运筹学 方法与模型
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
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2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
运筹学与最优化方法建模
m
• 其中决策变量为 (x) 的参数 a0 , a1 , ⋯ an 其中决策变量为f
SST
• 例6. 指派问题（0-1规划） 指派问题（ 规划）
有 m 项任务 B1 , B 2 , ⋯, Bm 可派 m 个人A1 , A 2 ,⋯ , A m 完成，每人承担其中一项，第 i 人完成第 j 项任务 所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时间最少？ 1 , 指派 A i 完成 B j 建模： 设 xij = 0 , 否则 模型： min s. t.
f (x) = 3x +5 (150− x)2 + 202
f ′(x) = 3− 5(150 − x) (150 − x) + 20
2 2
• 令 f ′(x) = 0 ，即 • 由（2） ）
3 (150 − x) + 20 = 5(150 − x)
2 2
（2） ）
9((150 − x)2 + 400) = 25(150 − x)2
• 例4. 生产计划问题 某工厂有 m 种资源 B1 , B2 , ⋯ Bm , 某一时段的数量 b 分别为： 分别为：1 , b2 , ⋯ bm , 可用来生产 n 种产品 A1 , A 2 , ⋯ A n , 每生产一单位 A j 消耗 Bi 为 aij , 利润为 c j 。如何安排 生产可获最大利润？ 生产可获最大利润？ • 设：计划生产 x j 单位 A j , 建立线性规划模型 • LP（Linear Programming） LP（ Programming） • Max c1x1+ c2x2+ ⋯⋯ + cnxn s. t. a11 x1+ a12x2+ ⋯⋯ + a1nxn≤b1 am1 x1+ am2x2+ ⋯⋯ + amnxn ≤bm x1, x2, ⋯ , xn ≥ 0
运筹学知识点要求
运筹学知识点要求运筹学知识点要求第一部分结论1、运筹学的特点（1）以最优性或合理性为核心。
（2）以数量化、模型化为基本方法。
（3）具有强烈的系统性、交叉性特征。
（4）以计算机为重要的技术支持。
2、运筹学模型求解方法：知道迭代算法的原理步骤。
3、运筹学模型（1）运筹学模型：使用较多的是符号或数学模型，大多数为优化模型。
（2）模型的一般结构（3）模型的三大要素决策变量、目标函数及优化方向、约束条件。
（4）了解模型的分类4、建立优化模型解决实际问题（1）要求能对较简单的实际问题建立优化模型。
主要涉及：一般线性规划模型，整数（特别是0－1规划）规划模型。
5、了解运筹学运用领域。
第二部分线性规划1、线性规划模型的几种表示形式及特点2、线性规划模型的标准形式及如何标准化3、线性规划问题各种解的概念及关系（关系图示）（可行解、非可行解、基本解、基本可行解、最优解，基本可行解的个数小于等于）4、线性问题有关解的基本定理（主要是概念理解）（1）不一定都有最优解（2）若有，一定会在基本可行解上达到（3）基本可行解的个数有限小于等于（4）并非所有最优解都是基本可行解（5）了解凸集与凸组合的概念，理解两个最优解的凸组合都是最优解。
（6）可行解为基本可行解的充要条件5、线性规划单纯形法（1）制作初始单纯表（注意非基变量检验系数的求法，特别注意求有待定系数时的检验系数）（2）各种解的判别条件，对于最大化目标函数问题，包括：唯一最优解：有最优解无穷多最优解存在一个k 有：（或称之为线性规划问题存在可择最优解）无界解，存在k 有：（3）线性规划问题求解结果中解的情况有最优解（唯一最优解、无穷多最优解），无界解，无可行解（4）基变换中入基变量的确定A 、入基变量的必要条件（）B 、最速上升准则的理解，不是使目标函数改进最大，而是使目标函数改进速度最大。
m nC m nC 0<j σ0≤j σ0≤j σ0=j σ0,0'≤>k k p 且σ0≥j σ（5）最小比值确定出基变量的目的：保证基变换后新的基本解是可行的。
运筹学(1)
一、绪论§1 运筹学的简史运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。
英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。
如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
运筹学解题方法技巧归纳pdf
30个运筹学的解题方法与技巧1. 线性规划：解决在一定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
常用方法有单纯形法、对偶理论和分解算法等。
2. 整数规划：处理决策变量取整数值或只能取整点值的线性规划问题。
常用方法有分支定界法、割平面法等。
3. 动态规划：通过将原问题分解为相互重叠的子问题，解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
4. 图论方法：用于解决最短路、最小生成树、最小割、最大流等问题，常用算法有Dijkstra 算法、Prim算法、Ford-Fulkerson算法等。
5. 网络优化：解决运输、分配和布局等问题，常用方法有运输问题算法、分配问题算法等。
6. 排队论：研究等待队列的结构和特性，以及服务机构的工作规律。
主要模型有M/M/1、M/M/c等。
7. 存储论：研究如何科学地管理物资库存，以最低的费用保证生产和销售需要。
常用模型有不允许缺货模型、一次性订货模型等。
8. 决策分析：根据已知信息评估不同行动方案的效果，从而选择最优方案。
常用方法有期望值法、决策树法等。
9. 对策论：研究竞争、对抗和冲突问题的数学模型，常用方法有Nash均衡、优势策略和必胜策略等。
10. 随机规划：处理具有随机性的决策问题，常用的求解方法有期望值法、机会约束规划和贝叶斯决策等。
11. 多目标规划：解决具有多个冲突目标的优化问题，常用的求解方法有主要目标法、权衡法和分层序列法等。
12. 非线性规划：处理目标函数或约束条件非线性的优化问题，常用的求解方法有梯度法、牛顿法等。
13. 启发式方法：采用直观和经验的方法求解问题，如遗传算法、模拟退火算法等。
14. 数学仿真：通过建立数学模型并模拟实际情况，评估不同方案的性能和效果。
15. 多属性决策分析：处理具有多个评估属性的决策问题，常用的求解方法有多属性效用理论、层次分析法等。
16. 模拟退火算法：一种启发式优化算法，通过模拟固体退火过程来寻找全局最优解。
17. 遗传算法：模拟生物进化过程的优化算法，通过遗传、交叉和变异等操作寻找最优解。
运筹学概述一、运筹学的定义 运筹学(Operational Research...
