第1章 有理数专题复习讲义：绝对值综合(含答案)
第1章有理数——数轴与绝对值综合专题训练(二)人教版七年级数学上册
第1章有理数——数轴与绝对值综合专题训练（二）1．圆通快递公司员工小明骑车从快递公司出发，先向南骑行4km到达A单位，然后向北骑行2km到达B公司，继续向北骑行5km到达C村，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，向南方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在数轴上表示出A、B、C三地的位置；（2）C学校离A单位有多远？（3）小明一共骑行了多少千米？2．一辆货车从仓库出发去送货，向东走了2千米到达超市A，继续向东走了2.5千米到达超市B，然后向西走了8.5千米到达超市C，继续向西走了5千米到达超市D，此时发现车上还有距离仓库仅1千米的超市E的货还未送，于是开往超市E，最后回到仓库．（1）超市C在仓库的东面还是西面？距离仓库多远？（2）超市B距超市D多远？（3）如果货车每千米耗油0.08升，那么货车在这次送货中共耗油多少升？3．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是；最小值是．应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．4．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．例1：解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或﹣2，即该方程的解为x＝2或x＝﹣2例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图1，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1和3，则|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x＝2．同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为．（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解为．5．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果|AB|＝2，求x的值．（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．6．a、b、c三数在数轴上位置如图，化简+．7．化简或求值：（1）已知：多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6，求：①4A﹣B；②当x＝1，y＝﹣2时，4A﹣B的值．（2）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+c|﹣|a+b|+|c﹣b|．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B 两点间的距离表示为AB，则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB＝；（2）若点A表示﹣2，AC＝4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|＝4，求x的值．9．定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距d＝|x|+|y|．例如：有理数2，﹣5，它们在数轴上所代表的点之间的原点距d＝|2|+|﹣5|＝7．（1）若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为；（2）若A点代表的数字为x（x＞0），B点代表的数字为2﹣x，则AB之间的原点距为．10．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|＝5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．11．云云的爸爸驾驶一辆汽车从A地出发，且以A为原点，向东为正方向．他先向东行驶15千米，再向西行驶25千米，然后又向东行驶20千米，再向西行驶40千米，问汽车最后停在何处？已知这种汽车行驶100千米消耗的油量为8.9升，问这辆汽车这次消耗了多少升汽油？12．如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中a＜0，b＞0．（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点对应的数是．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．①当m＝3，b＞3，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+2010的值；②a＝﹣3．且AM＝3BM时学生小朋通过演算发现代数式3b﹣4m是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）|a|＝；|﹣2b|＝；（2）|a+b|＝；（3）试化简|a﹣b|﹣|2a|+|﹣b|．14．点A，B，C，O在数轴上位置如图所示，其中点O表示的数是O，点A，B，C表示的数分别是a，b，c．（1）图中共有条线段；（2）若O是BC的中点，AC＝OA，AB＝16，求a，b，c的值．15．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A、点B的距离之和为8．请直接写出x的值．x ＝；（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？16．【思考】数轴上，点C是线段AB的中点，请填写下列表格A点表示的数B点表示的数C点表示的数2 6﹣1 ﹣5﹣3 1【发现】通过表格可以得到，数轴上一条线段的中点表示的数是这两条线段端点表示的数的；【表达】若数轴上A、B两点表示的数分别为m、n，则线段AB的中点表示的数是；【应用】如图，数轴上点A、C、B表示的数分别为﹣2x、x﹣4、1，且点C是线段AB 的中点，求x的值．17．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时匀速出发，同向而行时间/秒0 1 5A点位置﹣12 ﹣9B点位置8 18 （1）请填写表格；（2）若两只蚂蚁在数轴上点P相遇，求点P在数轴上表示的数；（3）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值．18．甲、乙两辆汽车在东西走向的公路上行驶，规定向东为正，开始时甲车在西60千米的点A处，乙车在东10千米的点B处，（如图所示），甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为60千米/小时．（1）求甲、乙两车之间的距离（列式计算）；（2）甲、乙两车同时向东行驶，甲车行驶270千米后进入服务区休息10分钟，然后继续向东行驶30千米，乙车一直向东行驶．①求此时乙车到达的位置点C所表示的数（列式计算）；②甲车司机发现自己的手提包丢在服务区，立即调头来取，然后再追赶乙车，当甲车追上乙车时，求乙车到达的位置点D所表示的数（直接写出答案）．。
有理数综合训练(讲义)(含答案)
有理数综合训练（讲义）➢ 课前预习1. 思考下列问题：（1）什么是数轴，数轴的作用有哪些？（2）什么是相反数，怎么找一个数或一个式子的相反数？（3）什么是绝对值，绝对值法则是什么？2. 学习定义概念一般按照“关键词拆解；典型例子；反例或特例；正反面对比”的顺序进行．以相反数为例，请回答下列问题： （1）相反数的定义是什么？ （2）-a 表示什么？-(-a )表示什么？ （3）在数轴上两个相反数有什么特征？ （4）互为相反数的两个数和是多少？（5）“一个数的相反数一定是负数”对吗？请举例说明． （6）“符号不同的两个数互为相反数”对吗？请举例说明．3. 下列说法中正确的是___________．①一个数的绝对值一定是正数； ②只有负数的绝对值是它本身； ③互为相反数的两个数的绝对值相等； ④若|x |=|y |，则x =-y ； ⑤若x =-y ，则|x |=|y |； ⑥若a ＜b ，则|a |＜|b |．4. 下列各式一定成立吗？①22()a a =-； ②33()a a =-； ③22a a -=-； ④33a a =．➢ 知识点睛1. 学习定义概念分以下几个层次：①定义概念中要点拆解（关键词拆解）； ②举例子（什么是，什么不是），举特例； ③概念辨析（正反对比，等价表述，数学表示）； ④固定情景下应用，知识间组合应用； ⑤迁移类比．➢ 精讲精练1. 对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ）A ．-a 2-b 2B ．-aC ．-|a +1|D ．-|a |-12. 如果m n =，那么m ，n 的关系是（ ）A ．互为相反数B ．相等C ．m n =±且0n ≥D ．m 是n 的绝对值3. 已知a ，b 为有理数，下列说法：①若a ，b 互为相反数，则1ab=-；②a 2=(-a )2，a 3=|a 3|；③若a +b ＜0，ab ＞0，则|3a +4b |=-3a -4b ； ④若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ⑤若a +b =0，则a 3+b 3=0； ⑥若|a -b |+a -b =0，则b ＞a ； ⑦|a |-a 的结果必为负数． 其中正确的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知有理数a ，b 满足20ab <，0a b +>，且2a =，3b =，则21(1)3a b -+-的值为__________．5. 如果0＜a ＜1，那么a 2，a ，1a之间的大小关系是（ ）A ．21a a a <<B ．21a a a<<C ．21a a a <<D ．21a a a<<6. 已知a ＜0，-1＜b ＜0，则a ，ab ，ab 2之间的大小关系是（ ）A ．2a ab ab <<B ．2a ab ab <<C ．2ab ab a <<D ．2ab a ab <<7. 若ab ＜0，且a ＞b ，则a ，|a -b |，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞|a -b |＞bB ．a ＞b ＞|a -b |C ．|a -b |＞a ＞bD ．|a -b |＞b ＞a8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示．图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ） A ．x 1＞x 2＞x 3 B ．x 1＞x 3＞x 2 C ．x 2＞x 3＞x 1D ．x 3＞x 2＞x19. 甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12和乙温度计的度数-6对齐，那么此时乙温度计与甲温度计的度数-4正对着的度数是__________．甲乙10. 如图，在数轴上有六个点，且AB =BC =CD =DE =EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．211. 已知M ，N ，P ，R 是数轴上从左往右依次排列的四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN =NP =PR =1，若数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，且3a b +=，则原点可能是（ ） A ．M 或NB ．P 或RC ．M 或RD ．N 或P12. 若m ，n 互为倒数，则mn 2-(n -1)的值为__________．13. 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 到-2的距离是3，则323a cd b m -+--的值为__________．14. 若{a }表示不大于a 的整数，例如：{-2}=-2，{-2.5}=-3，{5.6}=5，则计算{-3.8}×{3.14}-{-4}2÷{-4-3.5}的结果为__________．15. 在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，2a b b ⊕=，当a <b 时，a b a ⊕=，则当x =2时，(1)(3)x x ⊕-⊕的值为__________．16. 某路公交车从起点开始经过A ，B ，C ，D 四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负），例如(7，-4)表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A (4，-8)，B (6，-5)，C (7，-3)，D (1，-4)，则车上乘客最多时有________名．17. 有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的自然数四个，将这四个数（每一个数字用且只能使用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如：对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24．（注意上述运算与4×(1+2+3)=24应视作相同方法的运算）．现有四个数3，6，7，13，可通过算式：_____________，使其结果等于24．18. 请你仔细阅读下列材料，计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法1：按常规方法计算．1203512=3030303030110 =30301 =3301=10⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-÷⎪⎝⎭⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭-原式解法2：简便运算，先求其倒数．原式的倒数为：2112131065302112=(30)31065=303512=10⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭-+-+- 故121121=303106510⎛⎫⎛⎫-÷-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：133125681427⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19.符号f，p分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：f (0) =-1，f (-5) =-6，f (3) =2，f (-3) =-4，…p (12) =-2，p (13-) =3，p (34) =43-，p (23-) =32，…根据以上运算规律，完成下列问题：（1）计算：①f (-4) ×p (53)-1；②p (65-)×f (-35) -42÷p (58-)．（2）已知x为有理数，且f (x)- p (35-)=3×f (-3)，求x的值．20.如图，数轴的单位长度为1．（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？这个点表示的数是多少？（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是__________．（直接写出答案）DCBA21.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，00m mm mm m-<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）（）．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m-2|时，可令m+1=0和m-2=0，分别求得m=-1，m=2（称-1，2分别为|m+1|与|m-2|的零点值）．零点值m=-1和m=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：m＜-1，-1≤m＜2和m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m-2|可分以下3种情况：①当m＜-1时，原式=-(m+1)- (m-2)=-2m+1；②当-1≤m＜2时，原式=(m+1)-(m-2)=3；③当m≥2时，原式=m+1+m-2=2m-1．综上讨论，原式=211312 212m mmm m-+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩≤≥（）（）（）．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x-5|和|x-4|的零点值；（2）化简代数式|x-5|+|x-4|；（3）代数式|x-5|+|x-4|的最小值为________．【参考答案】➢课前预习1．（1）规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴．数轴可以表示数、比较大小、表示距离．（2）只有符号不同的两个数，互为相反数，互为相反数的两个数的和为0．找一个数或一个式子的相反数，只需在这个数或这个式子前面加上负号即可．例如：2的相反数是-2；-3的相反数是-(-3)，即为3；a+b-c的相反数是-(a+b-c)=-a-b+c．（3）在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（1）只有符号不同的两个数互为相反数；（2）-a表示a的相反数，- (-a)表示-a的相反数；（3）在数轴上互为相反数的两个数位于原点的两侧，并且到原点的距离相等；（4）互为相反数的两个数和为0；（5）不一定，负数的相反数是正数，0的相反数是0；（6）不对，比如2和-3．3．③⑤4．①➢精讲精练1．D2．C3．B4．19 35．B 6．B 7．C 8．C 9．10 10．C 11．C 12．1 13．7-或3-14．10-15．3- 16．1617．36713⨯-+ 18．121-，计算过程略 19．（1）①2，②40-；（2）283-20．（1）点B 表示的数是1-，（2）点A ，4-，（3）2或10 21．（1）5和4（2）|x -5|+|x -4|=29(4)1(45)29(5)x x x x x -+<⎧⎪<⎨⎪-⎩≤≥ （3）1．。
