上海市浦东新区2021届新高考数学四模试卷含解析
2021年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 ． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 ．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 ．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21． 【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=． 【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ． 【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π． 【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π， 故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ． 【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0． 【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=． 故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ． 【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π． 【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈， 同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确， 选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ． 【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 【解析】根据题意，依次判断选项： 对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误， 对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++， 与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确， 对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为 【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为． （2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减． 综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14； （3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164． 【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
上海市徐汇区2021届新高考数学四模考试卷含解析
上海市徐汇区2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C【解析】【分析】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3．已知函数()2cos sin6f x x x mπ⎛⎫=⋅++⎪⎝⎭（m∈R）的部分图象如图所示.则0x=（）A．32πB．56πC．76πD．43π-【答案】C【解析】由图象可知213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】依题意，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-, 解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos sin cos 6222f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21313sin cos cos sin 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C.【点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.4．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．5．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解. 【详解】由cos ()()22x xx x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x x x x f x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C.【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【答案】D【解析】7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a --的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上， (),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上， 则PQ y b k x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即AB CD k k ==，PQ y b k x a -≤=≤- y b x a --的取值范围4433⎡---⎢⎣⎦，故选B. 【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.8．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．2y x =± C．y x = D．y =【答案】D【解析】【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF的斜率为4可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=， 又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=， 解得3b a= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.9．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ）A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D【解析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可 【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可.故选：D【点睛】 本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．29【答案】D【解析】【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可.【详解】解：{}n a Q 是等差数列 95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ，∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC．D【答案】B【解析】【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线b y x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率. 【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bc b a a k c a b-==-=-，222b a ∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 12．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 【答案】C【解析】【分析】 求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+.本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅰ卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6， 则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（ ）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（ ） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)， 则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136； 对于C ，P(BC)=16×6=136； 对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。
上海市松江区2021届新高考数学四模考试卷含解析
上海市松江区2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A B ． C ．132 D ．【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R 13，即R ＝132 2．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B【解析】【分析】 由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】 由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称 故m 的最小值为4π 故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.3．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C【解析】【分析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED n 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=因为22108336x x +≥=，当且仅当x =，2y =时等号成立，所以92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7} 【答案】C【解析】【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}，所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7}B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C.【点睛】 本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.5．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B=A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B =-+∞U ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e - 【答案】D【解析】【分析】 先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1x y e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示过原点作函数1x y e=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.8．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2 CD【答案】D【解析】【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】 双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±， 四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=， 所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.9．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B【解析】【分析】 由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-；当2[1,],[0,2]t e S ∈∈ 综上：[]42S ∈-，. 故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.10．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ）A ．34πB ．23πC ．3πD ．6π 【答案】A【解析】【分析】画出函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像，函数对称轴方程为82k x ππ=-+，由图可得1x 与2x 关于38x π=对称，即得解. 【详解】函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图，对称轴方程为32()42x k k Z πππ+=+∈， ()82k x k Z ππ∴=-+∈， 又330,48x x ππ<<∴=Q ， 由图可得1x 与2x 关于38x π=对称， 1233284x x ππ∴+=⨯= 故选：A【点睛】 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．29【答案】D【解析】【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可.【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ，∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3 【答案】C【解析】【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= ． 