程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础)
数字信号处理教程第四版答案
z2 x (n ) [z ]z 0 8 1 (z )z 4
当n 0时，围线内部没有极点 ，故x(n) 0
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
n
z2 部分分式法： X(z) 1 z 4 X(z) z2 A1 A2 故 1 1 z z (z )z z 4 4
数 字 信 号 处 理
第二章 z变换与离散时间傅里叶 变换(DTFT)
2.2 z变换的定义与收敛域
序列x(ห้องสมุดไป่ตู้)的z变换定义为：
n x ( n ) z
X ( z)
n
对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合 称为X(z)的收敛域，上式收敛的充分必要条件是满足绝 对可和
1 z2 A1 [(z ) ] 1 7 1 4 (z )z z 4 4 z2 A 2 [z ] 8 1 z 0 (z )z 4
n
7 1 X( z ) 8，| z | 1 1 4 1 z 4
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
1 | z | 4
n 1
jIm[z]
1/4 o
Re[z]
当n 1时，分母中z的阶次比分子中 z的阶次高两阶 或两阶以上，可用围线 外部极点求解
1 (z 2)z n 1 1 n x (n ) [(z ) ] 1 7( ) z 1 4 4 4 z 4
z2 当n 0时，F(z) ，此时围线内部有一阶 极点z 0 1 (z )z 4
1 n x (n ) ( ) u (n ) 2
部分分式法： Z[a n u (n )]
1 ， | z || a | 1 1 az
数字信号处理第四版(高西全)第1章
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示 方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：
x(n) xa (t) tnT＝xa (nT ) - n （1.2.1）
x(n) x(m) (n m) m
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
例如， x(n)＝{－0.0000 ，－0.5878 ，－0.9511，
－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，
0.5878，0.0000}，相应的 n=－5, －4, －3,
序列x(n)的MATLAB表示如下:
in (π 8
n)
0
π 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以P为周期的周期序列。例如, sin(4πn/5), 2π/ω0=5/2, k=2, 该正弦序列是以5为周期的周
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
数字信号处理-原理、实现及应用(第4版) 第四章 模拟信号的数字处理
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论： （1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号； （2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样 三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要 采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。 （3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须 是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见 第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量， 对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复
数字信号处理教程程佩青笔记
数字信号处理教程程佩青笔记（原创版）目录1.教程概述2.信号处理基本概念3.数字信号处理的基本步骤4.常用数字信号处理方法5.应用案例与实践正文1.教程概述《数字信号处理教程程佩青笔记》是一本针对数字信号处理（Digital Signal Processing，简称 DSP）的教程，适用于电子工程、通信工程、计算机科学等相关专业的学生以及从事信号处理领域的研究人员和工程师。
教程以程佩青教授的课堂笔记为基础，结合实际案例和实践，系统地讲解了数字信号处理的基本概念、原理和方法。
2.信号处理基本概念信号处理是对信号进行操作、变换和处理的过程，其目的是提取有用信息、去除噪声干扰，或者将信号转换为更适合分析、传输或存储的格式。
信号可以分为模拟信号和数字信号，其中模拟信号是连续的，而数字信号是离散的。
数字信号处理就是在数字域中对信号进行操作和处理。
3.数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤包括信号采样、量化、零阶保持、编码等。
首先，通过对连续信号进行采样，将其转换为离散信号；然后，对离散信号进行量化，即将信号的幅度转换为数字表示；接着，对量化后的信号进行零阶保持，以保持信号的连续性；最后，对信号进行编码，以便存储或传输。
4.常用数字信号处理方法常用的数字信号处理方法包括滤波、傅里叶变换、快速傅里叶变换、离散余弦变换、小波变换等。
滤波是信号处理中最基本的方法之一，可以用来去除噪声、衰减脉冲响应等；傅里叶变换和快速傅里叶变换是信号的频域分析方法，可以用来分析信号的频率成分；离散余弦变换和小波变换则是信号的时频分析方法，可以用来同时分析信号的时间和频率信息。
5.应用案例与实践数字信号处理在许多领域都有广泛的应用，如通信、音频处理、图像处理、生物医学工程等。
例如，在音频处理中，可以通过数字信号处理方法对音频信号进行降噪、均衡、混响消除等处理，以提高音质；在图像处理中，可以通过数字信号处理方法对图像信号进行滤波、边缘检测、图像增强等处理，以提高图像质量。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.1直接计算DFT的运算量,减少运算量的途径