第1章--有理数--专题分类训练二--绝对值的非负性及其应用
专题分类训练二绝对值的非负性及其应用教材题源(教材17页作业题A组3题)例题：下面的说法对吗？如果不对，应如何改正？(1)一个数的绝对值一定是正数；(2)一个数的绝对值不可能是负数；(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．解：(1)不对，一个数的绝对值是正数或0；(2)对；(3)对．【方法总结】理解绝对值的定义是解题关键．【知识链接】①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．变式训练1任何一个有理数的绝对值一定(D) A．大于0B．小于0C．不大于0D．不小于0【解析】由绝对值的定义可知，任何一个有理数的绝对值一定大于等于0.题中选项只有D项符合题意．故选D项．变式训练2已知a为有理数，则以下四个数中一定为非负有理数的是(C)A．a B．－a C．|－a |D．－|－a |【解析】根据绝对值的性质，为非负有理数的是|－a |.故选C.变式训练3假设|x|－|y|＝0，则(D)A．x＝y B．x＝－yC．x＝y＝0D．x＝y或x＝－y【解析】∵| x |－| y |＝0，∴| x |＝| y |，∴x＝±y，故选D.变式训练4对于任意有理数a，以下各式一定成立的是(C) A．a＞| a |B．a＞|－a |C．a≥－| a |D．a＜| a |【解析】A、当a＜0时，a＜| a |，故本选项错误；B、当a＜0时，a＜|－a |，故本选项错误；C、不管a为何有理数，a≥－| a |均成立，故本选项正确；D、当a≥0时，a＝| a |，故本选项错误．故选C.变式训练5假设| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数C．a与b异号D．a与b不相等【解析】∵|a|＋| b |＝0，| a |≥0，| b |≥0，∴| a |＝0，| b |＝0，∴a＝0，b＝0.故选A.【方法点拨】当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．变式训练6假设x是有理数，则|x|＋1一定(C)A．等于1B．大于1C．不小于1D．不大于1【解析】∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.故选C.变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是(B)A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数【解析】设这个有理数是a，则根据题意有：|a|＝－a，因此a≤0，即这个有理数是非正数．故选B.变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是(B) A．x＜y B．x＞yC．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较【解析】∵|2 x－3|＋| y＋2|＝0，∴|2 x－3|＝0，| y＋2|＝0，∴x＝，y＝－2，∴x＞y，故选B.变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B) A．0B．1C．2D．3【解析】∵| x－1|≥0，∴当| x－1|＝0时，| x－1|＋2取最小值，∴x－1＝0，解得x＝1.故选B.变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝____；假设| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．【解析】∵| a |＝4，∴a＝±4.∵| x |＝|－2.5|，∴x＝±，根据题意得a－2＝0，b＋5＝0，解得a＝2，b＝－5，∴a－b＝2－(－5)＝2＋5＝7.变式训练11假设|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．【解析】由|a－1|＝－|b＋1|得|a－1|＋|b＋1|＝0，∴a－1＝0，b＋1＝0，解得a＝1，b＝－1，∴－4a b＝－4×1×(－1)＝4.变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成以下问题：(1)| a|＋1有最__小__值__1__；(2)5－|a|有最__大__值__5__；(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；(4)假设|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D) A．1－|a|B．|a＋1|C．|－a|＋|a|D．|a|＋1【解析】当a＝1或－1时，|a|＝1，则1－|a|＝0；当a＝－1时，a＋1＝0，则a a＋1|＝0；当a＝0时，|－a|＝|a|＝0，则|－a|＋|a|＝0；对于任意数a，都有|a|≥0，则|a|＋1≥1，值不能为0.故选D.变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C) A．1B．2C．3D．4【解析】∵|a－b |≥0，∴－|a－b |≤0，∴1－|a－b |≤1，∴a b≤1，∵a，b是非负整数，∴存在(1，1)(1，0)(0，1)3种情况．故选C.变式训练15不管a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B) A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【解析】∵|a|≥0，∴－|a|－2≤－2，∴代数式－|a|－2的值总是负数．故选B.【方法点拨】任意一个数的绝对值都是非负数．变式训练16假设－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．【解析】∵| m－n|≥0，∴－| m－n |≤0，∴当m－n＝0时取最大值，∴m＝n.故m与n的关系是m＝n.变式训练17当式子|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A) A．999B．998C．1997D．0【解析】由已知条件可知，| x－a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1997的距离时，式子取得最小值．∴当x＝1＋1 9972＝999时，式子取得最小值．故选A.【方法总结】观察已知条件可以发现，|x－a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．解：根据题意得，a＋3＝0，b－2＝0，解得a＝－3，b＝2，∴a＋b＝－3＋2＝－1.【方法点拨】根据绝对值的非负性列式求解即可得到a，b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．变式训练19假设|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，∴2 x－4＝0，y－3＝0，解得x＝2，y＝3，∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．变式训练20假设a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a ＋|b|＋c的值．解：∵|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，∴|a－1|＝0，|b＋2|＝0，|c－4|＝0，∴a＝1，b＝－2，c＝4，∴a＋|b|＋c＝1＋2＋4＝7.变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．(1)求a，b的值；(2)求a－b，ab的值．解：(1)∵|2a－6|与|b＋2|互为相反数，∴|2a－6|＋|b＋2|＝0，∴2a－6＝0，且b＋2＝0，∴a＝3，b＝－2；(2)∵a＝3，b＝－2，∴a－b＝3－(－2)＝5，ab＝3×(－2)＝－6.【方法点拨】考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键．变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少？解：(1)式子|x|＋13，当x等于0时，有最小值，最小值是13；(2)式子2－|x|，当x等于0时，有最大值，最大值是2.【方法总结】任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性．利用此性质解决问题即可．。
人教版七年级数学上册第一章《有理数》复习PPT课件
2/ 3 化简（1）-|-2/3|＝___ ；
1/
由绝对值求数
3. 若|a|＝3，则a=____ -1 ±3 ；|a+1|＝0，则a＝____ 若|a+1|＝3，则a＝____ 2，-4
1 4、已知a>0，ab<0，化简|a－b+4|－|b－a－3|=_____ 。
5、若
a a
> ，若 =1，则a____0
×
×
考点二：有理数的分类
一、按整数、分数分类：
整数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
二、按正数、负数分类：
正有理数
正整数
正分数
有 理 数
有 理 数
0 负有理数
分数
负整数 负分数
1、0和正数 叫非负数 2、0和负数 叫非正数
3、0和负整数 叫非正整数
4、0和正整数叫非负整数 也叫自然数
分数 。 5、有限小数和无限循环小数属于_____
下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？ 1、(-4) × 8=8 ×(-4) ab=ba 乘法交换律： 2、[(-8)+5]+(-4)=(-8)+[5+(-4)] 加法结合律：（ a+b)+c=a+(b+c) 2 1 2 1 3、 (6) [ ( )] (6) (6) ( ) 3 2 3 2 分配律： a(b+c)=ab+bc 4、[29×(-5/6)] ×(-12)=29×[(-5/6) ×(-12)] 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5、(-8)+(-9)=(-9)+(-8) 加法交换律： a+b=b+a
乘法三结合 1、积为整数结合 解 题 技 能
【精品讲义】人教版 七年级数学(上) 专题1.3 有理数的加减法(知识点+例题+练习题)含答案
第一章 有理数1.3 有理数的加减法1．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号两数相加，取___________的符号，并把___________相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较___________的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得___________． ③一个数同0相加，仍得这个数． （2）用字母表示有理数加法法则： ①同号两数相加：若a >0，b >0，则a b +=___________； 若a <0，b <0，则a b +=___________． ②异号两数相加：若a >0，b <0，且||||a b >时，则a b +=___________； 若a >0，b <0，且||||a b <时，则a b +=___________； 若a >0，b <0，且a b =时，则a +b =___________． ③a +0=___________． （3）有理数的加法运算律： ①加法交换律：文字语言：两个数相加，交换加数的位置，和___________． 符号语言：a +b =___________． ②加法结合律：文字语言：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和___________． 符号语言：（a +b ）+c =___________． 2．有理数的减法：（1）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的___________． 即a –b =a +（–b ）．（2）对于有理数的减法运算，应先转化为___________，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．（3）有理数减法的三种情况：①减去一个正数等于加上一个负数；②减去一个负数等于加上一个正数；③任何数减去0仍得这个数，0减去一个数等于这个数的相反数．1．（1）相同，绝对值，大，02．（1）相反数 （2）加法一、有理数的加法法则有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0． 3．一个数同0相加，仍得这个数．1）5+8；（2）8+（–21）；（3）102+0．【解析】（1）5+8=13；（2）8+（–21）=–（21–8）=–13； （3）102+0=102．二、有理数的加法运算律加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 表达式：a+b=b+a ．加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变． 表达式：（a+b ）+c=a+（b+c ）（1）交换律；（2）结合律．【答案】（1）a +b =b +a ；（2）（a +b ）+c =a +（b +c ）【解析】根据有理数的加法运算律，可得答案为：（1）交换律：a +b =b +a ；（2）结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）．【名师点睛】在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： （1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； （2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； （3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”； （4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； （5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”．三、有理数的减法法则1．有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数． 字母表示：a –b =a +（–b ）．2．有理数减法法则是一个转化法则，把减数变为它的相反数，从而将减法转化为加法．可见，引进负数后的加减法运算，可以统一为加法运算来解决．