高等数学重要极限公式
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
高等数学A1常用公式
高等数学A1常用公式一、等价无穷小当0x →时，有如下十个等价无穷小： sin ~,arcsin ~,tan ~,x x x x x x 21arctan ~,1cos ~,2x x x x - 1~,1~ln x x e x a x a --， ln(1)~,log (1)~,ln a x x x x a ++(1)1~x x αα+- 二、第二个重要极限10lim(1)x x x e →+= 或者 拓展形式 10lim(1)e →+=三、常用导数公式常数函数：()'0C =（C 为常数） 反三角函数：(arcsin )'(arccos )'x x == 2211(arctan )',(cot )'11x arc x x x ==-++ 对数函数：1(ln )'x x= 幂函数：1()'x x ααα-=（其中α为常数） 三角函数：(sin )'cos ,(cos )'sin ,x x x x ==- 2211(tan )',(cot )'cos sin x x x x==- 指数函数：()'ln ,x x a a a =⋅（其中a 为常数） 特别的，()'x x e e =。
四、求导数的四则运算规则加减法：()'''u v u v ±=±乘法及数乘：()'''uv u v uv =+，特别的，()''Cu Cu =（其中C 为常数） 除法：2''()'u u v uv v v-= 五、求导数的复合规则(())'(())'()df g x f g x g x dx=⋅：由外及里剥竹笋，不见“x ”不死心。
六、常用不定积分公式（1）常数函数：0dx C =⎰反三角函数：arcsin x C =+，21arctan 1dx x C x =++⎰ 对数函数：1ln ||dx x C x=+⎰ 幂函数：1(1)1x x dx C αααα+=+≠-+⎰其中 三角函数：sin cos xdx x C =-+⎰ cos sin xdx x C =+⎰21tan cos dx x C x =+⎰ 21cot sin dx x C x =-+⎰ 指数函数：ln xxa a dx C a =+⎰，特别的，x x e dx e C =+⎰ （2）tan ln |cos |ln |sec |xdx x c x c =-+=+⎰ cot ln |sin |ln |csc |xdx x c x c =+=-+⎰ sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰c ln |csc cot |cs xdx x x c =-+⎰221arctan dx x c x a a a=++⎰ 221ln ||2dx x a c x a a x a -=+-+⎰ln |x c =++ln |x c =+arcsinx c a =+ 七、分部积分公式''uv dx udv uv vdu uv vu dx ==-=-⎰⎰⎰⎰八、定积分公式222001sin cos nn n n n I xdx xdx I nππ--===⎰⎰21231,22222222221,2121213k k n k k k k k n k k kπ--⎧⋅⋅=⎪⎪-=⎨-⎪⋅⋅=+⎪+-⎩ 九、Γ函数（反常积分） 10()s x s x e dx +∞--Γ=⎰，1(1)1,()2Γ=Γ=(1)()s s s Γ+=Γ，(1)!n n Γ+=。
高等数学重要公式(必记)
高等数学重要公式（必记）一、导数公式：二、基本积分表：三、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：四、三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
两个重要极限公式的几种变化形式
ｘ）） ：ｅ．２、ｌｉｍ （１＋ （ｘ）） ㈤：ｅ３、ｌｉｍ （１＋６ ｘ）） ‘ ＝ｅ。 ，
例
３、［Ｎ￣Ｊｌｉｍ ｘ３＝０，所
以ｌｉｍ
（１＋ｘ’）：０ ，
所
以ｌｉｍ
（１＋ｘ ） ：ｅ；
ＩＮＩ￣ＪｌｉＩｎ（ｘ一５）：０，所 以 ｌｉｍ （ｘ一５） ：ｅ；Ｎ Ｎ ｌｉｍ １ ：ｏ 所 以ｌｉ
要先讲清楚 当（Ｏｔ＞Ｏ）时ｌｉｍ （１＋ｘ） ＝（１＋Ｏｔ）“（ｄ ＜０时 ，以上式 子
一 第 一个公式 ｌｉｍ ＿ｎ（ ：１的变化 形式
、
不 定 总有意 义 ，）和Ｉｉ （１＋１＿） ：ｌ。以免和将要拓展的内容混淆 。 一
除 了讲 清 它 的基 本 内涵 外 ，还 指 明 （ｏ【≠０）／￣ｌｉｒａ 【ｘＪ和 然后将变量 ｘ替换为 数 （Ｘ），让其充当 ｘ的角色 ，也就是ｌｉｍ
两 个重 要极 限公 式经 过变 形后 ，从 外形 上 看 的 变化 趋 势扩 展到 ｒ ｘ一 ，ｘ— ａ，ｘ一 。。三种方 式 ，但 核 心 的问题 还是 要 看把 求极 限 的式 子简化 后
， 也就 是用 方框 代 替 变量 ｘ或 函数 （ｘ） 以后 是哪一 种类 型 ？符 合 不符合 公式 的根 本意 义？从 而来 决定
这样，这个公式就有＝ｉ个变形：１、ｌｉｒａ（１＋ ≠ ） ）＝ｅ，２、ｌｉｒ ａ
ｒ¨
ｍ Ｘ Ｊ
６（１＋
）… ＝ 、 （１＋
＝ｅ。
这 ｉ个例 子与 上 面三个 例 子形式 上 足重 复 的 ，目的还 是说 明－－．个 道理 ，即公式 的深 刻 内涵 。与第 一个公 式一 样 ，也 可 以用
鼎睇鞠ｇ■＊■一 教
箨
一
两个重要极限公式的 『几种变化形式 口鄣必宝
大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
第二个重要极限公式lim（1-1x）x=e的一个新的推广及应用
蓸 蔀 lim(u(x)+v(x))渍(x)=limu(x)渍(x)
1+
v(x) u(x)
渍(x)
蓸 蔀 =limu(x)渍(x窑) lim
1+
v(x) u(x)
uv((xx))窑v(xu)(渍x)(x)
=e 窑e =e 窑e =e k1
lim
v(x)渍(x) u(x)
k1
k2
k1 +ek2
例1
求lim x→∞
下面没有标明自变 量的变化过程 袁是指对 x→x0 和 x→∞ 都 适用.冤 若 limu(x)渍(x)=k1,limv(xu)(渍x)(x) =k2.
