连续型随机变量
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
连续型随机变量
(1). 先确定作图区间 [a, b] ;
a 最小
最大 b
这里取k 7,
127.5 128
155 155.5
目的是让
(2). 确定数据分组数k, 组距d,子区间端点ti-1，ti
数据不落
(3). 计算落入各子区间内观测值的组频数ni ,组频率fi 在端点上
ni = { xj ∈ [ti−1, ti)，j = 1, 2, · · · , n}, fi = ni / n, i = 1, 2, · · · , m；
试给出零件长度X的频率直方图 这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的四步骤： 此题为155.5 -127.5 28 4
当样本个数n为 50~100个时，分 为5~10组，当为 100~200个时，
d ba k
7
7
ti
a
id,i
0,1,
这里t5 127.5 5 4
X x
x
x)
lim
x0
x
f (t)dt [x, x x]
lim
x
积分中值定理 x0
f ( )x
x
lim x0
f ( ) =f
(x)，
(当x 0, x, 因x是 f(x)的连续点， f ( ) f (x))
有：f (x)=
P(x X x x)
lim
x0
x
由中学物理所学的知识我们知道:
连续型随机变量
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
连续型随机变量
(2) fX (x) 0, x (,)
(3) 在 fX (x) 的连续点处有 fX (x) F(x)
(4)
P{x1 X x2}
x2 x1
fX (t)dt
f(x)
.
0 x1
x2
x
图3-1 概率密度函数性质(4)的几何表示
例1 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为：
0 x0
(1) (2)
概率论与数理统计
望存在，则
本性质在第四章再讨论
定义3.2 若广义积分
xk f (x)dx
绝对可积，称其收敛的值为连续型随机变量 X 的 k 阶原点矩，记作 E( X k )
定义3.3 若广义积分
(x E(X ))k f (x)dx
绝对可积，称其收敛的值为连续型随机变量 X 的 k 阶中心矩，记作 E(X E(X ))k
fX
(x)
dF(x) dx
lim
Δx 0
F(x
Δx) Δx
F ( x)
0
定理3.1 设 fX (x) 是连续型随机变量 X 的概
率密度函数，则 X 的分布函数可表示为：
x
F (x) - fX (t)dt
定理3.2 设 fX (x) 为连续型随机变量 X 的概
率密度，则有
(1) f X (t)dt 1
概率论与数理统计
一、连续型随机变量的概率密度函数
1、回顾连续型随机变量分布函数的性质。 2、离散型随机变量的分布率。 3、单调增连续函数的可导性如何？
定义：一个随机变量 X 的分布函数 F(x) 的
导数称为该随机变量的概率密度函数，
记作 fX (x)，也就是说
fX
(x)
连续型随机变量条件概率
连续型随机变量的条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设X和Y是两个连续型随机变量，其概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)。
那么在给定X=x的条件下，Y=y的条件概率可以表示为P(Y=y|X=x)。
连续型随机变量的条件概率可以通过条件概率密度函数来计算。
具体计算方法如下：
1. 首先，根据边际概率密度函数fX(x)和fY(y)，计算出联合概率密度函数fXY(x,y)。
2. 然后，根据联合概率密度函数和边际概率密度函数，计算出在给定X=x的条件下，Y=y的条件概率密度函数fY|X(y|x)。
3. 最后，根据条件概率密度函数，计算出在给定X=x的条件下，Y落在某个区间[a,b]的概率，即P(a≤Y≤b|X=x)。
需要注意的是，连续型随机变量的条件概率密度函数并不是直接表示概率，而是表示在给定条件下的相对概率密度。
要得到具体的概率值，需要对条件概率密度函数进行积分。
总结起来，连续型随机变量的条件概率是通过条件概率密度函数来计算的，表示在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
连续型随机变量
5
0
20 1 1 dx dx 15 30 30
1 3
2. 指数分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
x 1 x0 e f ( x ) 0 其它 其中 0 为常数 则称 X 为服从参数 的指数分布
注: ▲ 易证 f ( x ) 满足：
1 . f ( x) 0 , 2 . f ( x )dx 1
0
0
▲ 由分布函数定义可得：若X 服从指数分布，则 X 的分布函数为:
x 1 e F ( x) 0
x0 其它
若X 服从指数分布，则： 对任意的 s , t 0 有：
P {X s t X s } P { X t }
由分布函数定义可得：若X 服从均匀分布，则 ▲ X 的分布函数为:
0 x a F ( x) x a a x b ba 1 x b
图形:
1
F ( x)
a
0
b
x
例7.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车 到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量 试求： (1) 乘客候车时间少于 5 分钟的概率 (2) 乘客候车时间超过10分钟的概率
P {10 X 15} P {25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P ( 0 x 5) P (15 x 20)
高斯
连续性随机变量详解
解 X 的分布函数为
F(
x)
1
e
1x 2000
,
0,
x 0, x 0.