2．（4分）半径为2的球的表面积为 ． 3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 ． 4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则AB = ．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = ． 6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC = ． 7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 ．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．（用数字作答）9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 ． 10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 ．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为 ．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点(2Q ，22为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值．2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= \{1}{2}frac ． 【解答】解：\\_{}\{}{21}\\_{}\{1}{2\{1}{}}\{1}{2}lim limits n frac n n lim limits n frac frac n frac →∞+=→∞+=，故答案为：\{1}{2}frac ．2．（4分）半径为2的球的表面积为 16π ．【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：2416r ππ= 故答案为：16π3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 1y = ． 【解答】解：抛物线24x y =-焦点在y 轴的负半轴上，则12p=， ∴抛物线的焦点坐标为(0,1)-，准线方程：1y =，故答案为：1y =．4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则A B = (0，1] ．【解答】解：{|0}A x x =>，{|11}B x x =-，(0AB ∴=，1]．故答案为：(0，1]．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = 【解答】解：复数z 满足(1)4z i -=， 则41z i=-，所以4|||1|z i ===-．故答案为：6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC【解答】解：51243A B C πππππ=--=--=， 由正弦定理得sin sin AB BCC A =，所以2sinsin 3sin sin 4AB A BCC ππ===．7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 [3，)+∞ ． 【解答】解：函数2()1log (4)f x x x =+的值域为[3，)+∞， 故其反函数的定义域为[3，)+∞．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 12．（用数字作答）【解答】解：因为7(x 展开式的通项为7721772r r rrr r r T C x C x --+==，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而[0r ∈，7]()r N ∈，故有0r =，2，4，6满足题意， 所以所求概率4182P ==， 故答案为：12． 9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 [0，1] ． 【解答】解：取EF 中点为O ，则22\{}\{}(\{}\{})(\{}\{}){}{}overrightarrow AE overrightarrow AF overrightarrow AO overrightarrow OE overrightarrow AO overrightarrow OE A O O E ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以\{2},[{1,\{2}}]AO sqrt OE sqrt =∈， 所以\{}\{}[{0,1}]overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅∈． 故答案为：[0，1]．10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 122n n S +=- ．【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ， 数列{}n a 满足1||211n na S +=，则有12n n a S +-=，当1n =时，有21212a S a a -=-=，① 当2n =时，有32312()2a S a a a -=-+=，② 联立①②可得：12a =，2q =，则数列{}n a 的前n 项和为11(1)221n n n a q S q +-==--， 故答案为：122n n S +=-．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+ ．【解答】解：由方程()1f x =，得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 令()||,()\{2}{}1h x x a a g x frac x =-+=+， 则()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与()\{2}{}1g x frac x =+的交点坐标为(2,2)，(1,1)--， 联立\\{{\.\{}{}{2}\\{\{2}{}1}\{}\.}\.left left begin array l y x a y frac x end array right right =-+=+得{2}(12)20x a x +-+=，由△{2}(12)80a =--=，解得\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +， 作出图象，数形结合，要使得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +或2． 故答案为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 22229a a b ++的取值范围为 2[ ．【解答】2222219()22953ba ab a a++++=+，故可看作2(319())b bA a a⨯+与(5,22)B --两点的斜率，其中点A 在221(0,0)y x x y -=>>上，故AB k 最小值在相切时取得， 设2(5)y k x +=+，联立2222(5)1y k x y x ⎧++⎪⎨-=⎪⎩，由△0=，解得122132k k ==（舍) 当ba→+∞时，22219()153AB ba k a++=→+⨯， 22229a a b ++的取值范围是2[．故答案为：2[． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，因为2x y =是增函数，若a b >，必有22a b >， 反之若22a b >，必有a b >， 则a b >是22a b >的充要条件， 故选：C ． 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解； 故选：C ．15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【解答】解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为//a b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，所以f （1）1=，(1)1f -=-， 所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为f （3）35f =<=，所以()f x 在[0，)+∞不是增函数，故错误；③因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，显然()F x 的值域中不含负无理数， 故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即x a =，x 为有理数或2x a =，x 为无理数， 对于x a =，x 为有理数，必有解x a =，对于2x a =，x为无理数，必有解x = 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）【解答】解：（1）111122ABC S ∆=⨯⨯=，11422ABC V S A A ∆∴==⨯=．（2）11//BC B C ，MBC ∴∠或其补角是异面直线BM 与11B C 所成的角，在MBC ∆中，5BM CM ==2BC ，由余弦定理得，22210cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==， 10MBC ∴∠= 故异面直线BM 与11B C 所成的角为10 18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．【解答】解：（1）因为()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，所以2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)6f x x π=+，令222262k x k πππππ-++，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．（2）在ABC ∆中，若()12Af =，由（1）得，()sin(2)6f x x π=+，所以sin()16A π+=因为0A π<<，所以62A ππ+=，解得：3A π=，即23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ+=+-==+， 因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以13sin()1,3sin()3266B B ππ<+<+，所以sin sin B C +的取值范围． 19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． 【解答】解：（1）当16n 时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用， 当7n =时，因为764676467(6497747618)160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S 对1n =，2，⋯，12恒成立， ①当16n 时，635pn n 恒成立，可得635p ，②当712n 时，26774618pn n n -+-恒成立，即1037746()p n n-+恒成立，因为1037746()7746652.2n n n n -+-⨯≈，当且仅当103n n=，即10.15n =≈时，等号成立，又因为*n N ∈，且12n ，所以当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2， 综上所述，652.2p ，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点Q为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆221:14x C y +=，可得2a =，1b =，c =， 则椭圆1C的焦距为2c = （2）由12OQ k =，设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由△22248(1)840m m m =--=->，得||m < 2A B x x m +=-，222A B x x m =-，所以222||(2)4(22)52AB mm m =---=-，又Q 到直线l 的距离为d =由1|||1,12QAB S d AB m m ∆===±，所以1:12l y x =±； （3）由2222441x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得M M x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(,)N x y 是曲线C 上一点，则1(0)F ，20)F ，1(,)NF x y =--，2(3,)NF x y =-， 所以22123NF NF x y =+-；当点N 在曲线2244(||||)M x y x x +=上时，21213NF NF y =-，当y 时，124()5min NF NF =-，当0y =时，12()1max NF NF =， 所以124[,1]5NF NF ∈-；当点N 在曲线221(||||)M x y x x -=上时，21222NF NF y =-；当y 时，124()5min NF NF =-，124[,)5NF NF ∈-+∞； 综上，124[,)5NF NF ∈-+∞．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值． 【解答】解：（1）1()f x 不是，2()f x 是．因为1f （1）1f >（2），则1()f x 不是[1，4]上的非减函数， 21,12()2,24x f x x ⎧=⎨<⎩，1x ∀，2[1x ∈，2]，且设1212x x <，则2122()()f x f x =，显然满足2122()()f x f x ， 1x ∀，2(2x ∈，4]，且设1224x x <<，则211222()2323()f x x x f x =-<-=，显然满足2122()()f x f x ，1[1x ∀∈，2]，2(2x ∀∈，4]，则21()1f x =，222()231f x x =->，显然满足2122()()f x f x ，综上所述，2()f x 是[1，4]上的非减函数． （2）1x ∀，2[2x ∈，4]，设1224x x <， 则12()()0g x g x -， 12121222()()2(2)22x x x x a a g x g x -=+-+ 121221121222222()22(22)2222x x x x x x x x x x a a a =-+-=-+-12122(22)(1)022x x x x a=--， 则1x ∀，2(2x ∈，4]，设1224x x <，不等式1221022x x a -恒成立，即1222x a 2x ，则8a ．