运筹学研究的模型主要是抽 象模型——数学模型。数学模型 的基本特点是用一些数学关系 （数学方程、逻辑关系等）来描 述被研究对象的实际关系（技术 关系、物理定律、外部环境等）。
运筹学模型的一个显著 特点是它们大部分为最优化 模型。一般来说，运筹学模 型都有一个目标函数和一系 列的约束条件，模型的目标 是在满足约束条件的前提下 使目标函数最大化或最小化。
3、系统性
运筹学用系统的观点来分析 一个组织或系统），它着眼于整 个系统而不是一个局部，通过协调 各组成部分之间的关系和利害冲突， 使整个系统达到最优状态。
4、综合性
运筹学研究是一种综合性的 研究，它涉及问题的方方面面，应 用多学科的知识，因此，要由一个 各方面的专家组成的小组来完成。
三、运筹学模型
都江堰水利工程
丁谓的皇宫修复工程 北宋年间，丁谓负责修复火毁的开 封皇宫。他的施工方案是：先将工程 皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将 大沟与汴水相通。使用挖出的土就地 制砖，令与汴水相连形成的河道承担 繁重的运输任务；修复工程完成后， 实施大沟排水，并将原废墟物回填， 修复成原来的大街。丁谓将取材、生 产、运输及废墟物的处理用“一沟三 用”巧妙地解决了。
二、运筹学研究的特点
1、科学性 （1）它是在科学方法论的指导下通 过一系列规范化步骤进行的；
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
2、实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
运筹学专题知识
2024/10/29
（二）运筹学旳产生
运筹学是一门利用科学，它本身是在利用中产生与发 展旳，产生旳背景为第二次世界大战。
1．“OR”一词旳提出 2．不列颠之战 3．盟军封锁直布罗陀海峡
2024/10/29
一、运筹学旳历史
运筹学旳精粹可归纳为“优化决策”，而优化决策 古已经有之，作为完整、系统旳学科，运筹学产生于本 世纪，古代旳优化决策与当代运筹学旳产生有着旳主动 影响。
（一）朴素旳优化思想
1．赛马与桂陵之战 2．晋国公重建皇城
2024/10/29
1．赛马与桂陵之战
“田忌赛马”是家喻户晓旳历史故事。战国时齐威王与齐相田忌 赛马，双方各出三匹马比赛，每胜一场赢得一千金。因为王府旳 马比相府旳马好，所以田忌每天都要输掉三千金。
巡查机中队击沉击伤德军潜艇3艘，自己无一伤亡。
2024/10/29
（三）运筹学旳发展
战后OR技术被广泛用于经济领域，并得到了很大旳发展。它旳发展大致可 分三个阶段：
1．从1945年到50年代初，被称为创建时期。此阶段旳特点是从事运筹学研 究旳人数不多，范围较小，运筹学旳出版物、研究组织等寥寥无几
2．从50年代早期到50年代末期，被以为是运筹学旳成长时期。此阶段旳一 种特点是电子计算机技术旳迅速发展，使得运筹学中某些措施如单纯形法、动 态规划措施等，得以用来处理实际管理系统中旳优化问题，增进了运筹学旳推 广应用。
2024/10/29
2．晋国公重建皇城
距今约1023年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
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运筹学方法与模型
运筹学是运用数学、统计学和计算机科学等专业知识和技术，以科学
化的方法帮助人们做出最佳决策的学科。
运筹学研究的对象包括决策分析、优化算法、模拟系统、控制论以及信息论等多个方面。
方法。
1.数学方法：运筹学在问题解决中利用了大量数学原理和方法，如线
性规划、非线性规划、统计分析、概率论等。
2.统计方法：运筹学在处理大量数据时应用的方法，如数据采集、整理、分析和解释等，让人们可以据此推断数据的趋势。
3.计算机方法:运筹学借助计算机技术，使用计算机建模和仿真技术，将复杂的问题转化为简单的研究对象，并求解其最优解。
4.运筹思想：运筹学旨在找到最优策略，其思想是在各种因素和条件
的制约下，达到最佳结果的决策。
这是一个重要的应用范畴。
模型。
1.线性规划模型：这是一种基本的运筹学模型，它通过建立一系列线
性等式或不等式来描述形式化问题。
通过优化算法求解，找到最优解。
2.整数规划模型：整数规划模型是在线性规划的基础上，加上整数限
制条件的扩展。
为求解整数规划问题，需要使用各种启发式算法、分枝限
界法等。
3.随机规划模型：随机规划模型是在考虑风险或不确定性因素的情况下，寻找最优策略的模型。
4.动态规划模型：动态规划模型是用于描述决策过程的数学模型。
通
过建立方程组，求解最优决策方案，它广泛应用于生产、库存、资源分配
问题等领域。
总结。
运筹学作为一门独立的学科，旨在建立数学模型，找到最优决策方案。
在现代企业管理和科学研究中，它的应用越来越广泛。
运筹学所涉及的方
法和模型丰富多样，它不断的激发着人们通过科学的手段来寻找最佳解决
方案的创新思维。