2018秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(第2课时)练习题(新版)北师大版
配套K122018秋九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定(第1课时)练习
1.2 矩形的性质与判定
基础导练
1．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
2．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB 的长是（）
A．12 B．22 C．16 D．26
3．如图所示，在矩形ABCD中，∠D BC=29°，将矩形沿直线BD
折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）
A．29° B．32° C．22° D．61°
能力提升
4．如图所示，在矩形ABC D中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥B D，交AB的延
长线于点E，求证：AC=CE．
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC
边上的点F处，求CE的长．
参考答案
1.D 2．C 3.B
4.提示：证四边形BDCE是平行四边形，得CE=•BD=A C
5.3。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习(解析版) (5)
矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，C A．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABC D．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥B D．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=B D．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3∴S=AB•AD=3×3=9．矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=A C．∵DB=AC，∴DB=E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PC D．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PC D．矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一、填空题：1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。
九年级数学（上）单元测试卷 第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）
【新北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 244. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 139.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 1611.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A. 1B.C. 4-2D. 3-4二.填空题：（每小题3分共12分）13.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.15.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为__________.16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.三.解答题：（共52分）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．18.已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．于点F，且，连接BF．证明：；当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．20.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是不正确⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来.⑵请你给出本题的证明过程.21.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．23.如图，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对角线相等，错误.③菱形也两个角相等，错误.④正确．所以选C.2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°【答案】B【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴S菱形=.故选A.4. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD【答案】D【解析】A、不能，只能判定出是平行四边形；B、不能，只能判定出是矩形；C、不能，只能判定出是菱形；D、能，由OA=OB=OC=OD可判断出四边形ABCD是矩形，再根据AC⊥BD，可判断出矩形ABCD 又是菱形，所以可判断出四边形ABCD是正方形，故选D.6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等【答案】B【解析】根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对边平行且相等、对角线相等、对角线互相平分，但矩形的对角线不互相垂直，故选B．7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 13【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠BAD=90°，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠BDA=30°，∴BD=2AB=10.故选B.9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.【解析】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，∴菱形的面积为：（cm2），设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.故选B.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 16【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得：AD=2+6=8，根据折叠图形的性质可得：AB=2，然后根据矩形的面积计算公式求出矩形的面积.11.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】DE BF,AF EC,EGFH是平行四边形，E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，1∴EGFH是菱形。
1.2 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
讲授新课
知识点1 矩形的性质与判定综合运用
例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， A
D
∴四边形OCED是平行四边形.
O
E
∵四边形ABCD是矩形，
B
C
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩 形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
AFE DCE,
在△AEF和△DEC中，AEF DEC,
AE DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的 形状，并证明；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
到四边形EFGH是什么四边形？
E
B
解：连接AC，BD.
A
∵点E，F，G，H为各边中点，
F
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC,
2
2
D
G
H C
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
数学：1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(第2课时)同步练习(苏科版九年级上)
1.3.2 矩形的性质作业
班级 姓名 学号 等第
1.如图，EF 过矩形对角线的交点O ，且分别交ABCD 于EF ， 那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的（ ）
A .51
B .
41 C .31 D .10
3 2.在矩形ABCD 中, ∠AOB =120°,AD =3,则AC 为( )
A . 1.5
B . 3
C . 6
D . 9
3.直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6,则它的面积是_______________.
4.已知,如图,矩形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥BD 于F . 求证:BE =CF .
5.已知,如图.△ABC 中,BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,点M 、N 分别是BC 、DE 的中点. 求证:MN ⊥DE
B
C
6.如图 在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，点F 在边BC 上， ① 如果FE ⊥AE ，求证：FE =AE ．
②如果FE =AE ，你能证明FE ⊥AE 吗？请证明.
选做题：
※7.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
※8．矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD ⊥于E ，若13OE ED =∶∶
，AE 则BD = ．
7
5125
13514
5
A D
B
C E
F
P。
矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级上册数学
方法归纳交流 对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
合作探究
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且 BE＝CF，AF＝DE.
求证:(1)△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形.
合作探究
证明:(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF ＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.又∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE(SSS).
合作探究
(2)证明:∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∵DE是∠BDC的角平分线， ∴DE⊥BC. ∴∠DEC＝90°， ∵∠CFD＝90°，∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形.
(2)摆放成四边形(如图2)； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格.
预习导学
你能说明其中的道理吗？ 操作活动:学生画矩形. 问题:大家平时是如何画矩形的呢？请利用手中的三尺或圆 规在白纸上画出一个矩形. 1.你的矩形是如何画出来的？(学生交流各自画法) 2.你画出的四边形一定是矩形吗？说明理由.
预习导学
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180° 得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为 60 度时，四边形 ABFE为矩形.
合作探究
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相等，则下列条 件能判定四边形ABCD为矩形的是( B )
A.BA＝BC B.AC、BD互相平分
合作探究
方法归纳交流 条件探索类的问题，一般是把结论当作题设，反向推导出 与问题相关的结论.
合作探究
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
九年级数学上册第1章-1.2-第1课时 矩形的概念及其性质
课前预习
(一)知识探究 1. 有一个角是 直 角的平行四边形叫做矩形． 2. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．两条对称轴分 别是过两组对边 中中点点 的直线．
3. 矩形的四个角都是 直 角． 4. 矩形的对角线 相相等等 ． 5. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一一半半 ．
(二)预习反馈
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的概念及其性质
教学目标
1. 理解矩形的概念及其性质，并能利用其性质解决与矩 形有关的计算和证明题．(重难点)
2. 理解直角三角形斜边中线的性质，并能利用这一性质 解决有关问题．
3. 借助全等三角形，等腰三角形及勾股定理等解决矩形 问题．
1. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是( D )
A. 对角线平行且相等
B. 对角线互相平分
C. 任意两个邻角互补
D. 对角互补
2. 在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为斜边 AB 的
中点，如果 CD＝3，那么 AB 的长是( C )
A. 1.5
B. 3
C. 6
D. 12
3. 已知一矩形长 3 cm，宽 2 cm，则它的对角线长 13 cm.
课堂小结
【思路点拨】首先判定四边形 ADCE 是平行四边形，由 直角三角形斜边上的中线的性质判定该平行四边形的邻边相 等，即可证得四边形 ADCE 是菱形．
解：四边形 ADCE 是菱形．理由如下：∵AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形 ADCE 是平行四边形． ∵在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，∴CD ＝AD， ∴四边形 ADCE 是菱形．
3. 如图，Rt△ ACB 中，D 为 AB 边中点，连接 CD，若 ∠ABC＝55°，则∠ACD＝ 35° ．
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1
1.2 矩形的性质与判定
基础导练
1.下列识别图形不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
3.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）
A. 15cm B. 30cm C. 45cm D. 90cm
能力提升
4．如图所示，在矩形ABCD中，AC和BD是两条对角线，若AE⊥BD于E，
∠DAE=2∠BAE，则∠EAC=________．
5.如图，P是 ABCD的边的中点，且PB = PC. 求证：四边形ABCD是矩形.
P
DCA
B
图3-13
2
参考答案
1.C 2.C 3. B 4.30°
5.提示：证∠A =∠D =∠ABC = 90°