数列中的恒成立问题(教师版)

数列中的恒成立问题【常用方法和策略】:数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n 的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；与不等式有关的数列恒成立问题,常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．【课前预习】：1. 已知数列{}n a 是无穷等差数列,11a =，公差0d ≠,若对任意正整数n ，前n 项的和与前3n 项的和之比为同一个常数，则数列{}n a 的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，(1)2n n n d S n -=+，33(31)32n n n dS n -=+,设3n n S t S =为常数，则2963dn d tdn t td +-=+-对*n N ∀∈恒成立,所以9263td d d t td =⎧⎨-=-⎩，由于0d ≠，解得219d t =⎧⎪⎨=⎪⎩故21n a n =-2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >,则1B C A+-的最小值为 ．【解析】根据2n n a S An Bn C +=++及等差数列的性质,可设S n =An 2+Dn ，则a n =（B －D ）n+C,则有a 1=B－D+C ，由等差数列的求和公式可得S n =2)(1n a a n +=2D B -n 2+22CD B +-n=An 2+Dn ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-DCD B A DB 222，消去参数D 并整理可得B －C=3A ，故A 1+B －C=A 1+3A ≥2A A 31⋅=23，当且仅当A1=3A ，即A=33时等号成立．3. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n n S a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为________．【解析】设数列｛a n }的公差是d ，则a n ＝a 1＋（n －1)d ，S n ＝n a 1＋错误!d.由题意[a 1＋（n －1）d]2＋错误!错误!≥m a 错误!对任意的a 1,d ∈R ,n ∈N ＊恒成立．① 若a 1＝0，上式显然恒成立；② 若a 1≠0，则错误!错误!＋错误!错误!≥m 对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N ＊恒成立．令错误!＝t,则(1＋2t ）2＋（1＋t ）2≥m 对任意的实数t 恒成立．而(1＋2t ）2＋(1＋t ）2＝5t 2＋6t ＋2＝5错误!错误!＋错误!，所以t ＝－错误!时（1＋2t ）2＋(1＋t ）2取最小值，所以m ≤错误!.综上所述,m 的最大值为错误!。

【典型例题】:例题1 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1)若a 1 = 3，求证：存在f （n )=a n 2+b n+c （a ,b ,c 为常数），使数列｛ a n + f （n ） }是等比数列,并求出数列｛a n }的通项公式；(2）若a n 是一个等差数列｛b n ｝的前n 项和，求首项a 1的值与数列｛b n ｝的通项公式． 【解析】（1)证明：设数列{ a n + f （n ) ｝的公比为q ，则：a n+1+f (n+1)=q （a n +f (n )）， 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221 c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==c b a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ． ∴存在f （n )=n 2-2n ，数列｛ a n + f （n ) ｝成公比为2的等比数列．又a 1+f (1)=3+1-2=2，所以a n +f (n)=2⋅2n -1=2n ． 所以a n =2n - f （n)= 2n - n 2+2n ．。

………………（8分） （2) ∵a n 是一个等差数列{b n ｝的前n 项和,可设Bn An a n +=2,则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221． 又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=,所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．。

………………（16分)例题2已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是公差为d )0(>d 的等差数列,且也是公差为d 的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 对任意m n ∈*N ，，且m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-，求证: 数列{}n a 是等差数列．【解析】(1）设n n b S n =+，则n S b n n +=2，当321，，=n 时，2111=1b S n a =++，① 2121()222b d S a d +=+=++，②2131(2)3333b d S a d +=+=++， ③ 联立①②③消去1a ,得2211()2b d b d +=+ ④ 2211(2)33b d b d +=+ ⑤ ④3⨯-⑤得：221120b b d d -+=，则1b d =，⑥ 将⑥代入⑤解出12d =（=0d 舍去）,………………………………………………… 2分从而解得134a =-，所以1524n a n =-. ……………………………………………… 4分此时，12n n b S n n =+对于任意正整数n 满足题意。

…………………………… 6分(2）因为对任意,m n ∈*N ，m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-， ① 在①中取1m n =+,2111122211n n n n n n S a aa a a n ++++-=++=+， ② ……………………… 8分 同理212121212422133n n n n n n n S a a a a a a n ++-+-+--+=++=+,③…………………………………10分 由②③知,2114223n n n a a a +-++=,即211230n n n a a a ++--+=， 即211112(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-,…………………………………………… 12分②中令1n =，31220a a a +-=，从而2120n n n a a a +++-=，即211n n n n a a a a +++-=-，………………………………… 14分 所以,数列{}n a 成等差数列. ………………………………………………………… 16分例题3已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N ＊）,a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0,p ≠－1，n ∈N *)． （1)求数列{a n ｝的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为d k 。

①求p 的值及对应的数列｛d k ｝．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立?若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1）因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0,所以n ≥2时,a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得错误!＝错误!（n ≥2），故数列{a n }从第二项起是公比为错误!的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝错误!， 从而a n ＝错误!（2)①由（1)得a k ＋1＝错误!错误!k －1, a k ＋2＝错误!错误!k ，a k ＋3＝错误!错误!k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即错误!＝1或错误!＝－2，解得p ＝－错误!； 此时a k ＋1＝－3a （－2）k －1,a k ＋2＝－3a (－2）k ， 所以d k ＝｜a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1， 若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3, 即错误!＝1,此时无解;若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即错误!＝1或错误!＝－错误!，解得p ＝－错误!， 此时a k ＋1＝－错误!错误!k －1，a k ＋3＝－错误!错误!k ＋1， 所以d k ＝｜a k ＋1－a k ＋3｜＝9a 8·错误!k －1，综上所述，p ＝－错误!，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－错误!，d k ＝错误!·错误!k －1.②当p ＝－错误!时，S k ＝9a （2k －1)． 则由S k ＜30，得a ＜错误!,当k ≥3时,错误!＜1,所以必定有a ＜1， 所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－错误!时，S k ＝错误!错误!，则由S k ＜30，得a ＜错误!，因为错误!＞错误!，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立;但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞错误!即S k ＜30,所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.例题4 已知数列{}n a 为等差数列,12a =,{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立?若存在,求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k,使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥) ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥，又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+,因为{}n b 为等比数列,则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+(为常数）, 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2nn n a n b ==．（Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-, 设1111(1)(1)(1)1n n b a a a a =--⋅⋅⋅-+1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且12112123n n n b b n n ++=>++，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n *∈N 都成立，则①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ-<==即λ>．综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数,可知存在1λ=±满足条件．（Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-,39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-,[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯,*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----,又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，05353d ∴<-<, 531,2,19d ∴-=,52,51,34d ∴=,所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【评注】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列,将恒成立问题转化为求数列的最小值，先研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项,构造公差和项数的方程,利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值,此类问题虽然比较常见,但是对变形、运算、分析能力要求很高．【课后巩固】：1. 设数列{n a ｝的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤,则实数p 的取值范围是______. 【答案】[2,3]131(4)32121(1)(1)3232n n n p S n p ≤-≤⇒≤≤++，因此max min13[][]2121(1)(1)3232n n p ≤≤++，因为minmax 133113[]3,[]21212122(1)(1)(1)3232323n n ==>=+++,所以332p ≤≤， 综上实数p 的取值范围是[2,3]2. 设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项。