1）（–3）–（–7）；（2）11()43--． 【解析】（1）（–3）–（–7）=（–3）+7=4； （2）11()43--=1143+=712． 【名师点睛】运用法则时，应注意“两变，一不变”．“两变”：一是运算符号“–”变为“+”；二是减数变成它的相反数．一不变：被减数和减数的位置不能交换，即减法没有交换律．四、利用特殊规律解有关分数的计算题1．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值． 2．当一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如（–2）+（–1）中–1必须用括号括起来，不要写成–2+–1这样的形式．3．将减法变为加法时，注意“两变”和“一不变”．“两变”即改变运算符号（减变加）和改变减数的性质符号（变为相反数）；“一不变”即被减数和减数的位置不能变换． 4．两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数．5．根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．5231591736342--+-．【答案】原式5231591736342=----++--5231(59173)()6342=--+-+--+-5433(59317)()6664=---++---+3(1717)(2)4=-++-+1014=-114=-．【解析】带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加．【名师点睛】利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性．五、有理数与相反数、绝对值的综合考查1．互为相反数的两个数的和为0． 2．绝对值具有非负性．|x –3|与|y +2|互为相反数，求x +y +3的值．【答案】4【解析】因为|x –3|与|y +2|互为相反数， 所以|x –3|+|y +2|=0，所以|x–3|=0，|y+2|=0，即x–3=0，y+2=0，所以x=3，y=–2．所以x+y+3=3+（–2）+3=4．六、有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1.2，–0.8，2.3，1.7，–1.5，–2.7，2，–0.2，则这8箱橘子的总重量是多少？【答案】1.2+(–0.8)+2.3+1.7+(–1.5)+(–2.7)+2+(–0.2)=1.2–0.8+2.3+1.7–1.5–2.7+2–0.2=(1.2–0.2)+(2.3+1.7+2)+(–0.8–2.7–1.5)=1+6–5=2.则15×8+2=122(千克)．答：这8箱橘子的总重量是122千克．【解析】本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3.5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7.5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．（1）以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗？（2）“志远”修理部距“捷达”修理部多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【答案】详见解析．【解析】（1）能．三家修理部的位置如下图所示．（2）由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4.5–(–3)=4.5+3=7.5（千米）．（3）货车共行驶了|8|+|–3.5|+|–7.5|+|–3|=8+3.5+7.5+3=22（千米）．答：货车一共行驶了22千米．1．一个数加–0.6和为–0.36，那么这个数是A．–0.24 B．–0.96 C．0.24 D．0.962．把+3–(+2)–(–4)+(–1)写成省略括号的和的形式是A．–3–2+4–1 B．3–2+4–1 C．3–2–4–1 D．3+2–4–13．下列算式正确的是：A．（–14)–(+5)=–9 B．0–(–3)=3 C．(–3)–(–3)=–6 D．︱5–3︱=–(5–3) 4．下列结论中，正确的是A．有理数减法中，被减数不一定比减数大B．减去一个数，等于加上这个数C．零减去一个数，仍得这个数D．两个相反数相减得05．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于b6．如果两个数的和是负数，那么这两个数A．同是正数B．同为负数C．至少有一个为正数D．至少有一个为负数7．计算│–4+1│的结果是A．–5 B．–3 C．3 D．58．比–2208大1的数是A．–2207 B．–2009 C．2007 D．20099．绝对值大于1且小于4的所有整数的和是A．6 B．–6 C．0 D．4 10．0–（–2017）=___________．11．计算：5–(–6)=___________．12．计算：–9+5=___________．13．计算：2113()() 3838---+-．1．在下列执行异号两数相加的步骤中，错误的是①求两个有理数的绝对值；②比较两个有理数绝对值的大小；③将绝对值较大数的符号作为结果的符号；④将两个有理数绝对值的和作为结果的绝对值A．①B．②C．③D．④2．在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m，再向东行驶1m，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是A．（–3）–（+1）=–4 B．（–3）+（+1）=–2C．（+3）+（–1）=+2 D．（+3）+（+1）=+43．计算12+16+112+120+130+…+19900的值为A．110099B100．1C99．100D99．4．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、–15m和–10m，那么最高的地方比最低的地方高__________m．5．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e=__________．6．若室内温度是20°C，室外温度是−5°C，则室内温度比室外温度高_______°C．7．计算：–14+23+（–23）．8．计算：(9)(10)(2)(8)(3)+-++---++．9．a=4，b=2018，a b+≠a+b，试计算a+b的值．10．足球循环赛中，红队胜黄队4︰1，黄队胜蓝队1︰0，蓝队胜红队1︰0，计算各队的净胜球数．11．计算：（1）–（–2）+（–3）；（2）（–5.3）+|–2.5|+（–3.2）–（+4.8）．1．（2019•孝感）计算–19+20等于A．–39 B．–1 C．1 D．392．（2019•天水）已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为A．–3 B．–1 C．–1或–3 D．1或–33．（2019•成都）比–3大5的数是A．–15 B．–8 C．2 D．84．（2019•淄博）比–2小1的数是A．–3 B．–1 C．1 D．35．（2019•金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四6．（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为__________．7．（2019•乐山）某地某天早晨的气温是–2℃，到中午升高了6℃，晚上又降低了7℃．那么晚上的温度是__________℃．1．【答案】C【解析】根据加数+加数=和，可得–0.36–（–0.6）=–0.36+0.6=0.24.故选C．【名师点睛】此题主要考查了有理数的加减法，解题的关键是根据加减法的互逆性，把加法转化为减法，再利用减去一个数等于加上这个数的相反数，即可计算，比较简单.2．【答案】A【解析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号，即可将一个加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式，可得+3–(+2)–(–4)+(–1)=+3–2+4–1.故选A．【名师点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，注意将一个加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，必须统一成加法后，才能省略括号和加号．3．【答案】B【解析】根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可知：（–14)–(+5)=（–14）+（–5）=–19；0–(–3)=0+（+3）=3；(–3)–(–3)=（–3）+3=0；︱5–3︱=5–3=2.故选B．4．【答案】A【解析】根据有理数的减法法则依次分析即可判断.A．有理数减法中，被减数不一定比减数大，本选项正确；B．减去一个数，等于加上这个数的相反数，本选项错误；C．零减去一个数，得这个数的相反数，本选项错误；D．两个相反数相加得0，本选项错误；故选A．【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 5．【答案】A【解析】异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.根据数轴可得b的绝对值大于a的绝对值，则和取b的符号.6．【答案】D【解析】因为两个数的和为负数数，所以至少要有一个负数，故选D．【名师点睛】本题考查了有理数的加法法则，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．7．【答案】C【解析】│–4+1│=│–3│=3，故选C．8．【答案】A【解析】–2208+1=–（2208–1）=–2207．故选A．9．【答案】C【解析】绝对值大于1小于4的整数有：±2；±3．–2+2+3+（–3）=0．故选C．10．【答案】2017【解析】0–（–2017）=0+2017=2017．11．【答案】11【解析】5–(–6)=5+6=11．12．【答案】–4【解析】–9+5=–（9–5）=–4．13．【答案】1 2【解析】21132113211311 ()()1 38383838338822---+-=-+-=+--=-=．1．【答案】D【解析】①求两个有理数的绝对值；②比较两个有理数绝对值的大小；③将绝对值较大数的符号作为结果的符号；④将两个有理数绝对值的差作为结果的绝对值；故选D．【名师点睛】本题主要考查的是异号两数相加的计算法则，属于基础题型．理解计算法则是解题的关键．2．【答案】B【解析】由题意可得：（–3）+（+1）=–2．故选B．【名师点睛】本题主要考查了有理数的加法的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键.3．【答案】B【解析】原式=11111 1223344599100 ++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯=111111112233499100-+-+-+⋯+-， =1–1100=99100． 故选B ．【名师点睛】此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．4．【答案】35【解析】最高甲，最低乙，所以最高比最低高()2015201535--=+=.故答案为：35. 5．【答案】–2【解析】因为a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c 是相反数等于它本身的数，d 是到原点的距离等于2的负数，e 是最大的负整数，所以a =1，b =0，c =0，d =–2，e =–1，所以a +b +c +d +e =1+0+0–2–1=–2．故答案为：–2．【名师点睛】本题考查了有理数的基础知识及有理数的加法运算，根据题意求得a =1，b =0，c =0，d =–2，e =–1，再利用有理数的加法法则计算.6．【答案】25【解析】用室内温度减去室外温度，即20–（–5）=20+5=25（°C ），故答案为：25．7．【答案】–14【解析】–14+23+（–23）=–14； 8．【答案】8【解析】原式=[(9)(8)(3)][(10)(2)](20)(12)8++++++-+-=++-=． 9．【答案】a +b 的值为–2014或–2022． 【解析】因为a =4，所以a =±4．因为b =2018，所以b =±2018． 因为a b +≠a +b ，所以=–（a +b ），所以a +b <0．当a =4，b =–2018时，a +b =4+（–2018）=–2014．当a =–4，b =–2018时，a +b =（–4）+（–2018）=–2022．当b =2018时，不符合题意．a b +所以a+b的值为–2014或–2022．10．【答案】红队净胜球数为2；黄队净胜球数为–2；蓝队净胜球数为0．【解析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为该队的净胜球数．三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为：（+4）+（–1）+（–1）=4+（–2）=2；黄队共进2球，失4球，净胜球数为：（+1）+（+1）+（–4）=2+（–4）=–2．蓝队共进1球，失1球，净胜球数为1+（–1）=0．11．【答案】（1）–1；（2）–10.8．【解析】（1）原式=2–3=–1；（2）原式=–5.3+2.5–3.2–4.8=–5.3–3.2+2.5–4.8=–8.5+2.5–4.8=–6–4.8=–10.8．1．【答案】C【解析】–19+20=1．故选C．【名师点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．【答案】C【解析】因为|a|=1，b是2的相反数，所以a=1或a=–1，b=–2，当a=1时，a+b=1–2=–1；当a=–1时，a+b=–1–2=–3；综上，a+b的值为–1或–3，故选C．【名师点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．3．【答案】C【解析】–3+5=2．故选C．【名师点睛】本题考查了有理数加法运算，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．4．【答案】A【解析】–2–1=–（1+2）=–3．故选A．【名师点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．5．【答案】C【解析】星期一温差10–3=7℃；星期二温差12–0=12℃；星期三温差11–（–2）=13℃；星期四温差9–（–3）=12℃；故选C．【名师点睛】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键．6．【答案】2；9【解析】设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b．因为外圆两直径上的四个数字之和相等，所以4+6+7+8=a+3+b+11①，因为内、外两个圆周上的四个数字之和相等，所以3+6+b+7=a+4+11+8②，联立①②解得：a=2，b=9，所以图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9，故答案为：2；9．【名师点睛】此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．7．【答案】–3【解析】–2+6–7=–3，故答案为：–3．【名师点睛】本题主要考查有理数的加减法，正确列出算式是解题的关键．。
