,100]).

(2)∵y=40-(

x+105+180

x+10

),x∈[0,100], ∴由基本不等式得y≤40-2√36=28,当且仅当x+105

=180

x+10,即x=20时取等号.

故分别用20万元和80万元资金投资A 、B 两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.