第6章 一阶动态电路分析
《电路原理》第五版习题解答_邱关源_罗先觉(第六章)
能跃变．
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
4. 初始条件(initial condition) 概念：
初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值
独立变量：变量及其初始值不能用其它变量 和初始值求出．如，uC和iL
非独立变量：变量及其初始值可以用独立变 量和初始值求出．指电路中
uL
L
di dt
us（t）
R+
uL L
di
–
Ri L dt uS (t)
若以电感电压为变量：
R L
uLdt uL uS (t)
R L
uL
duL dt
duS (t) dt
一阶
电路
有源 电阻 电路
一个 动态 元件
Ri uL uc uS (t)
i C duc dt
uL
L
di dt
＋
uS（t） －
第六章
一阶电路
(First-Order Circuits )
本章重点
动态电路方程的建立及初始条件的 确定
一阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应求解
主要内容
动态电路的方程和初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应
一、动态电路的方程和初始条件
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间，电容 C 充电完毕，电路达到新的稳定
状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
电路分析基础(金波)1-6章 (6)
(6-16)
第6章 一阶电路 串联电容的等效电容为
1 1 1 1
Ceq C1 C2
Cn
(6-17) 等效初始电压为
u(0)=u1(0)+u2(0)+…+un(0)
(6-18)
第6章 一阶电路
自测题6-1 电路中的储能元件是指
(Ａ) 电阻元件 (Ｂ) 电感元件 (Ｃ) 电容元件
【例6-3】 一个电容元件如图6-5所示。电容C=4 μF，已 知t=0时，uC(0)=0，iC=2 A，求t=20 ms
第6章 一阶电路 图6-5 例6-3的电路
第6章 一阶电路
解 电容电压为
uC
uC (0)
1 C
0t iCdt
1 C
2t
uC (20
ms )
2 20103 C
0.04 C
V
电容的储能为
第6章 一阶电路 图6-7 电感元件串联
第6章 一阶电路 并联电感有相同的电压，每个电感元件的电流为
i1
1 L1
t
0
udt
i1(0) ，i2
1 L2
0t udt
i2 (0) ，i3
1 L3
t
0
udt
i3(0)
总电流为
i
i1
i2
i3
(1 L1
1 L2
1 L3
)0t
udt
i1(0)
i2 (0)
i3(0)
即电容量的大小是电容极板上的电荷与所加电压之比。 其中, q为电荷，当C 设电容元件端电压和电流为关联参考方向，则有
(6-7)
iC
C
duC dt
上式表示电容元件的伏安关系，电容电流是与其电压的变
动态电路
当C用法拉、R用欧姆为单位时，RC的单位为秒，这
是因为：欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=欧·秒/欧= 秒。
电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小。 RC电路的零输入响应是由电容的初始电压U0和时间
常数 =RC所确定。
11
RL电路零输入响应
设在t＜0时开关S1与b端相接，S2打开，电感L由电 流源I0供电。设在t=0时， S1迅速投向c端，同时， S2闭合，电感L与电阻相联接。
t0
15
练习题6-6
在t=0时，开关由a投向b，已
知在换路前瞬间，电感电流为
1A。试求t＞0时各电流。
解：在t=0时， I0 1A
电路的等效电阻为
R0
10 10 20
10 10 20
10
时间常数
L 1 s
R 10
电感上电流和电压 iL t I 0e t / e 10t
按指数规律衰减的，在没有外施电源的条件下，原有 的贮能逐渐衰减到零。
在RC电路中，电容电压uC总是由初始值uC(0)单调地 衰初减始到值零iL(，0)时单间调常地数衰减=到RC零；，在其R时L电间路常中数，=iLL总/R是。由
特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。 在电路理论中固有频率用来表明网络的固有性质。
强制响应 稳态响应
| duC I S
dt 0 C 随着电容电压的逐渐增长，流过电阻的电流uC/R也
在逐渐增长，因为总电流是一定的，流过电容的电流 将逐渐减少。到后来几乎所有的电流都流过电阻，电 容如同开路，充电停止。
18
电容电压末态
最终电容电压几乎不再变化，电容电压 duC 0 dt uC RIS
一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路的三要素法一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。
三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。
在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。
在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。
2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。
3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。
