第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
湘教版九年级数学上册课件第1课时与俯角、仰角有关的应用问题
D′
C′
B′
D
C
B
解析：如图，由题意可知，
∠AD′B′′AB′=60°，
∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 D′
AB′=xm
tan DAB DB , tan CAB CB
D
x
x
A
C′
B′
C
B
DB x tan 60, CB x tan 30
分析：设塔高为x米，根据条件 ∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米， 在直角三角形ABC中，根据∠C＝ 30°，即taAnBC＝可求.
BC
2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示， 新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处 测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为 39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方 的夹角叫做俯角.
做一做
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水 平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
• 4.4 解直角三角形的应用
• 第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题
1、了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识 解决实际问题； 2、培养分析问题、解决问题的能力．
1.解直角三角形： 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，
叫做解直角三角形.
2.两种情况： 解直角三角形，只有下面两种情况：
解析：Rt△ABC中，α=30°， AD=120，所以利用解直角 三 角形的知识求出BD；类似 地 可以求出CD，进而求出
第1课时 圆和俯角、仰角问题
则这棵树的高度=（2 3 +1.6）m≈5.1m.
课后练习
课堂小结
通过学习用解直角三角形知识解决 实际问题过程中，你有哪些收获？
课后作业
1、从教材习题中选取。
2、完成练习册本课时的作业部分。
饭可以一日不吃，觉可以一日 不睡，书不可以一日不读。 ——毛泽东
28.2.2
应用举例
第1课时 圆和俯角、仰角问题
R·九年级下册
学习目标
1．掌握仰角、俯角概念； 2. 能将实际问题中的数量关系转化为直角三角 形中元素之间关系进行解题；
3．感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、 用数学的意识和能力.
新课导入
上一节课我们学习了直角三角形的简单运 用，那么这一节我们来学习一下圆和俯角、 仰角的问题. 那么什么是俯角和仰 角呢？
因此这栋楼高约277m
B α β D
A
C
1、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m 的D处观 测旗杆顶部A的仰角为50°，观测底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度（结果保留一位小数）。
解：BC＝DC•tan45°＝40(m)， AC＝DC•tan50°≈47.67(m)， AB＝AC－BC＝7.67≈7.7（m）.
分析：从组合体中能直接看到的地球 表面最远点，是视线与地球向切时的 切点.如图，本例可以抽象为以地球中 · 心为圆心、地球半径为半径的○ o的 有关问题：其中点F是组合体的位置， ·o的切线，点Q是从组合体中 FQ是○ ¼ 观测地球时的最远点， PQ 的长就是地 PQ 球表面上P，Q两点的距离.为计算¼ 的长需先求出∠POQ（即α）的度数.
∵tan BD ,tan CD , AD AD ∴BD AD· tan 120 tan30 =120 3 =40 3， 3 CD=AD? tan tan =120 3=120 3 ∴BC BD CD 40 3 120 3 =160 3 277m
解直角三角形--仰角俯角.仰角俯角问题---解直角三角形
观察下图，判断哪些是仰视哪些是俯视； 哪个是俯角，哪个是仰角．
从A看B的仰角是:
∠BAC
从B看A的俯角是： ∠FBA 从B看D的俯角是： ∠FBD 从D看B的仰角是： ∠BDE 注意：从哪个点看就从哪个点作水平线，俯角就 是水平线与向下看视线的夹角，仰角就是水平线 与向上看视线的夹角。
例1： 如图一学生要测量校园内一棵水杉树高度， 他站在距水杉树8米的E处，测得树顶的仰角 ∠ACD=30°，已知测角仪的架高CE=1.6米， 求树高AB(精确到0.1米) A
问题探究
• 1、仰角、俯角 • 阅读教材：当我们进行测量时，在视线与水平 线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯角． • 学生仰视日光灯或俯视桌面 • （以体会仰角与俯角的意义．）
归纳、总结
• 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 的夹角叫做俯角
把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．
A
D1 D
30 °
C1 50
C
45°
B1 B
2、（2011安徽中考）如图，某高速公路建设中 需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高 度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处 的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.
