二元函数偏导数定义公式
第8.3节 多元函数的偏导数
dz 例 5 设 z = ln(u + v ), u = sin x, v = x ，求 . dx 的一元函数， 解一 由于 u, v 都是 x 的一元函数，所以 z 也
2
u z
图8.3.4
x
的一元函数. 是 x 的一元函数.
，
v
dz ∂z du ∂z dv 1 1 cos x + 2 x ⋅ cos x + ⋅ 2x = 所以 = ⋅ + ⋅ = dx ∂u dx ∂v dx u + v u+v sin x + x 2
有关偏导数的几点说明 ∂u (1)偏导数 是一个整体记号，不能拆分; (1)偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
(2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； (2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 求分界点
（3）计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ) ） 再对 x 求导然后代入 x = x0 计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理 （4）偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导 偏导数的实质仍是一元函数求导问题， 时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。 时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。
xy = ( x − y) − + x ln(x − y). x− y
xy
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ = vuv−1 ⋅ (−1) + uv ⋅ lnu ⋅ x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
例题库
∂z ∂z 例 4 z = ln( u + v ), u = sin( xy ), v = x + y ，求 ， ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u 解一 因为 = y cos(xy ) ， = x cos(xy)， = 2 x , =1 ∂y ∂x ∂x ∂y
方向导数和偏导数的存在关系
方向导数和偏导数的存在关系一、引言在微积分中，方向导数和偏导数是两个重要的概念。
它们都是用来描述函数在某一点上的变化率，但是在定义和计算方法上有所不同。
本文将深入探讨方向导数和偏导数的存在关系，从而更好地理解它们在数学和物理中的应用。
二、方向导数的定义方向导数是用来衡量函数在某一点上沿着某一给定方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处沿着单位向量u=<a, b>的方向导数的定义如下：D_u f(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + ah, y0 + bh) - f(x0, y0)] / h其中，a和b是单位向量u的分量。
三、偏导数的定义偏导数是用来衡量函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处关于x的偏导数定义如下：∂f/∂x(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)] / h类似地，关于y的偏导数定义如下：∂f/∂y(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)] / h四、方向导数与偏导数的关系方向导数和偏导数之间存在着一定的关系。
事实上，当单位向量u与坐标轴方向平行时，方向导数与偏导数是等价的。
具体来说，如果u=<1, 0>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂x(x0, y0)如果u=<0, 1>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂y(x0, y0)这是因为当u与坐标轴方向平行时，函数在该方向上的变化率就等于在该方向上的偏导数。
五、方向导数的计算方法方向导数的计算方法比较简单，可以通过求函数在给定方向上的导数来得到。
假设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，且方向向量u=<a, b>是一个单位向量，则方向导数可以通过以下公式计算：D_u f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · u其中，∇f(x0, y0)是函数f(x, y)在点P(x0, y0)处的梯度向量。
第2节 偏导数
y2
,
z y
y x2 y2
,
2z x2 y2 x 2x y2 x2 ,
x 2
(x2 y2)2
(x2 y2)2
?2 z
y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2z 2z 0 . x 2 y 2
例10 证明函数 u 1 满足方程 r
y y0
y0
y
存在, 称极限值为 z f (x, y) 关于 y 的偏导数 .
记为
z , 或 y
f , y
或
zy , 或
f y (x, y) .
函数 z f (x, y)在某点 (x0 , y0 )的偏导数为
f x (x0 , y0 ) ,
f y (x0 , y0 ) , 或
先给出二元函数的增量概念
二元函数 z f (x, y)的增量 z f (x x, y y) f (x, y)
称为函数 z f (x, y)的全增量.
x z f (x x, y) f (x, y) 称为函数 z f (x, y)关于 x 的偏增量.
y z f (x, y y) f (x, y) 称为函数 z f (x, y)关于 y 的偏增量 .
