三角形的内切圆和外接圆
三角形的外接圆与内切圆的性质
三角形的外接圆与内切圆的性质在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的两个圆形。
本文将描述三角形的外接圆和内切圆的性质，并探讨它们的关系。
一、三角形的外接圆（Circumcircle）三角形的外接圆是能够完全通过三个顶点的圆。
这意味着三角形的每个顶点都位于圆上。
外接圆的圆心被称为三角形的外心（Circumcenter）。
在外接圆中，三角形的三条边都是圆的切线。
下面是三角形外接圆的性质：1. 外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长。
2. 对于直角三角形，外接圆的直径等于斜边的长度。
3. 外接圆的周长等于三角形的周长。
二、三角形的内切圆（Incircle）三角形的内切圆是与三角形的三条边相切的圆。
内切圆的圆心被称为三角形的内心（Incenter）。
在内切圆中，三角形的每条边都是圆的切线。
下面是三角形内切圆的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的内角平分线的长度，也等于三角形三个角的内切点到相应边的距离。
2. 内切圆的圆心到三边距离的和等于内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。
面积越大，半径越大。
三、外接圆与内切圆的关系在任何三角形中，外接圆的圆心、内心以及重心（三条中线的交点）三点共线。
这条直线称为欧拉线（Euler Line）。
此外，外接圆和内切圆的半径之间存在着一个特殊的关系。
设R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，s为三角形的半周长（即三边之和的一半），则有如下关系式：R = （abc）/（4∆）r = ∆/s其中，a、b、c为三角形的三边长度，∆为三角形的面积。
这两个关系式表明，外接圆的半径与三角形的边长成正比，而内切圆的半径与三角形的面积成正比。
总结：三角形的外接圆与内切圆是与三角形紧密相关的圆形。
外接圆通过三角形的三个顶点，内切圆与三角形的三条边相切。
外接圆和内切圆有着许多重要的性质，包括半径与三角形边长、面积的关系等。
同时，外接圆的圆心、内心和重心三点共线，并且外接圆和内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系在数学中，三角形是一种基础的几何形状，而外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的几何概念。
本文将探讨三角形外接圆与内切圆的关系，并介绍它们的性质和特点。
一、外接圆外接圆是指可以完全包围三角形的圆，也就是通过三角形三个顶点的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，外接圆的圆心为O，半径为R。
根据外接圆的性质可以得出以下结论：1. 外接圆的半径是三角形三边的中线之积的一半。
即 R = (AB × BC × CA) / (4×S)，其中S为三角形的面积。
2. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 三角形的三条边与圆的切点构成的割线长度相等。
二、内切圆内切圆是指可以切刚好与三角形的三边相切的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，内切圆的圆心为I，半径为r。
根据内切圆的性质可以得出以下结论：1. 内切圆的半径可以通过三角形的三条边之和与面积的比值计算得出。
即 r = 2×S / (AB + BC + CA)，其中S为三角形的面积。
2. 内切圆的圆心是三角形三个角的角平分线的交点。
3. 内切圆的切点是三角形三条边的垂直平分线的交点。
三、外接圆与内切圆的关系通过观察可以发现，三角形的外接圆和内切圆具有一定的关系。
根据欧拉定理，三角形的外接圆和内切圆的圆心，以及三角形的垂心、重心、外心四点共线，并且这条直线称为欧拉线。
具体而言，外接圆和内切圆的圆心与三角形的垂心、重心、外心四点共线。
垂心是指三角形三个顶点所形成的垂直平分线的交点，重心是指三角形三个顶点与它们所对边中点形成的线段的交点，外心是指三角形三个垂直平分线的交点。
此外，外接圆的半径大于内切圆的半径，且内切圆的圆心位于外接圆的圆心与三角形各顶点之间。
四、应用领域三角形外接圆和内切圆的关系在各个学科和领域中都有广泛的应用。
三角形的外接圆与内切圆的关系
三角形的外接圆与内切圆的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
而在三角形中，外接圆和内切圆是两个与之密切相关的圆形。
外接圆，正如其名所示，是指可以完整地包围三角形的圆。
它的圆心位于三角形的外部，且圆心到三角形的每个顶点距离相等，这个距离叫做外接圆的半径。
那么，三角形的外接圆与内切圆之间存在着怎样的关系呢？内切圆是指可以刚好与三角形的三条边相切的圆形。
内切圆的圆心位于三角形的内部，且圆心到三角形的每条边的距离相等，这个距离叫做内切圆的半径。
根据三角形的性质，三角形的三条角平分线交于一个点，而这个点恰好是内切圆的圆心。
由此可见，三角形的内切圆与角平分线有紧密的关系。
除此之外，三角形的外接圆和内切圆还存在着一些相互关系。
首先，两个圆的圆心和三角形的顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。
此外，三角形的任意一条边都是两个圆的切线，也可以说两个圆与三角形的每条边相切。
这一属性对于解决一些与圆有关的几何问题非常有用。
进一步地，我们还可以通过三角形的边长和角度来确定外接圆和内切圆的半径。
对于外接圆而言，其半径等于三角形的边长之积除以四倍三角形的面积。
而内切圆的半径则等于三角形的面积除以半周长（半周长等于三边之和的一半）。
利用外接圆和内切圆的性质，我们可以解决一些实际问题，比如计算三角形的面积、判断三角形的类型等。
在工程学、建筑学以及地理学等领域，对三角形的外接圆和内切圆的关系有着广泛的应用。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆存在着紧密的关系。