W40
1
W41
1
X (0) X (1) X (2) X (3)
22
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
2020/4/20
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
W40 1
X2[1]
W41
1
1
X[0] X[1] X[2] X[3]
23
X X
N / 21
x
r 0
2r
r k N
W 2 N /2
N / 21
WNm
x
r 0
2r
r k N
1
WN
/
2
2
N / 21
N / 21
x1
r
W rk N /2
WNk
x2
r
W rk N /2
r 0
r 0
X1k WNk X 2 k
前半部分
后半部分
X k X1k WNk X 2 k
k=1
2020/4/20
图4.1
21
X4点(k)基2X时1(间k) 抽W取4k XFF2 (Tk算), 法k 流 0图,1
X (k 2) X1(k) W4k X 2 (k), k 0,1
N/2 = 4/2 =2
x(0)
X1(0)
x(2) W20
x(1)
x(3) W20
2020/4/20
2点DFT X1(1) 1 X2(0)
X11[0] 2点DFT X11[1]
4X点12[D0] FWT40
2点DFT X12[1] W41 1
数字信号处理程佩青第四版重点总结
数字信号处理教程第四版（程佩青）第一章1 几种典型序列2 求序列的周期性3 线性，移不变，因果，稳定的判断方法4 线性卷积的计算5 抽样定理第三章第四章DIT-FFT 的运算量 直接DFT 的运算量 重叠相加法的步骤:重叠保存法的步骤：第五章IIR 滤波器的基本结构类型：直接型，级联型，并联型，转置型FIR 滤波器的基本结构类型：直接型，级联型，频率抽样型，快速卷积型第七章冲激响应不变法：优点：h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好 保持线性关系：ω=Ω*T线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 缺点：频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器1 脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。
2 频率间关系：ω=Ω*T 从模拟到数字为线性变换3 存在混叠失真（ f >fs 2 时衰减越大，混叠越小）4 不能设计 高通 带阻5 特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置双线性变换法：优点：避免了频率响应的混迭现象缺点：除了零频率附近Ω与ω之间严重非线性 1 S 平面到z 平面是单值映射关系（可以避免混叠失真） 2 频率间关系：)2tan(2wT=Ω 从模拟到数字为非线性变换3 频率预畸（为了克服临界频率点的非线性畸变）4 可以设计任何滤波器考点：设计巴特沃斯双线性滤波器第八章h(n)=h(N-1-n) N 为奇数关于0=w 、π、π2偶对称 （低通 高通 带通 带阻） h(n)=h(N-1-n) N 为偶数关于、偶对称 关于奇对称 （低通 带通）h(n)=-h(N-1-n) N 为奇数关于、、奇对称 （带通 微分器 希尔伯特） h(n)=-h(N-1-n) N 为偶数关于、奇对称 关于偶对称 （高通 带通 微分器 希尔伯特）窗函数法：要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹1 改变N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第6章_6.8-2
jIm(z) Re(z)
|Ha(jW )|
S平面
图2
Z平面
|H(ejw )|
-2π/T -π/T
2020/4/20
π/T 2π/T Ω
-3π
-2π -π
图3 频双线谱性变混换法叠失真
π 2π 3π
11
问题的提出
讨论
1. 若给定了模拟滤波器的参数指标，则可通过增大抽样频
率fs(Ws)来减小混叠失真。
令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应。
2020/4/20
23
例: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足
指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
1
0.7
脉冲响应不变法
Amplitude
3dB
脉冲响应不变法存在频
谱混叠，所设计的DF不满
双线性变换法
2. 若给定的是数字滤波器的参数指标，反推对应的模拟滤波
器的指标，再来进行由模拟滤波器到数字滤波器的设计，则
增大fs(W s)不能减小混叠失真。
这是因为 Ωc= ωc/T，而模拟折叠角频率范围为 [-π/T,π/T]。
随着fs=1/T的增大，该范围也增大了，即模拟滤波器的通带范
围展宽了，即Ωc和T同倍数变化（为了使ω c不变），故总有
双线性变换法
4
问题的提出
采用脉冲响应不变法
上节例题2，利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，
满足
wp=0.2p, w s=0.6p, Ap2dB, As15dB 。
0
-2
DF的频谱有混叠
-4
-6
As = 14.2dB
数字信号处理讲义-信号的抽取与内插
j2πl
X(e M
)
12
M倍抽取后频谱的变换规律
XD(ej)M 1M l01
2πl
j
X(e M )
X (e j
)
扩 M 倍
X
j
(e M
)
周 期 化 2π为
1 M1
2πl
j
X(e M )
M l0
13
证明
~M[k]
M1
1 kl WM
M l0
XD(z)x[kM ]zk
n
x[n]z M
k
n是M的整数倍
1X (ej( )
13 X D (ej )
序列抽取不混叠的条件 X(ej)=0，||>/M15
1 X(ej)
X(ej) 1
1
X(ej()
2XD(ej) 1
2倍抽取产生的频谱混叠
16
抽取和内插的变换域描述
(b) L倍内插
XI(z) xI[k]zk
Ml0
H(z)M1
M l0
1
X(zMWM l )
20
内插等式
x[k ] L
H (z L ) y3[k]
x[k ] H (z)
y4[k] L
Y3(z)X(zL)H(zL) Y4(z)X(z)H(z)LX(zL)H(zL)
21
基本单元的连接
x[k ]
L v1[k] M y1[k] ?
