精品北师大版九年级下册《二次函数与一元二次方程的关系》说课稿
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
2.5 二次函数与一元二次方程课件 初中数学北师大版九年级下册
新知应用
下表是若干组二次函数y=x2-5x+c的自变量x与函数值y的对应值:
x
y
…
…
1.3
0.36
1.4
1.5
1.6
1.7
0.13 -0.08 -0.27 -0.44
那么方程x2-5x+c=0的一个近似根(精确到0.1)是( B )
A.1.4 B.1.5 C.1.6 D.1.7
…
…
1.根据以下表格中二次函数 y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应
的值.
解:(2)∵点C(m,n)在抛物线上,∴n=-m2+2m+3.当m=3时,n=0.
∴点C的坐标为(3,0).
∵一次函数y=kx+b的图象经过抛物线上的点C(m,n),
∴3k+b=0.∴b=-3k.∴一次函数的表达式为y=kx-3k.
∵一次函数y=kx+b的图象与抛物线只有一个公共点,
∴方程kx-3k=-x2+2x+3有两个相等的实数根.
)
2.如图所示,已知函数y 1 =ax 2 +bx+c(a≠0)与 y 2 =kx+b的图象交于点
A(-1,0),B(-4,3)两点,则y1<y2的x的取值范围是(
A.x<-4
B.-4<x<-1
C.x>-1
D.x<-4或x>-1
B
)
3.已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,一次函数
(1)求m的值;
解:(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2-3,得4=4+2m+m2-3,
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)新版北师大版
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解最大面积或最小成本的问题？”（如篮球投篮的角度问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：强调二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系，通过图像理解方程的解。
-二次函数图像的绘制：掌握二次函数标准形式图像的绘制方法，理解开口方向、顶点、对称轴等关键特征。
-二次函数最值的求解：理解二次函数的顶点公式，能够求解二次函数的最大值和最小值问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次函数与一元二次方程的关系，以及它们在实际问题中的应用。通过这节课的教学，我发现有几个地方值得深思。
首先，学生们在理解二次函数与一元二次方程之间的联系时，普遍感到有些吃力。尽管我通过图像和实际案例进行了讲解，但部分学生仍然难以把握这种抽象关系。在今后的教学中，我需要寻找更多形象直观的教学方法，如使用动态图像或实物模型，帮助学生更好地理解这一难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像与方程解的关系，以及求解二次函数最值的方法。对于难点部分，我会通过图形示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如最优化问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如绘制不同参数下的二次函数图像，观察顶点和开口的变化。
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教案
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教案一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。
三. 教学目标1.使学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.使学生能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式学习本节内容。
在教学过程中，注重启发学生思考，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
例如：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？设原价为x元，打8折后的售价为0.8x元，根据题意可得：0.8x = 120引导学生思考，如果将上述问题转化为二次函数形式，应该如何表示？2.呈现（10分钟）呈现二次函数与一元二次方程之间的关系。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）引导学生理解，二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学内容。
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第5节二次函数与一元二次方程1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.3.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.4.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.5.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.6.进一步发展估算能力.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.3.通过共同观察和讨论,培养学生的合作交流意识.【重点】1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法,进一步发展估算能力.2.理解二次函数的图象和x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.【难点】1.掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法解决相关的问题.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.第1课时二次函数与一元二次方程的关系1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.【重点】把握二次函数图象与x轴(或直线y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.【难点】探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质.导入一:小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?学生分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.【问题】二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?[设计意图]通过观察、分析、发现的过程,让学生初步感知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间的关系,为下面的探究打下了良好的基础.导入二:“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射时,它的高度h (m )与时间t (s )的关系可以用公式h =-t 2+10t -15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9m 的高度吗?【问题】当h =9时,二次函数h =-t 2+10t -15的形式发生了怎样的变化?学生分析:当h =9时,二次函数h =-t 2+10t -15就转变成了一元二次方程-t 2+10t -15=9.[设计意图]通过对火箭发射的探究,引导学生将函数表达式进行转变,逐步引出本节课的知识,即二次函数与一元二次方程的关系,激发了学生的探究欲望,提高了学生的学习积极性.课件出示:我们已经知道,竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以近似地用公式h =-5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m )是抛出时的高度,v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s 的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h (m )与运动时间t (s )的关系如图所示.那么:(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.问题1师引导学生仔细审题,回答下面的问题:1.由图象可得h 0=,v 0=.2.由h 与t 的关系式为h =-5t 2+v 0t +h 0,可得h 与t 的关系式为.学生分析:生发言:h 与t 的关系式为h =-5t 2+v 0t +h 0,其中的v 0为40m/s ,小球从地面被抛起,所以h 0=0.把v 0=40,h 0=0代入上式即可求出h 与t 的关系式,所以h =-5t 2+40t.问题2怎样求出小球落地所需要的时间?思路一【师生活动】要求学生通过观察图象得出结论,学生观察、分析、讨论后,师生统一答案.解:观察图象可得:小球经过8s 后落地.思路二师引导学生仔细审题,回答下面的问题:1.小球落地时高度h 为何值?2.当h 取值时,函数表达式发生了怎样的转变?3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?【师生活动】要求学生思考后,与同伴交流,教师巡视并参与讨论,及时订正学生出现的错误.【学生活动】独立完成后,同伴交流,代表板演解题过程.解:令h =0,得-5t 2+40t =0,即t 2-8t =0,∴t (t -8)=0.解得t 1=0,t 2=8.∵t =0是小球没抛时的时间,∴t =8是小球落地时的时间.∴小球经过8s 后落地.【教师点评】两种方法运用了一“数”一“形”,再次体现了数形结合的数学思想方法.[设计意图]通过实际问题的解答,使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形【议一议】二次函数y =x 2+2x ,y =x 2-2x +1,y =x 2-2x +2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程x 2+2x =0,x 2-2x +1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x 2-2x +2=0有实数根吗?(3)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程ax 2+bx +c =0的根有什么关系?【师生活动】组织学生观察图象,对学生进行分组:共分六个组,两两合作,共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论,师巡回指导,参与各小组讨论,及时点拨指正.各组选出一个代表发言,阐述自己的结论.第一组:二次函数y =x 2+2x 的图象与x 轴有2个交点,分别为(0,0)和(-2,0);第二组:一元二次方程x 2+2x =0有两个根,分别为x 1=0,x 2=-2.第一、二组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是一样的.第三组:二次函数y =x 2-2x +1的图象与x 轴只有一个交点,为(1,0);第四组:一元二次方程x 2-2x +1=0有两个相等的根,为x 1=x 2=1.第三、四组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.第五组:二次函数y =x 2-2x +2的图象在x 轴的上方,与x 轴没有交点;第六组:一元二次方程x 2-2x +2=0没有实数根.第五、六组同学得出共同的结论:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴没有交点,对应的一元二次方程ax 2+bx +c =0就没有实数根.