函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

●高考明方向

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一常见基本初等函数的定义域

注意：

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！

2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！

.专业资料.

.专业资料.

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R

(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)

(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）

三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为

{|,,}

2∈≠+∈x x R x k k Z π

π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域

注意：

.专业资料.

(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2

4a

}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2

4a

} (3)y ＝k

x

(k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}

(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中

正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R

《名师一号》P15

知识点二 函数的最值

.专业资料

.

注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3

函数最值与函数值域有何关系？ 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．

1、温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=

+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（ ）

答案：正确

.专业资料. 2、温故知新P11 第4题

函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩

x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

C (].2,0-D

答案：D

注意：牢记基本函数的值域

3、温故知新P11 第6题

函数()=y f x 的值域是[]1,3，

则函数

()()123=-+F x f x 的值域是（ ）

[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D

答案：A

注意：图像左右平移没有改变函数的值域

.专业资料.

二、例题分析：

（一)函数的定义域

1．据解析式求定义域

例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1

(2014·山东) 函数()

=

f x 为( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝

⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪[2，＋∞)

解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0，

即log 2x >1或log 2x <－1，

.专业资料.

解得x >2或0

. 所以函数f (x )的定义域为⎝

⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1） 函数f (x )＝1－2x ＋1

x ＋3的定义域为( )

A ．(－3,0]

B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，

x ＋3>0，解得－3

注意：

.专业资料. 《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1）

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

函数的定义域一定要用集合或区间表示

例2. (补充)

若函数2

()lg(21)f x ax x =++的定义域为R

则实数a 的取值范围是 ；

答案：()1,+∞

变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?

练习：(补充)

.专业资料. 若函数27()43

kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；

答案：30,

4⎡⎫⎪⎢⎣⎭

2．求复合函数的定义域

例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）

(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )

A ．[1,2]

B ．(1,2]

C ．[1,8]

D ．(1,8]

解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]． 则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需