第22页
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607. (2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000}
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
第11页
由 F ( x) x f ( x)d x 得
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
(2) f ( x)d x 1;
证明
1 F() f (x)d x.
(3)
P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x)d x;
x1
证明 P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x x2 f ( x)d x.
0
f (t)dt
x
f (t)dt
0
0
x
0dt 1dt ,
则F(x) x;
0
当1 x时， x
f (t)dt
0
f (t)dt
1
f (t)dt
x
f (t)dt
0
1
连续型随机变量的分布)
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
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第三章 连续型随机变量一、分布函数的概念定义：定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数)(ωξ，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称),(),)(()(∞-∞∈<=x x P x F ωξ是随机变量)(ωξ的概率分布函数，简称为分布函数或分布。
分布函数实质上就是事件)(x <ξ的概率。
二、分布函数的性质 由概率的性质可知：1） 非负性： 1)(0),,(≤≤+∞-∞∈∀x F x 2） 单调性： 若21x x <则）（）（21x F x F ≤ 3） 若）（）（）（则122121,x F x F x x P x x -=<≤<ξ )()(12x P x P <≥<ξξ )()(12x x <⊃<ξξ 进一步 )()()(1221x F x F x x P -=<≤ξ4） 极限性：1)()(lim 0lim=+∞==∞-=+∞→-∞→F x F F x F x x ，）（）（ 证：因为）单调（且x F x F 1)(0≤≤，所以)(lim )(lim )(lim )(lim n F x F m F x F n x m x +∞→+∞→-∞→-∞→==都存在，又由概率的完全可加性有)1)(()1)(())((1+<≤∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤=+∞<<-∞=∞-∞=∞-∞=n n P n w n U P P n n ωξξωξ )(lim )(lim )1)((lim m F n F i i P m n nmi m n -∞→+∞→=-∞→+∞→-=+<≤∑=ωξ所以必有)(lim ,1)(lim ==-∞→+∞→m F n F m n即0)(lim ,1)(lim ==-∞→+∞→x F x F x x5） 左连续性：)()0(x F x F =-证：因为)(x F 是单调有界函数，其任一点的左极限)0(-x F 必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列)(,21∞→→<<<<n x x x x x n n证明)()(lim x F x F n n =∞→成立即可。
这时，有))(())(())(()()(111111+∞=+∞=<≤∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=<≤=-n n n n n n x x P x x U P x x P x F x F ωξωξωξ[][])()(lim )()(lim )()(111111x F x F x F x F x F x F n n n n n n n -=-=-∑=+∞→+∞→+∞=由此可得)0()(lim.)(1-==+∞→x F x F x F n n 2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。
因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。
知道了随机变量)(ωξ的分布函数)(x F ，不仅掌握了))((x <ωξ的概率，而且还可以计算下述概率：)(1)(1)(x F x P x P -=<-=≥ξξ)0()(+=≤x F x P ξ)0(1)(+-=>x F x P ξ )()0()(x F x F x P -+==ξ)()0()(1221x F x F x x P -+=≤≤ξ)0()()(1221+-=<<x F x F x x P ξ)0()0()(1221+-+=≤<x F x F x x P ξ由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由)(x F 算出来，因此)(x F 全面地描述了随机变量)(ωξ的统计规律。
既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。
不过，对离散型随机变量来说，用的教多的还是分布列，那是因为它比较方便的缘故。
三、离散型随机变量的分布函数设)(ωξ为一个离散型随机变量，它的分布列为则ξ的分布函数为))(())(()(i xa a P x P x F i =∑=<=<ωξωξ对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。
例1、 若ξ服从退化分布，即有1)(==a P ξ则ξ的分布函数为⎩⎨⎧≤>=ax ax x F ,0,1)( 例2、 若ξ服从两点分布求ξ的分布函数F （x ）。
解： 当00=<=≤）（）（时，x P x F x ξ当10≤≤x 时，q P x P x F ===<=）（）（）（0ξξ 当1>x 时，1)1()0()()(==+==<=ξξξP P x P x F 例3、 设ξ的分布列为求ξ的分布函数)(x F 。