(必考题)初中七年级数学上册第一章《有理数》经典复习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)下列各组运算中，其值最小的是（ ）A ．2(32)---B ．(3)(2)-⨯-C ．22(3)(2)-+-D ．2(3)(2)-⨯- A解析：A【分析】根据有理数乘除和乘方的运算法则计算出结果，再比较大小即可．【详解】A ，()23225---=-；B ，()()326-⨯-=；C ，223(3)(2)941=++=--D ，2(3)(2)9(2)18-⨯-=⨯-=-最小的数是-25故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和有理数大小的比较，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 2．(0分)下列说法中，①a - 一定是负数；② a -一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④一个数的平方等于它本身的数是1；⑤两个数的差一定小于被减数；⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A 解析：A【分析】根据正数和负数、绝对值、倒数等相关的性质，逐一判断即可．【详解】①-a 不一定是负数，若a 为负数，则-a 就是正数，故说法不正确；②|-a|一定是非负数，故说法不正确；③倒数等于它本身的数为±1，说法正确；④0的平方为0，故说法不正确；⑤一个数减去一个负数，差大于被减数，故说法不正确；⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数，故说法正确．说法正确的有③、⑥，故选A ．【点睛】本题主要考查有理数的加法、正数和负数、绝对值、倒数，能熟记相关的定义及其性质是解决此类题目的关键．3．(0分)有理数a 、b 在数轴上，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0B ．ab ＞0C ．a ＜bD ．b ＜0C 解析：C【分析】根据数轴的性质，得到b ＞0＞a ，然后根据有理数乘法计算法则判断即可．【详解】根据数轴上点的位置，得到b ＞0＞a ，所以A 、D 错误，C 正确；而a 和b 异号，因此乘积的符号为负号，即ab ＜0所以B 错误；故选C ．【点睛】本题考查了数轴，以及有理数乘法，原点右侧的点表示的数大于原点左侧的点表示的数；异号两数相乘，符号为负号；本题关键是根据a 和b 的位置正确判断a 和b 的大小． 4．(0分)下列有理数大小关系判断正确的是（ ）A ．11910⎛⎫-->-⎪⎝⎭ B ．010>- C ．33-<+D ．10.01->- A 解析：A【分析】先化简各式，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．【详解】 ∵1199⎛⎫--= ⎪⎝⎭，111010--=-，11910>-， ∴11910⎛⎫-->-- ⎪⎝⎭，故选项A 正确； ∵1010-=，010<， ∴010<-，故选项B 不正确； ∵33-=，33+=， ∴33-=+，故选项C 不正确； ∵11-=，0.010.01-=，10.01>，∴10.01-<-，故选项D 不正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．5．(0分)下列正确的是（ ）A ．5465-<- B ．()()2121--<+- C ．1210823-->D ．227733⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭A 解析：A【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．【详解】解：（1）∵5465＞，∴5465-<-，故选项A 符合题意； （2）∵-（-21）=21，+（-21）=-21，21＞-21，∴()()2121--+-＞，故选项B 错误； （3）∵11210=108223---＜，故选项C 错误； （4）∵227=-733--，227=733⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴227733⎛⎫---- ⎪⎝⎭＜； 故选：A ．【点睛】此题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小的方法是解答此题的关键． 6．(0分)如果用＋0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（）.A ．＋0.02克B ．－0.02克C ．0克D ．＋0.04克B 解析：B【解析】－0.02克，选A.7．(0分)一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭米D ．1212⎛⎫ ⎪⎝⎭米C 解析：C【分析】 根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为(12)2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为(12)6米．【详解】∵1-12=12，∴第2次后剩下的绳子的长度为(12)2米；依此类推第六次后剩下的绳子的长度为(12)6米．故选C．【点睛】此题主要考查了乘方的意义．其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．8．(0分)下列说法中错误的有（）个①绝对值相等的两数相等．②若a，b互为相反数，则ab=﹣1．③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数．④任意有理数都可以用数轴上的点来表示．⑤x2﹣2x﹣33x3+25是五次四项．⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小．⑦一个数的相反数一定小于或等于这个数．⑧正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数．A．4个B．5个C．6个D．7个C解析：C【分析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断.【详解】解：①绝对值相等的两数相等或互为相反数，故本小题错误；②若a，b互为相反数，则ab=-1在a、b均为0的时候不成立，故本小题错误；③∵如果a=2，b=0，a＞b，但是b没有倒数，∴a的倒数小于b的倒数不正确，∴本小题错误；④任意有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小题正确；⑤x2-2x-33x3+25是三次四项，故本小题错误；⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故本小题正确；⑦负数的相反数是正数，大于负数，故本小题错误；⑧负数的偶次方是正数，故本小题错误，所以④⑥正确，其余6个均错误．故选C.【点睛】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点，熟知以上知识是解答此题的关键.9．(0分)据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm ．将28nm 用科学记数法可表示为（ ）A ．28×10﹣9mB ．2.8×10﹣8mC ．28×109mD ．2.8×108m B解析：B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】28nm =28×10﹣9m = 2.8×10﹣8m ，所以28nm 用科学记数法可表示为：2.8×10﹣8m ， 故选B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．(0分)有理数a ，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）A ．0ab >B ．b a >C ．a b ->D ．b a < C解析：C【分析】根据数轴可得0a b <<且a b >，再逐一分析即可．【详解】由题意得0a <，0b >，a b >，A 、0ab <，故本选项错误；B 、a b >，故本选项错误；C 、a b ->，故本选项正确；D 、b a >，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查数轴，由数轴观察出0a b <<且a b >是解题的关键． 二、填空题11．(0分)在数轴上，若点A 与表示3-的点相距6个单位,则点A 表示的数是__________．−9或3【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示-3的点的左边时当点在表示-3的点的右边时列出算式求出即可【详解】分为两种情况：①当点在表示-3的点的左边时数为-3−6＝−9；②当点在表示-3的点的解析：−9或3【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示-3的点的左边时，当点在表示-3的点的右边时，列出算式求出即可．【详解】分为两种情况：①当点在表示-3的点的左边时，数为-3−6＝−9；②当点在表示-3的点的右边时，数为-3＋6＝3；故答案为：−9或3．【点睛】本题考查了数轴的应用，注意符合条件的有两种情况，不要漏数．12．(0分)数轴上，如果点 A所表示的数是3 ,已知到点A 的距离等于 4 个单位长度的点所表示的数为负数，则这个数是_______．-7【分析】根据在数轴上点A所表示的数为3可以得到到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是什么再根据负数的定义即可求解【详解】解：∵点A所表示的数是-3到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数解析：-7【分析】根据在数轴上，点A所表示的数为3，可以得到到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是什么，再根据负数的定义即可求解．【详解】解：∵点A所表示的数是-3，到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数为负数，∴这个数是-3-4=-7．故答案为：-7．【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离等3个单位长度的点表示的数有两个．13．(0分)计算：(1)(－0.8)＋1.2＋(－0.7)＋(－2.1)＝[________]＋1.2＝________＋1.2＝____；(2)32.5＋46＋(－22.5)＝[____]＋46＝_____＋46＝____．(－08)＋(－07)＋(－21)(－36)－24325＋(－225)1056【分析】（1）先根据加法的运算律把同号的数相加再根据加法法则计算；（2）先根据加法的运算律把相加得整数的数相加再根据加法解析：(－0.8)＋(－0.7)＋(－2.1) (－3.6) －2.4 32.5＋(－22.5) 10 56【分析】（1）先根据加法的运算律把同号的数相加，再根据加法法则计算；（2）先根据加法的运算律把相加得整数的数相加，再根据加法法则计算．【详解】解：（1）(－0.8)＋1.2＋(－0.7)＋(－2.1)=[(－0.8)＋(－0.7)＋(－2.1)]+1.2=(－3.6)+1.2=－2.4；（2）32.5＋46＋(－22.5)=[32.5＋(－22.5)]+46=10+46=56．故答案为：(－0.8)＋(－0.7)＋(－2.1)，(－3.6)，－2.4；32.5＋(－22.5)，10，56．【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题型，熟练掌握加法运算律和加法法则是解题的关键．14．(0分)计算：5213(15.5)65772⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．0【分析】将同分母的分数分别相加再计算加法即可【详解】原式故答案为：0【点睛】此题考查有理数的加法计算法则掌握有理数加法的运算律：交换律和结合律是解题的关键解析：0【分析】将同分母的分数分别相加，再计算加法即可.【详解】原式5213615.5510100772⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：0.【点睛】此题考查有理数的加法计算法则，掌握有理数加法的运算律：交换律和结合律是解题的关键.15．(0分)下面是七年级一班在学校举行的足球赛中的成绩，现规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”，请按照示例填空：例：若上半场输了2个球，下半场输了1个球，则全场输了3个球，也就是(－2)＋(－1)＝－3；(1)若上半场赢了3个球，下半场输了2个球，则全场赢了____个球，也就是____；(2)若上半场输了3个球，下半场赢了2个球，则全场输了___个球，也就是_____；(3)若上半场赢了3个球，下半场打平，则全场赢了___个球，也就是____．3＋(－2)＝11(－3)＋2＝－133＋0＝3【分析】根据定义赢球记为正输球记为负打平记为0先用有理数表示出输赢情况然后根据有理数的加减运算求解【详解】（1）上半场赢了3个为3下半场输了2个记为（解析：3＋(－2)＝1 1 (－3)＋2＝－1 3 3＋0＝3【分析】根据定义，赢球记为“正”，输球记为“负”，打平记为“0”，先用有理数表示出输赢情况，然后根据有理数的加减运算求解．【详解】（1）上半场赢了3个，为3，下半场输了2个，记为（－2），也就是：3+（－2）=1； （2）上半场输了3个，为（－3），下半场赢了2个，记为2，也就是：（－3）+2=－1； （3）上半场赢了3个，为3，下半场打平，记为0，也就是：3+0=3．【点睛】本题考查用正负数表示相反意义的量，并求解有理数的加法，解题关键是用正负数正确表示出输赢球的数量关系．16．(0分)在一次区级数学竞赛中，某校8名参赛学生的成绩与全区参赛学生平均成绩80分的差分别为(单位：分)：5，2-，8，14，7，5，9，6-，则该校8名参赛学生的平均成绩是______ ．85【解析】分析：先求出总分再求出平均分即可解：∵5＋（−2）＋8＋14＋7＋5＋9＋（−6）＝（5＋14＋7＋5＋9）＋（−2）＋（−6）＋8＝40（分）∴该校8名参赛学生的平均成绩是80＋（40解析：85【解析】分析：先求出总分，再求出平均分即可．解：∵5＋（−2）＋8＋14＋7＋5＋9＋（−6）＝（5＋14＋7＋5＋9）＋[（−2）＋（−6）＋8]＝40（分），∴该校8名参赛学生的平均成绩是80＋（40÷8）＝85（分）．故答案为85．点睛：本题考查的是正数和负数，熟知正数和负数的概念是解答此题的关键．17．(0分)在－1，2，－3，0，5这五个数中，任取两个数相除，其中商最小是________．－5【分析】所给的五个数中最大的数是5绝对值最小的负数是-1所以取两个相除其中商最小的是:5÷（-1）=-5【详解】∵-3<-1<0<2<5所给的五个数中最大的数是5绝对值最小的负数是-1∴任取两个解析：－5【分析】所给的五个数中,最大的数是5,绝对值最小的负数是-1,所以取两个相除,其中商最小的是:5÷（-1）=-5.【详解】∵-3<-1<0<2<5,所给的五个数中,最大的数是5,绝对值最小的负数是-1,∴任取两个相除,其中商最小的是:5÷（-1）=-5,故答案为:-5．【点睛】本题主要考查有理数的大小比较和有理数除法,解决本题的关键是要熟练掌握有理数大小比较和有理数除法法则.18．(0分)如果点A表示+3，将A向左移动7个单位长度，再向右移动3个单位长度，则终点表示的数是__________．-1【分析】根据向右为正向左为负根据正负数的意义列式计算即可【详解】根据题意得终点表示的数为：3-7+3=-1故答案为-1【点睛】本题考查了数轴正负数在实际问题中的应用在本题中向左向右具有相反意义可解析：-1【分析】根据向右为正，向左为负，根据正负数的意义列式计算即可.【详解】根据题意得，终点表示的数为：3-7+3=-1．故答案为-1．【点睛】本题考查了数轴，正负数在实际问题中的应用，在本题中向左、向右具有相反意义，可以用正负数来表示，从而列出算式求解．19．(0分)绝对值小于100的所有整数的积是______．0【分析】先找出绝对值小于100的所有整数再求它们的乘积【详解】：绝对值小于100的所有整数为：0±1±2±3…±100因为在因数中有0所以其积为0故答案为0【点睛】本题考查了绝对值的性质要求掌握绝解析：0【分析】先找出绝对值小于100的所有整数，再求它们的乘积．【详解】：绝对值小于100的所有整数为：0，±1，±2，±3，…，±100，因为在因数中有0所以其积为0．故答案为0．【点睛】本题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．20．(0分)用计算器计算：(1)－5.6＋20－3.6＝____；(2)－6.25÷25＝____；(3)－7.2×0.5×(－1.8)＝____；(4)－15×(－2.4)÷(－1.2)＝____；(5)4.6÷113－6×3＝____；(6)42.74.2 3.5≈____(精确到个位)．【分析】（1）利用计算器计算有理数的加减法即可得；（2）利用计算器计算有理数的除法即可得；（3）利用计算器计算有理数的乘法即可得；（4）利用计算器计算有理数的乘除法即可得；（5）利用计算器先计算有理解析：10.8 0.25- 6.48 30- 14.55- 76【分析】（1）利用计算器计算有理数的加减法即可得；（2）利用计算器计算有理数的除法即可得；（3）利用计算器计算有理数的乘法即可得；（4）利用计算器计算有理数的乘除法即可得；（5）利用计算器先计算有理数的乘除法、再计算有理数的减法即可得；（6）利用计算器先计算有理数的乘方与减法、再计算有理数的除法即可得．