人口模型预测——数学建模作业

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2014年数学建模论文

第二套

题目：人口增长模型的确定

专业、姓名：土木135

提交日期：2015/7/2晚上

题目：人口增长模型的确定

摘要

对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出参数，即人口净增长率r=0.02222,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.02858和人口所能容纳最大值m x=258.9,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。

关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1 人口记录表

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。

二、问题分析

由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。

三、问题假设

1.假设所给的数据真实可靠;

2.各个年龄段的性别比例大致保持不变;

3.人口变化不受外界大的因素的影响；

4.马尔萨斯人口模型

（1）单位时间的人口增长率r 为常数； （2）将()x t 视为t 的连续可微函数。 5.改进后的模型（阻滞增长模型） (1)人口净增长率r 为变化量。

四、变量说明

()x t t 时刻的人口数量

1790x 初始时刻的人口数量

r 人口净增长率

m x 环境所能容纳的最大人口数量，即()0m r x =

五、模型建立

1．马尔萨斯人口增长模型

t=1790时的人口数为1790x ,在t 到t+Δt 这一时间间隔内，人口的增长为

()()()x t t x t rx t t +?-=?

由于0

()()

'()lim

t x t t x t x t t

→+-=

则得到可建立含初始条件的微分方程'()x t =()rx t ,

1790(1790)x x ==3.9（省略10^6）

其解为(1790)1790()

r t x t x e -=

2．阻滞增长模型

假设人口增长生长率为人口()x t 的线性递减函数，即m x 。

假设自然资源和环境条件所能承受的最大人口容量为m x ，显然，当

m x x =时，

0()m m r x r xr ==-。所以/m s r r =。因此有

()/m r x r rx r =-。于是建立下列微分方程()

'()(1)()m

x t x t r x t x =-， (1790) 3.9x =。把上式化为11

()(1790)m

dx rd t x x x -

=--。分离常数并积分

得到：

(1790)

1790

1(1)m

m

r t x x x e x --=

+-。

六、模型求解 1.马尔萨斯模型求解

参数估计:r 可以用实际数据的线性最小二乘法求解，对于(1790)1790()

r t x t x e -=，直

接求解是比较麻烦的，因此在两边取对数，即

1790ln ()ln (1790)x t x r t =+-，记

ln ()x t y

=，

1790ln ln3.9 1.36

x ===a 。则原方程化为(x) =

3.9*exp(r*(t-1790))。利用1790—1900年的数据进行拟合， 得到r=0.02142.所以也能求出方程程序见附录1。但本题还可以应用matlab 里的cftool 工具箱求参数，在命令行中输入得到更精确的解： General model:

f(x) = 3.9*exp(r*(t-1790))

Coefficients (with 95% confidence bounds): r=0.02222(0.02163,0.02281)

得到如图所示结果，其中蓝线表示马尔萨斯人口模型预测人口数据，正方形黑点表示实际人口数据。

图1.马尔萨斯人口模型与实际人口数据

则每隔

10

年预测人口为:

1990332.1

x =,

2000412.8

x =,