初中数学一元二次方程根与系数的关系(教案)

一元二次方程的根与系数的关系（一）教学内容：一元二次方程的根与系数的关系 教学目标：知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 情感与态度目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重、难点：重点：根与系数的关系及其推导．难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。

教学程序设计： 一、复习引入：1、写出一元二次方程的一般式和求根公式．请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。

对出错严重之处加以强调。

2、解方程①x 2-5x ＋6＝0，②-2x 2-x+3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。

二、探究新知推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1+x 2（2）x 1*x 2 板书推导过程。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么：a cx x a b x x =⋅-=+2121,教师举例说明，学生理解记忆。

三、反馈训练应用提高练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．根据题目的计算难易选择不同层次的学生回答，对答对的同学给与充分的表扬，对答错者应引导其掌握方法，并多给一次机会，让其得以消化和巩固，同时增强学生自信，提高学习积极性。

反思（1）（2）导出结论2：如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．注意：结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．四、一元二次方程根与系数关系的应用：1、验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）x2-6x＋7＝0；（-1，7）（2）-3x2-5x＋2＝0；（5/3，-2/3）（3）x2+9＝6x （3，3）要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。

注意：①将方程化为标准形式②计算准确，公式要用对2、已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．先由学生用自己的办法解答，老师巡视后，请具有代表性的解法的同学将解法板书在黑板上，经点评后，有同学评价各种解法的优劣，学生进行比较，体验方法的优越性，从而认识到根与系数关系的应用价值。

小结：验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）注意符号3、反馈训练应用提高练习：已知方程3x2-7x＋m＝0的根是1，求它的另一根及m的值．本题培养学生对具体问题的理解能力和分析能力，考查根与系数的关系的灵活运用，在解题过程中，学生可能会出现不同的解法，这时教师应先予以肯定，同时要引导学生比较二者的差异，体现新知的应用价值。

拓展：已知x1，x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，试求：（1）x12x2＋x1x22，(2) (x1+x2)2．本题的设计要求知识的迁移能力较强，学生在尝试时定会遇到各种阻碍，这正是教师想要达到的效果，只有产生了疑问，有了矛盾的激发，课堂才会更精彩。

此时，教师应带领学生进行分析，引导学生联系所学知识，分析所求与已知间的联系，共同探究解决疑难的办法，说明矛盾产生的原因。

五、小结提高1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．六、布置作业1.已知x1，x2是方程-2x2+5x+6＝0的两个根，则x1+x2= ，x1x2= 。

2．已知方程2x2-7x＋m＝0的根是4，求它的另一根及m的值．课题：一元二次方程的根与系数的关系● 教学目标：一、知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 二、过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 三、情感态度与价值观目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． ● 重点：根与系数的关系及其推导.● 难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系. ● 教学流程： 一、 导入新课1、 一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程求根公式是什么？3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a ,二次项系数b ，常数项，c 并求出方程的解。

（1）x 2-2x（3）x 2+3x +1=0 二、 新课讲解1、探索新知（2）已知：如果一元二次方程 的两个根分别是x 1 、x 2.猜想： 用a 、b 、c 的代数式表示。

2、一元二次方程的根与系数的关系推导.210x --=20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠()12,x x +=()12x x •=已知：如果一元二次方程 的两个根分别是x 1 、x 2 .求证： 证明：3、小结：在应用韦达定理时注意的问题. （1）先将一元二次方程转化成一般形式， （2）准确找到a,b,c ，口算 ∆ （3）记准韦达定理.4、例题精析例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ： （1）x 2+7x +6=0; （2）2x 2-3x -2=0.例2：已知关于x 的方程2x 2-（m -1）x +m +1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求m 的值及方程的两个根． 三、探究理解判断对错，如果错了，说明理由。

(1) 2x 2-11x+4=0两根之和为11,两根之积为4。

(2) 4x 2+3x=5两根之和为 ,两根之积为 (3) x 2+2=0两根之和为0，两根之积为2。

(4) x 2+x +1=0两根之和为-1，两根之积为1。

四、课堂练习 课堂练习 11.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ： （1）x 2-3x -1=0； （2）3x 2+2x -5=02、小明和小华分别求出方程的根.29610x x +-= 小明：121;3x x ==-小华：1233x x =-+=--12b x x +c 12xx +==22b a -=ba-=12x x ⋅=22()22b a a--=⨯()22244b b ac a--=244ac a =c a =34-54他们的答案正确吗？说说你的判断方法。

3、已知方程22703x x --= 的一个根是3求另一个根. 课堂练习21、已知方程 的一个根是4，它的另一 个根为 .k = .2. 已知方程 的一个根是 －1，它的另一 个根为 , a = .3.方程 的两根互为倒数，则k= . 变式：已知关于x 的方程 (1)当m= 时，此方程的两根互为相反数. (2)当m= 时，此方程的两根互为倒数. 五、课堂小结在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？一元二次方程根与系数的关系 的两个根分别是x 1、x 2，那么：六、 课堂拓展关x 的方程，x 2+mx -（m +1）=0 （1）无论m 为何值时，方程有实数根 （2） m 为何值时 1）两根互为相反数; 2）互为倒数; 3）有一个根为0 七、达标测评1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积。

(1) x 2-2x =2 (2) x 2-3x +1=0 (3) 2x 2-3x =0 (4) 3x 2=12.已知方程的一个根是 －1，它的另一个根为 ,a = .3.以2和 －3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为： . 七、布置作业教材51页习题第1、2、3题。

23120x kx -+=2270x x a ++=23210x kx k ++-=2(1)210xm x m -++-=)0(02≠=++a c bx ax ,21a bx x -=+a c x x =•21)0(≥∆211120ax x --=一元二次方程根与系数的关系教案教材出处：义务教育课程标准实验教科书23.3实践与探索第1课时根与系数的关系。

授课时间： 教学目标：1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。

3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。

教学重点：根与系数的关系的推导、运用。

教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。

教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。

教学过程：一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格：观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系？（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知：1、根与系数关系：（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：12x x p +=-， 12x x q =。

引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。

并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠∴20b cx x a a++=∴12b x x a +=-，12cx x a=对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。

证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：2b x a-±=设12b x a -+=，22b x a-=，则∴1222b bx x a a-+=+==-221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅=== 学生思考、归纳并回答下列问题：（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=（42+= （5）220x -= （6）2210x x ++= 例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。