甲、乙两楼相距78米，从乙楼底 望甲楼顶的仰角为45º ，从甲楼顶 望乙楼顶的俯角为30º ，则甲楼和 A 乙楼高为？ 30º
D
甲 B
？
45º
？乙
78 C
7.（2006，哈尔滨市）如图，在电线杆上的C处 引位线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成 60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB 高为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
【人教版】九年级数学下册：第1课时与视角有关的解直角三角形应用题教案
应用举例第 1 课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识联合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等观点，并会把近似于丈量建筑物高度的实质问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其余非直角三角形的问题.阅读教材P74-75 页，自学“例3”与“例 4”，复习与圆的切线有关的知识，弄清仰角与俯角的观点 .自学反应独立达成后小组内展现学习成就①某人从 A 看 B 的仰角为 15°，则从 B 看 A 的俯角为.②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89 练习题 1-2 题 .把求线段的长转变成解直角三角形的知识，结构直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动 1小组议论例 1如图，厂房子顶人字架(等腰三角形 )的跨度为10 m ，∠ A=26°，求中柱BC(C为底边中点 )和上弦 AB 的长 .(精准到 0.01 m)解 :∵tanA= BC, AC∴BC=AC· tanA=5× tan26°≈ 2.44(m).∵ cosA= AC ,ABAC 5 ∴AB==≈ 5.56(m). cosA cos26答 :中柱 BC 约长 2.44 m,上弦 AB 约长 5.56 m.这种问题常常是将等腰三角形转变成解直角三角形，同一个问题能够用不一样的关系式来解 .活动 2追踪训练 (独立达成后展现学习成就 )1.如图，某飞机于空中处探测到目标C ，此时飞翔高度 AC=1 200 m ，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 a=16°31′ ,求飞机 A 到指挥台 B 的距离 .(精准到 1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5 m ，测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上 相邻两树间的坡面距离是多少m.(精准到 0.1 m)这种求距离的问题常常转变成求直角三角形边长的问题，此外，要注意理解有关的名词术语 .第 2 小题要抽象成几何图形再来解决实质问题.活动 1小组议论例 2如图，两建筑物的水平距离为 32.6 m ，从点 A 测得点 D 的俯角α为 35° 12′，测得点 C俯角β为 43°24′，求这两个建筑物的高.(精准到 0.1 m)解 :过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E,则∠ ACB=β=43° 24′ ,∠ADE=α =35° 12′ ,DE=BC=32.6 m.在 Rt△ ABC中,∵ tan∠ ACB= AB,BC∴AB=BC·tan∠ ACB=32.6× tan43° 24′≈ 30.83(m).在 Rt△ ADE中 ,∵ tan∠ ADE= AE,DE∴AE=DE· tan∠ ADE=32.6× tan35° 12′≈ 23.00(m).∴≈ 7.8(m).答 :两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.重点是结构直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，而后将实质问题转变成几何问题解决 .活动 2追踪训练(小组议论达成并展现学习成就)如图，一只运载火箭从地面L 处发射，当卫星抵达 A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR的距离是 6 km，仰角为 43°，1s 后，火箭抵达 B 点，此时测得 BR 的距离是 6.13 km ，仰角为 45.54°, 这个火箭从 A 到 B 的均匀速度是多少 (精准到 0.01 km/s)?速度 =行程÷时间，此题中只要求出行程AB，即可求出速度.不论是高度仍是速度，都转变成解直角三角形.活动 3讲堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实质问题.2.本节学习的数学方法:数形联合、数学建模的思想.教课至此，敬请使用教案当堂训练部分.【预习导学】自学反应①15°②略③n· 2π r360④7.7 m334.2 m【合作研究 1】活动 2追踪训练1.4 221 m2.6.0 m【合作研究2】活动 2追踪训练0.28 km/s。
利用俯角和仰角解直角三角形课件
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°，P
OB=PO= x米.
A. 800sinα米
B. 800tanα米
α
C．s8in00a 米
D．t8a0n0a 米
解直角三角形及其应用
利用俯角和仰角解直角三角形
（一）俯角、仰角问题 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
视线
巧记“上仰下俯”
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
（二）一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
例1 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底 部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地
面成45°角．则两根拉线的总长度为
10 3
3
5
2 m(结果用
带根号的数的形式表示).
（三）两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m，
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形-仰角、俯角问题教案
另外，小组讨论和实践活动环节，学生的参与度很高，他们积极讨论，热烈交流，这让我很欣慰。但我也观察到，有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在整理思路和语言表达上还存在不足。在以后的教学中，我需要加强对学生表达能力的训练，鼓励他们更加自信、条理清晰地表达自己的观点。
（1）通过实际情境引入仰角、俯角的概念；
（2）掌握正切函数的定义，并应用于仰角、俯角问题的求解；
（3）通过例题讲解和练习，让学生熟练运用解直角三角形的方法解决实际生活中的仰角、俯角问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养；
2.通过对正切函数的运用，增强学生的数学运算和数据分析能力；
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了解直角三角形中的仰角、俯角问题。我发现学生们在理解仰角、俯角概念上并没有太大困难，他们对于这些新知识充满了好奇。但在实际应用上，特别是在构建直角三角形模型和运用正切函数时，部分学生遇到了一些挑战。
首先，我注意到在案例分析环节，有些学生在确定直角三角形的边长和角度时显得犹豫不决。这说明他们对于如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。在未来的教学中，我需要提供更多的实际例子，让学生有更多的机会去练习和体会这一过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角与俯角的基本概念。仰角是我们从水平线向上看时，视线与水平线所形成的角；俯角则是我们从水平线向下看时，视线与水平线所形成的角。它们在测量、建筑等领域有着广泛的应用。
应用举例第1课时 仰角、俯角++课件+++2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)求A,C两点之间的距离(结果精确到0.1 m);
解:(1)如图所示,过点 A 作 AE⊥CB,交 CB 延长线于点 E,连接 AC,
在 Rt△ABE 中,AB=5 m,∠ABE=180°-143°=37°,
4.如图所示,从无人机C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,
如果此时无人机C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,求A,B
两点的距离.