两个圆的圆心和三角形的顶点共线，圆与三角形的顶点和边存在相切关系。
通过三角形的边长和角度，我们可以推导出外接圆和内切圆的半径。
这些性质不仅仅是几何学的基础知识，还在实际中有着重要的应用和意义。
三角形的内切圆与外接圆的性质
三角形的内切圆与外接圆的性质三角形是几何学中最基本也是最重要的一个概念。
在三角形的研究中，内切圆和外接圆是两个常见而又重要的概念。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的性质和特点。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在研究内切圆的性质时，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心和三角形的角平分线的交点的连线，三条线段的交点位于内切圆的圆心上。
2. 内切圆的半径等于三角形的内切圆半径等于三角形三边之和的一半除以半周长。
3. 三角形的内切圆与三角形相切的三条边之间的距离相等。
4. 三角形的内切圆与三角形的三个内角的角平分线相交于一个点。
由上述性质可知，内切圆与三角形密切相关，可以帮助我们研究三角形的性质和特点。
内切圆在三角形的重心、垂心等重要点的研究中起到了重要的作用。
二、外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点相切的圆。
在研究外接圆的性质时，我们可以得出以下结论：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
2. 外接圆的半径等于三角形三边之积与4倍三角形的面积之比。
3. 三角形的外接圆与三角形三个顶点连线的垂直平分线相交于一个点。
4. 三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边。
由上述性质可知，外接圆也与三角形的重要性质和特点密不可分，特别是在求解三角形的面积、周长、角度等问题时能够发挥重要作用。
总结：内切圆和外接圆分别是与三角形密切关联的两个圆形。
它们在三角形的研究中具有重要的性质和特点。
内切圆与三角形的内角平分线、边界点等位置有密切关系，可以帮助我们推导出三角形的其他性质。
而外接圆则与三角形的边界点、面积、周长等有重要关系，能够帮助我们更好地理解三角形的特点。
了解三角形的内切圆与外接圆的性质，可以帮助我们更深入地研究三角形的性质和特点，对于解决实际问题和进行几何证明有着重要的作用。
通过对内切圆和外接圆的深入理解和研究，我们可以更好地理解和应用三角形的相关知识。
几何中的三角形内切圆与外接圆
几何中的三角形内切圆与外接圆在几何中的三角形中，内切圆和外接圆是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及相关推论，进一步探讨它们在几何中的应用。
一、三角形内切圆首先，我们来定义三角形内切圆。
在一个三角形中，如果存在一个圆，这个圆与三角形的三条边都有且仅有一个公共点，那么这个圆就是三角形的内切圆。
三角形的内切圆有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合。
根据这个性质，我们可以很容易地找到内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径等于三角形三边长度之和的一半再除以周长。
3. 三角形三个顶点与内切圆的切点构成的切线互相垂直。
二、三角形外接圆接下来，我们来定义三角形外接圆。
在一个三角形中，如果存在一个圆，这个圆与三角形的三条边的延长线相交于圆上，那么这个圆就是三角形的外接圆。
三角形的外接圆有以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形任意一条边的长度的一半再除以正弦定理中的正弦值。
3. 三角形的三条边分别是外接圆与相应角的切线。
三、应用与推论三角形内切圆和外接圆在几何中有广泛的应用。
它们不仅帮助我们理解和解决一些几何问题，还在实际生活中有很多实际应用。
1. 运用内切圆或外接圆，我们可以求解三角形的面积。
通过计算内切圆的半径和外接圆的半径，结合数学公式，可以得到三角形的面积。
2. 内切圆和外接圆还可以帮助我们进行几何证明。
在证明过程中，利用内切圆和外接圆的性质，可以简化证明的步骤，提高证明的效率。
3. 三角形内切圆和外接圆的概念还在工程和建筑设计中有很多应用。
例如，在建筑设计中，设计师可以利用内切圆和外接圆的性质来确定柱子和梁的位置和角度。
通过对三角形内切圆和外接圆的了解，我们可以进一步探索几何学中的更多知识和应用。
这些概念和性质不仅仅是理论上的，它们在实际生活中也有着很多实际应用和意义。
综上所述，三角形内切圆和外接圆是几何中重要的概念和性质。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质在几何学中，三角形是最为基本和重要的图形之一。
三角形内切圆和外接圆是与三角形密切相关的圆。
本文将探讨三角形内切圆和外接圆的性质，包括内切圆和外接圆的定义、性质及其在数学和实际问题中的应用。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切于一点的圆。
它有以下几个性质：1. 内切圆的圆心与三角形的内心重合。
内心是三角形内部的一个特殊点，它是三角形三条内角平分线的交点。
由于内切圆与三角形的三边都相切，所以内切圆的圆心一定与三角形的内心重合。
2. 内切圆的半径等于三角形三条边的内切线的和。
内切线是指从三角形的顶点到内切圆的切点所连的线段。
内切圆的半径等于三条内切线的和，即r = s - a + s - b + s - c，其中r是内切圆的半径，a、b、c分别是三角形的三边长，s是三角形半周长。
3. 内切圆与三角形的三条边的切点连成的线段垂直于各边。
这是内切圆性质的一个重要结论，可由内切圆的切线与半径的性质得出。
二、外接圆的性质外接圆是指能够同时与三角形的三个顶点相切的圆。
它有以下几个性质：1. 外接圆的圆心在三角形的外心上。
外心是三角形外接圆的圆心，它是三角形三条外角平分线的交点。
因为外接圆与三角形的三个顶点相切，所以外接圆的圆心一定在三角形的外心上。
2. 外接圆的半径等于三角形三边长的乘积的二倍除以三角形的面积。
外接圆半径R的计算公式为R = (abc) / 4A，其中a、b、c是三角形的三边长，A是三角形的面积。