【详解】（1）原式14.4 3.610.8=-=；（2）原式0.25=-；（3）原式 3.6 1.8() 6.48-==-⨯；（4）原式 1.236()30=÷-=-；（5）原式434.618 4.618 4.60.7518 3.451814.5534÷-=⨯-=⨯-=-=-； （6）原式53.1441760.7=≈； 故答案为：10.8，0.25-，6.48，30-，14.55-，76．【点睛】本题考查了利用计算器计算有理数的加减乘除法与乘方运算、近似数，掌握计算器的使用是解题关键．三、解答题21．(0分)计算：2334[28(2)]--⨯-÷-解析：21-．【分析】先计算有理数的乘方，再计算括号内的除法与减法，然后计算有理数的乘法，最后计算有理数的减法即可得．【详解】解：原式[]9428(8)=--⨯-÷-， []942(1)=--⨯--， 943=--⨯，912=--，21=-．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．22．(0分)计算（1）2125824(3)3-+-+÷-⨯ （2）71113()2461224-+-⨯ 解析：（1）113-；（2）-19 【分析】（1）有理数的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的；（2）使用乘法分配律使得计算简便．【详解】解：（1）2125824(3)3-+-+÷-⨯=114324()33-++⨯-⨯ =8433-+- =113- （2）71113()2461224-+-⨯ =7111324242461224-⨯+⨯-⨯ =-28+22-13=-19【点睛】 本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．23．(0分)计算：（1）()()34287⨯-+-÷；（2）()223232-+---．解析：（1）16-；（2）6．【分析】（1）先算乘除，后算加法即可；（2）原式先计算乘方运算，再化简绝对值，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）原式12416=--=-（2）原式34926=-+-=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．(0分)如图，在数轴上有三个点,,A B C ，回答下列问题：（1）若将点B 向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？ （2）在数轴上找一点D ，使点D 到,A C 两点的距离相等，写出点D 表示的数； （3）在数轴上找出点E ，使点E 到点A 的距离等于点E 到点B 的距离的2倍，写出点E 表示的数．解析：（1）1- （2）0.5 （3）3-或7-【分析】（1）根据移动的方向和距离结合数轴即可回答；（2）根据题意可知点D 是线段AC 的中点；（3）在点B 左侧找一点E ，点E 到点A 的距离是到点B 的距离的2倍，依此即可求解．【详解】解：（1）点B 表示的数为-4+5=1，∵-1＜1＜2，∴三个点所表示的数最小的数是-1；（2）点D 表示的数为（-1+2）÷2=1÷2=0.5；（3）点E 在点B 的左侧时，根据题意可知点B 是AE 的中点，AB=|-1+4|=3则点E 表示的数是-4-3=-7．点E 在点B 的右侧时，即点E 在AB 上，则点E 表示的数为-3．【点睛】本题主要考查的是有理数大小比较，数轴的认识，找出各点在数轴上的位置是解题的关键．25．(0分)计算：（1）()21112424248⎛⎫-+--+⨯- ⎪⎝⎭（2）()()1178245122-÷-⨯--⨯+÷ 解析：（1）9；（2）34【分析】 （1）根据绝对值的性质、乘法分配律计算各项，即可求解；（2）先算乘除，再算加减，即可求解．【详解】解：（1）()21112424248⎛⎫-+--+⨯- ⎪⎝⎭ ()()()11144242424248=-+-⨯-+⨯--⨯- 01263=+-+9=；（2）()()1178245122-÷-⨯--⨯+÷ ()()1174204+=---- 34=． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．26．(0分)计算：（1）()213433⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202011232---+-+． 解析：（1）-6；（2）132- 【分析】（1）先化为省略括号的形式，将整数及分数分别相加，再计算加法；（2）先计算乘方，同时计算绝对值及去括号，再计算加减法．【详解】（1）解：原式=213433-+-+ ()213433⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭71=-+6=-；（2）解：原式=11232--+ =142- =132-． 【点睛】 此题考查有理数的混合运算，掌握有理数加减混合运算法则及有理数乘方运算法则是解题的关键．27．(0分)计算：（1）()110822⎫⎛---÷-⨯-⎪⎝⎭ （2）()2313232154⎫⎛-⨯--⨯-÷- ⎪⎝⎭解析：（1）12- ；（2）0【分析】（1）先去绝对值，同时把除变乘，再计算乘法，最后加减即可（2）先计算乘方和括号内的，把除变乘，再计算乘法，最后加减法即可【详解】（1）()110822⎫⎛---÷-⨯-⎪⎝⎭ =1110822⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =102--=-12（2）()2313232154⎫⎛-⨯--⨯-÷- ⎪⎝⎭=()()2386154-⨯---⨯-=243660--+=0【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．28．(0分)计算：（1）9－（－14）＋（－7）－15；（2）12×（－5）－（－3）÷374（3）－15＋（－2）3÷193⎛⎫--- ⎪⎝⎭（4）（－10）3＋[（－8）2－（5－32）×9]解析：（1）1；（2）14；（3）1147-；（4）-900． 【分析】（1）先将减法化为加法，再分别把正数和负数相加，将结果相加；（2）先分别计算乘除，再计算加法；（3）先分别计算乘方和括号内的，再计算除法，最后计算加法；（4）先分别计算乘方和括号内的，再将结果相加即可．【详解】解：（1）原式=914(7)(15)++-+-=23(22)+-=1；（2）原式=7460(3)3--- =6074-+=14；（3）原式=115(8)(9)3-+-÷-- =2815(8)()3-+-÷-=315(8)()28-+-- =6157-+=1147-； （4）原式=[]100064(4)9-+--⨯=1000(6436)-++=1000100-+=-900．【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟记有理数混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．。
七年级数学上册 第一章 有理数 1.2 有理数 1.2.4 第1课时 绝对值复习练习 (新版)新人教版
1.2.4 绝对值第1课时 绝对值1．下列各组数中，互为相反数的一组是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78和－78 B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78和－87C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78和78D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78和872．已知点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图1－2－16所示，则其中对应的数的绝对值最大的点是( )图1－2－16A ．MB ．NC ．PD ．Q3．[2017·黄陂区期中]如图1－2－17，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的球是( )图1－2－17A ．－3.5B ．＋0.7C ．－2.5D ．－0.64．若│a │＝－a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在( ) A ．原点左侧 B ．原点或原点左侧 C ．原点右侧D ．原点或原点右侧5．－2的相反数是 ；－2的绝对值是 . 6．填空：－|－3|＝ ； ＋|－0.27|＝ . ； －|＋26|＝ ； －(＋24)＝ . 7．求下列各数的绝对值：(1)＋813； (2)－7.2； (3)0； (4)－813.8．计算： (1)|－8|＋|－4|；(2)|－3.5|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－247＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－637.9．若|x |＝5，则x 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．±5D ．1510．已知a 为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是( ) A ．a B ．－a C ．|－a |D ．－|－a |11．[2017·泰州]|－4|＝ .12．绝对值小于3的整数为 ；绝对值大于 3.2 且小于7.5的负整数为 .13．某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002 1 L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数，检查结果如下(单位：L)：＋0.001 8，－0.002 3，＋0.002 5，－0.001 5，＋0.001 2，＋0.001 0.请用绝对值的知识说明：(1)哪几瓶是符合要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶的净含量最接近规定的净含量？参考答案 1．2.4 绝对值 第1课时 绝对值【分层作业】1．A 2.D 3.D 4.B 5.2 2 6．－3 0.27 －26 －24 7．(1)813 (2)7.2 (3)0 (4)8138．(1)12 (2)3 (3)9 9.C 10.C 11.4 12．0，±1，±2 －4，－5，－6，－7 13．(1)略 (2)检查结果为＋0.001 0的．。
有理数能力提升专题——绝对值和有理数的运算
一、绝对值的应用1、知识点:一般地，数轴上标书数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值.若a 〉0，则|a|=a ；若a<0，则｜a|=—a;若a=0,则|a|=0；注意：知道数|a|的值时，考察a 的取值的完整性，正负数都要考虑全面，且a|≥0。
2、例题讲解：例1、已知|a ｜=3,｜b|=2,且ab 〈0,则a —b=_______.例2、已知-a<b 〈—c 〈0<—d ，且|d ｜〈|c ｜,试将a,b,c,d,0按由大到小的顺序排列.例3、已知｜a|=3,|b ｜=2，｜c|=1,且a<b 〈c ，求a+b+c 的值.例4、已知|x+1｜=4,()422=+y ，求x+y 的值。
例5、若|x+2|+｜y+3｜=0,求12+-y x 的值。
例6、当代数式｜x+1|+|x —2|取最小值时，求相应的x 的取值范围.例7、若a ，b,c,d ，e 都是不为0的有理数，且ee d d c c b b a a S ++++=，那么S 的值可能是哪些？例8、已知a 、b 、c 均为整数,且｜a —b ｜+｜c —a|=1,求｜c-a|+|a —b|+｜b-c|的值。
随堂练习1、已知|a-3｜+｜4-b|=0,求()2013b a -=_________.2、若ab ≠0，则bb a a +的取值为___________. 3、已知|x-1｜=5,()922=+y ,求2x —y 的值。
4、当代数式|x+5｜+｜x —1｜取最小值时，求相应的x 的取值范围。
5、已知a 、b 、c 均为整数，且123=-+-a c b a ，求｜a-c ｜+|c —b ｜+｜b —a|的值。
6、计算2011120121415131412131-++-+-+-二、有理数相关的运算例1、计算:.______)1()1(101100=-+-例2、比较20032004-与20042005-的大小。
例3、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………（ ）A 、高12。
专题1.2 绝对值的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)
专题1.2 绝对值的综合【典例1】（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a−b|，当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=b−a=|a−b|；②如图3，点A、B都在原点的左边|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=b−a=|a−b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=−b−(−a)=|a−b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a−b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是_______．②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x为_______．（3）探索规律：①当|x−1|+|x−2|有最_______（填“大”或“小”）值是_______；②当|x−1|+|x−2|+|x−3|有最小_______（填“大”或“小”）值是_______；③当|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|有最_______（填“大”或“小”）值是_______．（4）规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．（5）知识迁移|x+4|−|x−5|有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案．（2）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（3）①根据绝对值的几何意义可知，当1≤x≤2时，|x−1|+|x−2|有最小值1；②根据绝对值的几何意义可知，当x=2时，|x−1|+|x−2|+|x−3|有最小值2；③根据绝对值的几何意义可知，当x=2或x=3时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|有最小值4；（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当x=0时，|x−8|+|x−6|+|x−4|+|x−2|+|x|+|x+2|+|x+4|+ |x+6|+|x+8|有最小值40；（5）分三种情况对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可．解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2−5|=3，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是|1−(−3)|=4，故答案为：3，4；②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是|x−(−1)|=|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3，故答案为：|x+1|；1或−3；（3）①∵|x−1|+|x−2|表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，∴当1≤x≤2时，|x−1|+|x−2|有最小值，最小值为1，故答案为：小，1；②|x−1|+|x−2|+|x−3|表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和，∴当x=2时，|x−1|+|x−2|+|x−3|有最小值，最小值为2，故答案为：小，2；③|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和，∴当x=2或x=3时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|有最小值4，故答案为：小，4；（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，则A点表示的数为−8，B点表示的数为−6，C点表示的数为−4，D点表示的数为−2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，当|x−8|+|x−6|+|x−4|+|x−2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，∴当x=0时，|x−8|+|x−6|+|x−4|+|x−2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40，∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40；（5）|x+4|−|x−5|有最大值和最小值，理由如下：当x≥5时，|x+4|−|x−5|=x+4−x+5=9，当−4<x<5时，|x+4|−|x−5|=x+4−5+x=2x−1，当x≤−4时，|x+4|−|x−5|=−x−4−5+x=−9，∴|x+4|−|x−5|有最大值9，最小值−9．