高中数学人教A版选修2-2课件：1.1.3 导数的几何意义
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数学选修2-2 1.1 1.1.3 导数的几何意义
(
)
标 •
探
新 知
A．1
B．12
固 双 基
合 作 探
C．－12 A [由题意可知，f′(1)＝2.
D．－1
课 时
究
分
• 攻 重 难
又 lim
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝
lim
Δx→0
a1＋Δx2－a Δx
＝
lim
Δx→0
(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2
层 作 业
得a＝1.]
返
首
页
探
课 时
究 • 攻 重
＝ lim
Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，∴a＝1.
分 层 作 业
难
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
[规律方法] 1.本例2中主要涉及了两点：①f′0＝1，②f0＝b• Nhomakorabea探
固
新 知
2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义
当 堂
预
达
习 •
角为________.
标 •
探
固
新
双
知
[解析] 设切线的倾斜角为 α，则
基
合
tan α＝f′(x0) ＝1，又 α∈[0°，180°)，
作
探 究
∴α＝45°.
• 攻
[答案] 45°
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预
4．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
Δ→0
x
第七页，编辑于星期日：点 十七分。
-7-
目标导航
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2-1】 函数在某一点处的导数是(
)
A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率
解析:根据函数在一点处的导数的定义,可知选C.
(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋近于点
P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称
为点 P 处的切线.显然,割线 PPn 的斜率是 kn=
( )-( 0 )
- 0
. 当点Pn 无限
趋近于点 P 时,kn 无限趋近于切线 PT 的斜率.
)
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0
D.f'(x0)不存在
解析:根据导数的几何意义,知 f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0
1
处的切线的斜率,所以 f'(x0)=− 2 < 0.故选 B.
答案:B
第六页，编辑于星期日：点 十七分。
-6-
目标导航
知识梳理
= (6x0+3Δx)=6x0.
x→0
(1)因为切线的倾斜角为 45°,
所以切线斜率为 tan 45°=1,
1
即 f'(x0)=6x0=1,得 x0 = .
所以该点的坐标为
6
1 85
,
6 12
x
第七页，编辑于星期日：点 十七分。
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重难聚焦
典例透析
【做一做2-1】 函数在某一点处的导数是(
)
A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率
解析:根据函数在一点处的导数的定义,可知选C.
(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋近于点
P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称
为点 P 处的切线.显然,割线 PPn 的斜率是 kn=
( )-( 0 )
- 0
. 当点Pn 无限
趋近于点 P 时,kn 无限趋近于切线 PT 的斜率.
)
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0
D.f'(x0)不存在
解析:根据导数的几何意义,知 f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0
1
处的切线的斜率,所以 f'(x0)=− 2 < 0.故选 B.
答案:B
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= (6x0+3Δx)=6x0.
x→0
(1)因为切线的倾斜角为 45°,
所以切线斜率为 tan 45°=1,
1
即 f'(x0)=6x0=1,得 x0 = .
所以该点的坐标为
6
1 85
,
6 12
【26份】高中数学人教A版选修2-2教学课件 共838张PPT
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
高中数学选修2-2精品课件15：1.1.3 导数的几何意义
x
【解析】y′|x=1=f′(1)=
lim
x0
y x
lim
x0
f
1 x
x
f
1
1 1 lim 1 x lim
1
1,
x0
x
x0 1 x
则切线方程为y－1=－(x－1)，即x+y－2=0.
【答案】x+y－2=0
类型二：求切点的坐标 求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
课堂探究
类型一：求切线方程 1.求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的三个步骤 （1）求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即切线的斜率 （关键词：斜率）. （2）根据直线的点斜式方程，写出切线方程: y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)（关键词：写方程）. （3）化简直线方程成一般式（关键词：化简）.
1.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通 过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
重点难点
1.本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 2.本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.
基础梳理
1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_斜__率__. （2）相应的切线方程：___y_-_f(_x_0_)=_f_′(_x_0_)(_x_-x_0_)_y____f___x____l_ixm _0__f __x____x_x___f__ _x_ __.
【解析】y′|x=1=f′(1)=
lim
x0
y x
lim
x0
f
1 x
x
f
1
1 1 lim 1 x lim
1
1,
x0
x
x0 1 x
则切线方程为y－1=－(x－1)，即x+y－2=0.
