几何图形初步同步单元检测(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．

（1）求点D的坐标；

（2）如图（1），求△ACD的面积；

（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．

【答案】（1）解：∵B（3，0），

∴OB＝3，

∵BC＝8，

∴OC＝5，

∴C（﹣5，0），

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴D（﹣2，﹣4）

（2）解：如图（1），连接OD，

∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16

（3）解：∠M＝45°，理由是：

如图（2），连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠DCB＝∠ABO，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠OAB+∠DCB＝90°，

∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，

∴∠MCB＝，∠OAM＝，

∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，

△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，

△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，

∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，

∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．

【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.

（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.

（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，

利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.

2．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.

（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；

（2）若∠GOA= ∠BOA，∠GAD= ∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；

（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”，其它条件不变，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）

（4）若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO= （30°< α <90°），求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）

【答案】（1）21°

（2）14°

（3）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=α，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，

∵∠BOA=90°，∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD

∴∠GAD=30°+ α，∠EOA=30°，

∴∠OGA=∠GAD?∠EOA= α.

（4）解：当∠EOD:∠COE=1:2时，

∴∠EOD=30°，

∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，

∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD= ∠BAD，

∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，

∴2×30°+2∠OGA=α+90°，

∴∠OGA= α+15°；

当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°，

同理得到∠OGA= α?15°，

即∠OGA的度数为α+15°或α?15°.

【解析】解：(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，

∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°，

∴∠GAD= ∠BAD=66°，∠EOA= ∠BOA=45°，

∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=66°?45°=21°；

故答案为21°；

⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，

∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，

∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,

∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，

∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=44°?30°=14°；

故答案为14°；

【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；

（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；

（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；

（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°，

则∠OGA= α+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA= α-15°.

3．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.

【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，

∴∠BFE=∠BDC=90°，

∴EF∥CD.

（2）解：∵EF∥CD，

∴∠2=∠DCE=50°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DCE,

∴DG∥BC，

∴∠AGD=∠ACB=65°，

∴∠DCG=

【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；

（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．

4．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，?…．

例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；

当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，

其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．

解决如下问题：

（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是________；

（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3， OA4并求出α的值；

（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________

（4）（选做题）当OA i所在的射线是∠A i OA k（i，j，k是正整数，且OA j与OA k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．

【答案】（1）45°

（2）解：如图所示．

∵α＜30°，

∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．

∵OA4平分∠A2OA3，

∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：

（3），，

（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：

无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会停止．

但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况，旋转不会停止

【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，

【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会中止．

5．如图

（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：

如图1，过点P作PM∥AB，

∴∠1=∠AEP=40°(________)

∵AB∥CD，(已知)

∴PM∥CD，(________)

∠2+∠PFD=180°(________)

∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°

∴∠1+∠2=40°+50°=90°

即∠EPF=90°

（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系?请说明理由；

（3）如图3所示，在(2)的条件下，已知∠P=α，∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案，不需要写出过程)

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补

（2）解：

理由如下：过点作，则

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即 .

（3）

【解析】【解答】（3）如图：

∵EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，

∴∠1=∠PFC，∠2=∠PEA，

∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=（∠PFC-∠PEA），

∵∠PFC=∠PEA+∠P，

∴∠PFC-∠PEA=∠P，

∴∠1-∠2=∠P，

∵∠3=∠P+∠2，

∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.

【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解；

（2）过点P作PN∥AB，根据平行公理得PN∥CD，得出∠PFC=∠FPN，由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE，

从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE，即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；

（3）根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC，∠2=-∠PEA，由∠PFC=∠PEA+∠P，得出∠1-∠2=

∠P，由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1，∠3=∠P+∠2，从而求出∠G=α.

6．

（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.

（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)

（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)

【答案】（1）

（2）解：延长、，交于点 .

，

由(1)知：

∴ .

（3）

【解析】【解答】解：(1)

∵平分，平分，

∴，

∵是的外角

∴

∵是的外角

∴

( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：

，

【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.