1．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若|a−2|=18，且3|a−c|=|c|，则所有满足条件的数c的和是（ ）A．﹣6B．2C．8D．9【思路点拨】根据绝对值的代数意义对|a−2|=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3|a−c|=|c|进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，3|20−c|=|c|和3|−16−c|=|c|，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．【解题过程】解：∵|a−2|=18，∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3|a−c|=|c|等价于3|20−c|=|c|，即|60−3c|=|c|，∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3|a−c|=|c|等价于3|−16−c|=|c|，即|−48−3c|=|c|，∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D．2．（2022秋·全国·七年级期末）已知a，b，c的积为负数，和为正数，且x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|，则x的值为( )A．0B．0，2C．0，−2，1D．0，1，−2，6【思路点拨】先判断出a,b,c的符号，再化简绝对值运算即可得．【解题过程】解：∵a,b,c的积为负数∴a,b,c的符号为三负或两正一负∵a,b,c的和为正数∴a,b,c的符号为两正一负因此，分以下三种情况：（1）当a>0,b>0,c<0时x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|=1+1−1+1−1−1=0（2）当a>0,c>0,b<0时x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|=1−1+1−1+1−1=0（3）当b>0,c>0,a<0时x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|=−1+1+1−1−1+1 =0综上，x的值为0故选：A．3．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，|a|a +|b|b+|c|c=−1，那么|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac +|abc|abc的值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定【思路点拨】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到|b|b +|c|c=−2，则b<0，c<0，再进行化简计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴当x=5时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴a=8，∵|a|a +|b|b+|c|c=−1，∴|8|8+|b|b+|c|c=−1，∴|b|b +|c|c=−2，∴|b|b =−1，|c|c=−1，∴b<0，c<0，∴bc>0∴|ab|ab +|bc|bc+|ac|ac+|abc|abc=|8b|8b +|bc|bc+|8c|8c+|8bc|8bc=|b|b +|bc|bc+|c|c+|bc|bc=−2+|bc|bc +|bc|bc=−2+1+1=0；故选：C ．4．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a 、b 、c 满足a >b >c(ac <0)，且|c |<|b |<|a|，则|x ﹣a b2|+|x ﹣+|x +a c2|的最小值是（ ）A ．a−c2B ．a b 2c2C ．2a b c2D ．2a b−c2【思路点拨】根据ac <0可知a ，c 异号，再根据a >b >c ，以及|c |<|b |<|a|，即可确定a ，−a ，b ，−b ，c ，−c 在数轴上的位置，而|x+|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac <0，∴a ，c 异号，∵a >b >c ，∴a >0，c <0，又∵|c |<|b |<|a|，∴−a <−b <c <0<−c <b <a ，又∵|x ﹣a b2|+|x ﹣b c2|+|x +a c 2|表示到ab 2，b c2，−a c 2三点的距离的和，当x即|x ﹣a b 2|+|x ﹣b c2|+|x +最小，最小值是a b 2与之间的距离，即2a b c2．故选：C ．5．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）①已知a ，b ，c 是非零的有理数，且|abc|abc =−1时，则|a|a +|b|b+|c|c 的值为1或−3；②已知a ，b ，c 是有理数，且a +b +c =0，abc <0时，则b c|a|+a c |b|+a b|c|的值为−1或3；③已知x ≤4时，那么|x +3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7；④若|a |=|b |且|a−b|=23，则式子a b−abb 21的值为110；⑤如果定义{a,b }=a +b(a >b)0(a =b )b−a(a <b)，当ab <0，a +b <0，|a |>|b |时，{a ，b}的值为b−a ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【思路点拨】①由题意可得，abc <0，则a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc <0可得a ，b ，c 中有一个值为负数，求解即可；③根据x ≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a =b 或a =−b ，分别求解即可；⑤根据题意可得a ，b 异号，分两种情况求解即可．【解题过程】解：①由|abc|abc =−1可得abc <0，a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，当a <0，b >0，c >0时，|a|a +|b|b +|c|c =−1+1+1=1当a <0，b <0，c <0时，|a|a +|b|b+|c|c=−1−1−1=−3故①正确；②由abc <0和a +b +c =0得a ，b ，c 中有一个值为负数，∴a +b =−c ，a +c =−b ，b +c =−a ∴−a|a|+−b|b|+−c|c|=1−1−1=−1，故②错误；③当−3≤x ≤4时，x−4≤0，x +3≥0，则|x +3|−|x−4|=x +3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7当x <−3时，x−4≤0，x +3<0则|x +3|−|x−4|=−x−3+x−4=−7故③正确；④由|a |=|b |可得a =b 或a =−b当a =b 时，a−b =0与|a−b|=23矛盾，舍去；当a =−b 时，a−b =−2b ，a +b =0且|2b |=23解得a =13,b =−13或a =−13,b =13则ab =−19，b 2=19a +b−ab b 2+1=1919+1=110故④正确；⑤由题意可得a，b异号，当a<0，b>0时，|a|=−a，|b|=b，由|a|>|b|可得−a>b，即a+b<0符合题意，此时a<0<b则{a，b}=b−a当a>0，b<0时，|a|=a，|b|=−b由|a|>|b|可得a>−b，即a+b>0，与a+b<0矛盾，舍去，综上{a，b}=b−a故⑤正确；正确的个数为4故选：C6．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a−7|的最小值为．【思路点拨】|a+3|+3|a+5|+2|a−7|表示a到−3距离加上3倍a到−5的距离再加上2倍a到7的距离，由此可得a在a＜−5，−5≤a≤−3，−3＜a≤7，a＞7的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．【解题过程】解：当a＜−5时，|a+3|+3|a+5|+2|a−7|=−a−3+3(−a−5)+2(7−a)=−a−3−3a−15+14−2a=−6a−4＞26；当−5≤a≤−3时，|a+3|+3|a+5|+2|a−7|=−a−3+3(a+5)+2(7−a)=−a−3+3a+15+14−2a=26；当−3＜a≤7时，|a+3|+3|a+5|+2|a−7|=a+3+3(a+5)+2(7−a)=a+3+3a+15+14−2a=2a+32＞26；当a＞7时，|a+3|+3|a+5|+2|a−7|=a+3+3(a+5)+2(a−7)=a+3+3a+15+2a−14=6a+4＞44；故答案为：26．7．（2022秋·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|) (|z−3|+|z+1|)=36，则2016x+2017y+2018z的最大值是．最小值是．【思路点拨】先讨论∶|x+1|+|x−2|、|y−2|+|y+1|、|z−3|+|z+1|的最小值，根据它们的积是36，分别得到|x+1|+|x−2|、|y−2|+|y+1|、|z−3|+|z+1|的值，再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．【解题过程】解：∵|x+1|+|x−2|≥3，|y−2|+|y+1|≥3，|z−3|+|z+1|≥4，(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|) (|z−3|+|z+1|)=36∴|x+1|+|x−2|=3，|y−2|+|y+1|=3，|z−3|+|z+1|=4，当|x+1|+|x−2|=3时，x最小取−1，最大取2，当|y−2|+|y+1|=3时，y最小取−1，最大取2，当|z−3|+|z+1|=4时，z最小取−1，最大取3∴2016x+2017y+2018z的最大值为∶2016×2+2017×2+2018×3=14120，2016x+2017y+2018z的最小值为∶2016×(−1)+2017×(−1)+2018×(−1)=−6051，故答案为：14120；−6051．8．（2022秋·浙江丽水·七年级校考期中）已知：m=|a b|c +2|b c|a+3|c a|b，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x−y=．【思路点拨】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入x−y即可解答．【解题过程】解：∵abc>0，a+b+c=0，∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，∴a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时，m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b=cc+−2aa+−3bb=1−2−3=−4；当a，c为负，b为正数时，m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b=−cc+−2aa+3bb=−1+(−2)+3=0；当b，c为负，a为正数时，m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b=−cc+2aa+−3bb=−1+2−3 =−2；∵m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，∴x=3，y=−4，∴x+y=3−(−4)=7．故答案为：7．9．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为|m−n|，则：①|x−1|表示的实际意义是．②|x−1|+|x−2|+|x−3|的最小值是．③|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|的最小值是．【思路点拨】①根据数轴上两点的距离公式求解即可；②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当x=2时|x−1|+|x−2|+|x−3|有最小值；③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当2<x≤3时|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|有最小值．【解题过程】解：①|x−1|表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离；故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离；②分类讨论：1）当x≤1时，|x−1|+|x−2|+|x−3|=1−x+2−x+3−x=6−3x，∴当x=1时，有最小值3；2）当1<x≤2时，|x−1|+|x−2|+|x−3|=x−1+2−x+3−x=−x+4，∴当x=2时，有最小值2；3）当2<x≤3时，|x−1|+|x−2|+|x−3|=x−1+x−2+3−x=x，此时最小值大于2；4）当x>3时，|x−1|+|x−2|+|x−3|=x−1+x−2+x−3=3x−6，此时最小值大于3；综上可知，当x=2时，且最小值为2；故答案为：2；③根据|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|的几何意义，可|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论：1）当x≤1时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|=1−x+2−x+3−x+4−x=10−4x≥6；2）当1<x≤2时|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|=x−1+2−x+3−x+4−x=8−2x≥4；3）当2<x≤3时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|=x−1+x−2+3−x+4−x=4；4）当3<x≤4时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|=x−1+x−2+x−3+4−x=2x−2>4；5）当x>4时，|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|=x−1+x−2+x−3+x−4=4x−10>6；综上所述，当2≤x≤3时，有最小值4，故答案为：4．10．（2022秋·北京朝阳·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】．【提出问题】两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求|a|a +|b|b的值．【解决问题】解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数．