【教师点评】二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax 2+bx +c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.让学生再次深刻理解.[设计意图]通过对三个函数图象与x 轴交点的观察、对一元二次方程根的解答,让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,提高发现问题、解决问题的能力.[知识拓展]二次函数与一元二次方程之间的关系:当y =0时,二次函数的解析式y =ax 2+bx +c 就是一元二次方程ax 2+bx +c =0,而一元二次方程ax 2+bx +c =0的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判2课件出示:【想一想】在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m ?你是如何知道的?思路一由图象可知:当h =60m 时,直线h =60与函数h =-5t 2+v 0t +h 0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2s 和6s 时,高度都是60m .思路二解:在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中,当h 0=0,v 0=40,h =60时,有-5t 2+40t =60,即t 2-8t +12=0,解得t 1=2,t 2=6.因此,当小球离开地面2s和6s时,高度都是60m.[设计意图]通过这两个实际问题使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系,同时利用两种不同的方法进行求解,体现了解题方法的灵活性,同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想,也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.二次函数与一元二次方程之间的关系:1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是()A.y=-x2+2x-5B.y=-2x2-8x-11C.y=3x2-6x+1D.y=4x2+24解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()A.-8B.8C.±8D.6解析:由图象可知,抛物线与x 轴只有一个交点,∴Δ=m 2-4×2×8=0,解得m =±8.∵对称轴为直线x =-<0,∴m >0,∴m 的值为8.故选B .3.二次函数y =x 2-mx +3的图象与x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m 的值是.解析:∵抛物线y =x 2-mx +3过点(1,0),∴1-m +3=0,∴m =4.故填4.4.已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示,求关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解.解:根据图象可知,二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y =-x 2+2x +m ,代入,得-9+2×3+m =0,解得m =3.把m =3代入一元二次方程-x 2+2x +m =0,得-x 2+2x +3=0,解得x 1=3,x 2=-1.第1课时1.二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax 2+bx +c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.一、教材作业【必做题】1.教材第52页随堂练习.2.教材第52页习题2.10第1,2题.【选做题】教材第53页习题2.10第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.抛物线y =-3x 2-x +4与x 轴的交点个数是()A.3B.2C.1D.02.(2015·苏州中考)若二次函数y =x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线,则关于x 的方程x 2+bx =5的解为()A.x 1=0,x 2=4B.x 1=1,x 2=5C.x 1=1,x 2=-5D.x 1=-1,x 2=53.抛物线y =x 2-3x 与x 轴的交点坐标为.【能力提升】4.(2014·东营中考)若函数y =mx 2+(m +2)x +m +1的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为()A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-25.(2015·陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧6.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()A.-3B.3C.-6D.97.(2014·株洲中考)如果函数y=(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.8.已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.9.(2015·宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.①求该抛物线的函数解析式;②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.【拓展探究】10.(2015·荆州中考)已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2=0.