3. 三角形的三个外角等于外接圆圆心对应角的两倍。
外接圆通过三角形的三个顶点，相应角即为三角形的外角，该外角等于外接圆圆心对应角的两倍。
三、应用和意义三角形内切圆和外接圆在数学和实际问题中具有广泛的应用。
其中，内切圆和外接圆的性质可以用于解决与三角形相关的几何问题，如求解三角形的面积、周长等。
此外，内切圆和外接圆还与其他数学分支有着密切的关系。
比如，在代数学中，可以通过求解三角形内切圆和外接圆的性质，解决关于三角函数的各种问题。
三角形的内切圆和外接圆的性质
三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，内切圆和外接圆是三角形的两个重要元素，它们与三角形之间存在着一些特殊的关系和性质。
本文将详细讨论三角形的内切圆和外接圆的性质。
1. 内切圆的性质内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆，其圆心被称为内切圆心，与三个切点分别构成内切圆切点。
内切圆的性质有以下几点：首先，内切圆的圆心与三角形的角平分线交于一点。
这是因为内切圆与三角形的三条边相切，而切点与三角形的顶点相连构成的线段垂直于切线，因此切点与顶点之间的连线即为角平分线。
其次，内切圆的圆心与三角形的重心、垂心和外心共线。
这是因为三角形的重心、垂心和外心分别是三条高线、三条垂线和三条中线的交点，而内切圆的圆心被证明与这三点共线。
这一性质有助于证明三角形和内切圆之间的关系。
最后，内切圆的半径与三角形的面积和周长存在特殊的关系。
根据数学推导，可以得出内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，即r = S / p，其中r为内切圆半径，S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
这一公式在实际计算中非常有用。
2. 外接圆的性质外接圆是能够通过三角形的三个顶点的圆，其圆心被称为外接圆心，与三个顶点分别构成外接圆上的三个点。
外接圆的性质有以下几点：首先，外接圆的直径等于三角形的边长之一。
由于外接圆是能够通过三个顶点的圆，因此它的直径就等于连接两个顶点的线段。
这一性质可以用来确定三角形的边长。
其次，外接圆的圆心与三角形的垂心共线。
垂心是三角形三条高线的交点，而外接圆的圆心被证明与垂心共线。
这一性质也有助于研究三角形和外接圆之间的关系。
最后，外接圆的半径等于三角形的边长之比的一半。
根据数学推导，可以得出外接圆的半径等于三角形的边长之比的一半，即R = a /(2sinA)，其中R为外接圆半径，a为三角形的边长，A为对应的顶点的角度。
这一公式在实际计算中也非常有用。
综上所述，三角形的内切圆和外接圆具有一些重要的性质和特点。
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三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2ABCODE∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
例3 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB ，然后用方法一或方法二解题.解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°， ∠CAE ＝∠DAB ＝ 90°－ 60°＝30° CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，AB=√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。
用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥BC 于M ，则AD 2－MD 2＝A M 2 ＝AC 2－(MD ＋CD)2．即 52－MD 2＝72－(MD ＋3)2．得R ＝14， 则△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝196π．例5 如图3，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A在直线y ＝－4x －1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x 轴的交点B 、C 的坐标；ABCOD E③△ABC 的外接圆的面积．解 ①A(2，－9)；②B(－1，0)； C(5， 0)．③从A 作AM ⊥x 轴交于M 点， 则BM ＝MC ＝3．AM ＝9．∴R ＝5△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝25π三角形内切圆半径r 的求法1 ∵S △ABC =1/2(a+b+c)r∴r=2S △ABC /(a+b+c) 2 Rt △ABC 中,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2cR (c 为斜边长)．2、三角形的内切圆（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．（2）若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cb a S r ABC++=∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2cb a r -+=.3、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】 一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 （2）如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ）A 、∠BIC=︒180-2∠AB 、∠BIC=2∠AC 、∠BIC=︒90+∠A/2D 、∠BIC=︒90-∠A/2 （3）ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． （6）圆外切等腰梯形底角为︒60，腰长为10，则圆的半径长为 ． （7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．（9）ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．例2．如图，△ABC 中，I 是内心，AI 交BC 于D ，交△ABC 的外接圆于E 。