7．问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：

过点P作PE//AB，

∴∠PAB+∠APE=180°．

∵∠PAB=130°，∴∠APE=50°

∵AB//CD，PE//AB，∴PE//CD，

∴∠PCD+∠CPE=180°．

∵∠PCD=120°，∴∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

问题迁移：如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化．

（1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由．

（2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系________．

（3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系________

【答案】（1）∠PAB+∠PCD=∠APC

理由：如图3，过点P作PF∥AB，

∴∠PAB=∠APF，

∵AB∥CD，PF∥AB，

∴PF∥CD，

∴∠PCD=∠CPF，

∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，

即∠PAB+∠PCD=∠APC

故答案为：∠PAB+∠PCD=∠APC

（2）

（3）2∠AQC+∠APC=360°

【解析】【解答】（2）

理由：如图4，

∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，

∴∠QAB= ∠PAB，∠QCD= ∠PCD，

∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，由（1），可得∠PAB+∠PCD=∠APC，

∠QAB+∠QCD=∠AQC

∴∠AQC= ∠APC

故答案为：∠AQC= ∠APC；（3）2∠AQC+∠APC=360°

理由：如图5，过点P作PG∥AB ，

∴∠PAB+∠APG=180°，

∵AB∥CD，PG∥AB，

∴PG//CD，

∴∠PCD+∠CPG=180°，

∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°，

∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，

∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，

∴∠QAB= ∠PAB，∠QCD= ∠PCD，

∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+PCD)

由（1）知，∠QAB+∠QCD=∠AQC，

∴∠AQC= (∠PAB+∠PCD)

2∠AQC=∠PAB+∠PCD，

∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，

∴2∠AQC+∠APC=360°．

【分析】（1）过点P作PF∥AB，可得∠PAB=∠APF，根据AB∥CD，PF∥AB，可得∠PCD=∠CPF，所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC；

（2）已知AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，根据角平分线性质，可得∠QAB= ∠PAB，

∠QCD= ∠PCD，∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，再根据（1）结论，

即可证明∠AQC= ∠APC．（3）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°，由已知可得PG//CD，∠PCD+∠CPG=180°，证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，，再根据AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，可得

∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°．

8．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．

（1）求∠EDC 的度数；

（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；

（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．

【答案】（1）∵平分，

∴；

（2）过点作，如图：

∵平分，；平分，

∴，

∵，

∴

∴，

∴；

（3）过点E作，如图：

∵DE平分，；BE平分，

∴，

∵，

∴

∴，

∴．

【解析】【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．

9．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.

（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；

（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；

【答案】（1）证明：过P作PQ∥AB，

∴∠BAP=∠APQ

∵AB//CD

∴PQ//CD

∴∠DCP=∠CPQ

∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC

又∵AP⊥PC于P

∴∠APC=90°

∴∠BAP+∠DCP=90°

（2）解：过Q作QM∥AB，

∵CQ平分∠PCG ，AH平分∠BAP，

设∠PCQ=∠QCG=a ，∠BAH=∠HAP=b，

∵QM∥AB，∠BAQ=180° b

∴∠BAQ=∠AQM=180°

又∵AB//CD，

∴MQ//CD，

∴∠CQM=180° a

∴∠AQC=（180° b）（180° a）=a b 又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°

∵∠DCP=180° 2a ，∠BAP=2b

∴2b+180° 2a=90°

∴a b=45°

∴∠AQC=45°

【解析】【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的判定定理得出PQ//CD，由平行线的性质，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，结合AP⊥PC，即可得到答案；

（2）过Q作QM∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质，得到角度之间的关系，即可得到答案.

10．已知直线．

（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．

（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出和的数量关系．

【答案】（1）

（2）解：．理由如下：

∵，分别平分，，

∴，，

∴，

由（1）得，，

又∵，

∴

（3）解：，理由如下：

如图3，过点作，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

由（1）知，，

又∵，分别平分，，

∴，，

∴，

∴．

【解析】【解答】（1），理由如下：

如图1，过点E作，

∵，

∴，

∴，，

∴，

即；

【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得，，

进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得，，

结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点作，由平行线的性质得

，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得

，进而即可得到结论．

11．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，

∴∠COE=30°，

∴∠BOE=∠AOB+∠COE

=45°+30°

=75°；

（2）解：∵∠COE=15°，

∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，

∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.

【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；

（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；

12．（探索新知）

如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率