(1)求证:无论k 取任何实数,方程总有实数根;(2)当抛物线y =kx 2+(2k +1)x +2与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且k 为正整数时,若P (a ,y 1),Q (1,y 2)是此抛物线上的两点,且y 1>y 2,请结合函数图象确定实数a 的取值范围;(3)已知抛物线y =kx 2+(2k +1)x +2恒过定点,求出定点坐标.【答案与解析】1.B (解析:令y =0,得到-3x 2-x +4=0,即3x 2+x -4=0,∴Δ=1-4×3×(-4)=49>0,∴-3x 2-x +4=0有两个不相等的实数根,即抛物线y =-3x 2-x +4与x 轴有两个交点.)2.D (解析:∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线,∴-=2,解得b =-4,解方程x 2-4x =5,得x 1=-1,x 2=5.故选D .)3.(3,0),(0,0)(解析:令y =0,则x 2-3x =0,解得x =3或x =0.所以抛物线y =x 2-3x 与x 轴的交点坐标是(3,0),(0,0).故填(3,0),(0,0).)4.D (解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,∵函数y =mx 2+(m +2)x +m +1的图象与x 轴只有一个交点,∴Δ=(m +2)2-4m ·=0且m ≠0,解得m =±2;②当函数为一次函数时,m =0,此时函数解析式是y =2x +1,其图象与x 轴只有一个交点.故选D .)5.D (解析:当y =0时,ax 2-2ax +1=0,∵a >1,∴Δ=(-2a )2-4a =4a (a -1)>0,ax 2-2ax +1=0有两个根,其对应的函数图象与x 轴有两个交点,又x 1+x 2=-=2>0,x 1x 2=>0,∴这两个交点均位于y 轴右侧.故选D .)6.B (解析:∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,∴a >0,-=-3,即b 2=12a ,∵一元二次方程ax 2+bx +m =0有实数根,∴Δ=b 2-4am ≥0,即12a -4am ≥0,即12-4m ≥0,解得m ≤3,∴m 的最大值为3.)7.a <-5(解析:∵函数y =(a -1)x 2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴此函数一定是二次函数,其图象与x 轴有两个交点,且两个交点必在y 轴两侧,∴解得a <-5.故填a <-5.)8.(1)证明:当二次函数图象与x 轴相交时,2x 2-mx -m 2=0,Δ=(-m )2-4×2×(-m 2)=9m 2.∵m 2≥0,∴9m 2≥0,∴对于任意实数m ,该二次函数图象与x 轴总有公共点.(2)解:把(1,0)代入二次函数关系式,得0=2-m -m 2,∴m 1=-2,m 2=1,当m =-2时,二次函数关系式为y =2x 2+2x -4,令y =0,得2x 2+2x -4=0,解得x =1或x =-2,∴二次函数图象与x 轴的两个公共点的坐标是(1,0),(-2,0).又∵A 点坐标为(1,0),∴B (-2,0),当m =1时,同理可得B.9.(1)证明:y =(x -m )2-(x -m )=x 2-(2m +1)x +m 2+m ,∵Δ=(2m +1)2-4(m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.(2)解:①∵x =-=,∴m =2,∴抛物线解析式为y =x 2-5x +6.②设抛物线沿y 轴向上平移k (k >0)个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y =x 2-5x +6+k ,∵抛物线y =x 2-5x +6+k 与x 轴只有一个公共点,∴Δ=52-4(6+k )=0,∴k =,即把该抛物线沿y 轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.10.(1)证明:①当k =0时,方程为x +2=0,∴x =-2,方程有实数根,②当k ≠0时,∵Δ=(2k +1)2-4k ×2=(2k -1)2≥0,∴无论k 取任何实数,方程总有实数根.(2)解:令y =0,则kx 2+(2k +1)x +2=0,解关于x 的一元二次方程,得x 1=-2,x 2=-.∵二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且k 为正整数,∴k =1,∴该抛物线解析式为y =x 2+3x +2,如图所示,由图象得到:当y 1>y 2时,a >1或a <-4.(3)依题意得kx 2+(2k +1)x +2-y =0恒成立,即k (x 2+2x )+x -y +2=0恒成立,则解得或∴该抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).通过本节课的学习,重点要让学生体会到函数与方程之间的内在联系,所以在教学中重点训练学生观察图象的能力,以便找出图象与x轴交点的个数,并判断一元二次方程根的情况,充分感受数形结合的数学思想.为了提高课堂效率,对于“议一议”采取了分组讨论、合作解决的方式,让学生在分组的同时,还能体会到合作的重要性.为加深学生对本节课知识的印象,围绕着教学目标精心挑选题目,由基础题到提高题,再到中考题,通过不断地训练,让学生在“做”中“思”,来加深理解,然后再将这种理解应用到解题中去,以此不断提高学生的解题技能.由于时间有限,安排以找规律的方式引入交点式时,没有深入地进行说理,致使少数学生浮于表面,不能真正理解而对结论产生混淆.本节课学生完全有能力探索出二次函数与一元二次方程之间的关系,所以再教时,要大胆放手让学生去观察,去发现,给他们更大的思考空间.随堂练习(教材第52页)解:(1)略.(2)当t =1时,h =-4.9×12+19.6×1=14.7(m );当t =2时,h =-4.9×22+19.6×2=19.6(m ).(3)方程-4.9t 2+19.6t =0的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为0m .方程-4.9t 2+19.6t =14.7的根的实际意义是踢出后经过多长时间足球距地面的高度为14.7m .图象表示略.习题2.10(教材第52页)1.