x[k] M v2[k] L
0
3
6
9
k
xD[k]
k
0
1
2
3
5
例： M倍抽取是时变系统。
x[k ]
xD [k], M 2
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章PPT课件
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故系统是线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明 理由。
（1） y(n)=
1 x(Nn－1 k)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
2 / 18
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
对上式进行 DFT 变换有：
即：
，得证。
5．考虑如图 3-1 所示的线性非移（时）变 LSI 系统的互联
图 3-1
（1）试用
和
表示整个系统的频率响应；
12．已知有限长序列{g[n]}、{h[n]}，其中{g[n]}＝{3，2，4}，{h[n]}
＝{2，－4，0，1}。试求：
（1）线性卷积
；
（2）循环卷积
；
（3）基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解：（1）根据已知 g[n]＝{3，2，4}，h[n]＝{2，－4，0，1}，其线性卷积为：
若
，其中
、
分别是 x（n）和 h（n）的 5 点 DFT，
对 Y（k）作 IDFT，得到序列 y（n），求 y（n）。[华东理工大学 2005 研]
（2）根据频率和周期的关系得：
， 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时：
所以采样数据为：
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7．计算有限长时间序列：
4 / 18
圣才电子书
均 N 点 DFT 的值
，
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
。[北京理工大学 2006 研]
即： 帕塞瓦尔（Parseval）定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2．设 DFT[x（n）]＝X（k），求证： DFT[X（k）]～Nx（N－n）。 [华南理工大学 2007 研]
证明：由已知对 DFT[x（n）]求反变换得 x（n）为：
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9.2 课后习题详解
9-1 图9-1所示系统输入为x （n ），输出为y
（n ），零值插入系统在每一序列x （
n ）值之间插入2个零值点，抽取系统定义为
其中
w
（n ）是抽取系统的输入序列。
若输入
试确定下列∞值时的输出y （n ）：
图
9-1解:（1）序列x （n ）的频谱为
根据零值插入系统的性质，可知本题中
I ＝3，由教程（9-3-4）式可知插值后序列x （n ）的频谱为
当
，此时输入序列频谱完全通过防混叠低通滤波器，因此有
w （n ）的频谱为
根据教程（9-2-22）式，可知输出序列对应的频谱为
代入
D ＝5和w （e jw
）可得
因此输 出序列y （n ）为
（2）当
w 1＞3/5π时，由（1）的解答过程可知，为
由于通过截止频率叫w
＝π/5的防混叠低通滤波器后频谱受到压缩，此时w （n
）对应的频谱为
根据教程（9-2-22）式，抽取后输出序列
y （n ）对应的频谱为
因此输出序列y （n ）为
9-2 用两个离散时间系统T 1和T 2来实现理想低通滤波器（截止频率为π/4）。
系统T 1如图9-2（a ）所示，系统T 2如图9-2（b ）所示。
在此二图中，T A 表示一个零值插入系统，它在每一个输入样本之后插入一个零值点；T 表示一个抽取系统，它在每两个输入中取出一个。
问：
（1）T
1相当于所要求的理想低通滤波器吗?
（2）T 2相当于所要求的理想低通滤波器吗?
图9-2
解:（1）对系统T 1，设输入序列
x （n ）的频谱为（其中
w ＞π/4）
则经过T A 零插值系统后的输出信号频谱为
这里I ＝2，所以有
经过理想低通滤波器后信号频谱为
再经过抽取系统T 后输出信号频谱为
其中D ＝2，所以有
对比输入输出信号的频谱，可知输出信号频谱被限制在w ＝π/4范围内，且幅度只相差一个常数，因此T 。
系统相当于所要求的理想低通滤波器。
（2）对T 系统，同样设输入x （n ）的频谱为
其中
w 0＞π/4。
则经过
T
B 抽取系统后的输出信号的频谱为
这里D ＝2，所以有
其中，
当2w 0＜2π－2w 0，即w 0＜π/2时，无频谱混叠此时相当于所要求的理想低通。
当2w 0＞2π－2w 0，即w 0＞π/2时，发生频谱混叠，此时考查[－π，π]之间的频谱，
有
经过截止频率为号的低通滤波器后的频谱为
再经过零值插入系统T A后，输出信号频谱为
最终输出信号频谱为
因此输出信号的频谱能限制在w＝π/4之内，但在通带内对输入信号的频谱有调制作用，因此不能相当于所要求的理想低通滤波器。
9-3 对x（n）进行冲激串抽样，得到
若，试确定当抽样x（n）时，保证不发生混叠的最大抽样间隔N。
解:对y（n）求频谱，得到
可知抽样结果是将为周期延拓。
为了使延拓后的频谱不发生混叠，则要求
其中w k为x（n）的频谱中的最高频率分量，由题意w h＝3/7π。
所以有
因此N max＝2。
9-4 研究一个离散时间序列x（n），由x（n）形成两个新序列x p（n）和x d（n），其中x p（n）相当于以抽样周期为2对x d（n）抽样而得到，而x（n）则是以2对x（n）
进行抽取而得到，即
（1）若x（n）如图9-3（a）所示，画出x（n）和x（n）；
（2）如图9-3（b）所示，画出。