求证：（1）IE=EC ，（2）IE 2=ED ·EA 。
·IA BC例3．如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ，求证：ABC ∆是等腰三角形例4．已知ABC ∆三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为【经典练习】 一、选择题1.下列命题中，正确的有（ ）① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．120°3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r ，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A ．π43 B ．π3 C ．π23 D ．π2 4.如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ）·ABCOEPA ．125°B ．110°C ．55°D ．70°5.如图OABC=（ ）° C90° 6.如图OBPC 为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°7.如图4， MNPQ 中，过点Q 、M 的圆与PQ 、MN 分别相交于点E 、F ，下列结论中正确的有（ ）①∠EFN=∠Q=∠N ；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ ；④∠M=∠FEP 。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 为⊙O 的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC =（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°二、填空题9．设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。
10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。
11．直角三角形的一边为a ，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是 。
12．如图6，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。
D图1图2 图3 图4 图5C 图6B13．如图7，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C=90°，D 、E 、F 为切点。
若∠AOC=120°， 则∠OAC= ，∠B= ；若AB=2cm ，则AC= , △ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。
14．如图8，若弦AD ∥BC ，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC= 度，∠ACD= 度。
15．如图9，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AE ⊥CD ，若∠ABC=130°，则∠DAE= 。
16．如图10，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 与DC 的延长线交于P 。
已知∠A=60°， ∠ABC=100°，则∠P= 。
【大展身手】 一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形2．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 3．下列图形一定有外接圆的是（ ）B 图9图10A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形4．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ．23B ．33C ．3D ．217．三角形的外心具有的性质是（ ） A ．到三边距离相等 B ．到三个顶点距离相等 C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A ．它到三角形三个顶点的距离相等 B ．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C ．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D ．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A ．菱形B ．等腰梯形C ．矩形D ．正方形10．如图所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对D 、4对11．∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，那么一定有（ ）A 、∠DCE+∠A=︒180B 、∠DCE+∠B=︒180C 、∠DCE=∠A`D 、∠DCE=∠BA DCBPQ二、填空题：1．△ABC 的三边3，2，13，设其三条高的交点为H ，外心为O ，则OH= ．2．△ABC 的外心是它的两条中线交点，则△ABC 的形状为 ． 3．如图所示，在ABC ∆的外接圆中，AB=AC ，D 为AB 的中点， 若∠EAD=︒114，则∠BAD= ．例6 已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 的延长线上，且PC ∥BD 。