（3）h （1）(0)1h +=，所以h （1）1=， 所以11()32h h =（1）12=，211()1()332h h =-=， 得出121()()332h h ==，1(3x ∀∈，2)3，因为函数()h x 在[0，1]上为非减函数，所以12()()()33h h x h ，所以11()22h x ， 得到1[3x ∀∈，2]3，1()2h x ≡，由②1()()32x h h x =知，1()(3)2h x h x =，1131729()()()202022020642020h h h ==⋯=， 所以11()2020128h =．。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心． 2．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 3．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】 【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >，由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=，即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， ()13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， ()3,1,1D；()10,2,2AC =-u u u u r， ()3,1,1CD =--u u u r ；异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u ur u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．5．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.6．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()16π D ．()16π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为14π2⨯=，下面圆锥的母线长为2π48π⨯=，侧面积为18π2⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()16π，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.7．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.9．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 10．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】 解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 11．已知函数2()sin 3cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可． 【详解】 解：2()sincos444f x x x x πππ=．1(1cos )222x x ππ=- 1sin()262x ππ=-++，1()sin()262f x x ππ∴=-++，()f x ∴的周期为242T ππ==，()1f ，()21f =， ()3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=． ()()()122020f f f ∴+++L ()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦5052=⨯1010=．故选：C 【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．12．已知向量a r ，b r夹角为30°，(a =r ，2b =r ，则2a b -=r r ( )A ．2B ．4C．D．【答案】A 【解析】 【分析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】由于2a b -===r r2=， 故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市普陀区2021届新高考数学第四次调研试卷含解析
上海市普陀区2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n++()1n k n k=+-； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ） A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.4．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.5．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.6．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A 53B ．23C ．33D ．33【答案】D 【解析】 【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =133CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=，从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 7．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.8．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【详解】依题意12331log log 3332f -⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.9．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.10．若复数z 满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．122-+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可． 【详解】解：∵1z -=，∴122z i ==-+，则12z =-， ∴1z z +=-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．11．已知平面向量a b r r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 12． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,221x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P ，“221x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ，显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:A.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市普陀区2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
上海市普陀区2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.2．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M(3，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF的距离为4=故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 4．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得2i=(z a b --+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则2i=(z a b --+，所以20a b ⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C. 【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．6．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ=率为（ ） A 5B 5C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又5cos θ=25sin θ=tan 2θ=，2b a =，所以离心率215c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 9．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.10．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.11．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.12．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即5x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2021届新高考数学二模试卷含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C 【解析】 【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项： 【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知a b r r ，满足a =r 3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.6．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.8．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以222211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.9．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 10．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+Q ，∴复数2(1)i i +22(2)222-+=【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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上海市浦东新区2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.2．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求出1m =-，得出(3,1)P -，得出sin α和cos α，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【详解】根据题意，sin α==，解得1m =-， 所以(3,1)OP =-u u u r，所以sin ,cos 1010αα=-=， 所以3sin 22sin cos ααα==-.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.3．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,B ．(C ．13⎛ ⎝⎦,D ．【答案】C 【解析】 【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b +-++-=+，通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+， 整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)c a b >+，即a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力. 4．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】C 【解析】略5．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 6．函数2|sin |()6x f x =-）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 42C 2D 23【答案】A 【解析】 【分析】 易得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，在1FTB ∆中，利用1tan 3BT FT π=即可得到,,a b c 的方程. 【详解】由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 33BT FT π==，即232bcb ac a == 所以双曲线C 的离心率21()2be a =+.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,,a b c 的方程或不等式，本题属于容易题. 8．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.10．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=I ，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误； 对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=I ，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.12．若双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =， 则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。