定义 如果 lim x z lim f (x x, y) f (x, y)
x x0
x0
x
存在, 称极限值为 z f (x, y) 关于 x的偏导数 .
记为
z , 或 x
f , x
或
zx , 或
fx(x, y) .
同理可定义 z 关于 y的偏导数
如果 lim y z lim f (x, y y) f (x, y)
二元函数与偏导数
lim y z lim f (x0 ，y0 y) f x0 ，y0
y0 y
y 0
y
存在，则称函数z f (x ，y)在 x0 ，y0 处对 y 的偏导数存在，并称此极限值为函数 z f (x ，y)在点 x0 ，y0 处对y的偏导数，记作
f
y
x0 ，y0 ，f y
x0 ，y0
若z f (x ，y)在点 x0 ，y0 处不连续，则称z f (x ，y)在点 x0 ，y0 处间断，点 x0 ，y0 称
为z f (x ，y)的间断点.
二元函数与偏导数
例3 解 因为，当x 1，y 2时，3x 3，y 2，所以
lim3x y 5.
x 1 y2
二元函数与偏导数
图2-4
二元函数与偏导数
1.2 二元函数的连续性
定义2
设二元函数z f (x ，y)在点 x0 ，y0 的某个邻域内有定义（点（x0 ，y0）可以除
外），(x ，y)是该邻域内的任意一点，当点(x ，y)以任何方式无限趋近于点 x0 ，y0 时，二元函数
f (x ，y)就无限趋近于一个确定的常数A，则称A是二元函数f (x ，y)当x x0 ，y y0时的极 限，记作
lim
x x0
f (x ，y) A或f (x ，y) A(当x x0 ，y y0).
y y0
二元函数与偏导数
定义3
设函数z f (x ，y)在点 x0 ，y0 的某个领域内有定义，如果满足
lim
x x0
f (x ，y) f x0 ，y0 ，
y y0
则称z f (x ，y)在点 x0 ，y0 处连续，点 x0 ，y0 称为z f (x ，y)的连续点.
S 2rh(r ，h 0). 显然，当半径r和高h变化时，侧表面积S也将随之变化. 又如，在生产中，产量Q与投入的劳动力L和资金K之间有关系式
偏导数计算公式二阶
偏导数计算公式二阶偏导数是多元函数微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点沿着某个方向的变化率。
在实际问题中，我们常常需要计算函数的二阶偏导数，以了解函数的曲率和凹凸性质。
本文将介绍如何使用偏导数计算公式来计算函数的二阶偏导数。
一、一阶偏导数的定义。
首先，我们来回顾一下一阶偏导数的定义。
对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
其中，∂f/∂x表示在点(x, y)处，沿着x轴方向的变化率；∂f/∂y表示在点(x, y)处，沿着y轴方向的变化率。
偏导数的计算公式如下：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) f(x, y)] / Δx。
∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) f(x, y)] / Δy。
其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
通过这些公式，我们可以计算出函数在某一点处的偏导数值。
二、二阶偏导数的定义。
接下来，我们将介绍二阶偏导数的定义。
二阶偏导数描述了函数的曲率和凹凸性质，它可以帮助我们更全面地了解函数的性质。
对于二元函数f(x, y)，它的二阶偏导数可以表示为∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y。
其中，∂²f/∂x²表示在点(x, y)处，沿着x轴方向的曲率；∂²f/∂y²表示在点(x, y)处，沿着y轴方向的曲率；∂²f/∂x∂y表示在点(x, y)处，沿着x和y方向的交叉变化率。
二阶偏导数的计算公式如下：∂²f/∂x² = ∂/∂x (∂f/∂x)。
∂²f/∂y² = ∂/∂y (∂f/∂y)。
∂²f/∂x∂y = ∂/∂x (∂f/∂y)。
通过这些公式，我们可以计算出函数在某一点处的二阶偏导数值。
二阶偏导数的计算过程比较复杂，需要通过对一阶偏导数的连续求导来实现。
二元函数微积分——偏导数和全微分
y
(z ) y
exy(xy)yexy
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18
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
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13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。
4、 求二元函数 z y ln(x2 y2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
同样可定义对y的偏导数lim则该偏导数称为偏导函数也简称为偏导数例如三元函数偏导数定义为请自己写出由偏导数的定义可以看出要求二元函数对某个自变量的偏导数只需将另一个自变量看做常量然后利用一元函数求导公式和求导法则即可
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
偏导数的定义及其计算法(精)
偏导数存在
连续.
偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上一点,
如图
z f ( x , y0 ) z f ( x0 , y )
M0 Tx
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
y u x sin y e yz 1 yz cos ze , y 2 2 2 y
cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ),
dz ( , ) z x 4 dx z y ( , )
4
(
, )
4
dy
2 (4 7 ). 8
例3
解
y 计算函数 u x sin e yz 的全微分. 2
u x sin y e yz 1, x 2 x
偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有 定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时， 相应地函数有增量
函数对 x 的偏增量
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x x0
说明它不能随着 0 而趋于 0, 即，当 0 时，
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ]
二元函数微分
二元函数微分引言在微积分中，函数是一种非常重要的概念。
函数的微分是微积分中的基本运算之一，它描述了函数在某一点的局部变化率。
在这篇文章中，我们将重点讨论二元函数的微分，即具有两个自变量的函数。
二元函数的定义二元函数是一种接受两个变量作为输入，并产生一个输出的函数。
它可以用以下形式表示：f(x, y)其中，x和y分别是函数的自变量，f(x, y)表示函数的取值。
偏导数在计算二元函数的微分时，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数描述了函数在每个自变量上的变化率。
偏导数的定义偏导数表示当一个变量变化时，函数在该变量上的变化率。
对于二元函数f(x, y)，它的偏导数可以用以下符号表示：∂f/∂x 和∂f/∂y其中，∂表示偏导数的符号。
计算偏导数计算偏导数时，我们将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导。
例如计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导。
在计算过程中，需要注意一些求导的规则： - 对于多项式函数，我们可以直接按照求导公式进行计算。
- 对于幂函数，将指数乘到系数上，并将指数减1。
- 对于三角函数和指数函数，可以利用基本的求导公式进行计算。
全微分全微分是对二元函数的微分的扩展，它不仅考虑了自变量的变化，还考虑了函数本身的变化。
全微分的定义对于二元函数f(x, y)，全微分可以用以下符号表示：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，dx和dy是自变量x和y的微小变化量。
计算全微分为了计算全微分df，我们需要计算偏导数。
然后，将偏导数乘以自变量的微小变化量，并将结果相加。
全微分可以帮助我们理解函数在局部区域上的变化情况。
通过计算全微分，我们可以确定函数的局部最大值、最小值和驻点等重要信息。
性质和应用二元函数微分有一些重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的一些。
偏导数对换对于二元函数f(x, y)，偏导数具有对换的性质，即：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x这一性质在计算偏导数时非常有用，可以大大简化计算过程。
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二元函数偏导数定义公式
二元函数偏导数定义公式指的是，对于一个含有两个自变量的函数f(x,y)，其在某一点(x0,y0)处的偏导数定义如下：
对于x的偏导数，可以使用以下公式进行计算：
f/x = lim (f(x0 + h, y0) - f(x0, y0))/h (h趋近于0) 对于y的偏导数，可以使用以下公式进行计算：
f/y = lim (f(x0, y0 + k) - f(x0, y0))/k (k趋近于0) 在这两个公式中，我们可以看到f在(x0,y0)处的偏导数是通过将其中一个自变量固定在某一值上，然后计算f关于另一个自变量的导数得到的。
这个定义公式在微积分中非常重要，因为它能够让我们计算多元函数的导数，而这对于众多科学领域的研究都是至关重要的。
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