保险精算例题

学习文档 仅供参考 第二章 【例2.1】 某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算： （1） 如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？ （2） 如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？ （3） 借款多长时间后需要还款1200元。 解：〔1〕1997年1月1日到1999年1月1日为2年。 在单利下，还款总额为： A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100〔元〕 在复利下，还款总额为： A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5〔元〕 〔2〕从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。 在单利下，还款总额为：

1000×〔1+ 139365 ×5%〕=1019.04〔元〕 在复利下，还款总额为： 1000×139365%（1+5） =1018.75〔元〕 （4） 设借款t年后需要还款1200元。 在单利下，有 1200=1000×〔1+0.05t〕 可得： 学习文档 仅供参考

t=4〔年〕 在复利下，有 1200=1000×〔1+0.05〕t 可得： t≈3.74〔年〕 【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解：在单利下，有 A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元) 在复利下，有 A(5)+1000×(1+5%)² ×(1+6%)³=13130.95(元) 【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。 解：〔1〕1995年1月1日的现值为： 1000×〔1-0.05〕³=857.38〔元〕 〔2〕年利率为：

i=d1-d =0.050.95 【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算： （1） 在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。 （2） 在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。 解：〔1〕以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值学习文档 仅供参考

为： 14000×〔11.06 〕2=12459.95〔元〕 （3） 用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为： 14000×〔1-0.06〕²=12370.4〔元〕 6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率 m 1 2 3 4 6 12 ∞ d(m)

【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？ 解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有 1000×〔1.03〕36=2898.28〔元〕 故三个月后他欠款2898.28元。 【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。〔2〕求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。〔3〕求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。 解：〔1〕实际利率为：

i=〔1+mim)(〕m—1 =〔1+12%12 〕12—1 =12.68% 学习文档 仅供参考

故实际利率为12.68%。 〔2〕实际贴现率为：

d=1—〔1—md）（m〕m

=1—〔1—10%4 〕4 =9.63% 因此，实际贴现率为9.63%。 〔3〕由〔1+i〕-1=1—d，有

〔1+mim)(〕-m =〔1—ndn）（〕n

〔1+12%12 〕-12=〔1—2d2）（〕2 d2）（=2×[1—〔1+12%12 〕-6]=11.59%

【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？ 解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%〔16%/4=4%〕，21个月共结算7次〔21/7=7〕。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为： 4000×〔1+4%〕7=5263.73〔元〕 值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。 【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题： 学习文档 仅供参考

（1） 贷款额在2003年7月22日的价值。 （2） 年利率i。 （3） 名义利率i12）（ 解：〔1〕如果一致年利率i，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000〔1+i〕5。 有公式〔2.20〕，利息力与利率有如下关系： e&=1+i 从而 4000×〔1+i〕5=4000×e=8055.01〔元〕 〔2〕由〔1+i〕= e，的年利率为： i= e— 〔3〕由〔〕式和〔2.20〕式，有

〔1+12i12）（〕12=1+i= e i12=12×〔e— 【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？ 解：设他在7年后的欠款额为X，有 X=50000×14—30000×10—20000×4=12801.82〔元〕 【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。 学习文档 仅供参考

解：依题意 X=8000×9+6000×7—12000×3=6961.73〔元〕 【例2.11】某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的存款总额。 解： X=4000×6+6000×2+5000×〔-1〕 =17545.22〔元〕 故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元. 【例2.12】某人1995年1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。 解：2000〔1+i〕5+3000〔1+i〕2=7100 由 f〔i〕=2000〔1+i〕5+3000〔1+i〕2—7100=0 i=0.11+）（—71.11-22.1071.11× 【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。 解：设每年需要的还款额为X,根据题意，有 由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有 200000=X30a

X=302000001iv=13010.29〔元〕 学习文档 仅供参考

【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。 解：X ..15a=2000 X= ..200015a=1520001dv

由于 d=i1+i 故 X=194.27〔元〕 【例2.15】某人在30岁时计划每年初存入300元建立个人账户，如果他60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。 （1） 求退休时个人账户的累积额。 （2） 如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。 解：〔1〕退休时个人账户累积额是30年定期的年金终值： 300..30s=X..240a ..240a=2401dv=24010.002466/1.002466(1/1.002466)

X=81.03〔元〕 【例2.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第9个月开始在5年中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。 解：月利率j为： 学习文档 仅供参考

〔1+j〕12 在第8个月，有 X 60a=50000〔1+j〕8 X=1001.0921〔元〕 设每月可以领取到的数额为x元，则有

300..30s=12x..(12)

20a

根据名义贴现率的计算公式，可得： d〔12〕=12[1-〔1+i〕-1/12 ..(12)

20a=20(12)1vd

X=14700.801215.11814259=81.03〔元〕 因而每月可以领取的年仅为81.03元。 【例2.18】某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%，年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。 解：依题意，有 现值=1009a+1009a×v =1009a〔1+v〕 =1387.72〔元〕 【例2.19】假设存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。