则 lim(u(x)+v(x))渍(x)=ek1+k2
证明
因为
lim
v(x)渍(x) u(x)
=k1袁limu(x)渍(x)=k2.由基本 初等函
数的连续 性袁可知
(1-
1 x
)x=e 的推广及应用[J].甘肃高
师学报,2006(5):58-59.
-１ -
第 29 卷 第 2 期渊 下冤 2013 年 2 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 29 No.2 Feb. 2013
第二个重要极限公式 lim x→∞
(1-
1 x
征不易把握 袁首先袁底数必须是 1 加上一个无穷小量 曰其次袁
指数一定要与底数中的无穷小量互为倒数 .因此袁初学者往
往会顾此失彼 .此外袁在利用第二个重要极限公式解题时常
常要用到配系数法 或变量替换法袁不仅比较繁琐 袁而且也更
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
高等数学极限求法总结
导 ，等效替换，换元等。
3.掌握基础，多做精题，总结方法。 精选例题：（多数为书上的好题难题，最重要掌握方法哦~） 一．求下面极限
1.
lim
x
3x2 +x+1 x3 +4x2 -1
解法一：判断形式为 ，法则不可直接用，结合“思路”中的第 5 个方法，分子分母同除
最高次幂
x3 ，即： lim x
x 2n
=
lim
n
sin
x 2n
x
x=x
2n
解法二：等价无穷小的替换，当
n→∞时，sin
x 2n
~
x 2n
，所以 lim 2n n
sin
x 2n
= lim 2n n
x 2n
=x
6. lim 1- cos x x0+ （x 1-cos x）
解：眼尖的可以一眼看出此式中有 2 个熟悉的形式
a-
b （有理化）和1- cos x~ 1 x2 2
满 足 条 件 1. g x f x （h x）， 2. lim g x =A，lim （h x）=A ， 则
x x0
x x0
lim f x 存在，且 lim f x =A
x x0
x x0
7 求极限的基本数学思想：
1． 步骤：判断形式 联系知识公式 巧妙变换转化 极限法则求极限
2.思路：从无极限走向有极限，各种方法轮着用，但是不乱用，错用。
lim（1+a）b
elimab ，另外注意 (1 O)
1,
(11
O O
)
1, O
0】
3. lima b =elimbln a 【因为 eblna (eln a )b ab 】
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高等数学重要极限公式
一、极限的定义
在高等数学中，极限是一个重要的概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
极限的定义是基于函数的局部性质，可以用数学公式表示。
极限的定义包括左极限和右极限，分别表示函数从左边和右边趋近于某一点的情况。
二、重要的极限公式
1. 常数函数的极限公式
对于一个常数函数，不论自变量趋近于哪个值，函数值都保持不变。
因此，常数函数的极限公式为：
lim (c) = c，其中 c 为常数，lim 表示极限。
2. 幂函数的极限公式
幂函数是高等数学中常见的一类函数，其极限公式如下：
lim (x^n) = a^n，其中 n 为正整数，a 为常数。
3. 指数函数的极限公式
指数函数是一类以常数为底的幂函数，其极限公式如下：
lim (a^x) = a^b，其中 a 为常数，b 为实数。
4. 对数函数的极限公式
对数函数是指数函数的反函数，其极限公式如下：
lim (log_a x) = log_a b，其中 a 为常数，b 为正数。
5. 三角函数的极限公式
三角函数在高等数学中也有很重要的应用，其极限公式如下：lim (sin x) = sin a，其中 a 为实数。
lim (cos x) = cos a，其中 a 为实数。
6. 自然对数的极限公式
自然对数是以常数 e 为底的对数函数，其极限公式如下：lim (ln x) = ln a，其中 a 为正数。
7. 正弦函数的极限公式
正弦函数是三角函数中的一种，其极限公式如下：
lim (sin x / x) = 1，其中 x 为实数。
8. 指数函数的极限公式
指数函数在高等数学中也有很重要的应用，其极限公式如下：
lim ((a^x - 1) / x) = ln a，其中 a 为正数。
9. 自然对数的极限公式
自然对数是以常数 e 为底的对数函数，其极限公式如下：
lim ((ln x) / x) = 0，其中 x 为正数。
10. 极限的乘法法则
若两个函数的极限都存在，那么它们的乘积的极限等于两个函数的极限的乘积。
即：
lim (f(x) * g(x)) = lim (f(x)) * lim (g(x))。
11. 极限的和法则
若两个函数的极限都存在，那么它们的和的极限等于两个函数的极限的和。
即：
lim (f(x) + g(x)) = lim (f(x)) + lim (g(x))。
12. 极限的复合法则
若两个函数的极限都存在，那么它们的复合函数的极限等于两个函数的极限的复合。
即：
lim (f(g(x))) = lim (f(u))，其中 u = lim (g(x))。
三、总结
高等数学中的极限概念和公式对于理解函数的性质和行为具有重要意义。
通过对常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限公式的掌握，我们能够更好地理解和应用这些函数。
此外，极限的乘法法则、和法则和复合法则也为我们求解复杂函数的极限提供了有力的工具和方法。
对于学习高等数学的同学来说，掌握这些重要的极限公式是非常重要的。
通过不断练习和应用，我们可以更好地理解和运用这些极限公式，提高数学问题的解决能力。