解:(1)令y =0,得x 2-x +3=0,∵Δ=b 2-4ac =(-1)2-4××3<0,∴此方程无实数根,即此二次函数的图象与x 轴无交点.作图略.(2)令y =0,得-2x 2+20x -49=0,∵Δ=b 2-4ac =202-4×(-2)×(-49)=400-392=8>0,∴此方程有两个实数根,分别为x 1=5+,x 2=5-,∴图象与x 轴的交点坐标为和.作图略.2.解:因为Δ=b 2+4>0,所以y =x 2+bx -1的图象与x 轴相交,有两个交点.3.解:方程x 2-6x +4=1的根是抛物线y =x 2-6x +4与直线y =1的交点的横坐标,图略.4.提示:设两个函数图象相交,则交点横坐标满足-x 2+3x +4=2x -1.解得x 1=,x 2=,故交点坐标为,,,-.1.本节课的重点是探究二次函数和一元二次方程两者之间的关系,所以复习二次函数的图象的性质和一元二次方程的解法是学生课前必做的功课.2.数形结合思想是学好本节知识的关键,所以学生要进一步加强观察二次函数图象的能力,要多看、多察、多思.3.要求学生在与其他同学的合作交流中逐步发现二次函数和一元二次方程之间的关系,养成及时归纳总结的好习惯,并要加强练习,对所学知识进行巩固拓展.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+3(m 是常数).(1)求证:不论m 为何值,该函数的图象与x 轴都没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?〔解析〕(1)求出根的判别式,即可得出答案.(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质即可得出答案.证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,即不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点.解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点,∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.[解题策略]本题考查了二次函数图象和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.。
北师版数学九年级下册第二章《二次函数》【说课稿】 利用函数的图象解一元二次方程
1、地位和作用本节课是新北师版九年级下册第二章二次函数的第5节，是学生在学习和掌握了二次函数的图象和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。
本节课和一次函数：用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生。
通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。
2、教材内容在这节课中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二、学情分析根据学生现状，在八年级时已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。
因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分理解函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。
三、教学目标四、教学重点难点程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题．这样设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，帮助学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神，并且体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的理解与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
六、教学流程安排七、教学过程设计2021年春季小学数学复习题 练习 试卷 测试题小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系：2520t t h -=．（1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间?（4）球从飞出到落地要用多少时间?分析： （1） h 是t 的二次函数； （2） 当h 取具体值时，得到关于t 的一元二次方程； （3） 如何求解一元二次方程的根呢？（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？从小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．问题与情境师生行为设计意图。
北师大版数学九年级下册二次函数说课课件
设计了问题串，有效的进行了知识梳理
梳理一：一次函数与反比例函数的一般形式与本质变化规律。
教学过程
一.复习回顾 4.我们研究过那些关于函数的生活实际问题呢？我们是如何研究的呢？
提供丰富的、贴近学生实际的现实情境,尽可能减少因情境陌生而造成的 列函数关系式的困难，以更好地帮助学生认识概念.
教学过程
三.归纳总结 抽象概念 1.对比经上所列出的函数表达式，它们是一次函数吗？它们是反比例函数吗？ 它们有什么特征，你能概括出来吗？ 2.自变量每增加1,函数值增加或减少的值相等吗？有什么规律？ 3.用来表示函数的代数式有什么特点？项数？自变量的次数？ 4.你能写出这类函数关系式的一般形式吗？
数学 建模
数学 思维
二次函数概念的学习，有利于发展学生“数 学建模”的核心素养，体会数学应用的广泛 性.
二次函数概念的学习，有利于学生领悟数学 的思维方式与研究问题的方法，帮助学生积 累数学活动经验.
学情分析
学习二次函数概念的已有知识经验分析
知识技能基础 学生活动经验基础
学困分析
困难一：体现在对二次函数所刻画的变量关系与变化规律 的本质属性的认识上
困难二：体现在从众多的函数表达式中，抽象二次函数表 达式的共性特征比较困难.