4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：\[V_L-V_s=0\]其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。
接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，\(dt\)是时间微分。
将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。
最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。
一阶动态电路的分析
一阶动态电路的分析作者：刘永军来源：《科技资讯》 2015年第11期刘永军（南京六合中等学校江苏南京 211500）摘要：动态电路的分析，是中职《电工基础》教学中的一个难点。
在学习过程中，应从基本概念入手，理解电路中瞬态过程出现的原因，掌握换路定律，正确建立暂态、稳态时的电路模型，牢记“三要素”公式，通过典型实例，举一反三，逐步掌握一阶动态电路的分析方法。
关键词：瞬态过程换路定律三要素中图分类号：TM13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）04（b）-0248-011 电路中的瞬态过程1.1 电路中的瞬态过程及其成因通过图1所示实验电路，观察开关S闭合后，规格相同的三只白炽灯的发光情况。
S闭合后，D1立即发光；D2由暗变亮；D3由亮变暗，最终熄灭。
此种现象说明：含有电阻支路的白炽灯从不亮到亮不需要时间，含有电容支路的白炽灯由亮到不亮需要一定的时间，含有电感支路的白炽灯由不亮到亮需要一定的时间。
白炽灯的亮与不亮都是稳态。
由上述实验电路可见，电路中由一种稳态到达另一种稳态，也可能需要一定的时间，这一过程称为瞬态过程（暂态过程）。
显然，实验中纯电阻支路没有瞬态过程，而含有动态元件（电容或电感）支路有瞬态过程，这是为什么呢？对于电感元件，其自感电压，若电感被充磁到一定的电流而不需要时间，则，其功率为；对于电容元件，其充放电电流，若电容被充电到一定电压而不需要时间，则，其功率为。
不管是电容充电还是电感充磁，都是其他形式的能转变成电场能或磁场能，而根据能量守恒，没有无穷大的能量来转变，故电容充电到一定电压或电感充电到一定电流，一定需要时间，即电容的端电压不能突变，电感的电流不能突变，而是有瞬态过程出现。
1.2 换路定律2 一阶动态电路的分析只含有一个动态元件的电路，换路后，任一元件的电压或电流的变化规律均可以采用三要素公式法求解，即2.1 初始值的求解所谓的初始值即换路后瞬间的值，因电容的电压和电感的电流不能突变，故它们的初始值应根据时的等效电路分析，再利用换路定律求解，这两个初始值常称为独立初始值；对于电容的电流、电感的电压及电阻的电压和电流，它们均是可以突变的，称为非独立初始值，它们必须根据时刻的等效电路来求解。
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
一阶电路
C
t = 0+时刻
1 t uC (0 ) i ( )d C 0 0 1 0 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d C 0
1 C
1 i( )d C
t 0
i ( )d
当i()为有限值时
uC (0+) = uC (0－) q (0+) = q (0－)
例
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
+
i
R1 R2 0
i U S ( R1 R2 )
us
-
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →) R + Us
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
+u – IS
LLeabharlann RK(t=0)C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
R
RI S iC (0 ) I s 0 R
100 K
100
200V
200 i L (0 ) i L (0 ) 1A 200 100 uC (0 ) uC (0 ) 100V
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
电路分析基础第六章(李瀚荪)
t
t0
t U S uC 1 解二： iC [U S U S (1 e )] R R t US e , t0 R
二、RL电路的零状态响应 t=0
iR
R IS
iL
L
+ uL _
已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0 解：１. 定性分析
1. 定性分析
① t＜ 0 —充电 ② t = 0 —换路
③ t≥0 —放电
2. 定量分析
建立图(b)电路的一阶微分方程
u R uC 0
齐次方程通解： 根据初始条件 其解为：
duC RC uC 0 dt
uC (t ) Ke
uC (0 ) Ke
t RC
st
1 S=－ RC
= 18e- 2500tV 18e- 2500t 6 ? 4 9
(t ? 0) 3e- 2500t A(t > 0)
uC (t ) 6 i1 (t ) = ? R 3+ 6
例3： 已知i (0 +) = 2A 求：i(t) , u(t) , t ≥ 0 3
i
0.5u
1
4H
+ u
_
u 3i (0.5u i) 1
t
6e 20 t V
( t 0)
duC U 0 t 6 20 t iC ( t ) C e e dt R 10 103 0.6e 20 t m A ( t 0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电
流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
引例：求图示电路的一阶微分方程。