①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有|a|=a及|b|=b，则|a|a +|b|b=aa+bb=1+1=2；②若a、b都是负数，即a<0，b<0，有|a|=−a及|b|=−b，|a|a +|b|b=(−a)a+(−b)b=(−1)+(−1)=−2；所以|a|a +|b|b的值为2或−2．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知|a|=3且|b|=7，且a<b，求a+b的值．（2）两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求|a|a +|b|b的值．（3）若abc>0，则|a|a +|b|b+|c|c的值可能是多少？【思路点拨】（1）由|a|=3且|b|=7，且a<b得到a和b的值，代入求解即可；（2）由a、b异号分2种情况讨论：①a>0，b<0；②a<0，b>0，分别求解即可；（3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，代入计算即可．【解题过程】（1）解：∵|a|=3，|b|=7，∴a=3或−3，b=7或−7，∵a<b，∴a=3，b=7或a=−3，b=7，当a=3，b=7时a+b=3+7=10，当a=−3，b=7时a+b=−3+7=4，综上，a+b的值10或4；（2）解：由a、b异号，可知：①a>0，b<0；②a<0，b>0，当a>0，b<0时，|a|a +|b|b=1−1=0；当a<0，b>0时，|a|a +|b|b=−1+1=0，综上，|a|a +|b|b的值为0；（3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则：|a|a +|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，则：|a|a +|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1−1−1=−1所以：|a|a +|b|b+|c|c的值为3或−1．11．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是；③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．（3）应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：|a−3|=6，那么a＝．②若数轴上表示数a的点位于−5与2之间，求|a+5|+|a−2|的值．③当a何值时，|a+5|+|a−1|+|a−2|的值最小，最小值是多少？请说明理由．【思路点拨】（1）根据两点之间的距离=较大的数−较小的数可得结论；（2）因为不确定m和n的大小关系，所以数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|；（3）①根据绝对值的意义可得：a−3=±6，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出|a+5|+|a−1|+|a−2|表示一点到−5，1，2三点的距离的和，据此可解．【解题过程】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是7−3=4；②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是−4−(−9)=−4+9=5；③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是5−(−3)=8；（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|；（3）①|a−3|=6，∴a−3=6或a−3=−6，解得：a=9或a=−3；②∵数轴上表示数a的点位于−5与2之间，∴−5<a<2，∴|a+5|+|a−2|=a+5−a+2=7；③|a+5|+|a−1|+|a−2|表示一点到−5，1，2三点的距离的和，∴当a=1时，该式的值最小，最小值为|1+5|+|1−1|+|1−2|=7．∴当a=1时，|a+5|+|a−1|+|a−2|的值最小，最小值是7．12．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？【问题探究】（1）观察分析（特殊）：①当a=2，b=5时，A，B之间的距离AB=3；②当a=−2，b=5时，A，B之间的距离AB=；③当a=−2，b=−5时，A，B之间的距离AB=；（2）一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=；【问题解决】（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；【问题拓展】（4）拓展：①若|x−2|=|x−6|，则x=．②若|x−1|+|x−7|=8，则x=．③若x，y满足(|x−1|+|x−5|)(|y−1|+|y+1|)=8，则代数式x+y的最大值是，最小值是．【思路点拨】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离AB即可；（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=|a−b|；（3）解绝对值方程即可；（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出x，y的取值范围，然后计算解题．【解题过程】（1）②AB=|−2−5|=7；③AB=|−2−(−5)|=3；故答案为：7，3．（2）一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=|a−b|，故答案为：|a−b|．（3）∵|x−3|=5∴x−3=±5，解得：x=−2或x=8；（4）①|x−2|=|x−6|，即x−2=±(x−6)，解得：x=4；故答案为：4．②若|x−1|+|x−7|=8，当x≥7时，(x−1)+(x−7)=8，解得x=8；当1<x<7时，(x−1)+(7−x)=8，方程无解；当x≤1时，(1−x)+(7−x)=8，解得x=0；故答案为：8或0．③由题可知|x−1|+|x−5|≥4，|y−1|+|y+1|≥2，又∵(|x−1|+|x−5|)(|y−1|+|y+1|)=8，∴|x−1|+|x−5|=4，|y−1|+|y+1|=2，即1≤x≤5，−1≤x≤1，∴代数式x+y的最大值是5+1=6，最小值是1+(−1)=0，故答案为：6，0．13．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】|a−1|+|a−2|+|a−3|+⋅⋅⋅+|a−2021|的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a−1|可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a−1|+|a−2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究|a−1|+|a−2|的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，|a−1|+|a−2|有最小值1．【问题解决】（1）|a−4|+|a−7|的几何意义是，请你结合数轴研究：|a−4|+|a−7|的最小值是；（2）请你结合图④探究|a−1|+|a−2|+|a−3|的最小值是，由此可以得出a为；（3）|a−1|+|a−2|+|a−3|+|a−4|+|a−5|的最小值是；（4）|a−1|+|a−2|+|a−3|+⋅⋅⋅+|a−2021|的最小值为；（5）如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．【思路点拨】（1）由|a−1|+|a−2|的几何意义以及|a−1|+|a−2|有最小值1即可直接求得结果；（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；（4）由题意可得出，取中间值a＝1011时，求得最小值；（5）由已知得：|a−(−1)|+|a−2|<4，解出绝对值不等式即为a的取值范围．【解题过程】（1）由题可知，|a−4|+|a−7|的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时|a−4|+|a−7|取得最小值是3故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3（2）当a取中间数2时，绝对值最小|a−1|+|a−2|+|a−3|的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2（3）当a取最中间数时，绝对值最小|a−1|+|a−2|+|a−3|+|a−4|+|a−5|的最小值是2+1+0+1+2=6；（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，|a−1|+|a−2|+|a−3|+⋅⋅⋅+|a−2021|的最小值为：1010+1009+1008+1007+⋯+1+0+1+2+3+⋯+1010=1010×(1010+1)=1021110故答案为：1021110（5）∵a使它到－1，2的距离之和小于4∴|a−(−1)|+|a−2|<4①当a≥2时，则有a−(−1)+a−2<4解得：a<2.5∴2≤a<2.5；②当−1≤a≤2时，则有a−(−1)+2−a=3<4∴−1≤a≤2③当a<−1时，则有−1−a+2−a<4解得：a>−1.5∴−1.5<a<−1综上，a的取值范围为：−1.5<a<2.5故答案为：−1.5<a<2.514．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）同学们都知道：数轴上表示x与a的两点之间的距离可以表示为|x−a|．例如|7−(−4)|表示7与−4之差的绝对值，实际上也可理解为7与−4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示7与−4两点之间的距离是______．（2）若|x−3|=2，则x=______．（3）|x+1|+|x−3|表示数轴上有理数x所对应的点到−1和3所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x−3|=4，这样的整数是_____．（4）请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+10|+|x+2|+|x−8|=18，这样的整数是_____．（5）继续探索：2|x−10|+3|x−2|+|x+8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【思路点拨】（1）利用距离公式直接计算即可；（2）将x−3看成整体，利用绝对值的定义求解即可；（3）根据绝对值的几何意义可知当−1≤x≤3时|x+1|+|x−3|=4,，求出符合x的整数即可；（4）根据绝对值的几何意义可知当x=−2时，|x+10|+|x+2|+|x−8|=18；(5)同（4）理可得：①|x−10|+|x−2|的最小值是8，当且仅当2≤x≤10时取最小值8，②|x−10|+|x+8|的最小值是18，当且仅当−8≤x≤10时取最小值18，③|x−2|≥0，当且仅当x=2时，取最小值0，从而得到(2|x−10|+3|x−2|+|x+8|)min=(|x−10|+|x−2|)min+(|x−10|+|x+8|)min+2|x−2|min=8+18+2×0=26．【解题过程】（1）数轴上表示7与−4两点之间的距离可以表示为|7−(−4)|=11，故答案为：11；（2）∵|x−3|=2，∴x−3=−2或x−3=2，解得：x=1或x=5，故答案为：1或5；（3）∵|x+1|+|x−3|=4表示数轴上有理数x所对应的点到−1和3所对应的点的距离之和为4，如图，当x对应的数在−1与3之间(包含−1与3)，即−1≤x≤3时，|x+1|+|x−3|=AB+BC=x+1+3−x=4,∴这样的整数有−1、0、1、2、3，当x对应的数在−1的左边或3右边时，显然|x−3|>4或|x+1|>4，此时|x+1|+|x−3|>4不合题意．故答案为：−1、0、1、2、3；（4）∵|x+10|+|x−8|表示数轴上有理数x所对应的点到−10和8所对应的点的距离之和，如图，当x对应的数在−10与8之间(包含−10与8)，即−10≤x≤8时，|x+10|+|x−8|=AB+BC=x+10+8−x=18，当x对应的数在−10的左边或8右边时，显然|x−8|>18或|x+10|>18，∴此时|x+10|+|x−8|>18，综上所述：|x+10|+|x−8|的最小值是18，当且仅当−10≤x≤8时，取最小值18，又∵|x+2|≥0，当且仅当x=−2时，取最小值0，∴当且仅当x=−2时，|x+10|+|x+2|+|x−8|取最小值18，故答案为：−2（5）同理可得：①|x−10|+|x−2|的最小值是8，当且仅当2≤x≤10时取最小值8，②|x−10|+|x+8|的最小值是18，当且仅当−8≤x≤10时取最小值18，③|x−2|≥0，当且仅当x=2时，取最小值0，∴当且仅当x=2时，(2|x−10|+3|x−2|+|x+8|)min=(|x−10|+|x−2|)min+(|x−10|+|x+8|)min+2|x−2|min=8+18+2×0=26．15．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】我们知道：式子|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=|a−b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：（1）式子|x+5|在数轴上的几何意义是____________________________________，若|x+5|=6，则x的值为_________；（2）当|x+3|+|x−1||取最小值时，x可以取整数_________；（3）当x=_________时，|x+2|+|x+6|+|x−1|的值最小，最小值为_________；【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？【思路点拨】（1）结合题意直接可以得出|x+5|在数轴上的几何意义，|x+5|=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可；（2）|x+3|+|x−1|表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，x应该在−3与1之间的线段上，找到满足条件的点即可；（3）|x+2|+|x+6|+|x−1|表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，x应该在−6与1之间的线段上，当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即|x+5|+2|x−1|+3|x−3|最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低．【解题过程】（1）解：由题意可知，式子|x+5|在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；|x+5|=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为：−11或1，故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；−11或1，（2）|x+3|+|x−1|表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，所以x应该在−3与1之间的线段上，所以x可以取整数−3，−2，−1，0,1故答案为：−3，−2，−1，0,1（3）|x+2|+|x+6|+|x−1|表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，所以x应该在−6与1之间的线段上，且当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，最小值为−6到1的距离为7；故答案为：−2，7；（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即|x+5|+2|x−1|+3|x−3|最小，(|x+5|+|x−1|+|x−3|)+(|x−1|+|x−3|)+|x−3|x在1时，|x+5|+|x−1|+|x−3|最小；x在1与3之间的线段上|x−1|+|x−3|最小所以x在1时|x+5|+2|x−1|+3|x−3|最小，最小值为|1+5|+2|1−1|+3|1−3|=12所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．