解:∵从无人机 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别为 30°,45°,
∴∠BCD=90°-45°=45°.∴∠ACD=90°-30°=60°.
28.2.2
第1课时
应用举例
仰角、俯角
仰角和俯角
在进行测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线
角叫做仰角,视线在水平线 下 方的角叫做俯角.
上
方的
应用解直角三角形解决实际问题
[例1] (2022盐城)如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示
意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, ≈2.24).
解:(2)如图所示,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为 F,
∴FD=AO=1 m.∴CF=5 m.
在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得
AF= -=2 (m).
∴OD=2 ≈4.5(m),
即 OD 的长约为 4.5 m.
新知应用
如图所示,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E
处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC=20 m,且距地面高度
沪科版九年级数学上册《仰角、俯角在解直角三角形中的运用》课件
CE＝sinC6D0°＝2
3＋1.5 ＝(4＋
3
3)≈5.7(米)，答：拉线 CE 的长约为 5.7 米
2
11．(14分)为了缓解长沙市区内一 些主要路段交通拥挤的现状，交警队 在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3 m， 从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求 路况显示牌BC的高度．
23．2 解直角三角形及其运用
仰角、俯角在解直角三角形中的运用
仰角，俯角：如图，从下往上看，___视__线__与__水__平__线____的夹角叫做仰角，从 上往下看，视线与水平线的夹角叫做___俯__角___．图中的∠1就是俯角，∠2就 是仰角．
仰角、俯角在解直角三角形中的应用
1．(6 分)如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B，C
5．(6分)如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小 船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝ _____1_0_0_米．
6．(10分)天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔 的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔 方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112 m．根据这个兴趣 小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)
4．(6分)在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路(如图所示)， 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取 ∠ABD＝140°，BD＝1 000 m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC 上．那么DE＝____6_4_2_.8__m___．(供an50°≈1.192)
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课题第1课时仰角、俯角与解直角三角
形
授课人
教学目标知识技能
理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直
角三角形．
数学考虑
结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获
得解决物体的高、宽等一些测量经历．
问题解决
要求学生擅长将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形
中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．
情感态度
运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并进步合作交流的才能，培养学数学用数学的思想．
教学
重点
利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．
教学
难点
把实际问题转化为数学模型．
授课
类型
新授课课时
教具多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动设计意图
回忆
1.解直角三角形的主要根据是什么？
2．解直角三角形主要有哪两种类型？
[答案]1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的
关系.
2．(1)两条边；(2)一条边和一个锐角.
回忆以前所学内容，为本
节课的教学内容做好准
备.
活动一：创设情境导入新课【课堂引入】
2012年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天
宫〞一号目的飞行器成功实现交会对接．“神舟〞九号
与“天宫〞一号的组合体在离地球外表343 k m的圆形
轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球外
表点P的正上方时，从中能直接看到的地球外表最远的
点在什么位置？最远点与点P的间隔是多少(地球半径
约为6400 k m, π取3.142，结果取整数)?
图28－2－37
通过实际问题，激发学生
的学习兴趣，把实际问题
转化为数学问题，通过求
解，初步体会解直角三角
形的内涵，引入课题.
活动二：理论探究交流新知
1.解决问题：
师生活动：老师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画
出示意图.
分析问题：从组合体中能直接看到的地球外表最远点，是视线与地球相
切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地
球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O
的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ
︵
的长就是地球
外表上P，Q两点间的间隔．为计算PQ
︵
的长需先求出∠POQ(即α)的
度数.
2.仰角、俯角的应用：
例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋
楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为
60°，热气球与楼的程度间隔为120 m．这
栋楼有多高(结果取整数)？
仰角与俯角：在视线与程度线所成的角中，视
线在程度线上方的是仰角，视线在程度线下方的是俯角.
如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38
在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知
识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.
设置的实际问题都是从
现实生活中提取出来而
又高于现实的，既丰富
了学生的知识，使他们
更有兴趣学习，又让学
生进一步经历用三角函
数解决实际问题的过
程，进步学生运用所学
知识解决实际问题的才
能.
活动三：开放训练表达应用【应用举例】
例1如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢
高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角
是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明
从该楼房间隔地面20米的D处测得高楼顶端A
的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，
DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39
分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，那么AF＝(x－
20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根
据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.
例1主要考察理解直角
三角形的应用，解答此
题的关键是根据仰角构
造直角三角形，培养学
生解决实际问题的才
能.
【拓展提升】
例2如图28－2－40，为了测量顶部不能到
达的建筑物AB的高度，如今地平面上取一点
C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前
进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，
此时测得点A的仰角为30°.测量仪的高为1.5
米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40
[答案](10 3＋11.5)米
例2主要是通过两次解
直角三角形建立一元一
次方程，通过解方程，
求出相应的线段，从而
解决求建筑物高的问
题.
(续表)。