推理与证明(单元测试含答案)

高二数学选修2-2单元检测题

推理与证明(含答案)

命题人：蔡永登

1．已知2

1111

()12

f n n n n n =++++

+

+，则()

f n 中共有

项．

2

<

，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不

等式 ．

3．在数列{}n a 中，12a =，1()31n

n n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．

4．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1

()2

S r a b c =++，

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．

5．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．（用反正法）

6．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

7．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列2

()n n b a n *=∈N 也是等比

数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

8．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-+

+-=++对一

切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．

同心中学2010-2011学年高二数学选修2-2单元检测题

推理与证明 答案

9、21n

n -+

10、当20m n += 11、265n a n =- 12、12341

()3

R S S S S +++

三、解答题

13.证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．

24()n n +∵是偶数，

2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．

14. 证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2

π

2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·， 正方形的面积为2

4l ⎛⎫

⎪⎝⎭

．

因此本题只需证明2

2

π2π4l l ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

要证明上式，只需证明22

2π4π16l l >，

两边同乘以正数24l

，得11

π4>．

因此，只需证明4π>．

∵上式是成立的，所以2

2

π2π4l l ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．

15. 解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，

则数列12n

n a a a b n

++

+=

也是等差数列．

证明如下： 设等差数列{}n a 的公差为d ，则12n

n a a a b n

++

+=11(1)2(1)2

n n d

na d a n n -+

=

=+-，

所以数列{}n b 是以1a 为首项，

2

d

为公差的等差数列．

16. 解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立． 令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

，，

，

以下用数学归纳法证明等式2222224211

1(1)2(2)()44

n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数

n 都成立．

（1）当1n =时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n k =时，等式成立，即2222224211

1(1)2(2)()44

k k k k k k k -+-++-=-，

则当1n k =+时，

222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+

2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-+

+-+++++

++

424211(1)11

(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．