解： 当00=<=≤）（）（时，x P x F x ξ当10≤<x 时，3.00===<=）（）（）（ξξP x P x F当21≤<x 时，7.04.03.010=+==+==<=）（）（）（）（ξξξP P x P x F当1)2()1()0()()(,2==+=+==<=>ξξξξP P P x P x F x 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤=2,121,7.010,3.00,0)(x x x x x F 可以看到，)(x F 是一阶梯状的左连续函数，在)2,1,0( ==k a x k 处有跳跃，其跃度为ξ在k a 处的概率。
例4、设ξ是参数为λ的普哇松分布的随机变量，即,2,1,0,!)(===-k e k k P kλλξ求ξ的分布函数。
解：λλξξ-<<∑∑===<=e k k P x P x F xk kxk !)()()(由此，)(x F 是一阶梯状的左连续函数，在)2,1,0( ==k k x 处有跳跃，其跃度为ξ在k 处的概率。
,2,1,0,!)()()0(====-+-k e k k P k F k F kλλξ例5、等可能的向区间[]b a ,上投掷质点，求质点坐标ξ的分布函数。
解：设x 为任一实数，当a x ≤时，显然有0)()()(==<=φξP x P x F 当b x a ≤<时，由几何概型可知ab ax a b a x x a P a P x P x F --=--+=<≤+<=<=0)()()()(ξξξ 当1)()()(=Ω=<=>P x P x F b x ξ时，有从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(例6、设随机变量ξ的分布函数为+∞<<∞-⋅+=x x B A x F ,arctan )( 求1）常数B A ,；2）)10(<≤ξP 。
解：1）由极限性{)(1)(=-∞=+∞F F 得{212=⋅-=⋅+ππB A B A 从而解{π121==B A 于是+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π 2）410arctan 1211arctan 121)0()1()10(=--+=-=<≤ππξF F P例6．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，求：1）常数A ；2）ξ落在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1上的概率。
解：1）处在1)(=x x F 左连续)1(lim )(lim 01211F A Ax x F F ====-∴--→→χχ）（， 故1=A 于是⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=1,110,0,0)(2x x x x x F2）41)1()21()211(=--=<≤-F F P ξ由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。
§3.2连续型随机变量一、连续型随机变量的概念 1、定义定义：设)(ωξ是随机变量，)(x F 是它的分布函数，如果存在函数)(x p ，使对任意的x ，有⎰∞-=xdy y p x F )()(则称)(ωξ为连续型随机变量，相应的)(x F 为连续型分布函数，同时称)(x p 是)(x F 的概率密度函数或称为密度。
2、密度函数的性质由分布函数的性质，可验证任一连续型随机变量的密度函数)(x p 必具备下列性质： 1） 非负性：0)(),,(≥+∞-∞∈∀x p x 2）规范性：⎰+∞∞-=1)(dx x p反过来，任意一个定义在R 上的函数)(x p ，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数)(x F 。
密度函数除了具有上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质： 3）连续型随机变量的分布函数)(x F 在R 上连续，且在)(x p 的连续点处，有)()('x p x F =。
对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律。
4）设ξ为连续型随机变量，则对任意实数x ，有0)()0()(=-+==x F x F x P ξ 这表明连续型随机变量取单点值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出0)(==x P ξ并不意味着）（x =ξ是不可能事件。
5）对任意21x x <，则）（）（）（）（21212121x x P x x P x x P x x P <<=≤≤=≤<=<≤ξξξξ ⎰=-=21)(12x x dx x p x F x F ）（）（这一个结果从几何上来讲，ξ落在区间),(21x x 中的概率恰好等于在区间),(21x x 上曲线)(x p y =形成的曲边梯形的面积。
同时也可以发现，整个曲线)(x p y =与x 轴所围成的图形面积为1。
例1、 设随机变量ξ的密度函数为+∞<<-∞+=x x cx p ,1)(2试求1）常数c ；2)ξ的分布函数；3）)10(≤≤ξP 。
解：1）由密度函数的性质可知⎰+∞∞-=≥1)(,0dx x p c 即π1,112==+⎰∞+∞-c dx xc 于是密度函数为+∞<<-∞+=x x x p ,)1(1)(2π 2）21arctan 1arctan 1)1(1)()(2-==+==∞-∞-∞-⎰⎰x t dt t dt t p x F xxxπππ 3）411arctan 1)0()1()10(==-=≤≤πξF F P例2、 设随机变量ξ的密度函数为0.0,0,0)(>⎩⎨⎧>≤=-λλx cex x p x试求1）常数c ；2）分布函数)(x F ；3）)1(≥ξP 。
解：1）由密度函数的性质0≥cλλλλ=∴=-⋅==+∞-∞+∞-∞+-⎰⎰c ec dx ce dx x p xx 11,1,1)(0于是⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x p x λλ2）当0)()(,0==≤⎰∞-xdt t P x F x当x xxt e dt e dx dt t P x F x λλλ-∞-∞---=+==>⎰⎰⎰10)()(,00于是⎩⎨⎧>-≤=-0,10,0)(x e x x F x λ3）λξξ-=-=<-=≥e F p P )1(1)1(1)1(例3、 设连续型随机变量的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a ab ax a x x F ,1,,0)(， 求它的密度函数)(x p 。