16．（2023春·全国·七年级期末）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为|AB|=|a−b|．（2）理解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x= ；（3）运用：③当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；④当代数式|x+1|+|x−2|+|x−4|取最小值时，相应的x的值是 ；（4）提升：⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？【思路点拨】①根据阅读材料直接可得答案；②根据阅读材料列出方程，可解得答案；③由|x+1|+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，即可得答案；④由|x+1|+|x−2|+|x−4|表示到表示−1，2和4的点的距离之和，可得答案；⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，故6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，即得a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，可知|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=|b+2|+|b|+|b+1|+|b−4|+|b−2|，由|b+2|+|b|+|b+1|+|b−4|+|b−2|可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，即可得答案．【解题过程】解：①∵|5−2|=3,|1−(−3)|=4,∴表示2和5的两点之间的距离是3，表示1和−3的两点之间的距离是4，故答案为：3，4；②表示x和−1的两点A和B之间的距离是|x−(−1)|=|x+1|，当AB=2时，|x+1|=2，解得x=1或x=−3，故答案为：|x+1|，1或−3③∵|x+1|+|x−2|表示到表示−1和2的点的距离之和，∴|x+1|+|x−2||取最小值时，x的范围是−1≤x≤2，故答案为：−1≤x≤2；④∵|x+1|+|x−2|+|x−4||表示到表示−1，2和4的点的距离之和，∴x=2时，|x+1|+|x−2|+|x−4|取最小值5，故答案为：2；⑤设A给Ba张（a>0时，即为A给Ba张，a<0时，即为B给Aa张，），B给Cb张，C给Dc张，D给Ed张，E给Ae张，由于共有卡片数为12+6+9+3+10=40（张），要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，由题意：6+a−b=89+b−c=83+c−d=810+d−e=8，变形得：a=b+2c=b+1d=b−4e=b−2，∴|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=|b+2|+|b|+|b+1|+|b−4|+|b−2|，∵|b+2|+|b|+|b+1|+|b−4|+|b−2|可看作数轴上到表示−2，0，−1，4，2的点的距离之和，∴b=0时，|b+2|+|b|+|b+1|+|b−4|+|b−2|取最小值，最小值为2+0+1+4+2=9，此时a=2,c=1,d=−4,e=−2，∴A给B2张，B给C0张，C给D1张，E给D4张，A给E2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张．17．（2022秋·北京·七年级期末）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为−1、3，则线段MN的长度可以这样计算|−1−3|=4或|3−(−1)|=4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m−n|或|n−m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c给出如下定义：若|a−b|=2|a−c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a=−1①若c=2，点D、E、F在数轴上分别表示数−3、5、7，在这三个点中，点_______是点A、C的双倍绝对点；②若|a−c|=2，则b=________；（2）若a=3，|b−c|=5，则c的最小值为________；（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数−4、−2，a=3，|a−c|=2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t(t>0)，当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．【思路点拨】（1）①根据双倍绝对点的定义得|−1−b|=2|−1−2|，求出b的值即可；②根据题意，|a−b|=2×2=4，求出b的值即可；（2）分情况讨论c=b+5或c=b−5，根据|3−b|=2|3−c|求出b的值，再求出c的值，找到最小值；（3）分情况讨论，当PQ在AC左端或右端时，求出临界状态下t的值，即可得到范围．【解题过程】解：（1）①∵a=−1，c=2，∴|−1−b |=2|−1−2|，解得b =5或−7，∴点E 是点A 、C 的双倍绝对点，故答案为：E ；②∵|a−c |=2，∴|a−b |=2×2=4，∵a =−1，∴|−1−b |=4，解得b =−5或3；故答案为：-5或3；（2）∵|b−c |=5，∴c =b +5，或c =b−5，∵a =3，∴|3−b |=2|3−c |，①当c =b +5时，|3−b |=2|3−b−5|，解得b =−7或b =−13，则c =−2或c =143；②当c =b−5时，|3−b |=2|3−b +5|，解得b =13或b =193，则c =8或c =43，综上：c 的最小值为−2；故答案为：-2；（3）①当PQ 在AC 左端时，当Q 为A 、C 的双倍绝对点，Q =3t−2，A =t +3，∴|t +3−3t +2|=4，解得t =12或t =92（舍去），∴t ≥12；当P 为A 、C 的双倍绝对点，P =3t−4，A =t +3，∴|t +3−3t +4|=4，解得t =32或t =112（舍去），∴t ≤32；∴12≤t ≤32②当PQ 在AC 右端时，当Q 为A 、C 的双倍绝对点，Q =3t−2，A =t +3，∴|3t−2−t−3|=4，解得t =12（舍去）或t =92，∴t ≥92；当P 为A 、C 的双倍绝对点，P =3t−4，∴|3t−4−t−3|=4，解得t =32（舍去）或t =112，∴t ≤112，∴92≤t ≤112综上：12≤t ≤32或92≤t ≤112．18．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知x 1，x 2，x 3，…x 2017都是不等于0的有理数，请探究以下问题：（1）y 1=|x 1|x 1，则y 1= ．（2）y 2=|x 1|x 1+x 2|x 2|+|x 1x 2|x 1x 2，则y 2= ．（3）y 3=|x 1|x 1+x 2|x 2|+|x 3|x 3+|x 1x 2x 3|x 1x 2x 3，则y 3= ．（4）由以上探究可以知道：y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017，共有 种不同的值，在y2017这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于 ，y2017的这些不同的值的绝对值的和等于 【思路点拨】（1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；（2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；（3）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；（4）根据观察，归纳，发现规律，可得答案．【解题过程】（1）x1<0时，y1=|x1|x1=−1，x1>0时，y1=|x1|x1=1，则y1=±1，故答案为：±1．（2）若x1>0，x2>0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=3，x1>0，x2<0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1，x1<0，x2>0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1，x1<0，x2<0时，y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2=−1．综上所述，y2=3或−1，故答案为：3或−1．（3）x1>0，x2>0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=4，x1>0，x2>0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1>0，x2<0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1>0，x2<0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1<0，x2>0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1<0，x2>0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1<0，x2<0，x3>0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=0，x1<0，x2<0，x3<0，y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3=−4．综上所述，y3=±4或0，故答案为：±4或0．（4）由以上探究可知，当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，x的值全部为正数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+⋅⋅⋅+1=2017；当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2016个x的值为正数，1个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+⋅⋅⋅+1−1=2015；当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2015个x的值为正数，2个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+⋅⋅⋅+1−1−1=2013；……当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1009个x的值为正数，1008个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+1⋅⋅⋅−1−1=1；当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1008个x的值为正数，1009个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+⋅⋅⋅−1−1−1=−1；……当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，2个x的值为正数，2015个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1+1+⋅⋅⋅−1−1−1=−2013；当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，1个x的值为正数，2016个x的值为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=1−1+⋅⋅⋅−1−1=−2015；当x1，x2，x3⋅⋅⋅x2017中，x的值全部为负数时，y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+|x2017|x2017=−1−1−⋅⋅⋅−1=−2017；∴所有的值为：2017,2015,2013⋅⋅⋅3,1,−1,−3⋅⋅⋅−2013,−2015,−2017，∴y2017共有2018个不同的值；在y2017这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于2017−(−2017)=4034，y2017的这些所有的不同的值的绝对值的和等于(1+2017)×1009÷2×2=2036162．故答案为：2018，4034，2036162．。
人教版七年级上册数学 第一章《有理数》第1讲 有理数 (答案+解析)
人教版七年级上册数学第一章《有理数》第1讲有理数（答案+解析）数轴。
在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
概念剖析：①、画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；②、数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；③、数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；④、有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a -的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
⑤、在数轴上求任意两点a 、b 的距离L,则有公式a b L b a L -=-=或，这两个公式选择那个都一样。
知识点四：相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。
概念剖析：①、“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
②、显然，数a 的相反数是a -，即a 与a -互为相反数。
要把它与倒数区分开。
③、互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。
④、在数轴上离某点的距离等于a 的点有两个。
⑤、如果数a 和数b 互为相反数，则a +b =0；)0(1≠-=ab b a 或)0(1≠-=ab ab ； ⑥、求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；例如b a -的相反数是a b -；知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。
知识点五：绝对值数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
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专题：绝对值综合
重难点易错点解析
例题1
题面：设a是有理数，则|a|a的值（ ）
A.可以是负数
B.不可能是负数
C.必是正数
D.可以是正数，也可以是负数
去绝对值的分类讨论
例题2
题面：已知|ab2|与|b+1|互为相反数，试求代数式a2b2ab+b2013的值．
绝对值的非负性
例题3
题面：数轴上一个点到有理数a表示的点的距离为2，a到原点的距离为3，求这个点所表示
的有理数．
绝对值的几何意义
金题精讲
题一
题面：下列说法正确的是（ ）
A.如果|a|>|b|，则a>b
B.如果a>b，则|a|>|b|
C.如果a=b，则|a|=|b|
D.如果|a|=|b|，则a=b
绝对值和数值之间的关系
题二
题面：已知|a+3b|+|b5|+|c|=c，求a和b的值．
绝对值的非负性
题三
题面：(1)已知，|m|= m，化简|m1||m3|；
(2)已知，1
题四
题面：化简：|2x+1||x3|．
零点分段法
思维拓展
题一
题面：已知a为有理数，且|5+a|=|2a3|，求a的值.
绝对值相等两数的关系
讲义参考答案
重难点易错点解析
例题1
答案：B．
例题2
答案：9．
例题3
答案：±1，±5．
金题精讲
题一
答案：C．
题二
答案：a= 15，b=5．
题三
答案：2；2x．
题四
答案：x≤1/2，x4；1/2＜x≤3，3x2；x＞3，x+4．
思维拓展
答案： 8或2/3．