推理与证明(单元测试含答案)

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高二数学选修2-2单元检测题

推理与证明(含答案)

命题人:蔡永登

1.已知2

1111

()12

f n n n n n =++++

+

+,则()

f n 中共有

项.

2

<

,根据以上不等式的规律,请写出对正实数m n ,成立的条件不

等式 .

3.在数列{}n a 中,12a =,1()31n

n n a a n a *+=∈+N ,可以猜测数列通项n a 的表达式为 .

4.若三角形内切圆的半径为r ,三边长为a b c ,,,则三角形的面积等于1

()2

S r a b c =++,

根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为R ,四个面的面积分别是1234S S S S ,,,,则四面体的体积V = .

5.已知a 是整数,2a 是偶数,求证:a 也是偶数.(用反正法)

6.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

7.已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列2

()n n b a n *=∈N 也是等比

数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.

8.是否存在常数a b c ,,,使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-+

+-=++对一

切正整数n 都成立?若存在,求出a b c ,,的值;若不存在,说明理由.

同心中学2010-2011学年高二数学选修2-2单元检测题

推理与证明 答案

9、21n

n -+

10、当20m n += 11、265n a n =- 12、12341

()3

R S S S S +++

三、解答题

13.证明:(反证法)假设a 不是偶数,即a 是奇数. 设21()a n n =+∈Z ,则22441a n n =++.

24()n n +∵是偶数,

2441n n ++∴是奇数,这与已知2a 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a 一定是偶数.

14. 证明:(分析法)设圆和正方形的周长为l ,依题意,圆的面积为2

π

2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·, 正方形的面积为2

4l ⎛⎫

⎪⎝⎭

因此本题只需证明2

2

π2π4l l ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

要证明上式,只需证明22

2π4π16l l >,

两边同乘以正数24l

,得11

π4>.

因此,只需证明4π>.

∵上式是成立的,所以2

2

π2π4l l ⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积最大.

15. 解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{}n a 是等差数列,

则数列12n

n a a a b n

++

+=

也是等差数列.

证明如下: 设等差数列{}n a 的公差为d ,则12n

n a a a b n

++

+=11(1)2(1)2

n n d

na d a n n -+

=

=+-,

所以数列{}n b 是以1a 为首项,

2

d

为公差的等差数列.

16. 解:假设存在a b c ,,,使得所给等式成立. 令123n =,,代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,,,解得14140a b c ⎧=⎪⎪

=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

,,

以下用数学归纳法证明等式2222224211

1(1)2(2)()44

n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数

n 都成立.

(1)当1n =时,由以上可知等式成立;

(2)假设当n k =时,等式成立,即2222224211

1(1)2(2)()44

k k k k k k k -+-++-=-,

则当1n k =+时,

222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+

2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-+

+-+++++

++

424211(1)11

(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·. 由(1)(2)知,等式结一切正整数n 都成立.

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