教学目标
课标要求：通过对实际问题的分析，体会二次函数意义。
✓ 经历从实际问题中建立变量之间的函数关系式，借助表格探索变量之间关系 的过程，发展抽象概括能力，初步体会二次函数的模型作用及其应用的广泛 性；
✓ 能说出二次函数的一般形式，能表示简单变量之间的二次函数关系，能识别 具体问题中的二次函数；
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北师大版数学精品教学资料 《§2.8 二次函数与一元二次方程》说课稿 第一课时 教学目标 一、教学知识点 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 二、能力训练要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。 3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识。 三、情感与价值观要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2、具有初步的创新精神和实践能力。 教学重点 1.体会方程与函数之间的联系。 2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 教学难点 1、探索方程与函数之间的联系的过程。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法：讨论探索法 教学过程： 1、设问题情境，引入新课 我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？ 它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。 2、新课讲解 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么 （1）h 与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 小组交流，然后发表自己的看法。 学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0。把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t （2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可。也就是 －5t 2+40t=0 t 2－8t=0 ∴t（t－8）=0 ∴t=0或t=8 t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间。 也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地。 议一议 二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示 （1）每个图像与x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？ （3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ （课件展示） 学生讨论后，解答如下： （1）二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点。 （2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2 ；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ；方程x2－2x +2=0没有实数根 （3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2; 二次函数y=x2－2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 二次函数y=x2－2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2－2x +2=0没有实数根 由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。 小结： 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点。当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。 基础练习 1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。 （1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4 2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。 4、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。 5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离. 6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ） （A） a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （B） （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D)a＜0 b2-4ac＜0 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是怎样知道的？ 学生交流：在式子h =－5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得 －5t 2+40t=60 t 2?8t+12=0 ∴t=2或t=6 因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60 m。 课堂练习 66页 小结：本节课学习了如下内容： 1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想 3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 第二课时 教学目标： 1． 会用函数图象的交点解释方程的根的意义； 2． 能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的存在性和根的个数； 3． 了解函数的零点与对应方程根的联系． 教学重点：根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数． 教学难点：根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数． 教具准备：多媒体课件、打印好的作业． 教学过程： 一、 提出统摄性问题，创设适宜情境，引入新课 我们知道，等式x2-2x-3=0是关于x的一元二次方程，关系式y =x2-2x-3则是关于自变量x的一个二次函数，那么，二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们这节课所要研究的问题． （引入新课，书写课题——二次函数与一元二次方程） 二、 学生活动 （一） 探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系 问题1：你能快速地求出一元二次方程x2—2x—3=0的根吗？ 请画出二次函数y =x2-2x-3的图象．（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤） 方法引导：画二次函数简图的步骤： （１） 先根据二次项系数确定图象的开口方向，即当a>０时，图象开口向上；当a<０时，图象开口向下． （２） 再根据x= 画出函数的对称轴． （３） 确定函数图象与两坐标轴的交点，成图． 问题2：请观察你所画的函数图象，研究图象上的一些特殊点以及二次方程x2-2x-3=0的根，你有什么发现吗？ （组织学生交流，得出如下结论） 结论： （１） 一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根就是二次函数y =x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标． （２） 一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根即为二次函数y =x2-2x-3的函数值等于０时的自变量x的值． 问题3：研究一元二次方程x2-2x-3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x2-2x-3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？ 结论： （１） 一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞０； （２） 二次函数y =x2-2x-3的开口向上，顶点在x轴下方； （３） 方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根 判别式Δ＞０ 对应的二次函数y =x2-2x-3的开口向上且顶点在x轴下方； 问题4：你能将这个结论进行推广吗？（学生思考，同时投影显示如下问题） 合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的个数及其判别式与二次函数y= ax2+bx+c=0(a>0)的开口方向和顶点位置之间有什么联系？ （师生共同结合函数ax2+bx+c=0(a>0)的图象的不同情形，得出如下结论） 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数根 判别式Δ＞０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴下方； 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实数根 判别式Δ＝０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上； 方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根 判别式Δ＜０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上方． 也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x轴的位置问题． 也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置． 思考：当二次函数y =ax2+bx+c(a＜0)时，是否也有类似的结论呢？