【答案】x+y－2=0
类型二：求切点的坐标 求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
课堂探究
类型一：求切线方程 1.求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的三个步骤 （1）求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即切线的斜率 （关键词：斜率）. （2）根据直线的点斜式方程，写出切线方程: y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)（关键词：写方程）. （3）化简直线方程成一般式（关键词：化简）.
1.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通 过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
重点难点
1.本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 2.本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.
基础梳理
1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_斜__率__. （2）相应的切线方程：___y_-_f(_x_0_)=_f_′(_x_0_)(_x_-x_0_)_y____f___x____l_ixm _0__f __x____x_x___f__ _x_ __.
高中数学选修2-2精品课件7：1.1.3 导数的几何意义
因此，f ( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0 )＝切线PT的斜率。
探索求知
l1
探究二:解决“问题2” l2
A
B
O
x
结论:圆是一种特殊的曲线，圆的切线的定义并不能适 用于一般曲线的切线，如图中的 l1 虽然与曲线Ｃ有唯一
的公共点，但我们不能认为它与曲线Ｃ相切。而另一条
直线 l2 ，虽然与曲线Ｃ有且不只一个公共点，我们还
O
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割 线PQ如果趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲
线在点P处的切线.
探索求知
问题四:你能从上述过程中概括出函数 f ( x在) x 处x0的
导数 f ( x的0 )几何意义吗？
设计意图:引导学生发现并说出： x 0，割线 PQ 切线PT，所以割线PQ的斜率 切线PT 的斜率。
知识运用
例
题
讲设 解计
理意
解 掌
图
握
巩 固 提 高
➢例题处理后，设计的这一组练习是突破难 点的关键，也是作为对知识应用的实时检测， 给学生提供进一步比较、类比、归纳的机会， 为熟练使用新知解决问题打下基础。
➢练习编排按照由易到难，由简单到复杂的 认识规律和心理特征，有利于提高学生的学 习积极性。
小结作业
探索求知
探究三:导函数的定义 在研究曲线上某点的导数和经过该点①的切几线何斜法率的关系这
个过程中，可以看到当 x x0时， f '(x0) 是一个确定的数， 当 x变化时，f '(x)是 x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导 函数，简称导数，也记作 y '。
1.1.3 导数的几何意义 课件(24张)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x 0
处的导数的方法之一。
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
kf(x0)
②再利用点斜式求出切线方程
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
练习题
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
x
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x ) f(x )
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几 何意义是（ C ）
处的导数的方法之一。
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
kf(x0)
②再利用点斜式求出切线方程
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
练习题
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
x
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x ) f(x )
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几 何意义是（ C ）
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[思路点拨]
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
新人教版选修2-2第1.1.3节导数的几何意义课件
x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
练习2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:(1)①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
y
y=f(x)
Q
割 线
T P
切 线
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
练习2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:(1)①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
y
y=f(x)
Q
割 线
T P
切 线
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
人教A版高中数学选修2-2课件导数的几何意义.pptx
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
观察动画你能得到什么结论？
切线的定义：
度．
程的基本步骤: ①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求
出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
解：我们用曲线h(t) 在 t0 ，t1 ，t2 ，处的切线， 刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
⑴当t t0时，曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于
轴 x ．所以，在t t0 附近曲线比较平坦，几乎没
小结: d.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲 线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
有升降．
⑵当t t1时，曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 ．所以，在t t1 附近曲线下降，即函数 在t t1 附近单调递减． ⑶当t t2时，曲线h(t) 在 t2处的切线l2 的斜率．
h(t2) 0 所以，在 t t2附近曲线下降，即函数 在t t2 附近也单调递减．
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
高中数学人教A版选修2-2 .3 导数的几何意义精品课件
lim
x0
x
y = x 2+1
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线的斜率k=2 切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
y
P
M
x
1j
x
求曲线上某点处的切线方程的步骤: ①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)；
-1 O
1
②利用点斜式求切线方程。
若点不在曲线上呢？
高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3 导数的几何意义课件
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【典例精析】
高中数学人教A版选修2-2第一章1.1.3 导数的几何意义课件
例1:求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线斜率及切线方程.
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
4
D
B A
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注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
问题1 平面几何中我们是怎样判断直线是否 是圆的割线或切线的呢？
l
P
问题2
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线
的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线
叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；
求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ;
(2 )求 平 均 变 化 率 y f(x 0 x ) f(x 0 极 限 ， 得 导 数 f(x 0) lixm 0 y x.